\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot}
\usepackage{pst-node,pst-circ}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\usepackage{units}
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Grundlagen der Differentialrechnung}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage
\section{Grundprinzip der Differenzialrechnung}
\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.9,5.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(5.9,5.9)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,5.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.5}{5.9}{2 x mul 1 sub}
  \uput[135](2,3){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-}(1,1)(3,1)(3,5)
  \uput[-90](2,1){\textcolor{blue}{$\Delta x$}}
  \uput[0](3,3){\textcolor{blue}{$\Delta y$}}
\end{pspicture}
\caption{\emph{Funktionsgraph} $f(x)=2x-1$}
\end{wrapfigure}
Bekanntlich hat eine Gerade, die durch eine \textbf{Lineare Funktion}
beschrieben wird, eine \textbf{Steigung}. Üblicherweise wird die Steigung mit
$m$ bezeichnet. Sie wird bestimmt mithilfe der Formel:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
In nebenstehendem Bild des Funktionsgraphen gilt:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2\]
Dabei spielt es keine Rolle, an welcher Stelle und in welcher Größe das
Steigungsdreieck angelegt wird. Immer ergibt sich \mbox{$m=2$}.\\

Anders sieht es aus, wenn man den Funktionsgraph einer \textbf{Nichtlinearen
Funktion}, also
\begin{wrapfigure}{r}{5.6cm}
\psset{xunit=16mm,yunit=16mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.9)(2.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-0.6,-0.6)(2.8,4.8)
  \uput[-90](2.7,0){x}  \uput[180](0,4.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.9}{2.9}{x x mul}
  \uput[135](2,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=0.5pt,linecolor=green]{-0.9}{2.9}{2 x mul 1 sub}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-}(1,1)(2,1)(2,3)
  \uput[-90](1.5,1){\textcolor{blue}{$\Delta x$}}
  \uput[0](2,2){\textcolor{blue}{$\Delta y$}}
  \pscircle*(1,1){2pt} \uput[135](1,1){$P$}
\end{pspicture}
\caption{\emph{Funktionsgraph} $f(x)=x^2$}
\end{wrapfigure}
beispielsweise den Funktionsgraphen einer Parabel betrachtet.\\

Nebenstehend ist die Funktion \mbox{$f(x)=x^2$} dargestellt. Offensichtlich
verläuft der Funktionsgraph an jeder Stelle unterschiedlich steil. Daher kann
man der Funktion keine sinnvolle \textbf{globale} Steigung zuordnen. Man kann
jedoch \textbf{für jeden einzelnen Punkt} des Funktionsgraphen eine Steigung
angeben. Dazu legt man in dem Punkt, für den man die Steigung sucht, eine
\textbf{Tangente} an die Kurve an, wie nebenstehend für den Punkt
\mbox{$P(1|1)$} dargestellt ist. Man ordnet dann dem Punkt $P$ der Kurve die
Steigung der Tangenten im Punkt $P$ zu. Diese Tangentensteigung kann nach
bekanntem Muster aus dem eingezeichneten Steigungsdreieck bestimmt werden.\\

Nun stellt sich natürlich die Frage:"`\emph{\textbf{Wie kann die
Tangentensteiung rechnerisch aus der Funktionsgleichung ermittelt
werden?}}"'\\

