% Compilieren mit dem Befehl: ps4pdf einheit.tex
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\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
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\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\widowpenalty=10000
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Umrechnen von Einheiten}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einheiten}
Wenn ich eine Größe beschreiben soll, die nicht unbedingt vor Ort vorhanden
ist, geht es nicht ohne Zahlenwerte mit \textbf{Einheiten}. Ein Beispiel:
Ich möchte ein Regal kaufen, dass in die Lücke zwischen zwei Schränken in
meiner Wohnung passt. Die "`Schranklücke"' kann ich nicht zum Vergleichen mit
ins Geschäft nehmen. Es genügt auch kein Zahlenwert, beispielsweise "`80"', um
die Lücke zu beschreiben, denn es ist schon ein Unterschied, ob ich 80
Zentimeter oder 80 Zoll meine. Zu einer aussagekräftigen Beschreibung einer
Größe gehört also immer zweierlei:
\begin{itemize}
\item ein Zahlenwert und
\item eine Einheit.
\end{itemize}

\subsection{Geschichte der Einheiten}
Wenn beispielsweise im Mittelalter ein Tuchhändler Stoffballen verkaufen oder
einkaufen wollte, dann musste die Länge des Tuches auf dem Stoffbahn gemessen
werden. Üblich war damals die "`Elle"' als Längeneinheit. Darunter verstand man
die Länge von der Ellenbogenspitze bis zur Spitze des Mittelfingers bei
ausgestrecktem Unterarm. Um eine Länge von 5 Ellen abzumessen brauchte man nur
5 mal hintereinander den Arm auf den abgerollten Stoff zu legen und danach
abzuschneiden. Da ein Unterarm immer verfügbar war, war das Maß der Elle damals
durchaus zweckmäßig.\\

Aber schon damals gab es durchaus Probleme mit diesem Maß. Wenn der Schneider,
der den Stoff einkaufen wollte, einen längeren Unterarm als der Händler hatte,
dann war es schon wichtig, mit wessen Unterarm die Stofflänge bestimmt werden
sollte. Deswegen hat man schon früh in jedem Dorf eine "`Norm-Elle"'
festgelegt, indem man an einem durchschnittlichen Mann dieses Maß bestimmt hat
und auf einen Holzstab übertragen hat. Das war der Vorläufer unseres Lineals.
Es blieb aber immer noch das Problem, dass die Elle von Ort zu Ort leicht
unterschiedlich war, je nachdem, ob dort eher große oder kleine Menschen
lebten.\\

Für kürzere Längen hatte man ein "`Fuß"' (die Länge eines Fußes) und ein
"`Zoll"' (eine Daumenbreite) als Einheit festgelegt. Auch hier ergab sich
natürlich wieder die Problematik, dass nicht alle Füße und alle Daumen die
gleichen Abmessungen hatten. Beispielsweise war der Hessische Fuß
$\unit[25]{cm}$, der Bayrische Fuß $\unit[29]{cm}$ und der Badische Fuß sogar
$\unit[30]{cm}$ lang. Dazu kam noch, dass das Umrechnen von einer in
eine andere Längeneinheit immer umständlich war. Ein Fuß ist ungefähr 12 Zoll,
eine Elle ungefähr 18 Zoll. Darüber hinaus hatte man für größere Längen noch
die "`Meile"'. Dabei ist eine Seemeile etwas mehr als eine Landmeile. Kurzum:
Man hatte einen ziemlich unüberschaubaren Wust an Einheiten, die zudem nicht
ganz zusammenpassten. Das galt nicht nur für Längeneinheiten, sondern auch für
Flächen (z.B. Morgen -- die Fläche, die ein Bauer an einem Morgen pflügen
kann), Volumen (z.B. Scheffel, Eimer oder Schoppen) und Massen\footnote{Vom
technischen Laien wird die Masse auch als "`Gewicht"' bezeichnet.} (z.B.
Zentner\footnote{Ein Bayrischer Zentner waren $\unit[56]{kg}$, ein Hanoveraner
$\unit[54{,}8]{kg}$ und ein Sächsischer $\unit[51{,}4]{kg}$} oder Pfund).

\subsection{Die SI-Basiseinheiten}
Um in dieses chaotische System eine sinnvolle Ordnung zu bringen, haben sich um
die Zeit der Französischen Revolution herum die Wissenschaftler der damals
technisch führenden Länder der Welt zusammengesetzt und haben ein völlig
neuartiges Maßsystem erschaffen. Dabei waren diese beiden Zielvorgaben zu
erfüllen:
\begin{itemize}
\item Es soll möglichst wenige voneinander unabhängige Einheiten -- sogenannte
  \textbf{Basiseinheiten} -- für grundlegende Größen geben. Dort, wo es möglich
  ist, werden Einheiten eingeführt, die auf den Basisgrößen beruhen.
\item Für jede Größe gibt es nur eine einzige Einheit. Zur besseren Handhabung
  von sehr großen oder sehr kleinen Größen werden vor die Grundeinheiten
  sogenannte "`Vorsatzeingeiten"' gesetzt.
\end{itemize}

Am Beispiel der Längeneiheit möchte ich das erläutern. Anstelle von Elle, Fuß,
Zoll oder Meile galt nur noch die Einheit "`Meter"'\footnote{Ein Meter wurde
damals als der 40\,000\,000-te Teil des Erdumfanges eingeführt. Wegen der
besseren Handhabung wurde damals ein "`Urmeter"' aus dem sehr beständigen
Werkstoff Platin-Aeridium erstellt und in Paris sicher verwahrt, um daran immer
wieder andere Längenmessgeräte eichen zu können. Heute verwendet man für die
Definition die Wellenlänge des Lichtes, das durch ein Cäsium-Atom bestimmt ist.
Diese Definition ist einerseits genauer (Das Urmeter ist Umwelteinflüssen
ausgesetzt.) und andererseits beständiger (Das Urmeter könnte beschädigt
oder gar gestohlen werden).} als Längeneinheit. Für kleine Längen verwendet man z.B. Dezimeter,
Zentimeter, Millimeter oder Mikrometer als Einheit. Dabei stellen "`Dezi"',
"`Zenti"', "`Milli"' oder "`Mikro"' eine \textbf{Vorsatzeinheit} dar, die mit
der \textbf{Grund\-ein\-heit} Meter verknüpft wird. Dabei stellen \textbf{alle}
Vorsatzeinheiten eine sogenannte \textbf{Zehnerpotenz} dar, sind also Zahlen,
die sich als $10^n$ darstellen lassen (wobei $n$ eine ganze Zahl ist), also
z.B. 0,1 0,01 0,001 10 100 1000 oder ähnlich. Der Vorteil davon besteht darin,
dass bei allen Umrechnungen wie Zentimeter in Millimeter oder Kilometer nur
eine Kommaverschiebung vorgenommen werden muss. Die Ziffernfolge bleibt immer
erhalten.\\

Auch für große Längen gibt es die Verknüfung einer Vorsatzeinheit mit der
Grundeinheit. Bei Längeneinheiten ist jedoch nur "`Kilometer"' gebräuchlich.
Außer "`Kilo"' gibt es in anderen Zusammenhängen auch Vorsatzeinheiten wie
"`Deka"', "`Hekto"', "`Mega"' oder "`Giga"'. Mehr dazu folgt später in einem
eigenen Kapitel.\\

Wenn die Länge eine Maßeinheit hat, dann braucht eine Fläche oder ein
Rauminhalt keine andersartige, denn eine Fläche ist das Produkt aus zwei
Längen, der Rauminhalt das Produkt aus drei Längen. Deswegen hat man
Quadratmeter $(m^2)$ für die Fläche und Kubikmeter $(m^3)$ für Rauminhalte
eingeführt. Nach dem gleichen Prinzip kann man \textbf{alle Einheiten} auf nur
sieben sogenannte \textbf{SI-Basiseinheiten}\footnote{\textbf{SI} steht für den
französischen Begriff "`\textbf{S}ystème \textbf{I}nternational d'unitès"',
also internationales Einheitensystem. Es wird in fast allen Ländern der Welt
verwendet, lediglich einige Länder aus dem angloamerikanischen Raum haben sich
dem System (noch) nicht angeschlossen. Wenn man weiß, dass einmal eine
Marssonde der NASA am Mars vorbeigeflogen ist, weil sich jemand beim Umrechnen
der Einheiten vertan hat, dann kann man sich vorstellen, dass ein weltweit
überall anerkanntes System sinnvoll wäre.} zurückführen.\\

Ohne auf deren Bedeutung an dieser Stelle weiter eingehen zu wollen möchte ich
diese sieben Einheiten hier angeben:
\begin{enumerate}
\item Einheit der Länge: \textbf{Meter}, Formelzeichen: m
\item Einheit der Masse: \textbf{Kilogramm}, Formelzeichen: kg
\item Einheit der Zeit: \textbf{Sekunde}, Formelzeichen: s
\item Einheit der Stromstärke: \textbf{Ampere}, Formelzeichen: A
\item Einheit der Temperatur: \textbf{Kelvin}, Formelzeichen: K
\item Einheit der Stoffmenge: \textbf{Mol}, Einheitenzeichen: mol
\item Einheit der Lichtstärke: \textbf{Candela}, Einheitenzeichen: cd
\end{enumerate}
Alle anderen Einheiten, die es sonst noch gibt, lassen sich auf diese sieben
Grundeinheiten zurückführen. So ist beispielsweise die Einheit der Kraft 1
Newton mit \mbox{$\unit[1]{N}=\unit[1]{\frac{m\,kg}{s^2}}$}. Das Newton setzt
sich also aus dem Meter, dem Kilogramm und der Sekunde zusammen. Ähnlich ist es
mit allen anderen zusammengesetzten Einheiten. Recht praktisch!\\

Wegen der Namen der ersten vier Einheiten wird dieses Einheitensystem manchmal
auch \textbf{MKSA}-System genannt.\\

Meiner unmaßgeblichen Meinung nach hat man beim Aufstellen dieser
Basiseinheiten jedoch einen kleinen Fauxpas begangen. In der Einheit der Masse
\textbf{Kilogramm} steckt das "`Kilo"' schon drin, obwohl das eigentlich eine
Vorsatzeinheit ist. Logisch wäre demnach das \textbf{Gramm} als Grundeinheit
der Masse. Aber es ist halt so definiert, das müssen wir deshalb als gegeben
hinnehmen.\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{Einheit_Fehler.jpg}
\end{wrapfigure}
Wo gearbeitet wird, werden natürlich auch hin und wieder Fehler gemacht. Dazu
gibt es viele Beispiele.
Nicht nur die NASA hat -- wie bereits erwähnt -- viele Millionen \$ Lehrgeld
zahlen müssen, weil eine Marssonde wegen eines Fehlers beim Umrechnen von
Einheiten weit am Mars vorbeigeflogen ist, anstatt dort zu landen. Auch in der
Presse passieren immer mal Fehler. (Hier sind sie nur nicht so teuer\ldots)
Und nicht immer kann man sie aus dem Text erkennen, auch wenn man aufmerksam
liest und nachrechnet. Manchmal aber doch.\\

Nebenstehenden Kurzartikel fand ich am 21. September 2019 in den Lüdenscheider
Nachrichten. Finden Sie den Fehler? Die Lösung steht hier in der
Fußnote.\footnote{Hier wurden offenbar 0,25 Cent in
\EUR{0,25} umgerechnet. Dadurch kam es zu der propagierten Ersparnis von
\EUR{1\,000}. In Wirklichkeit beträgt die Ersparnis nur \EUR{10,00}.}\\

Der Vollständigkeit halber möchte ich erwähnen, dass die Lüdenscheider
Nachrichten in der nächsten Ausgabe eine Korrektur veröffentlicht haben.

