\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}
\title{Lineargleichungssysteme -- Einsetzungsverfahren}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Lineargleichungssysteme mit zwei Variablen}
Unter einem \emph{Lineargleichungssystem} versteht man ein Bündel mehrerer
Gleichungen mit ebensovielen unbekannten Größen, auch \textbf{Variablen}
genannt. Alles zusammen ergibt erst eine einzige Aufgabe. Ein Beispiel:
\[\begin{array}{|rrcl|}
\hline
(1)& 5x-2y&=&1 \\
(2)& 3x+y&=&5 \\
\hline
\end{array}\]
Beide Gleichungen zusammen sind das \emph{Lineargleichungssystem}.\\
Wie funktioniert nun das \textbf{Einsetzungsverfahren}? In einem einzigen Satz
ist es gesagt:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{Man stellt eine beliebige Gleichung nach einer beliebigen Variablen um}\\
\fcolorbox{red}{yellow}
{und setzt den Ergebnisterm in die \textbf{andere} Gleichung ein.}\\
\end{center}

Da es gleichgültig ist, welche Variable aus welcher Gleichung man zum Umstellen
nimmt, sucht man natürlich nach einem besonders \textbf{zweckmäßigen} Weg.
Daher sucht man, ob in einer Gleichung eine Variable \textbf{ohne} eine Vorzahl
(einen sogenannten Koeffizienten) steht. Wenn es eine solche günstig einfache
Variable nicht gibt, dann kommt man beim Rechnen auf Brüche. Eventuell
verwendet man dann auch besser ein anderes Lösungsverfahren. Das ist in
diesem Beispiel aber einfach. Das $y$ in der Gleichung (2) hat keine
Vorzahl. Stellen wir diese also nach $y$ um:
\[\begin{array}{rrcll}
(2)& 3x+y&=&5 &| -3x \\
(3)& y&=&5-3x
\end{array}\]
Den Ergebnisterm $(5-3x)$ aus Gleichung (3) können wir nun für $y$ in
die \textbf{andere} Gleichung einsetzen. \textbf{Sehr wichtig ist hierbei
aber, dass wir den Term nicht versehentlich in die Gleichung einsetzen, aus der
er entstanden ist, also hier nicht in Gleichung (2)!} Falls unsere
Aufgabe -- wie in diesem Beispiel -- nur aus \textbf{zwei} Gleichungen mit
\textbf{zwei} Variablen besteht, dann erhalten wir nach dem Einsetzen nur eine
einzige Gleichung, die man dann lösen kann. Setzen wir nun also den Term
$(5-3x)$ aus Gleichung (3) anstelle von $y$ in Gleichung (1) ein:
\[\begin{array}{rrcll}
& 5x-2(5-3x)&=&1 &| \textnormal{ Klammer auflösen}\\
& 5x-10+6x&=&1 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
& 11x-10&=&1 &| +10 \\
& 11x&=&11 &| :11 \\
(4)& x&=&1
\end{array}\]
Damit haben wir die erste der beiden Variablen bestimmt. Jetzt müssen wir nur
noch das letzte Ergebnis aus (4) in eine beliebige Gleichung einsetzen,
in der auch $y$ vorkommt. Zweckmäßigerweise sucht man dazu die Rechnung Zeile
für Zeile \textbf{rückwärts} durch, bis man an die erste Gleichung mit $y$
kommt. Das ist in diesem Fall die Gleichung (3). Die ist deshalb
besonders praktisch, weil sie bereits nach $y$ umgestellt ist. Wenn man das
Einsetzungsverfahren verwendet, ist es \textbf{immer} so, dass man eine solche
Gleichung findet! Setzen wir also (4) in (3) ein:
\[\begin{array}{rcll}
y&=&5-3x &| x \textnormal{ einsetzen} \\
y&=&5-3 \cdot 1 \\
y&=&2 \\
\end{array}\]
Die Darstellung als Lösungsmenge sieht dann so aus:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1|2)\}$}

\section{Einsetzungsverfahren bei mehr als zwei Variablen}
Hier ein anderes Beispiel für ein Lineargleichungssystem mit drei Variablen und
entsprechend auch drei Gleichungen:
\[\begin{array}{|rrrrcl|}
\hline
(1)& 3x&-2y&+3z&=&8 \\
(2)& 5x&+y&-2z&=&1 \\
(3)& -2x&+3y&-z&=&1 \\
\hline
\end{array}\]