Diese Frage ist nicht ganz einfach zu lösen. Man benötigt dazu die Kenntnisse
über Folgen und deren Grenzwerte\footnote{Einzelheiten zu
Grenzwerten siehe beispielsweise hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/folgen\_g.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/folgen_g.pdf}\fi}
. Die Idee ist nämlich folgende:\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=26mm,yunit=16mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.6)(2.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-0.6,-0.6)(2.8,4.8)
  \uput[-90](2.7,0){x}  \uput[180](0,4.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.9}{2.9}{x x mul}
  \uput[135](2.1,4.4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=0.5pt,linecolor=green]{-0.9}{2.9}{2 x mul 1 sub}
  \psplot[linewidth=0.5pt]{-0.9}{2.9}{3 x mul 2 sub}
  \psplot[linewidth=0.5pt]{-0.9}{2.9}{2.5 x mul 1.5 sub}
  \pscircle*(1,1){2pt} \uput[135](1,1){$P$}
  \pscircle*(2,4){2pt} \uput[135](2,4){$P_1$}
  \pscircle*(1.5,2.25){2pt} \uput[135](1.5,2.25){$P_2$}
  \uput[-90](1,-0.3){$\mathbf{x_0}$}
  \uput[180](-0.15,1){$\mathbf{y_0}$}
\end{pspicture}
\caption{\emph{Folge von Sekanten}}
\end{wrapfigure}
Man legt zunächst neben dem Punkt $P$, der an der Stelle $\mathbf{x_0}$ liegt
und in dem die Tangentensteigung ermittelt werden soll, einen weiteren
Hilfspunkt auf dem Funktionsgraphen fest, der zunächst $P_1$ heißt, so dass man
eine \textbf{Sekante}\footnote{Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve im
Gegensatz zur Tangenten nicht berührt, sondern in zwei Punkten schneidet.}
durch $P$ und $P_1$ legen kann.\\

Dann bewegt man den Hilfspunkt langsam in Richtung $P$. Eingezeichnet ist der
Hilfspunkt mit dem Namen $P_2$, dessen horizontaler Abstand zu $P$ nur noch
halb so groß ist, wie beim ersten Hilfspunkt $P_1$. Je näher dieser Hilfspunkt
an $P$ herankommt, desto mehr nähern sich die schwarz eingezeichneten Sekanten
der grün eingezeichneten Tangenten an. (Weitere Sekanten und Hilfspunkte können
schlecht eingezeichnet werden, weil man sonst nichts mehr erkennen kann.) \\

Mathematisch gesehen erzeugt man nun eine geeignete \textbf{Folge von
Hilfspunkten} $\mathbf{P_n}$, die den Punkt $P$ als Grenzwert hat. Zu jedem
Hilfspunkt $P_n$ gibt es dann eine zugehörige Sekantensteigung. Wir erhalten
also eine \textbf{Folge von Sekantensteigungen} $\mathbf{m_n}$. Deren Grenzwert
stellt dann die \textbf{Tangentensteigung} $\mathbf{m_T}$ dar.\\

Nach diesen Vorüberlegungen gehen wir jetzt vor. Zunächst führe ich die
Hilfsgröße $h$ ein. Sie stellt den Abstand zwischen den $x$-Werten von $P$ und
$P_n$ dar. Im Anfang haben wir den Abstand noch $\Delta x$ genannt, an dieser
Stelle ist in der Mathematik jedoch ein $h$ üblich.\\

Als nächstes benötigen wir eine Folge von $h$-Werten, die den Grenzwert Null
hat, jedoch ohne dass irgendein $h_n$ jemals genau gleich Null ist.
(Anderenfalls müsste man sonst irgendwann durch Null dividieren, was ja
bekanntlich nicht möglich ist.) Ich wähle die Folge:
\[h_n=\frac{1}{n}\]


Nun bestimme ich allgemein die Steigung der Sekanten durch die Punkte $P$ und
$P_n$.
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_n-y_0}{x_n-x_0}\]
Wir erinnern uns: wir haben den Abstand zwischen den $x$-Werten $h$ genannt,
also ist \mbox{$x_n-x_0=h$}. Weiterhin ist $y_0$ der Funktionswert an der
Stelle $x_0$, also \mbox{$y_0=f(x_0)$}. Nach dem gleichen Prinzip ist $y_n$ der
Funktionswert an der Stelle $x_n$, also \mbox{$y_n=f(x_n)$}, oder
\mbox{$y_n=f(x_0+h)$}. Das setzen wir in die Gleichung ein:
\[m=\frac{y_n-y_0}{x_n-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Da wir eine konkrete Beispielfunktion haben, nämlich \mbox{$f(x)=x^2$}, können
wir diese Funktion nun einsetzen. Wir erhalten dann:
\[m= \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}\]
Der Zähler kann ausmultipliziert und zusammengefasst werden (bitte auf die
Binomische Formel achten!), danach kann man $h$ ausklammern und kürzen. Das
sieht dann so aus:
\[m= \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}= \frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}
= \frac{2x_0h+h^2}{h}= \frac{h \cdot (2x_0+h)}{h}=2x_0+h\]