\newpage
\section{Prinzip der Vorsatzeinheiten}
In der Technik hat es sich als zweckmäßig herausgestellt, nicht immer in
\textbf{Grundeinheiten} zu rechnen, sondern diese mit
\textbf{Vorsatzeinheiten} zu koppeln. Beispielsweise verwendet man bei der
Angabe der Entfernung zwischen zwei Städten nicht die Einheit \emph{Meter},
sondern \emph{Kilometer}. Die Angabe: \mbox{$\unit[25\,000]{m}$} anstelle von
\mbox{$\unit[25]{km}$} für die Entfernung zwischen Lüdenscheid und Plettenberg
wäre sehr unhandlich. Den Durchmesser einer kleinen Schraube dagegen gibt
man in \emph{Millimetern} an, etwa \mbox{$\unit[6]{mm}$} anstatt
\mbox{$\unit[0{,}006]{m}$}.\\

"`Kilo"' und "`Milli"' sind typische Vertreter der Vorsatzeinheiten.
Vorsatzeinheiten bewirken, dass der angegebene Zahlenwert mit einem bestimmten
Faktor multipliziert wird, damit man die Größe in der Grundeinheit erhält.
So sind \mbox{$\unit[5]{kg}=\unit[5\,000]{g}$} und
\mbox{$\unit[5]{km}=\unit[5\,000]{m}$}. Andersherum sind
\mbox{$\unit[5]{mm}=\unit[0{,}005]{m}$} oder
\mbox{$\unit[5]{mg}=\unit[0{,}005]{g}$}.\\

Das schöne dabei ist, dass man mit diesem Prinzip auch dann sinnvoll umgehen
kann, wenn man garnicht weiß, was die Grundeinheit eigentlich bedeutet.
Man weiß, dass ein Milli-Coulomb (Einheitenzeichen mC) der
Tausendste Teil eines Coulomb (Einheitenzeichen C) sein muss,
auch wenn man nicht weiß, dass die elektrische Ladung in Coulomb gemessen wird.

\section{Vorsatzeinheitentabelle}
Auf der nächsten Seite ist eine Tabelle mit den gängigsten Vorsatzeinheiten
dargestellt.\footnote{In der Tabelle sind auch Zehnerpotenzen eingetragen. Was
das ist, ist \ifpdf \hyperlink{potenz}{\textcolor{blue}{hier}}\fi{} nachzulesen.}
Die Vorsatzeinheiten können mit jeder beliebigen Grundeinheit kombiniert
werden.\\

Ein Beispiel dazu:
Die Vorsatzeinheit \emph{Kilo} mit dem Zeichen \textbf{k} bedeutet 1\,000.
Entsprechend bedeutet:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{kg}&=&\unit[1\,000]{g}\\
\unit[1]{km}&=&\unit[1\,000]{m}\\
\unit[1]{kN}&=&\unit[1\,000]{N}\\
\unit[1]{k \Omega}&=&\unit[1\,000]{\Omega}\\
\unit[1]{kW}&=&\unit[1\,000]{W}\\
\unit[1]{kV}&=&\unit[1\,000]{V}\\
\unit[1]{kA}&=&\unit[1\,000]{A}\\
\end{array}\]

\underline{Anmerkung:} Im Prinzip ist es möglich, \textbf{jede} Vorsatzeinheit
mit \textbf{jeder} Grundeinheit zu kombinieren. Es gibt jedoch einige
Kombinationen, die \textbf{nicht üblich} sind. Beispielsweise gibt es keine
Kilosekunde und keine Megasekunde, weil für größere Einheiten normalerweise die
Minute, die Stunde usw. verwendet wird. Auch wird die Vorsatzeinheit
\emph{Zenti} mit dem Zeichen \textbf{c} eigentlich nur bei Zentimeter und
Zentiliter verwendet.

\newpage
\begin{center}
\emph{\underline{Tabelle der Vorsatzeinheiten:}} \\
\vspace{3mm}
\begin{tabular}{|c|c|r|l|}
\hline
\begin{sideways}Name der Vorsatzeiheit \end{sideways} &
\begin{sideways}Vorsatzeiheit \end{sideways} &
\begin{sideways}Faktor \end{sideways} &
\begin{sideways}Zehnerpotenz \end{sideways}\\
\hline
Peta & P & 1\,000\,000\,000\,000\,000 & $10^{15}$ \\
Tera & T & 1\,000\,000\,000\,000 & $10^{12}$ \\
Giga & G & 1\,000\,000\,000 & $10^9$ \\
Mega & M & 1\,000\,000 & $10^6$ \\
Kilo & k & 1\,000 & $10^3$ \\
Hekto& h & 100    & $10^2$ \\
Deka & da & 10    & $10^1$ \\
-    & - & 1      & $10^0$ \\
Dezi & d & 0{,}1    & $10^{-1}$\\
Zenti & c & 0{,}01  & $10^{-2}$\\
Milli & m & 0{,}001 & $10^{-3}$\\
Mikro &$µ$& 0{,}000\,001 & $10^{-6}$\\
Nano  & n & 0{,}000\,000\,001 & $10^{-9}$\\
Pico  & p & 0{,}000\,000\,000\,001 & $10^{-12}$\\
Femto & f & 0{,}000\,000\,000\,000\,001 & $10^{-15}$\\
Atto  & a & 0{,}000\,000\,000\,000\,000\,001 & $10^{-18}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Umwandlung linearer Maße}
Unter \emph{linearen Maßen} versteht man Maße, die ohne Quadrate oder dritte
Potenz gebildet werden. \textbf{Meter} ist beispielsweise ein lineares Maß,
nicht aber Quadratmeter oder Kubikmeter.

\subsection{Umwandlung Grundeinheit in zusammengesetzte Einheit}
Grundsätzlich besteht kein Unterschied, um welche Einheiten es sich handelt, es
kommt nur auf die \textbf{Vorsatzeinheit} an. Wenn also \emph{Meter in
Kilometer} umgewandelt werden sollen, ist die Vorgehensweise exakt genauso, wie
wenn \emph{Gramm in Kilogramm}, \emph{Ohm in Kiloohm} oder \emph{Newton in
Kilonewton} umgewandelt werden soll. Jedes Mal wird die Grundeinheit in
Kilo-Grundeinheit umgewandelt. Als Grundeinheit möchte ich für das
Einführungsbeispiel \textbf{Meter} verwenden.\\

\emph{Wie rechnet man \textbf{Meter} in \textbf{Kilometer}, \textbf{Millimeter}
oder \textbf{Mikrometer} um?}
\subsubsection{Umrechnen in eine größere Einheit}

Bekannt ist:
\[\unit[1\,000]{m}=\unit[1]{km}\]
Rechne ich von \textbf{Meter} in \textbf{Kilometer} um, muss ich also durch
1\,000 dividieren. Hier ein paar Beispiele dazu:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[8\,345{,}7]{m}&=&\unit[8{,}345\,7]{km}\\
\unit[500\,000]{m}&=&\unit[500]{km}\\
\unit[375{,}5]{m}&=&\unit[0{,}375\,5]{km}\\
\unit[100]{m}&=&\unit[0{,}1]{km}\\
\end{array}\]
Schaut man sich diese Beispiele genauer an, dann erkennt man, dass die Division
durch 1\,000 am einfachsten durch eine Kommaverschiebung nach links realisiert
werden kann -- jedenfalls dann, wenn ein Komma vorhanden ist. Ist keins
vorhanden, dann steht es sozusagen "`unsichtbar"' \textbf{hinter} der letzten
Ziffer der Zahl und kann bei Bedarf provisorisch ergänzt werden. Im
Eingangsbeispiel sieht das dann so aus:
\[\unit[1\,000]{m}=\unit[1\,000\textcolor{red}{,}]{m}
  =\unit[1\textcolor{red}{{,}000}]{km}=\unit[1]{km}\]
Das Beispiel zeigt, dass Nullen, die nach der Umrechnung noch am Zahlenende
hinter dem Komma stehen, auch weggelassen werden können.\\

Ein weiteres Problem tritt auf, wenn weniger Stellen vorhanden sind als die, um
die das Komma verschoben werden soll. Auch dazu ein Beispiel.
\[\unit[25{,}5]{m}=\unit[?]{km}\]
In diesem Fall ergänzt man zunächst einige Nullen \textbf{vor} der ersten
Ziffer der Zahl. Es schadet dabei nichts, wenn man zunächst zu viele Nullen
ergänzt hat. Nach der Verschiebung des Komma streicht man dann die überzähligen
Nullen einfach wirder weg. Im Beispiel sieht das dann so aus:
\[\unit[25{,}5]{m}=\unit[\textcolor{red}{000}25{,}5]{m}
 =\unit[\textcolor{red}{0}0{,}0255]{km}=\unit[0{,}0255]{km}\]

\emph{Wie geht man bei anderen Vorsatzeinheiten vor?}\\

Das Grundprinzip ist das gleiche wie bei der Vorsatzeinheit \emph{Kilo}, jedoch
muss das Komma um eine andere Zahl als 3 verschoben werden. Man schaut einfach
in der Vorzeichentabelle nach dem Exponenten der zugehörigen Zehnerpotenz. (Für
die Beispiele verwende ich hier nicht das Meter als Grundeinheit, da Einheiten
wie \textbf{Megameter} oder \textbf{Gigameter} absolut unüblich sind.) Sehen
wir uns dazu ein paar Beispiele an.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[3\,500\,000]{Hz}&=&\unit[?]{MHz}\\ \\
\unit[3\,500\,000]{Hz}&=&\unit[3\,500\,000\textcolor{red}{,}]{Hz}\\
&=&\unit[3{,}5\textcolor{red}{00\,000}]{MHz}\\
&=&\unit[3{,}5]{MHz}\\
\end{array}\]
Hier lautet die Vorsatzeinheit \emph{Mega}, was laut Vorzeichentabelle $10^6$
bedeutet. Daher wurde hier das Komma um \textbf{6} Stellen nach links
verschoben.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[500]{l}&=&\unit[?]{hl}\\ \\
\unit[500]{l}&=&\unit[500\textcolor{red}{,}]{l}\\
&=&\unit[5\textcolor{red}{{,}00}]{hl}\\
&=&\unit[5]{hl}\\
\end{array}\]
Hier steht $h$ für \emph{hekto}, was \mbox{$100=10^2$} bedeutet. Das Komma
wanderte demnach um \textbf{2} Stellen nach links.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[36\,500]{W}&=&\unit[?]{GW}\\ \\
\unit[36\,500]{W}&=&\unit[36\,500\textcolor{red}{,}]{W}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,000\,0}36\,500\textcolor{red}{,}]{W}\\
&=&\unit[0{,}000\,036\,5\textcolor{red}{00}]{GW}\\
&=&\unit[0{,}000\,036\,5]{GW}\\
\end{array}\]
Ein Gigawatt ist eine sehr große Einheit, nämlich $10^9$ Watt. Das Komma musste
daher um \textbf{9} Stellen nach links verschoben werden.