Haben wir -- wie in diesem Beispiel -- mehr als zwei Variablen, dann müssen wir
das Arbeitsprinzip nur geringfügig umformulieren:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{Man stellt eine beliebige Gleichung nach einer beliebigen Variablen um}\\
\fcolorbox{red}{yellow}
{und setzt den Ergebnisterm in \textbf{alle anderen} Gleichungen ein.}
\end{center}

Wenn man diesen Schritt durchgeführt hat, hat man nur noch zwei Gleichungen mit
nur noch zwei Variablen, wenn es vorher drei waren. Dieses einfachere System
kann dann mit jedem beliebigen Verfahren weiter gelöst werden. Man nennt diese
Verringerung der Anzahl der Variablen und Gleichungen um eins einen
\textbf{Reduktionsschritt}. Den ersten Reduktionsschritt wollen wir uns nun an
dem vorgegebenen Beispiel einmal ansehen. \\

Wieder stellt sich die Frage: \emph{\textbf{Welche} Gleichung stellen wir nach
\textbf{welcher} Variablen um?}
Hier bieten sich gleich zwei Stellen in dem Gleichungssystem als besonders
günstig an. Es ist in Gleichung (2) das $y$ und auch in Gleichung
(3) das $z$, das keinen Koeffizienten (auf Deutsch: keine Vorzahl) hat.
Was man nun nimmt, ist gleichgültig. Ich entscheide mich willkürlich für das
$y$ in Gleichung (2), nach dem ich umstellen möchte. Das sieht dann so
aus:
\[\begin{array}{lrcll}
(2)& 5x+y-2z&=&1 &| -5x+2z \\
(2a)& y&=&1-5x+2z \\
\end{array}\]

Das Ergebnis aus Gleichung (2a) muss ich nun in die \textbf{beiden
anderen} Gleichungen einsetzen und erhalte:
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& 3x-2(1-5x+2z)+3z&=&8 \\
(3a)& -2x+3(1-5x+2z)-z&=&1 \\
\end{array}\]
Beide Gleichungen muss ich jetzt vereinfachen, indem ich die Klammern auflöse
und zusammenfasse, was zusammenzufassen geht. Beginnen wir mit Gleichung
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& 3x-2+10x-4z+3z&=&8 \\
(3a)& -2x+3(1-5x+2z)-z&=&1 \\
\hline
(1a)& 13x-2-z&=&8 &|+2 \\
(3a)& -2x+3-15x+6z-z&=&1 \\
\hline
(1a)& 13x-z&=&10 \\
(3a)& -17x+3+5z&=&1 &| -3 \\
\hline
(1a)& 13x-z&=&10 \\
(3a)& -17x+5z&=&-2 \\
\end{array}\]

Die Gleichungen (1a) und (3a) stellen nun ein neues kleineres
Lineargleichungssystem dar. Der erste Reduktionsschritt ist abgeschlossen.\\

Für die weitere Lösung kann man wiederum das Einsetzungsverfahren, aber auch
ein beliebiges anderes Verfahren verwenden. Für das Einsetzungsverfahren bietet
sich hier das $z$ aus Gleichung (1a) an, um danach aufzulösen. Es geht
also folgendermaßen weiter:
\[\begin{array}{rrcll}
&13x-z&=&10 &| -13x \\
&   -z&=&10-13x &| \cdot(-1) \\
(4)& z&=&-10+13x \\
\end{array}\]

Wir setzen Gleichung (4) in (3a) ein:
\[\begin{array}{rrcll}
&-17x+5z&=&-2 &| \textnormal{ $z$ ersetzen}\\
&-17x+5(-10+13x)&=&-2 &| \textnormal{Klammer auflösen}\\
&-17x-50+65x&=&-2 &| \textnormal{zusammenfassen}\\
&48x-50&=&-2 &| +50 \\
&48x&=&48 &| :48 \\
& x&=&1 \\
\end{array}\]
Wir suchen rückwärts nach der ersten Gleichung ohne $x$ und finden Gleichung
(4), die wir zur Bestimmung von $z$ verwenden können.

\[\begin{array}{rcll}
z&=&-10+13x &| x=1 \textnormal{ einsetzen}\\
z&=&-10+13 \cdot 1 \\
z&=&3 \\
\end{array}\]
Jetzt fehlt nur noch das $y$. Um $y$ zu finden, suchen wir wieder rückwärts,
bis zum ersten Mal eine Gleichung mit $y$ auftaucht. Das ist hier die Gleichung
(2a).
\[\begin{array}{rcll}
y&=&1-5x+2z &| \textnormal{ gefundene Werte einsetzen}\\
y&=&1-5 \cdot 1+2 \cdot 3 \\
y&=&2 \\
\end{array}\]
Damit ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1|2|3)\}$}\\