Jetzt können wir ausnutzen, dass wir für $h$ die Folge \mbox{$h_n=\frac{1}{n}$}
definiert haben. Dann ist der Grenzwert für \mbox{$n \to \infty$} die
Tangentensteigung $m_T$.
\[m_T=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\]
Für unser Beispiel haben wir schon zusammengefasst und vereinfacht. Damit
erhalten wir:
\[m_T=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}
=\lim_{n \to \infty}(2x_0+h_n)=\lim_{n \to \infty}\left(2x_0+\frac{1}{n}\right)\]
Dieser Grenzwert kann mit Hilfe der \textbf{Grenzwertsätze} ausgerechnet
werden:
\[m_T=\lim_{n \to \infty}\left(2x_0+\frac{1}{n}\right)
=\lim_{n \to \infty}2x_0+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=2x_0+0=2x_0\]

Als Ergebnis haben wir eine Funktion erhalten, die an jeder Stelle die Steigung
der Funktion $f(x)$ angibt. Das könnte man so schreiben:
\[m_T(x)=2x\]
Die Funktion, die als Funktionswert die Steigung der Funktion $f(x)$ angibt,
nennt man "`\textbf{\emph{Ableitung von}} $\mathbf{f(x)}$"', Schreibweise:
\[\frac{df}{dx} \textnormal{ (gesprochen: \emph{df nach dx}) oder einfacher: }
  f'(x)\]
Man ersetzt nun noch den Grenzwert für $n$ gegen $\infty$ durch den Grenzwert
für $h$ gegen 0. Damit ist gemeint, dass man für $h$ eine beliebige Nullfolge
einsetzen kann, wie wir das ja gemacht haben. Mit diesen Vereinbarungen kommt
man zu folgender Definition für die Ableitung einer Funktion:
\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Man nennt diese Formel auch den \textbf{\emph{Differenzenquotienten}}. Mit
dieser Definition kann im Prinzip jede beliebige Funktion \emph{abgeleitet}
werden.\\

\paragraph*{Ein Beispiel:}
Wir wollen die Funktion $f(x)=2x^2-3x+5$ ableiten. Dazu setzen wir die
Funktionsgleichung in die Definition mit dem Differenzenquotienten ein.
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{\Bigl(2(x+h)^2-3(x+h)+5\Bigr)-(2x^2-3x+5)}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)-3x-3h+5-2x^2+3x-5}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-3x-3h+5-2x^2+3x-5}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{4xh+2h^2-3h}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{h \cdot (4x+2h-3)}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0}(4x+2h-3) \\
&=&\lim_{h \to 0}4x +\lim_{h \to 0}2h-\lim_{h \to 0}3 \\
&=&4x+0-3 \\
f'(x)&=&4x-3 \\
\end{eqnarray*}


\newpage
\section{Ableiten von Funktionen}
Auf die vorstehend dargestellte Weise lässt sich im Prinzip jede Funktion
ableiten. Allerdings ist das in der Praxis je nach Funktion nicht ganz so
simpel, wie in diesem Beispiel. Zudem ist das Ableiten für jede Funktion
relativ aufwendig.\\
Will man von konkreten Funktionen Ableitungen bestimmen, dann benötigt man
in der Praxis zweierlei:
\begin{enumerate}
\item Die Ableitungen einiger wichtiger Grundfunktionen
\item Ableitungsregeln zur Verknüpfung der Grundfunktionen
\end{enumerate}