\subsubsection{Umrechnen in eine kleinere Einheit}
Wandelt man eine Grundeinheit in eine kleinere Einheit um, dann ist die
Vorgehensweise genau so, wie beim Umwandeln in eine große Einheit. Hierbei wird
das Komma jedoch nicht nach links, sondern nach \textbf{rechts} geschoben. Es
folgen ein paar Beispiele.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[2{,}5]{m}&=&\unit[?]{cm}\\ \\
\unit[2{,}5]{m}&=&\unit[2{,}5\textcolor{red}{00}]{m}\\
&=&\unit[250\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
&=&\unit[250]{cm}\\
\end{array}\]
Das $c$ steht für \emph{Zenti}, laut Tabelle $10^{-2}$. Auch hier gibt der
Exponent -- also die \textbf{2} -- an, um wieviele Stellen das Komma verschoben
werden muss. Das Minuszeichen sagt uns, dass hier nicht nach links, sondern
nach \textbf{rechts} verschoben wird. Da in unserem Beispiel nicht ausreichend
viele Stellen hinter dem Komma vorhanden waren, haben wir zuvor ein paar Nullen
hinten angehängt. Nachdem die Verschiebung durchgeführt worden ist, können die
überzähligen Nullen am Ende sowie ein eventuelles abschließendes Komma wieder
weggelassen werden.\\

Es folgt das nächste Beispiel.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}5]{m}&=&\unit[?]{mm}\\ \\
\unit[0{,}5]{m}&=&\unit[0{,}5\textcolor{red}{00\,00}]{m}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}\,500\textcolor{red}{{,}00}]{mm}\\
&=&\unit[500]{mm}\\
\end{array}\]
Die Vorsatzeinheit $m$ für \emph{Milli} bedeutet $10^{-3}$. Das Komma muss also
um \textbf{3} Einheiten nach \textbf{rechts} verschoben werden. Da so viele
Stellen nicht vorhanden sind, wurden zunächst einige Nullen angehängt und
danach das Komma beim Umwandeln nach rechts verschoben. Wie viele Nullen man
anhängt, ist eigentlich gleichgültig, Hauptsache, es sind ausreichend viele.
Zum Schluss können überzählige Nullen sowie das nun überflüssige Komma genau
so, wie auch die führenden Nullen vorn wieder entfernt werden.\\

Hier kommen noch zwei weitere Beispiele.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}000\,357\,9]{m}&=&\unit[?]{µm}\\ \\
\unit[0{,}000\,357\,9]{m}&=&\unit[\textcolor{red}{0\,000}\,357{,}9]{µm}\\
&=&\unit[357{,}9]{µm}\\
\end{array}\]
Das $µ$ steht für \emph{Mikro}, also $10^{-6}$. Das Komma muss \textbf{6}
Stellen nach rechts.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}025]{s}&=&\unit[?]{ns}\\ \\
\unit[0{,}025]{s}&=&\unit[0{,}025\textcolor{red}{\,000\,000}]{s}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}25\,000\,000\textcolor{red}{,}]{ns}\\
&=&\unit[25\,000\,000]{ns}\\
\end{array}\]
Eine Nanosekunde sind $10^{-9}$ Sekunden. Das Komma muss demnach um \textbf{9}
Stellen nach rechts.

\subsection{Umwandlung zusammengesetzte Einheit in Grundeinheit}
Das Umwandeln einer beliebigen Größe mit Vorsatzeinheit in die Grundeinheit ist
nicht schwieriger, als das eben Gezeigte. Einziger Unterschied: Das Komma
wandert in die andere Richtung. Ein paar Beispiele sollen zur Verdeutlichung
genügen.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[135]{mm}&=&\unit[?]{m}\\ \\
\unit[135]{mm}&=&\unit[\textcolor{red}{000}\,135\textcolor{red}{,}]{mm}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{00}0{,}135]{m}\\
&=&\unit[0{,}135]{m}\\
\end{array}\]
Das $m$ für \emph{Milli} steht für $10^{-3}$. Das Komma muss also um \textbf{3}
Stellen wandern, und zwar nach \textbf{links}. Dazu setzen wir es zunächst
hinter die Zahl, weil ja noch kein Komma da ist. Außerdem schreiben wir
vorsorglich noch ein paar Nullen \textbf{vor} die Zahl. Danach kann das Komma
um drei Stellen nach links rücken. Anschließend können die überzähligen Nullen
vor der Zahl wieder entfernt werden.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[2{,}4]{km}&=&\unit[?]{m}\\ \\
\unit[2{,}4]{km}&=&\unit[2{,}4\textcolor{red}{00\,0}]{km}\\
&=&\unit[2\,400\textcolor{red}{{,}0}]{m}\\
&=&\unit[2\,400]{m}\\
\end{array}\]
Zunächst kommen ein paar "`Reservenullen"' hintendran, dann wird das Komma
um \textbf{3} Stellen nach \textbf{rechts} verschoben (wegen $k$ für $10^3$)
und zum Schluss wird alles Überflüssige am Ende wieder entfernt.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[30\,000]{µs}&=&\unit[?]{s}\\ \\
\unit[30\,000]{µs}
&=&\unit[\textcolor{red}{00\,0}30\,000\textcolor{red}{,}]{µs}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}0{,}03\textcolor{red}{0\,000}]{s}\\
&=&\unit[0{,}03]{s}\\
\end{array}\]
Auch hier kommen ein paar "`Reservenullen"' dazu (lieber eine zu viel als eine
zu wenig), hier jedoch an den Anfang, denn das (virtuelle) Komma wird von ganz
hinten um \textbf{6} Stellen nach \textbf{links} verschoben (wegen $µ$ für
$10^{-6}$). Überzählige Nullen vorn und hinten werden am Schluss wieder
entfernt.

\subsection{Beliebige Umwandlungen}
Nachdem bisher immer eine Grundeinheit dabei war möchte ich jetzt darstellen,
wie man auch von einer Vorsatzeinheit in eine ander Vorsatzeinheit umwandeln
kann. Dazu geht man sinnvollerweise in zwei Schritten vor:
\begin{enumerate}
\item Man bildet die \textbf{Differenz der beteiligten Exponenten}. Das ergibt
  (als Betrag) die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben werden muss.
\item Die Verschieberichtung bestimmt man über den Merksatz:
\begin{quote}
  \textbf{Wird die Einheit größer, dann muss die Zahl kleiner werden.}
\end{quote}
\end{enumerate}
\paragraph{Beispiel 1:}
\[\unit[25]{mm}=\unit[?]{cm}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{mm}&=&\unit[10^{-3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-3 \\
\unit[1]{cm}&=&\unit[10^{-2}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-2 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } -3-(-2)=-1\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{eine} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{cm}$ ist \textbf{mehr} als $\unit[1]{mm}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{kleiner} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{links} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[25]{mm}&=&\unit[25\textcolor{red}{,}]{mm}\\
&=&\unit[2{,}5]{cm}\\
\end{array}\]

Durch das Beispiel sollte die Vorgehensweise deutlich geworden sein.

\paragraph{Beispiel 2:}
\[ \unit[25\,000]{cm}=\unit[?]{km}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{cm}&=&\unit[10^{-2}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-2 \\
\unit[1]{km}&=&\unit[10^{3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 3-(-2)=5\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{5} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{km}$ ist \textbf{mehr} als $\unit[1]{cm}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{kleiner} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{links} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[25\,000]{cm}&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}25\,000\textcolor{red}{,}]{cm}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}0{,}25\textcolor{red}{0\,00}]{km}\\
&=&\unit[0{,}25]{km}\\
\end{array}\]

\paragraph{Beispiel 3:}
\[ \unit[0{,}054]{kV}=\unit[?]{mV}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{kV}&=&\unit[10^{3}]{V}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\unit[1]{mV}&=&\unit[10^{-3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 3-(-3)=6\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{6} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{mV}$ ist \textbf{weniger} als $\unit[1]{kV}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{größer} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{rechts} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}054]{kV}&=&\unit[0{,}054\textcolor{red}{\,000}]{kV}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}54\textcolor{red}{\,000,}]{mV}\\
&=&\unit[54\,000]{mV}\\
\end{array}\]

\paragraph{Beispiel 4:}
\[ \unit[14{,}2]{MHz}=\unit[?]{kHz}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{MHz}&=&\unit[10^{6}]{Hz}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }6 \\
\unit[1]{kHz}&=&\unit[10^{3}]{Hz}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 6-3=3\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{3} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{kHz}$ ist \textbf{weniger} als $\unit[1]{MHz}$. Darum muss die Zahl
zum Ausgleich \textbf{größer} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{rechts} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[14{,}2]{MHz}&=&\unit[14{,}2\textcolor{red}{00\,0}]{MHz}\\
&=&\unit[14\,200\textcolor{red}{{,}0}]{kHz}\\
&=&\unit[14\,200]{kHz}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
Wandeln Sie die Größen in die vorgegebenen Einheiten um! Die Lösungen finden
Sie auf den nächsten Seiten. \enlargethispage{15mm}

\[\begin{array}{p{10mm}rcp{28mm}l}
(1) & \unit[5{,}5]{cm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(2) & \unit[3{,}25]{mm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(3) & \unit[8\,450]{µm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(4) & \unit[345{,}5]{km}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(5) & \unit[50]{ml}&=&&\textnormal{l}\\ \\
(6) & \unit[50]{hl}&=&&\textnormal{l}\\ \\
(7) & \unit[0{,}03]{MW}&=&&\textnormal{W}\\ \\
(8) & \unit[11]{GHz}&=&&\textnormal{Hz}\\ \\
(9) & \unit[270]{pF}&=&&\textnormal{F}\\ \\
(10)& \unit[4]{m}&=&&\textnormal{dm}\\ \\
(11)& \unit[60]{g}&=&&\textnormal{mg}\\ \\
(12)& \unit[0{,}034\,45]{s}&=&&µ\textnormal{s}\\ \\
(13)& \unit[120]{m}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
(14)& \unit[45]{cm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(15)& \unit[7{,}2]{cm}&=&&µ\textnormal{m}\\ \\
(16)& \unit[380]{mm}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(17)& \unit[77]{µm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(18)& \unit[0{,}08]{km}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
(19)& \unit[240]{mg}&=&&\textnormal{kg}\\ \\
(20)& \unit[0{,}95]{GW}&=&&\textnormal{kW}\\ \\
\end{array}\]