Es folgen einige Übungsaufgaben.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x-y&=&3\\
(2)& 5x-2y&=&9\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-6y&=&0\\
(2)& x+3y&=&10\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x-5y&=&4\\
(2)& 5x+y&=&10\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x+5y&=&11\\
(2)& 2x-2y&=&2\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -3x+5y&=&8\\
(2)& 2x+2y&=&0\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x+y+3z&=&0\\
(2)& 3x-2y+2z&=&-2\\
(3)& 5x+2y+5z&=&4\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 8x+9y-2z&=&17\\
(2)& 2x+6y+z&=&11\\
(3)& -2x+2y+3z&=&9\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x+5y-3z&=&15\\
(2)& 3x-5y+4z&=&10\\
(3)& x+3y&=&8\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-2y+2z&=&10\\
(2)& 4x+2y-3z&=&1\\
(3)& 2x-3y+2z&=&7\\
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 4x+3y-3z&=&2\\
(2)& 6x+y-6z&=&0\\
(3)& 3x-2y+2z&=&10\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1} $x=3$ und $y=3$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(3 | 3) \}$
\subsection{Aufgabe 2} $x=4$ und $y=2$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(4 | 2) \}$
\subsection{Aufgabe 3} $x=2$ und $y=0$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(2 | 0) \}$
\subsection{Aufgabe 4} $x=2$ und $y=1$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(2 | 1) \}$
\subsection{Aufgabe 5} $x=-1$ und $y=1$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(-1 | 1) \}$
\subsection{Aufgabe 6} $x=2$, $y=2$ und $z=-2$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(2 | 2 | -2) \}$
\subsection{Aufgabe 7} $x=5$, $y=-1$ und $z=7$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(5 | -1 | 7) \}$
\subsection{Aufgabe 8} $x=5$, $y=1$ und $z=0$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(5 | 1 | 0) \}$
\subsection{Aufgabe 9} $x=2$, $y=1$ und $z=3$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(2 | 1 | 3) \}$
\subsection{Aufgabe 10} $x=2$, $y=0$ und $z=2$ oder als Lösungsmenge:
${L}=\{(2 | 0 | 2) \}$
\newpage

\section{Mögliche Lösungswege der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& 2x-y&=&3 \\
(2)& 5x-2y&=&9 \\
\end{array}\]
Es bietet sich an, Gleichung (1) nach $y$ aufzulösen.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& 2x-y&=&3 &| -2x \\
& -y&=&3-2x &| :(-1) \\
(3)& y&=&2x-3 \\
\end{array}\]

Einsetzen in Gleichung (2):
\[\begin{array}{rcll}
5x-2y&=&9 &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
5x-2 \cdot (2x-3)&=&9 &| \textnormal{ Klammer auflösen} \\
5x-4x+6&=&9 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
x+6&=&9 &| -6 \\
x&=&3 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
y&=&2x-3 &| \textnormal{ $x$ ersetzen}\\
y&=&2 \cdot 3-3 \\
y&=&3 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(3|3)\}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& 3x-6y&=&0 \\
(2)& x+3y&=&10 \\
\end{array}\]
Hier bietet es sich an, die Gleichung (2) nach $x$ aufzulösen.
\[\begin{array}{rrcll}
& x+3y&=&10 &|-3y \\
(3)& x&=&10-3y \\
\end{array}\]

Diesen Term setzen wir nun in die Gleichung (1) für $x$ ein.
\[\begin{array}{rcll}
3x-6y&=&0 &| \textnormal{ $x$ ersetzen}\\
3 \cdot (10-3y)-6y&=&0 &| \textnormal{ Klammer auflösen}\\
30-9y-6y&=&0 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
30-15y&=&0 &|-30 \\
-15y&=&-30 &|:(-15) \\
y&=&2 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
x&=&10-3y &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
x&=&10-3 \cdot 2 \\
x&=&4 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(4|2)\}$}
\newpage