\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[5{,}5]{cm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{00}5{,}5]{cm}\\
  &&=& \unit[0{,}055]{m}\\ \\
(2) & \unit[3{,}25]{mm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,00}3{,}25]{mm}\\
  &&=& \unit[0{,}003\,25]{m}\\ \\
(3) & \unit[8\,450]{µm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,00}8\,450 \textcolor{red}{,}]{µm}\\
  &&=& \unit[0{,}008\,45\textcolor{red}{0}]{m}\\
  &&=& \unit[0{,}008\,45]{m}\\ \\
(4) & \unit[345{,}5]{km}
  &=& \unit[345{,}5\textcolor{red}{00\,0}]{km}\\
  &&=& \unit[345\,500\textcolor{red}{{,}0}]{m}\\
  &&=& \unit[345\,500]{m}\\ \\
(5) & \unit[50]{ml}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}50 \textcolor{red}{,}]{ml}\\
  &&=& \unit[0{,}05\textcolor{red}{0}]{l}\\
  &&=& \unit[0{,}05]{l}\\ \\
(6) & \unit[50]{hl}
  &=& \unit[50 \textcolor{red}{{,}000}]{hl}\\
  &&=& \unit[5\,000\textcolor{red}{{,}0}]{l}\\
  &&=& \unit[5\,000]{l}\\ \\
(7) & \unit[0{,}03]{MW}
  &=& \unit[0{,}03\textcolor{red}{0\,000}]{MW}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}30\,000\textcolor{red}{,}]{W}\\
  &&=& \unit[30\,000]{W}\\ \\
(8) & \unit[11]{GHz}
  &=& \unit[11\textcolor{red}{{,}000\,000\,000}]{GHz}\\
  &&=& \unit[11\,000\,000\,000\textcolor{red}{,}]{Hz}\\
  &&=& \unit[11\,000\,000\,000]{Hz}\\ \\
(9) & \unit[270]{pF}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,000\,000\,}270 \textcolor{red}{{,}}]{pF}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,000\,000\,27\textcolor{red}{0}]{F}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,000\,000\,27]{F}\\ \\
(10)& \unit[4]{m}
  &=& \unit[4\textcolor{red}{{,}00}]{m}\\
  &&=& \unit[40\textcolor{red}{{,}0}]{dm}\\
  &&=& \unit[40]{dm}\\ \\
(11)& \unit[60]{g}
  &=& \unit[60\textcolor{red}{{,}000}]{g}\\
  &&=& \unit[60\,000\textcolor{red}{{,}}]{mg}\\
  &&=& \unit[60\,000]{mg}\\ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(12)& \unit[0{,}034\,45]{s}
  &=& \unit[0{,}034\,45\textcolor{red}{0\,0}]{s}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}34\,450\textcolor{red}{{,}0}]{µs}\\
  &&=& \unit[34\,450]{µs}\\ \\
(13)& \unit[120]{m}
  &=& \unit[120\textcolor{red}{{,}000}]{m}\\
  &&=& \unit[12\,000\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
  &&=& \unit[12\,000]{cm}\\ \\
(14)& \unit[45]{cm}
  &=& \unit[45\textcolor{red}{{,}00}]{cm}\\
  &&=& \unit[450\textcolor{red}{{,}0}]{mm}\\
  &&=& \unit[450]{mm}\\ \\
(15)& \unit[7{,}2]{cm}
  &=& \unit[7{,}2\textcolor{red}{00\,00}]{cm}\\
  &&=& \unit[72\,000\textcolor{red}{{,}0}]{µm}\\
  &&=& \unit[72\,000]{µm}\\ \\
(16)& \unit[380]{mm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,}380\textcolor{red}{,}]{mm}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,38\textcolor{red}{0}]{km}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,38]{km}\\ \\
(17)& \unit[77]{µm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}77 \textcolor{red}{,}]{µm}\\
  &&=& \unit[0{,}077]{mm}\\ \\
(18)& \unit[0{,}08]{km}
  &=& \unit[0{,}08\textcolor{red}{0\,000}]{km}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{00}8\,000\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
  &&=& \unit[8\,000]{cm}\\ \\
(19)& \unit[240]{mg}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,}240 \textcolor{red}{{,}}]{mg}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,24\textcolor{red}{0}]{kg}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,24]{kg}\\ \\
(20)& \unit[0{,}95]{GW}
  &=& \unit[0{,}95\textcolor{red}{0\,000}]{GW}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,}950\,000\textcolor{red}{,}]{kW}\\
  &&=& \unit[950\,000]{kW}\\ \\
\end{array}\]

\newpage
\section{Sonderfall: Zeiten}
Die Grundeinheit der Zeit ist die \textbf{Sekunde}, Einheitenzeichen:
\textbf{s}. Für kleine und sehr kleine Zeiten läuft alles so, wie wir es bisher
gelernt haben. Der Tausendste Teil einer Sekunde ist eine Millisekunde
($\unit[1]{ms}$). Das ist die Zeit, in der sich beispielsweise eine Gewehrkugel
ungefähr einen Meter weit fortbewegt. Geht es um die Lichtgeschwindigleit, dann
sind noch kleinere Einheiten sinnvoll. Um einen Meter weit zu kommen benötigt
das Licht etwa $\unit[0{,}0033]{µs}=\unit[3{,}3]{ns}$. Mit diesen Einheiten
wird sinnvoll gerechnet. In dieser Form haben wir es kennen gelernt.\\

Anders wird es, wenn wir lange Zeiten benötigen. Man kann dann natürlich Zeiten
in Kilosekunden oder gar Megasekunden angeben, aber das ist völlig unüblich.
Die Gründe sind nicht nur historische, sondern auch ganz praktische.\\

Als man vor mehreren Tausend Jahren (auch eine Zeitangabe!) begann,
Zeiteinheiten festzulegen, hat man sich an der Natur orientiert. Die
Grundeinheit war der Tag. Damals waren Dezimalzahlen noch nicht erfunden
worden. Deswegen hat man die Zeiteinheit "`Tag"' in kleinere Einheiten zerlegt,
die man "`Stunde"' genannt hatte. Hätte es damals schon Dezimalzahlen gegeben,
dann hätte man vermutlich einen Tag in 10 oder in 100 Stunden aufgeteilt. Weil
man damals noch auf die Bruchrechnung angewiesen war, hat man für die
Unterteilung eine Zahl genommen, die durch möglichst viele ganze Zahlen teilbar
ist. Die verwendete Zahl 24 ist durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 8 und
auch durch 12 teilbar. Aus diesem Grund hat man den Tag willkürlich in 24
Stunden unterteilt.\\

Aber auch die Stunde sollte noch weiter in noch kleinere Zeiteinheiten
aufgeteilt werden. Hier hat man mit 60 eine Zahl gewählt, die durch 2, durch 3,
durch 4, auch durch 5 und durch 6 teilbar ist, um nur die einstelligen Zahlen
zu erwähnen. Die 12, die 15, die 20 und die 30 geht auch noch. Deswegen hat
eine Stunde 60 Minuten bekommen, und die Minute entsprechend 60 Sekunden. Auf
diese Art und Weise wurde ursprünglich die Sekunde definiert\footnote{Heute
verwendet man für die Definition Resonanzeigenschaften in einen Caesiumatom.
Die Zeitdauer von 9\,193\,631\,770 Schwingungen ist eine Sekunde.}.
Durch diese uralten Festlegungen haben wir also auch noch die Zeiteinheiten
\textbf{Minute}, Einheitenzeichen \textbf{min}, die Zeiteinheit
\textbf{Stunde}, Einheitenzeichen \textbf{h} und die Zeiteinheit \textbf{Tag},
Einheitenzeichen \textbf{d}\footnote{Abgeleitet von dem englichen Wort
\textbf{day} für \textbf{Tag}} erhalten.\\

\enlargethispage{10mm}
Es gibt aber auch noch eine andere natürliche Zeiteinheit, nämlich das
\textbf{Jahr}, Formelzeichen \textbf{y}\footnote{Abgeleitet von dem englichen
Wort \textbf{year} für \textbf{Jahr}}. Das ist die Zeit für einen Erdumlauf um
die Sonne. Ein Jahr dauert ungefähr 365 Tage. Weil es leider nicht \emph{genau}
sondern nur \emph{ungefähr} 365 Tage sind, muss hin und wieder ein Schaltjahr
mit 366 Tagen eingefügt werden. An dieser Stelle möchte ich diese Problematik
aber nicht weiter vertiefen und bleibe bei einem Jahr mit 365 Tagen, auch wenn
das nur ungefähr stimmt.\\

Die Menschheit wollte nun aus praktischen Gründen noch eine Zeiteinheit
zwischen \textbf{Tag} und \textbf{Jahr} haben. Man wollte sich an einem
Mondumlauf um die Erde orientieren und hat diese Zeit daher einen
\textbf{Monat} genannt, Einheitenzeichen \textbf{mon}. Leider passt die Dauer
für einen Mondumlauf weder als ganzzahliges Vielfaches zu einem Tag, noch ist
der Erdumlauf um die Sonne ein genzzahliges Vielfaches eines Mondumlaufes. Man
ist bei der Festlegung sehr willkürlich zu unterschiedlich langen Monaten mit
Längen zwischen 28 und 31 Tagen gekommen, aus wissenschaftlicher Sicht ein
völlig missglücktes Unterfangen. Daher möchte ich bei meinen Zeitumrechnungen
den Monat als Zeiteinheit möglichst ganz weglassen.\\

\subsection{Umwandlung in große Einheiten}
Kommen wir zurück zu einem Beispiel vom Kapitelanfang. Was ist eine
"`Kilosekunde"'? Nach der Norm mit Vorsatzeinheiten gilt:
\[\unit[1]{ks}=\unit[1\,000]{s}\]
Wie schon erwähnt ist die Kilosekunde völlig ungebräuchlich, auch wenn
diese Einheit eigentlich vollkommen normgerecht ist. Wir können aber durchaus
1\,000 Sekunden im Minuten umwandeln. Da 60 Sekunden eine Minute ergeben,
erhalten wir:
\[\unit[1\,000]{s}=\unit[\cfrac{1\,000}{60}]{min}\approx \unit[16{,}67]{min}\]
Hieran kann man schon zweierlei erkennen:
\begin{enumerate}
\item Eine Einheitenumwandlung ist \textbf{nicht} eine einfache Verschiebung
  des Kommas.
\item Die dabei entstehenden Dezimalzahlen sind unpraktikabel.
\end{enumerate}
Angaben in Minuten mit einer Dezimalzahl sind nicht üblich. Stattdessen wird
eine Angabe gemischt aus Minuten und Sekunden bevorzugt. Alles, was hinter dem
Komma steht, wird in der kleineren Einheit angegeben. In unserem Beispiel sähe
das so aus:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1\,000]{s}&=&\unit[\cfrac{1\,000}{60}]{min}\\
 &=& \unit[16{,}\overline{6}]{min}\\
 &=&\unit[16]{min}+\unit[0{,}\overline{6} \cdot 60]{s}\\
\unit[1\,000]{s}&=&\unit[16]{min}+\unit[40]{s}\\
\end{array}\]

Das, was hier recht umständlich aussieht, geht jedoch relativ einfach mit dem
Taschenrechner durchzuführen. Ich möchte das für dieses Beispiel aufzeigen.\\

\newpage
Zuerst tippt man die Division ein:
\begin{center}
1\,000 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$:$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Angezeigt wird als Ergebnis beispielsweise:
\[16{,}6666666667\]
(Es können je nach Rechner auch ein paar 6-er mehr oder weniger angezeigt
werden.)
Jetzt kann die Zahl vor dem Komma (hier: die 16) als Ergebnis für die Minuten
notiert werden. Ich nächsten Schritt subtrahiert man von dem Ergebnis die ganze
Zahl vor dem Komma und multipliziert anschließend wieder mit 60:
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$-$} 16 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Als Ergebnis wird 40 angezeigt, also die Zahl der Sekunden, die man ebenfalls
notiert -- fertig!\\

Auch sehr große Zahlen können nach diesem Muster in größere Einheiten
umgewandelt werden. Als Beispiel sollen 100\,000 Sekunden umgewandelt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[100\,000]{s}&=&\unit[\cfrac{100\,000}{60}]{min}\\
&=&\unit[1\,666{,}\overline{6}]{min}\\
&=&\unit[1\,666]{min}+\unit[0{,}\overline{6} \cdot 60]{s}\\
&=&\unit[1\,666]{min}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[\cfrac{1\,666}{60}]{h}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[27{,}7\overline{6}]{h}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[27]{h}+\unit[0{,}7\overline{6} \cdot 60]{min}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[27]{h}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[\cfrac{27}{24}]{d}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[1{,}125]{d}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\\
&=&\unit[1]{d}+\unit[0{,}125 \cdot 24]{h}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\\
\unit[100\,000]{s}&=&\unit[1]{d}+\unit[3]{h}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\\
\end{array}\]

Nach einem ähnlichen Muster wie im Beispiel vorher kann das mit dem
Taschenrechner ausgerechnet werden. Allerdings muss man sich Zwischenergebnisse
aufschreiben. Das geht dann wie folgt.
Zuerst tippt man die Division ein:
\begin{center}
100\,000 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$:$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Angezeigt wird als Ergebnis:
\[1666{,}66666667\]
Jetzt muss die Zahl vor dem Komma (hier: die 1\,666) als
\textbf{Zwischenergebnis} für die Minuten notiert werden. Ich nächsten Schritt
subtrahiert man von dem Ergebnis die ganze Zahl vor dem Komma und multipliziert
anschließend wieder mit 60:
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$-$} 1666 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Damit erhalten wir das Ergebnis 40. Das sind die \textbf{Sekunden}, die übrig
bleiben. Die werden als Sekunden-Anteil des Endergebnisses notiert.\\

Nun muss mit dem eben notierten Zwischenergebnis weiter gerechnet werde. Jetzt
wird wieder durch 60 dividiert, weil eine Stunde 60 Minuten hat.
\begin{center}
1\,666 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$:$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Angezeigt wird als Ergebnis:
\[27{,}766666667\]
Jetzt muss die Zahl vor dem Komma (hier: die 27) als nächstes
\textbf{Zwischenergebnis} für die Stunden notiert werden. Ich nächsten Schritt
subtrahiert man von dem Ergebnis die ganze Zahl vor dem Komma und multipliziert
anschließend wieder mit 24:
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$-$} 27 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Damit erhalten wir das Ergebnis 46. Das sind die \textbf{Minuten}, die übrig
bleiben. Die werden als Minuten-Anteil des Endergebnisses notiert.\\

Nun muss mit dem eben notierten Zwischenergebnis für die Stunden weiter
gerechnet werde.
\begin{center}
27 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$:$} 24 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Angezeigt wird als Ergebnis:
\[1{,}125\]
Jetzt muss die Zahl vor dem Komma (hier: die 1) als nächstes
\textbf{Endergebnis} für die Tage notiert werden. Ich letzten Schritt
subtrahiert man von dem Ergebnis die ganze Zahl vor dem Komma und multipliziert
anschließend wieder mit 24:
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$-$} 1 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 24 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Damit erhalten wir das Ergebnis 3. Das sind die \textbf{Stunden}, die in das
Endergebnis übertragen werden. Wir haben erhalten:
\[\unit[100\,000]{s}=\unit[1]{d}+\unit[3]{h}+\unit[46]{min}+\unit[40]{s}\]

\newpage
\subsection{Umwandlung in kleine Einheiten}
Etwas einfacher geht eine Umrechnung in kleinere Einheiten. Nehmen wir an, wir
möchten 15 Minuten in Sekunden umrechnen. Da eine Minute 60 Sekunden enthält,
ersetzen wir einfach die Einheit \textbf{min} durch \textbf{60\,s} und rechnen
dann aus. Das sieht dann so aus:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{min}&=&12 \cdot \unit[60]{s}\\
\unit[12]{min}&=&\unit[720]{s}\\
\end{array}\]

Nach dem gleichen System geht man auch vor, wenn von einer sehr großen Einheit
in eine relativ kleine Einheit umgerechnet werden soll. Im Beispiel sollen 4
Tage in Sekunden umgrechnet werden,
\[\begin{array}{rcll}
\unit[4]{d}&=&4 \cdot \unit[24]{h}\\
&=&4 \cdot 24 \cdot \unit[60]{min}\\
&=&4 \cdot 24 \cdot 60 \cdot \unit[60]{s}\\
\unit[4]{d}&=&\unit[345\,600]{s}\\
\end{array}\]

Sind mehrere Einheiten verwendet, dann geht es nach dem gleichem Muster, nur
mit mehreren Schritten. Nachfolgendes Beispiel soll das verdeutlichen.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[2]{d}+\unit[3]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}&=&\unit[?]{s}\\
\unit[2]{d}+\unit[3]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}
&=&\unit[2 \cdot 24]{h}+\unit[3]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[48]{h}+\unit[3]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[51]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[51 \cdot 60]{min}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[3\,060]{min}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[3\,109]{min}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[3\,109 \cdot 60]{s}+\unit[12]{s}\\
&=&\unit[186\,540]{s}+\unit[12]{s}\\
\unit[2]{d}+\unit[3]{h}+\unit[49]{min}+\unit[12]{s}&=&\unit[186\,552]{s}\\
\end{array}\]

Mit dem Taschenrechner lässt sich das ganz komfortabel eingeben, ohne
Zwischenwerte notieren zu müssen. Man fängt einfach bei der Zahl in der größten
Einheit an, hier der Zahl der Tage (2). Zur Umwandlung in Stunden wird mit 24
multipliziert. Anschließend wird sofort die nächste Größe addiert, hier die
Zahl der einzelnen Stunden (3).
\begin{center}
2 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 24 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 3 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}

Jetzt müssen die Stunden in Minuten umgewandelt werden. Dazu wird das Ergebnis
in der Anzeige mit 60 multipliziert. Die einzelnen Minuten (49) werden
anschließend sofort addiert.
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 49 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}

Wir haben jetzt die Anzahl der Minuten in der Anzeige. Zur Umrechnung in
Sekunden wird mit 60 multipliziert, die Zahl der einzelnen Sekunden
anschließend addiert. Danach steht das Endergebnis in der Anzeige.
\enlargethispage{5mm}
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 12 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}

Die Kompletteingabe am Stück sieht damit so aus:
\begin{center}
2 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 24 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 3 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 49 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$*$} 60 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\fcolorbox{black}{yellow!50}{$+$} 12 \fcolorbox{black}{yellow!50}{$=$}
\end{center}
Die Gleichheitszeichen zwischendrin sind wichtig, damit der Taschenrechner
nicht die Punkt-vor-Strich-Regel anwendet, sondern immer erst ausrechnet.

\subsection{Zeitabstände}
Da Uhrzeiten in Stunden, Minuten und Sekunden angegeben werden, können
Zeitabstände nicht ganz so einfach ausgerechnet werden, als wenn es einfach nur
Dezimalzahlen wären. Ein Beispiel:
\begin{quote}
\emph{Es ist 10:52 Uhr. Der Zug soll um 12:31 Uhr abfahren. Wie lange habe ich
noch Zeit bis zur Abfahrt?}
\end{quote}
Der \textbf{Zeitabstand} ist ein anderes Wort für die \textbf{Zeitdifferenz}.
Es muss also \textbf{subtrahiert} werden. Die \textbf{kleinere} Zahl muss von
der \textbf{größeren} Zahl subtrahiert werden. Aber geht das einfach so?
\[\unit[12:31]{Uhr}-\unit[10:52]{Uhr}= \ldots\]
Das ist tatsächlich vom Grundprinzip her richtig, man schreibt es aber nicht
so. In korrekter Schreibweise sähe das ungefähr so aus:
\[(\unit[12]{h}+\unit[31]{min})-(\unit[10]{h}+\unit[52]{min})=\ldots\]
In dieser Schreibweise können die Klammern aufgelöst werden, anschließend
werden gleichartige Größen zusammengefasst.
\[\begin{array}{rcll}
(\unit[12]{h}+\unit[31]{min})-(\unit[10]{h}+\unit[52]{min})
&=&\unit[12]{h}+\unit[31]{min}-\unit[10]{h}-\unit[52]{min} \\
&=&\unit[12]{h}-\unit[10]{h}+\unit[31]{min}-\unit[52]{min} \\
&=&\unit[2]{h}-\unit[21]{min}\\
\end{array}\]

So kann man das aber nicht stehen lassen. Die Anzahl der Minuten ist
\textbf{negativ}. Deswegen wandelt man eine Stunde in Minuten um und kann dann
weiter wie folgt zusammenfassen:
\[\begin{array}{rcll}
(\unit[12]{h}+\unit[31]{min})-(\unit[10]{h}+\unit[52]{min})
&=&\unit[12]{h}+\unit[31]{min}-\unit[10]{h}-\unit[52]{min} \\
&=&\unit[12]{h}-\unit[10]{h}+\unit[31]{min}-\unit[52]{min} \\
&=&\unit[2]{h}-\unit[21]{min}\\
&=&\unit[1]{h}+\unit[1]{h}-\unit[21]{min}\\
&=&\unit[1]{h}+\unit[60]{min}-\unit[21]{min}\\
&=&\unit[1]{h}+\unit[39]{min}\\
\end{array}\]

Ergebnis: Bis zur Abfahrt des Zuges habe ich noch eine Stunde und 39 Minuten
Zeit.\\

Da diese Schreibweise sehr viel Aufwand darstellt, empfehle ich als
Schreibweise die Art des schriftlichen Subtrahierens, wie wir es in der
Grundschule gelernt haben. Man muss das Schema nur etwas anpassen. Der Ansatz
sieht dann etwa so aus:
\[\begin{array}{r}
\ 12:31 \\
 -10:52 \\
\hline
\\
\end{array}\]

Beim schriftlichen Subtrahieren beginnt man bekanntlich an der letzten Stelle,
hier also bei der Einerstelle der Minuten.
Wir müssen rechnen: $1-2$. Da das nicht (mit positivem Ergebnis) geht, erhalten
wir einen Übertrag zur vorletzten Stelle. In der Grundschule haben wir gesagt,
wir "`leihen"' uns 1 aus der vorletzten Spalte, die in der letzten Spalte eine
Wertigkeit von 10 hat. Dann darf man rechnen:
\mbox{$\textcolor{red}{10}+1-2=9$}. Die 9 schreiben wir ins Ergebnis, den
Übertrag \textcolor{red}{1} klein unten an die vorletzte Spalte.

\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,1.2)(3,2.9)
\uput[0](0,2){$\begin{array}{r}
\ 12:31 \\
 -10:52 \\
\hline
\qquad \textcolor{black}{9} \\
\end{array}$}
\uput[0](1.45,1.8){\tiny \textcolor{red}{1}}
\end{pspicture}
\end{center}

Jetzt können wir ähnlich weiter subtrahieren wie in der Grundschule. In der
vorletzten Spalte muss jetzt gerechnet werden: \mbox{$3-5-1$}. Das geht wieder
nicht mit einem positiven Ergebnis aus. Deshalb müssen wir auch hier wieder
einen Übertrag machen. Wenn wir uns aber von den Stunden eine 1 "`ausleihen"',
müssen wir beachten, das eine Stunde nicht 100, sondern nur 60 Minuten hat.
Daher wird in der Zehner-Spalte der Minuten nun so gerechnet:
\mbox{$\textcolor{red}{6}+3-5-1=3$}. Diese 3 und den neuen Übertrag schreiben
wir an den passenden Stellen so auf:

\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,1.2)(3,2.9)
\uput[0](0,2){$\begin{array}{r}
\ 12:31 \\
 -10:52 \\
\hline
\qquad \textcolor{black}{:39} \\
\end{array}$}
\uput[0](1.45,1.8){\tiny \textcolor{red}{1}}
\uput[0](0.8,1.8){\tiny \textcolor{red}{1}}
\end{pspicture}
\end{center}

Nun kommt die Einer-Spalte bei den Stunden an die Reihe. Mit dem eben
entstandenen Übertrag ergibt sich diese Rechnung: \mbox{$2-0-1=1$}. Hierbei
entsteht neuer kein Übertrag. Damit sieht die Rechnung so aus:

\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,1.2)(3,2.9)
\uput[0](-0.35,2){$\begin{array}{r}
\ 12:31 \\
 -10:52 \\
\hline
\qquad \textcolor{black}{1:39} \\
\end{array}$}
\uput[0](1.45,1.8){\tiny \textcolor{red}{1}}
\uput[0](0.8,1.8){\tiny \textcolor{red}{1}}
\end{pspicture}
\end{center}

Zum Schluss wäre die Zehnerstelle der Stunden an der Reihe. Hier erhalten wir:
\mbox{$1-1=0$}. Diese 0 kann man hinschreiben oder besser auch gleich
weglassen. Das Ergebnis bleibt bei \mbox{$\unit[1:39]{h}$}, also einer Stunde
und 39 Minuten.