\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x-5y&=&4 \\
(2)& 5x+y&=&10 \\
\end{array}\]
Hier ist es sicher sinnvoll, Gleichung (2) nach $y$ aufzulösen.
\[\begin{array}{rrcll}
& 5x+y&=&10 &|-5x \\
(3)& y&=&10-5x \\
\end{array}\]
Einsetzen in Gleichung (1):
\[\begin{array}{rcll}
2x-5y&=&4 &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
2x-5 \cdot (10-5x)&=&4 &| \textnormal{ Klammer auflösen}\\
2x-50+25x&=&4 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
27x-50&=&4 &|+50 \\
27x&=&54 &|:27 \\
x&=&2 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
y&=&10-5x &| \textnormal{ $x$ ersetzen}\\
y&=&10-5 \cdot 2 \\
y&=&0 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|0)\}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& 3x+5y&=&11 \\
(2)& 2x-2y&=&2 \\
\end{array}\]
Hier bietet sich auf den ersten Blick keine der beiden Gleichungen zum Auflösen
nach einer bestimmten Variablen an. Schaut man sich aber Gleichung (2)
genau an, dann sieht man, dass sich alle Zahlen durch 2 teilen lassen. Deshalb
wähle ich Gleichung (2) aus, um sie nach $x$ aufzulösen. (Ein Auflösen nach $y$
wäre aber genau so gut möglich.)
\[\begin{array}{lrcll}
& 2x-2y&=&2 &|+2y \\
& 2x&=&2+2y &|:2 \\
(3)& x&=&1+y \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis kann ich nun in Gleichung (1) einsetzen.
\[\begin{array}{rcll}
3x+5y&=&11 &| \textnormal{ $x$ ersetzen}\\
3 \cdot (1+y)+5y&=&11 &| \textnormal{ Klammer auflösen}\\
3+3y+5y&=&11 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
3+8y&=&11 &|-3 \\
8y&=&8 &|:8 \\
y&=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
x&=&1+y &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
x&=&1+1 \\
x&=&2 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|1)\}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& -3x+5y&=&8 \\
(2)& 2x+2y&=&0 \\
\end{array}\]
Ähnlich wie auch bei Aufgabe 4 existiert hier auch keine Variable ohne
Koeffizienten, jedoch ist auch hier in Gleichung (2) jeder Koeffizient durch 2
teilbar. Daher löse ich Gleichung (2) nach $y$ auf.
\[\begin{array}{lrcll}
& 2x+2y&=&0 &|-2x \\
& 2y&=&-2x &|:2 \\
(3)& y&=&-x \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis kann ich nun in Gleichung (1) einsetzen.
\[\begin{array}{rcll}
-3x+5y&=&8 &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
-3x+5 \cdot (-x)&=&8 &| \textnormal{ zusammenfassen}\\
-8x&=&8 &|:(-8) \\
x&=&-1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
y&=&-x &| \textnormal{ $y$ ersetzen}\\
y&=&-(-1) \\
y&=&1 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(-1|1)\}$}

%-----------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x+y+3z&=&0 \\
(2)& 3x-2y+2z&=&-2 \\
(3)& 5x+2y+5z&=&4 \\
\end{array}\]
In diesem Gleichungssystem gibt nur in einer Gleichung eine Variable, die mit
dem Koeffizienten 1 darin steht. In Gleichung (1) steht $y$ allein. Daher wird
diese Gleichung nach $y$ umgestellt.
\[\begin{array}{rrcll}
& 2x+y+3z&=&0 &|-2x-3z \\
(4)& y&=&-2x-3z \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis muss nun in Gleichung (2) und (3) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{lrcll}
(2)& 3x-2y+2z&=&-2 \\
(3)& 5x+2y+5z&=&4 \\
\hline
(2a)& 3x-2 \cdot (-2x-3z)+2z&=&-2 \\
(3a)& 5x+2 \cdot (-2x-3z)+5z&=&4 \\
\hline
(2a)& 3x+4x+6z+2z&=&-2 \\
(3a)& 5x-4x-6z+5z&=&4 \\
\hline
(2a)& 7x+8z&=&-2 \\
(3a)& x-z&=&4 \\
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt bietet sich Gleichung (3a) zum Umstellen nach
$x$ oder $y$ an. Ich stelle sie nach $x$ um.
\[\begin{array}{lrcll}
&x-z&=&4 &|+z \\
(5)& x&=&z+4 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (2a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
7x+8z&=&-2 &| \textnormal{ $x$ ersetzen}\\
7 \cdot (z+4)+8z&=&-2 \\
7z+28+8z&=&-2 &|-28 \\
15z&=&-30 &|:15 \\
z&=&-2
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
x&=&z+4 &| \textnormal{ $z$ ersetzen}\\
x&=&-2+4 \\
x&=&2 \\
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
y&=&-2x-3z &| \textnormal{ $x$ und $z$ ersetzen}\\
y&=&-2 \cdot 2-3 \cdot (-2) \\
y&=&-4+6 \\
y&=&2 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|2|-2)\}$}

%-----------------------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 8x+9y-2z&=&17\\
(2)& 2x+6y+z&=&11\\
(3)& -2x+2y+3z&=&9\\
\end{array}\]
In diesem Gleichungssystem gibt nur in einer Gleichung eine Variable, die mit
dem Koeffizienten 1 darin steht. In Gleichung (2) steht $z$ allein. Daher wird
diese Gleichung nach $z$ umgestellt.
\[\begin{array}{rrcll}
(2)& 2x+6y+z&=&11 &|-2x-6y \\
(4)& z&=&11-2x-6y \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis muss nun in Gleichung (1) und (3) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& 8x+9y-2z&=&17 \\
(3)& -2x+2y+3z&=&9 \\
\hline
(1a)& 8x+9y-2 \cdot (11-2x-6y)&=&17 \\
(3a)& -2x+2y+3 \cdot (11-2x-6y)&=&9 \\
\hline
(1a)& 8x+9y-22+4x+12y&=&17 &|+22 \\
(3a)& -2x+2y+33-6x-18y&=&9 &|-33 \\
\hline
(1a)& 12x+21y&=&39 \\
(3a)& -8x-16y&=&-24 \\
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt bietet sich zunächst keine Gleichung zum
Umstellen nach einer Variablen an. Gleichung (3a) scheint aber relativ einfach
nach $x$ umzustellen zu sein.
\[\begin{array}{rrcll}
(3a)& -8x-16y&=&-24 &|+16y \\
& -8x&=&-24+16y &|:(-8) \\
(5)&   x&=&3-2y \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis wird in Gleichung (1a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& 12x+21y&=&39 \\
& 12 \cdot (3-2y)+21y&=&39 \\
& 36-24y+21y&=&39 &|-36 \\
& -3y&=&3 &|:(-3) \\
&   y&=&-1 \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis wird in Gleichung (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(5)&   x&=&3-2y \\
&   x&=&3-2 \cdot (-1) \\
& x&=&5 \\
\end{array}\]
Die Ergebnisse für $x$ und $y$ werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
z&=&11-2x-6y \\
z&=&11-2 \cdot 5-6 \cdot (-1) \\
z&=&11-10+6 \\
z&=&7 \\
\end{array}\]
\enlargethispage{10mm}
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(5|-1|7)\}$}

%---------------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x+5y-3z&=&15\\
(2)& 3x-5y+4z&=&10\\
(3)& x+3y&=&8\\
\end{array}\]
In diesem Gleichungssystem gibt nur in einer Gleichung eine Variable, die mit
dem Koeffizienten 1 darin steht. In Gleichung (3) steht $x$ allein. Zudem
enthält diese Gleichung nur zwei Variablen, was günstig ist. Daher wird
diese Gleichung nach $x$ umgestellt.
\[\begin{array}{rrcll}
(3)& x+3y&=&8 &|-3y \\
(4)& x&=&8-3y \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis muss nun in Gleichung (1) und (2) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& 2x+5y-3z&=&15 \\
(2)& 3x-5y+4z&=&10 \\
\hline
(1a)& 2 \cdot (8-3y)+5y-3z&=&15 \\
(a2)& 3 \cdot (8-3y)-5y+4z&=&10 \\
\hline
(1a)& 16-6y+5y-3z&=&15 &|-16 \\
(2a)& 24-9y-5y+4z&=&10 &|-24 \\
\hline
(1a)& -y-3z&=&-1 \\
(2a)& -14y+4z&=&-14 \\
\hline
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt bietet sich Gleichung (1a) zum Umstellen nach
$y$ an.
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& -y-3z&=&-1 &|+3z \\
&-y&=&-1+3z &| \cdot (-1) \\
(5)& y&=&1-3z \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird eingesetzt in Gleichung (2a).
\[\begin{array}{rrcll}
(2a)& -14y+4z&=&-14 \\
& -14 \cdot (1-3z)+4z&=&-14 \\
&-14+42z+4z&=&-14 &|+14 \\
&46z&=&0 &|:46 \\
& z&=&0 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird eingesetzt in Gleichung (5).
\[\begin{array}{rcll}
y&=&1-3z \\
y&=&1-0 \\
y&=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird eingesetzt in Gleichung (4).
\[\begin{array}{rcll}
x&=&8-3y \\
x&=&8-3 \cdot 1 \\
x&=&5 \\
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(5|1|0)\}$}