\subsection{Übungsaufgaben}
\subsubsection{Teil 1}
Wandeln Sie die Größen in die vorgegebene Einheit um!
\[\begin{array}{p{10mm}rcp{28mm}l}
(1) & \unit[25]{min}&=&&\textnormal{s}\\ \\
(2) & \unit[3]{h}&=&&\textnormal{s}\\ \\
(3) & \unit[12]{h}&=&&\textnormal{min}\\ \\
(4) & \unit[7]{h}+\unit[33]{min}&=&&\textnormal{min}\\ \\
(5) & \unit[12]{d}&=&&\textnormal{min}\\ \\
(6) & \unit[13]{d}&=&&\textnormal{s}\\ \\
(7) & \unit[5]{d}+\unit[10]{h}+\unit[12]{min}&=&&\textnormal{min}\\ \\
(8) & \unit[21]{h}&=&&\textnormal{s}\\ \\
(9) & \unit[9]{d}+\unit[17]{min}&=&&\textnormal{s}\\ \\
(10)& \unit[365]{d}&=&&\textnormal{s}\\ \\
\end{array}\]

\subsubsection{Teil 2}
Wandeln Sie die Größen in gemischte Einheiten mit Tagen, Stunden, Minuten und
Sekunden um, so weit diese Größen bei der Umwandlung vorkommen!
\[\begin{array}{p{10mm}rcp{50mm}l}
(1) & \unit[1\,650]{s}&=&& \\ \\
(2) & \unit[1\,650]{min}&=&& \\ \\
(3) & \unit[2\,450]{s}&=&& \\ \\
(4) & \unit[18\,360]{s}&=&& \\ \\
(5) & \unit[18\,360]{min}&=&& \\ \\
(6) & \unit[235\,000]{s}&=&& \\ \\
\end{array}\]

\subsubsection{Teil 3}
Wieviel Zeit vergeht zwischen den angegebenen Uhrzeiten?
\[\begin{array}{p{10mm}rcllp{50mm}l}
(1) & \unit[12:45]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[13:58]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
(2) & \unit[7:27]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[11:26]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
(3) & \unit[5:36]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[8:22]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
(4) & \unit[23:14]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[2:20]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
(5) & \unit[8:15:30]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[11:45:00]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
(6) & \unit[17:38:45]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[20:15:35]{Uhr}&\rightarrow& \\ \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsubsection{Teil 1}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[25]{min}
    &=&\unit[25 \cdot 60]{s}\\
    &&=&\unit[150]{s}\\ \\
(2) & \unit[3]{h}
    &=&\unit[3 \cdot 60]{min}\\
    &&=&\unit[180]{min}\\
    &&=&\unit[180 \cdot 60]{s}\\
    &&=&\unit[10\,800]{s}\\ \\
(3) & \unit[12]{h}
    &=&\unit[12 \cdot 60]{min}\\
    &&=&\unit[720]{min}\\ \\
(4) & \unit[7]{h}+\unit[33]{min}
    &=&\unit[7 \cdot 60]{min}+\unit[33]{min}\\
    &&=&\unit[420]{min}+\unit[33]{min}\\
    &&=&\unit[453]{min}\\ \\
(5) & \unit[12]{d}
    &=&\unit[12 \cdot 24]{h}\\
    &&=&\unit[288]{h}\\
    &&=&\unit[288 \cdot 60]{min}\\
    &&=&\unit[17\,280]{min}\\ \\
(6) & \unit[13]{d}
    &=&\unit[13 \cdot 24]{h}\\
    &&=&\unit[312]{h}\\
    &&=&\unit[312 \cdot 60]{min}\\
    &&=&\unit[18\,720]{min}\\
    &&=&\unit[18\,720 \cdot 60]{s}\\
    &&=&\unit[1\,123\,200]{s}\\ \\
(7) & \unit[5]{d}+\unit[10]{h}+\unit[12]{min}
    &=&\unit[5 \cdot 24]{h}+\unit[10]{h}+\unit[12]{min}\\
    &&=&\unit[120]{h}+\unit[10]{h}+\unit[12]{min}\\
    &&=&\unit[130]{h}+\unit[12]{min}\\
    &&=&\unit[130 \cdot 60]{min}+\unit[12]{min}\\
    &&=&\unit[7\,800]{min}+\unit[12]{min}\\
    &&=&\unit[7\,812]{min}\\ \\
(8) & \unit[21]{h}
    &=&\unit[21 \cdot 60]{min}\\
    &&=&\unit[1\,260]{min}\\
    &&=&\unit[1\,260 \cdot 60]{s}\\
    &&=&\unit[75\,600]{s}\\
\end{array}\]

\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(9) & \unit[9]{d}+\unit[17]{min}
    &=&\unit[9 \cdot 24]{h}+\unit[17]{min}\\
    &&=&\unit[216]{h}+\unit[17]{min}\\
    &&=&\unit[216 \cdot 60]{min}+\unit[17]{min}\\
    &&=&\unit[12\,960]{min}+\unit[17]{min}\\
    &&=&\unit[12\,977]{min}\\
    &&=&\unit[12\,977 \cdot 60]{s}\\
    &&=&\unit[778\,620]{s}\\ \\
(10) & \unit[365]{d}
     &=&\unit[365 \cdot 24]{h}\\
     &&=&\unit[8\,760]{h}\\
     &&=&\unit[8\,760 \cdot 60]{min}\\
     &&=&\unit[525\,600]{min}\\
     &&=&\unit[525\,600 \cdot 60]{s}\\
     &&=&\unit[31\,536\,000]{s}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Teil 2}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[1\,650]{s}&=&\unit[27]{min}+\unit[30]{s}\\ \\
(2) & \unit[1\,650]{min}&=&\unit[1]{d}+\unit[3]{h}+\unit[30]{s}\\ \\
(3) & \unit[2\,450]{s}&=&\unit[40]{min}+\unit[50]{s}\\ \\
(4) & \unit[18\,360]{s}&=&\unit[5]{h}+\unit[6]{min} \\ \\
(5) & \unit[18\,360]{min}&=&\unit[12]{d}+\unit[18]{h}\\ \\
(6) & \unit[235\,000]{s}&=&\unit[2]{d}+\unit[17]{h}+\unit[16]{min}+\unit[40]{s} \\
\end{array}\]

\subsubsection{Teil 3}
Wieviel Zeit vergeht zwischen den angegebenen Uhrzeiten?
\[\begin{array}{p{10mm}rclll}
(1) & \unit[12:45]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[13:58]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[1]{h}+\unit[13]{min} \\ \\
(2) & \unit[7:27]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[11:26]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[3]{h}+\unit[59]{min}\\ \\
(3) & \unit[5:36]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[8:22]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[2]{h}+\unit[46]{min}\\ \\
(4) & \unit[23:14]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[2:20]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[3]{h}+\unit[6]{min}\\ \\
(5) & \unit[8:15:30]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[11:45:00]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[3]{h}+\unit[29]{min}+\unit[30]{s}\\ \\
(6) & \unit[17:38:45]{Uhr}&\textnormal{bis}&\unit[20:15:35]{Uhr}&\rightarrow&
\unit[2]{h}+\unit[36]{min}+\unit[50]{s}\\ \\
\end{array}\]

\newpage
\section{Umrechnen mit Zehnerpotenzen}
\subsection{Allgemeine Grundlagen}
\ifpdf \hypertarget{potenz}{\emph{Was ist eine \textbf{Potenz}?}\\}\fi
Eine Potenz ist eine vereinfachte Schreibweise für eine mehrfache
Multiplikation.\footnote{Weitergehende Informationen dazu kann man hier
nachlesen:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/potenz.pdf}\fi}
Die Definition hierfür lautet:
\[a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \textnormal{ Faktoren}}\]
Hierfür gilt (zunächst):
\mbox{$a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}^* \setminus
\{1\}$}.\footnote{Einzelheiten zu dieser Schreibweise siehe hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/mengen.pdf}\fi}
(Das bedeutet im Klartext: $a$ ist eine beliebige Reelle Zahl, und $n$ ist eine
Natürliche Zahl größer als 1.) \\
Der Parameter $a$ heißt \textbf{Basis} und der Parameter $n$
\textbf{Exponent} der Potenz.\\
Der Definitionsbereich für $n$ wird durch nachfolgende Definitionen auf
$\mathbb{Z}$ erweitert:
\[a^1=a\]
\[a^0=1\]
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

\emph{Was ist eine \textbf{Zehnerpotenz}?}\\
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Aufgrund des von uns
verwendeten Dezimalsystems sind Zehnerpotenzen ganz einfach in Dezimalzahlen
umzurechnen. Hier ein paar Beispiele:
\[\begin{array}{rcll}
10^5&=&100\,000 \\
10^4&=&10\,000 \\
10^3&=&1\,000 \\
10^2&=&100 \\
10^1&=&10 \\
10^0&=&1 \\
10^{-1}&=&0{,}1 \\
10^{-2}&=&0{,}01 \\
10^{-3}&=&0{,}001 \\
10^{-4}&=&0{,}000\,1 \\
10^{-5}&=&0{,}000\,01 \\
\end{array}\]
Man erkennt sofort:
\begin{itemize}
\item Eine Zehnerpotenz mit einem \textbf{positiven} Exponenten ist eine 1 mit
  genau so vielen Nullen \textbf{dahinter}, wie der Exponent angibt.
\item Eine Zehnerpotenz mit einem \textbf{negativen} Exponenten ist eine 1 mit
  genau so vielen Nullen \textbf{davor}, wie der Exponent angibt. Hierbei muss
  hinter die erste Null ein Komma gesetzt werden.
\end{itemize}

\subsection{Umrechnung aus Grundeinheit}
Manchmal sind Größenangaben mit Zehnerpotenzen verbunden. Dies tritt vor allem
beim Umgang mit dem Taschenrechner auf. Soll dieser eine sehr große oder eine
sehr kleine Zahl ausgeben, dann tut er das im "`Exponentenmodus"', wenn
ansonsten seine Anzeigekapazität nicht ausreicht.\\

Ein Beispiel dazu: Ausgegeben werde soll die Zahl:
\[13\,530\,000\,000\]
Die Anzeige des Rechners sieht dann so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{1{,}353 10}\end{center}
Diese Anzeige bedeutet eigentlich:\footnote{Diese Darstellungsform
wird häufig verwendet, weil das auf dem Display eines Taschenrechners besser
darzustellen ist. Manche moderne Taschenrechner können allerdings schon die
ausführliche Form anzeigen.}
\[1{,}353 \cdot 10^{10}\]

Nehmen wir an, diese Zahl ist das Rechenergebnis einer Frequenz in der Einheit
Hertz. Dann sollte man die Frequenz unter Verwendung einer geeigneten
Vorsatzeinheit angeben, also z.B. in Gigahertz. Das führt uns zu folgender
Aufgabenstellung zum Umwandeln:
\[\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[\ldots]{GHz}\]

Wir erinnern uns an die Vorzeichentabelle:
\[\unit[1]{GHz}=\unit[10^9]{Hz}\]
Jetzt können wir wieder -- wie zuvor -- die Differenz der Zehnerpotenzen
bilden. Das wären hier \mbox{$10-9=1$}. Das Komma muss also um \textbf{eine}
Stelle verschoben werden. Bleibt wieder die Frage, in welche Richtung das
Komma verschoben werden muss. Erinnern wir uns an den Merksatz:
\begin{quote}
  \textbf{Wird die Einheit größer, dann muss die Zahl kleiner werden.}
\end{quote}
Da \mbox{$\unit[1]{GHz}(=\unit[1 \cdot 10^9]{Hz})$} \textbf{weniger} ist, als
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{10}]{Hz}$} muss demnach zum Ausgleich die Zahl
\textbf{größer} werden, das Komma wandert daher nach \textbf{rechts}. Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[13{,}53]{GHz}$}\end{center}