%-----------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-2y+2z&=&10\\
(2)& 4x+2y-3z&=&1\\
(3)& 2x-3y+2z&=&7\\
\end{array}\]
Hier bietet sich keine Gleichung zum Auflösen besonders an. Ich wähle
willkürlich Gleichung (2) aus und löse sie nach $y$ auf, denn durch 2 (den
Koeffizienten von $y$) kann man gut dividieren.
\[\begin{array}{rrcll}
(2)& 4x+2y-3z&=&1 &|-4x+3z \\
&2y&=&1-4x+3z &|:2 \\
(4)& y&=&\frac{1}{2}-2x+\frac{3}{2}z \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1) und (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 3x-2y+2z&=&10 \\
(3)& 2x-3y+2z&=&7 \\
\hline
(1a)& 3x-2 \cdot \left(\frac{1}{2}-2x+\frac{3}{2}z\right)+2z&=&10 \\
(3a)& 2x-3 \cdot \left(\frac{1}{2}-2x+\frac{3}{2}z\right)+2z&=&7\\
\hline
(1a)& 3x-1+4x-3z+2z&=&10 &|+1 \\
(3a)& 2x-\frac{3}{2}+6x-\frac{9}{2}z+2z&=&7 &|+\frac{3}{2} \\
\hline
(1a)& 7x-z&=&11 \\
(3a)& 8x-\frac{5}{2}z&=&\frac{17}{2}\\
\hline
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt bietet sich Gleichung (1a) zum Umstellen nach
$z$ an.
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& 7x-z&=&11 &|-7x \\
&-z&=&11-7x &| \cdot (-1) \\
(5)& z&=&-11+7x \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (2a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(3a)& 8x-\frac{5}{2}z&=&\frac{17}{2}\\
& 8x-\frac{5}{2} \cdot (-11+7x)&=&\frac{17}{2}\\
& 8x+\frac{55}{2}-\frac{35}{2}x&=&\frac{17}{2}&|-\frac{55}{2}\\
& -\frac{19}{2}x&=&-\frac{38}{2}&| \cdot \left(-\frac{2}{19}\right) \\
& x&=&2 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
z&=&-11+7x \\
z&=&-11+7 \cdot 2 \\
z&=&3 \\
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
y&=&\frac{1}{2}-2x+\frac{3}{2}z \\
y&=&\frac{1}{2}-2 \cdot 2+\frac{3}{2} \cdot 3 \\
y&=&1
\end{array}\]    \enlargethispage{15mm}
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|1|3)\}$}

%-----------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 4x+3y-3z&=&2\\
(2)& 6x+y-6z&=&0\\
(3)& 3x-2y+2z&=&10 \\
\end{array}\]
Gleichung (2) wird nach $y$ umgestellt.
\[\begin{array}{rrcll}
(2)& 6x+y-6z&=&0 &|-6x+6z \\
(4)& y&=&-6x+6z
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1) und (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 4x+3y-3z&=&2\\
(3)& 3x-2y+2z&=&10\\
\hline
(1a)& 4x+3 \cdot (-6x+6z)-3z&=&2\\
(3a)& 3x-2 \cdot (-6x+6z)+2z&=&10\\
\hline
(1a)& 4x-18x+18z-3z&=&2 \\
(3a)& 3x+12x-12z+2z&=&10 \\
\hline
(1a)& -14x+15z&=&2 \\
(3a)& 15x-10z&=&10 \\
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt löse ich Gleichung (3a) nach $z$ auf.
\[\begin{array}{rrcll}
(3a)& 15x-10z&=&10 &|-15x \\
& -10z&=&10-15x &|:(-10) \\
(5)& z&=&-1+1,5x
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& -14x+15z&=&2 \\
& -14x+15 \cdot (-1+1,5x)&=&2 \\
& -14x-15+22,5x&=&2 &|+15 \\
& 8,5x&=&17 &|:8,5 \\
& x&=&2
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
z&=&-1+1,5x \\
z&=&-1+1,5 \cdot 2 \\
z&=&2
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
y&=&-6x+6z \\
y&=&-6 \cdot 2+6 \cdot 2 \\
y&=&0
\end{array}\]
Lösungsmenge: \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|0|2)\}$}

\section{Nachtrag}
Weitere Übungsaufgaben, die mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden
können, sind zusammen mit kompletten Musterlösungen hier zu finden:
\begin{center} \ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf} \fi \end{center}

\end{document}
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%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
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