Man könnte diese Größe auch in Terahertz angeben. Dann sähe die Fragestellung
so aus:
\[\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[\ldots]{THz}\]
Wir erinnern uns an die Vorzeichentabelle:
\[\unit[1]{THz}=\unit[10^{12}]{Hz}\]
Jetzt können wir wieder die Differenz der Zehnerpotenzen
bilden. Das wären für diese Umrechnung \mbox{$12-10=2$}. Das Komma muss also um \textbf{zwei}
Stelle verschoben werden. Bleibt wieder die Frage, in welche Richtung das
Komma verschoben werden muss. Wir erinnern uns: \emph{Wird die Einheit größer,
dann muss die Zahl kleiner werden.} Genau das ist hier der Fall,
\mbox{$\unit[1]{THz}(=\unit[1 \cdot 10^{12}]{Hz})$} ist \textbf{mehr} ist, als
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{10}]{Hz}$}, also muss demnach zum Ausgleich die Zahl
\textbf{kleiner} werden, das Komma wandert daher nach \textbf{links}. Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[0{,}013\,53]{THz}$}\end{center}

Hier folgt noch ein weiteres Beispiel. Eine Kapazität wurde berechnet mit:
\[C=3{,}3 \cdot \unit[10^{-10}]{F}\]
Die Kapazität soll mit einer sinnvollen gängigen Vorsatzeinheit angegeben
werden. Ein Blick in die Vorzeichentabelle zeigt, dass \emph{Picofarad}
\mbox{$(\unit[1]{pF}=\unit[10^{-12}]{F})$} oder \emph{Nanofarad}
\mbox{$(\unit[1]{nF}=\unit[10^{-9}]{F})$} zur Lösung in Frage kommen.\\

Wandeln wir zunächst in \textbf{Picofarad} um.
Der Unterschied im Exponenten von Pico \mbox{$(=10^{-12})$} auf die vorgegebene
Zehnerpotenz \mbox{$(10^{-10})$} beträgt 2. Da die Zehnerpotenz beim Umwandeln
\textbf{kleiner} wird, muss die Zahl zum Ausgleich \textbf{größer} werden. Das
Komma wandert daher um \textbf{2} Stellen nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$C=\unit[3{,}3 \cdot 10^{-10}]{F}=\unit[330]{pF}$}\end{center}

Es folgt die Umwandlung in \textbf{Nanofarad}. Hier beträgt die Differenz der
Exponenten der Zehlerpotenzen \textbf{1}. Die Einheit wird beim Umwandeln
\textbf{größer}, darum muss die Zahl \textbf{kleiner} werden. Also wird das
Komma um \textbf{1} Stelle nach \textbf{links} verschoben.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$C=\unit[3{,}3 \cdot 10^{-10}]{F}=\unit[0{,}33]{nF}$}\end{center}

\subsection{Umrechnung aus zusammengesetzen Einheiten}
Es kann auch vorkommen, dass eine Zehnerpotenz zusammen mit einer
Vorsatzeinheit auftritt. Ein Beispiel:
\[P=\unit[225 \cdot 10^{-2}]{kW}= \ldots \textnormal{MW}\]

Man kann hier im Prinzip genau so vorgehen, wie eben gezeigt, man muss nur
vorher die Exponenten aus der angegebenen Zehnerpotenz und der Vorsatzeinheit
addieren. Hier ist es die $-2$ aus der Zehnerpotenz und die 3 aus der
Vorsatzeinheit für \emph{Kilo}. Addiert ergibt das \mbox{$-2+3=1$}. Diese 1
wird jetzt verglichen mit der 6 (für \emph{Mega}) aus der Ziel-Vorsatzeinheit.
Die Differenz ist 5. Weil die Ziel-Einheit \textbf{größer} ist, muss die Zahl
\textbf{kleiner} werden, das Komma wandert demnach um \textbf{5} Stellen nach
\textbf{links}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$P=\unit[225 \cdot 10^{-2}]{kW}= \unit[0{,}002\,25]{MW}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcp{20mm}l}
(1) & \unit[5{,}6 \cdot 10^{-2}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(2) & \unit[6{,}8 \cdot 10^{2}]{m}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(3) & \unit[4{,}7 \cdot 10^{-5}]{g}&=&&µ\textnormal{g}\\ \\
(4) & \unit[2{,}12 \cdot 10^{7}]{Hz}&=&&\textnormal{MHz}\\ \\
(5) & \unit[0{,}15 \cdot 10^{-9}]{F}&=&&\textnormal{pF}\\ \\
(6) & \unit[22{,}5 \cdot 10^{6}]{W}&=&&\textnormal{MW}\\ \\
(7) & \unit[3{,}8 \cdot 10^{2}]{N}&=&&\textnormal{kN}\\ \\
(8) & \unit[2{,}5 \cdot 10^{-6}]{s}&=&&µ\textnormal{s}\\ \\
(9) & \unit[0{,}3 \cdot 10^{-6}]{m}&=&&\textnormal{nm}\\ \\
(10) & \unit[0{,}5 \cdot 10^{1}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(11) & \unit[12{,}8 \cdot 10^{-1}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(12) & \unit[11{,}7 \cdot 10^{4}]{m}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(13) & \unit[25 \cdot 10^{5}]{m}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(14) & \unit[15 \cdot 10^{4}]{mm}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(15) & \unit[3{,}3 \cdot 10^{2}]{µA}&=&&\textnormal{mA}\\ \\
(16) & \unit[390 \cdot 10^{-2}]{µA}&=&&\textnormal{mA}\\ \\
(17) & \unit[18 \cdot 10^{-3}]{cm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(18) & \unit[1{,}42 \cdot 10^{4}]{kHz}&=&&\textnormal{MHz}\\ \\
(19) & \unit[45\,000 \cdot 10^{5}]{pF}&=&&µ\textnormal{F}\\ \\
(20) & \unit[6{,}5 \cdot 10^{-7}]{km}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
\end{array}\]


\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[5{,}6 \cdot 10^{-2}]{m}&=&\unit[56]{mm}\\
(2) & \unit[6{,}8 \cdot 10^{2}]{m}&=&\unit[0{,}68]{km}\\
(3) & \unit[4{,}7 \cdot 10^{-5}]{g}&=&\unit[47]{µg}\\
(4) & \unit[2{,}12 \cdot 10^{7}]{Hz}&=&\unit[21{,}2]{MHz}\\
(5) & \unit[0{,}15 \cdot 10^{-9}]{F}&=&\unit[150]{pF}\\
(6) & \unit[22{,}5 \cdot 10^{6}]{W}&=&\unit[22{,}5]{MW}\\
(7) & \unit[3{,}8 \cdot 10^{2}]{N}&=&\unit[0{,}38]{kN}\\
(8) & \unit[2{,}5 \cdot 10^{-6}]{s}&=&\unit[2{,}5]{µs}\\
(9) & \unit[0{,}3 \cdot 10^{-6}]{m}&=&\unit[300]{nm}\\
(10) & \unit[0{,}5 \cdot 10^{1}]{m}&=&\unit[5\,000]{mm}\\
(11) & \unit[12{,}8 \cdot 10^{-1}]{m}&=&\unit[1\,280]{mm}\\
(12) & \unit[11{,}7 \cdot 10^{4}]{m}&=&\unit[117]{km}\\
(13) & \unit[25 \cdot 10^{5}]{m}&=&\unit[2\,500\,000]{m}\\
(14) & \unit[15 \cdot 10^{4}]{mm}&=&\unit[0{,}15]{km}\\
(15) & \unit[3{,}3 \cdot 10^{2}]{µA}&=&\unit[0{,}33]{mA}\\
(16) & \unit[390 \cdot 10^{-2}]{µA}&=&\unit[0{,}003\,9]{mA}\\
(17) & \unit[18 \cdot 10^{-3}]{cm}&=&\unit[0{,}18]{mm}\\
(18) & \unit[1{,}42 \cdot 10^{4}]{kHz}&=&\unit[14{,}2]{MHz}\\
(19) & \unit[45\,000 \cdot 10^{5}]{pF}&=&\unit[4\,500]{µF}\\
(20) & \unit[6{,}5 \cdot 10^{-7}]{km}&=&\unit[0{,}065]{cm}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Umwandlung Quadratischer und Kubischer Maße}
\subsection{Quadratische Maße}
Eine Fläche wird bekanntlich nicht in m (Meter) gemessen, sondern in m$^2$
(Quadratmeter). Hierbei handelt es sich um ein Quadratisches Maß, weil das
Meter in der Einheit quadriert wird. Ähnlich ist es bei einem Volumen. Hier
wird in m$^3$ gemessen, also in Kubikmeter. Dies ist ein Kubisches Maß.\\

Bei diesem Maßen gibt es eine Besonderheit bei der Verwendung von
Vorsatzeinheiten. Dazu muss ich etwas ausholen. Schreibt man in der Mathematik
\mbox{$ab^2$}, dann bedeutet das \textbf{nicht} \mbox{$(a \cdot b)^2$} sondern
\mbox{$a \cdot (b)^2$}. Das \textbf{Potenzieren} wird also \textbf{vorrangig}
vor dem \textbf{Multiplizieren} abgearbeitet. Verwendet man Vorsatzeinheiten,
dann wird diese Regel leider \textbf{nicht} angewendet, was daher oft zur
Vewirrung führt. Schreibt man:
\[A=\unit[1]{cm^2}\]
dann bedeutet das ausführlich:
\[A=\unit[1]{cm} \cdot \unit[1]{cm}=\unit[1]{(cm)^2}\]
Die Vorsatzeinheit wird also \textbf{mit quadriert}.
Oft wird vermutet, dass \mbox{$\unit[1]{cm^2}$} einfach nur
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{-2}]{m^2}$} bedeutet, weil die Vorsatzeinheit
\emph{Zenti} ja für $10^{-2}$ steht. Tatsächlich ist aber
\mbox{$\unit[1]{cm^2}=\unit[1 \cdot 10^{-4}]{m^2}$}. Verwirrend? Das denke ich
auch.\\

Wenn wir beachten, dass bei Quadratischen Maßen wie m$^2$ die Vorsatzeinheit
mit quadriert wird, dann müssen wir bei Anwendung der Vorsatzeinheitentabelle
einfach nur die \textbf{Exponenten verdoppeln}. Das bedeutet, dass die Anzahl
der Stellen, um die das Komma verschoben wird, ebenfalls \textbf{verdoppelt}
wird. Hier folgen ein paar Beispiele dazu im Vergleich mit den entsprechnden
Linearen Maßen:
\[\begin{array}{rcl}
\unit[5]{dm}&=&\unit[0{,}5]{m}\\
\unit[5]{dm^2}&=&\unit[0{,}05]{m^2}\\
\unit[23]{mm}&=&\unit[2{,}3]{cm}\\
\unit[23]{mm^2}&=&\unit[0{,}23]{cm^2}\\
\unit[150]{cm}&=&\unit[1{,}5]{m}\\
\unit[150]{cm^2}&=&\unit[0{,}015]{m^2}\\
\unit[7]{km}&=&\unit[7\,000]{m}\\
\unit[7]{km^2}&=&\unit[7\,000\,000]{m^2}\\
\end{array}\]

\subsection{Kubische Maße}
Bei Kubischen Maßen verhält es sich sehr ähnlich wie bei den Quadratischen
Maßen, jedoch ist der Exponent hier die \textbf{3} anstelle der \textbf{2}.
Volumen werden beispielsweise in m$^3$ angegeben, was ein Kubisches Maß
darstellt. Auch hier wird bei der Verwendung von Vorsatzeinheiten -- ähnlich
wie bei Quadratischen Maßen -- die Vorsatzeinheit (hier mit 3) mitpotenziert.
Es ist also: \[\unit[1]{dm^3}=\unit[1]{dm} \cdot \unit[1]{dm} \cdot
\unit[1]{dm} =\unit[0{,}1]{m} \cdot \unit[0{,}1]{m} \cdot \unit[0{,}1]{m}
=\unit[0{,}001]{m^3} \]

Daraus ergibt sich, dass bei der Verwendung der Vorsatzeinheitentabelle der
Exponent der Zehnerpotenz \textbf{mit 3 multipliziert} werden muss. Anders
ausgedrückt: Das Komma muss um \textbf{drei mal so viele} Stellen verschoben
werden, wie sich aus der Anwendung der Vorsatzeinheitentabelle ergibt. Hier
folgen ein paar Beispiele dazu im Vergleich mit den entsprechnden Linearen
Maßen:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[9]{dm}&=&\unit[0{,}9]{m}\\
\unit[9]{dm^3}&=&\unit[0{,}009]{m^3}\\
\unit[150]{cm}&=&\unit[15]{dm}\\
\unit[150]{cm^3}&=&\unit[0{,}15]{dm^3}\\
\unit[5\,400]{mm}&=&\unit[5{,}4]{m}\\
\unit[5\,400]{mm^3}&=&\unit[0{,}000\,005\,4]{m^3}\\
\unit[33]{dm}&=&\unit[330]{cm}\\
\unit[33]{dm^3}&=&\unit[33\,000]{cm^3}\\
\unit[10]{dm}&=&\unit[1\,000]{mm}\\
\unit[10]{dm^3}&=&\unit[10\,000\,000]{mm^3}\\
\end{array}\]

\subsection{Sonderfälle}
Gemeinerweise gibt es auch Lineare Flächen- und Raummaße. Dadurch wird es jetzt
ziemlich unübersichtlich. Beispielsweise ist
ein \textbf{Ar} (Einheitenzeichen: \textbf{a}) eine Fläche von
$\unit[100]{m^2}$. Dem entspricht eine Fläche von $\unit[10]{m}$ Länge und
$\unit[10]{m}$ Breite. Man könnte diese Fläche auch mit $\unit[1]{dam^2}$
(ein Quadratdekameter) bezeichnen, auch wenn das eher unüblich ist.
Gebräuchlich ist aber ein Maß für eine Fläche, die $\unit[100]{a}$ groß ist,
nämlich \emph{ein Hektar}.
\[\unit[100]{a}=\unit[1]{ha}\]
Nach Anwendung der Vorzeichentabelle könnte man auch sagen:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{a}&=&\unit[1]{dam^2}\\
\unit[1]{ha}&=&\unit[1]{hm^2}\\
\end{array}\]
Zugegeben, die Einheit Quadrathektometer ist alles andere als gebräuchlich,
aber sachlogisch richtig wäre das.\\

\enlargethispage{10mm}
Um es noch deutlicher zu machen, sollte man sich zwei quadratische Flächen: Die
eine hat eine Kantenlänge von 10 Metern und stellt ein Ar dar, die andere mit
einem Hektar Flächeninhalt hat eine Kantenlänge von 100 Metern. Die Kantenlänge
der großen Fläche ist 10 mal so groß, wie die der kleinen Fläche, aber der
Flächeninhalt ist 100 mal so groß. Anders ausgedrückt: Rechnet man mit einem
Quadratischen Längenmaß (Meter), dann wird die Vorsatzeinheit mitquadriert,
rechnet man mit einem Flächenmaß (Ar), dann werden die Vorsatzeinheiten ganz
normal einfach verwendet.\\

Ähnliches gibt es auch bei Volumenmaßen. Einen Kubikdezimeter nennt mal auch
\emph{Liter}.
\[\unit[1]{dm^3}=\unit[1]{l}\]

Gebräuchlich sind auch zusammengesetzte Einheiten wie Milliliter, Mikroliter,
Zentiliter oder Hektoliter. Auch hier wird die Volumeneinheit \emph{Liter}
\textbf{einfach} mit der entsprechenden Vorsatzeinheit verbunden, also
\textbf{nicht in der 3. Potenz}. Sofern der Exponent der Vorsatzeinheit durch 3
teilbar ist -- das ist bei sehr großen und sehr kleinen Einheiten immer der
Fall -- gibt es eine Entsprechung im m$^3$-System. Hier ein paar Beispiele:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{l}&=&\unit[1]{dm^3}\\
\unit[1]{ml}&=&\unit[1]{cm^3}\\
\unit[1]{µl}&=&\unit[1]{mm^3}\\
\end{array}\]

Bei den anderen passt das dann nicht so ganz, wie nachfolgende Beispiele
zeigen:
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{hl}&=&\unit[100]{dm^3}&=&\unit[0{,}1]{m^3}\\
\unit[1]{cl}&=&\unit[10]{cm^3}&=&\unit[0{,}01]{dm^3}\\
\end{array}\]

Merkwürdigerweise sind große Vorsatzeinheiten bei Liter wie Kiloliter oder
Megaliter nicht üblich, auch wenn sie sachlogisch verwendet werden dürften.
Daher verkneife ich mir Beispiele damit.\\

Anhand folgenden Beispieles möchte ich die Umrechnung als Rezept zur
Vorgehensweise darstellen.
\[\unit[23]{hl}= \ldots \textnormal{cm}^3\]

Am einfachsten ist es vermutlich, wenn man in mehreren Schritten vorgeht.
\begin{enumerate}
\item Zunächst wandelt man die gegebene Einheit in die zugehörige Einheit
  um, die zur Umrechnungsformel passt. Das wären hier \emph{Liter}.
\item Dann wendet man die Definition für die Umrechnung an, hier also
  \mbox{$\unit[1]{l}=\unit[1]{dm^3}$}. Der Zahlenwert ändert sich dabei
  \textbf{nicht}.
\item Zum Schluss erfolgt die Umwandlung in die gesuchte Einheit, also hier in
  cm$^3$.
\end{enumerate}
In unserem Beispiel sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rrcll}
1.&\unit[23]{hl}&=&\unit[2\,300]{l}\\
2.&  &=&\unit[2\,300]{dm^3}\\
3.&  &=&\unit[2\,300\,000]{cm^3}\\
\end{array}\]

Dieses Lösungsrezept funktioniert entsprechend auch in der anderen Richtung.
Dazu ebenfalls ein Beispiel:
\[\unit[450]{cm^3}=\unit[\ldots]{cl}\]
Zunächst wandelt man in dm$^3$ um, weil dies in der Definition des Liters
verwendet wird. Dann schreibt man \emph{Liter} statt \emph{Kubikdezimeter},
wobei der Zahlenwert unverändert bleibt. Zum Schluss erfolgt die Umwandlung in
Zentiliter.
\[\begin{array}{rrcl}
1.&\unit[450]{cm^3}&=&\unit[0{,}45]{dm^3}\\
2.& &=&\unit[0{,}45]{l}\\
3.& &=&\unit[45]{cl}\\
\end{array}\]

Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise folgen hier noch ein paar Beispiele.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{1. Beispiel:}&\unit[120]{ha}&=&\unit[\ldots]{km^2}\\ \\
1. & \unit[120]{ha}&=&\unit[12\,000]{a}\\
2. &&=& \unit[12\,000]{dam^2}\\
3. &&=& \unit[1{,}2]{km^2}\\ \\ \\
\textnormal{2. Beispiel:}&\unit[5]{ml}&=&\unit[\ldots]{mm^3}\\ \\
1. &\unit[5]{ml}&=&\unit[0{,}005]{l}\\
2. &&=&\unit[0{,}005]{dm^3}\\
3. &&=&\unit[5\,000]{mm^3}\\ \\ \\
\textnormal{3. Beispiel:}& \unit[14]{m^3}&=&\unit[\ldots]{hl}\\ \\
1. &\unit[14]{m^3}&=&\unit[14\,000]{dm^3}\\
2. &&=&\unit[14\,000]{l}\\
3. &&=&\unit[140]{hl}\\ \\ \\
\textnormal{4. Beispiel:}&\unit[220]{m^2}&=&\unit[\ldots]{ha}\\ \\
1. &\unit[220]{m^2}&=&\unit[2{,}2]{dam^2}\\
2. &&=&\unit[2{,}2]{a}\\
3. &&=&\unit[0{,}022]{ha}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
Wandeln Sie die Größen in die vorgegebenen Einheiten um! Die Lösungen finden
Sie auf der nächsten Seite.

\[\begin{array}{p{10mm}rcp{28mm}l}
(1) & \unit[8{,}5]{cm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(2) & \unit[55{,}5]{mm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(3) & \unit[6\,000]{dm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(4) & \unit[0{,}03]{km^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(5) & \unit[0{,}005]{cm^2}&=&&\textnormal{mm}^2\\ \\
(6) & \unit[0{,}8]{mm^2}&=&&µ\textnormal{m}^2\\ \\
(7) & \unit[21]{ha}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(8) & \unit[0{,}7]{a}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(9) & \unit[0{,}000\,004]{km^2}&=&&\textnormal{cm}^2\\ \\
(10) & \unit[0{,}009]{ha}&=&&\textnormal{mm}^2\\ \\
(11) & \unit[1\,500]{cm^3}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(12) & \unit[800]{dm^3}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(13) & \unit[35\,000]{mm^3}&=&&\textnormal{cm}^3\\ \\
(14) & \unit[0{,}000\,004]{m^3}&=&&\textnormal{mm}^3\\ \\
(15) & \unit[45]{l}&=&&\textnormal{dm}^3\\ \\
(16) & \unit[0{,}2]{l}&=&&\textnormal{cm}^3\\ \\
(17) & \unit[30]{hl}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(18) & \unit[0{,}000\,021]{hl}&=&&\textnormal{mm}^3\\ \\
\end{array}\]

\subsection{Lösungen}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[8{,}5]{cm^2}&=&\unit[0{,}000\,85]{m^2}\\ \\
(2) & \unit[55{,}5]{mm^2}&=&\unit[0{,}000\,055\,5]{m^2}\\ \\
(3) & \unit[6\,000]{dm^2}&=&\unit[60]{m^2}\\ \\
(4) & \unit[0{,}03]{km^2}&=&\unit[30\,000]{m^2}\\ \\
(5) & \unit[0{,}005]{cm^2}&=&\unit[0{,}5]{mm^2}\\ \\
(6) & \unit[0{,}8]{mm^2}&=&\unit[800\,000]{µm^2}\\ \\
(7) & \unit[21]{ha}&=&\unit[210\,000]{m^2}\\ \\
(8) & \unit[0{,}7]{a}&=&\unit[70]{m^2}\\ \\
(9) & \unit[0{,}000\,004]{km^2}&=&\unit[40\,000]{cm^2}\\ \\
(10) & \unit[0{,}009]{ha}&=&\unit[90\,000\,000]{mm^2}\\ \\
(11) & \unit[1\,500]{cm^3}&=&\unit[0{,}15]{m^3}\\ \\
(12) & \unit[800]{dm^3}&=&\unit[0{,}8]{m^3}\\ \\
(13) & \unit[35\,000]{mm^3}&=&\unit[35]{cm^3}\\ \\
(14) & \unit[0{,}000\,004]{m^3}&=&\unit[4]{mm^3}\\ \\
(15) & \unit[45]{l}&=&\unit[45]{dm^3}\\ \\
(16) & \unit[0{,}2]{l}&=&\unit[200]{cm^3}\\ \\
(17) & \unit[30]{hl}&=&\unit[3]{m^3}\\ \\
(18) & \unit[0{,}000\,021]{hl}&=&\unit[2\,100]{mm^3}\\ \\
\end{array}\]


\end{document}
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