\subsection{Ableitungen wichtiger Grundfunktionen:}
Ohne Herleitung sollen die Ableitungen der wichtigsten Funktionen hier
angegeben werden.
\[\begin{array}{|llcl|}
\hline
(1) & f(x)=x^n &\Rightarrow& f'(x)=n \cdot x^{n-1} \\
(2) & f(x)=e^x &\Rightarrow& f'(x)=e^x \\
(3) & f(x)= \sin x &\Rightarrow& f'(x)= \cos x \\
(4) & f(x)= \cos x &\Rightarrow& f'(x)=-\sin x \\
(5) & f(x)= \ln x &\Rightarrow& f'(x)=\frac{1}{x}\\
\hline
\end{array}\]

Als Sonderfall zu Funktion (1) können noch gelten:
\[\begin{array}{|llcl|}
\hline
(6) & f(x)=x &\Rightarrow& f'(x)=1 \\
(7) & f(x)=k &\Rightarrow& f'(x)=0 \\
\hline
\end{array}\]

\subsection{Ableitungsregeln}
Mit diesen Grundfunktionen können fast alle anderen denkbaren Funktionen
abgeleitet werden, wenn man die fünf \textbf{Ableitungsregeln} kennt. Auch
diese Ableitungsregeln können mit Hilfe des Differenzenquotienten bewiesen
werden; das ist allerdings zum Teil nicht ganz einfach, weshalb ich mir das an
dieser Stelle ersparen möchte. Ich möchte im Folgenden die Ableitungsregeln nur
vorstellen und anschließend anhand von Beispielen deren Anwendung erläutern.

\[\begin{array}{|llcl|}
\hline
1. \textnormal{ Konstantenregel:} & f(x)=k \cdot g(x) &\Rightarrow& f'(x)=k \cdot g'(x) \\
2. \textnormal{ Summenregel:} & f(x)=u(x)+v(x) &\Rightarrow& f'(x)=u'(x)+v'(x) \\
3. \textnormal{ Produktregel:} & f(x)=u(x) \cdot v(x) &\Rightarrow& f'(x)
  =u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\
4. \textnormal{ Quotientenregel:} & f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} &\Rightarrow& f'(x)
  =\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} \\
5. \textnormal{ Kettenregel:} & f(x)=f \bigl( g(x) \bigr) &\Rightarrow& f'(x)
  =f'(g) \cdot g'(x) \\
\hline
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Beispiele zur Konstantenregel:}
\[f(x)=2x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Mit \mbox{$k=2$} und \mbox{$g(x)=x^3$} können wir die \textbf{Konstantenregel}
verwenden. Die Ableitung der Funktion \mbox{$g(x)=x^3$} kann mit Hilfe der
Grundfunktion (1) als \mbox{$g'(x)=3x^2$} bestimmt werden. Damit erhalten wir:
\[f(x)=2x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2 \cdot 3x^2=6x^2\]

Ein anderes Beispiel:
\[f(x)=5e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Mit \mbox{$k=5$} und \mbox{$g(x)=e^x$} können wir die \textbf{Konstantenregel}
verwenden. Die Ableitung der Funktion \mbox{$g(x)=e^x$} kann mit Hilfe der
Grundfunktion (2) als \mbox{$g'(x)=e^x$} bestimmt werden. Damit erhalten wir:
\[f(x)=5e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=5e^x\]

\subsubsection{Beispiele zur Summenregel:}
\[f(x)=x^3+x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Mit \mbox{$u(x)=x^2$} und \mbox{$v(x)=x^2$} können wir die \textbf{Summenregel}
verwenden. Die Ableitungen der Funktionen \mbox{$u(x)=x^3$} und
\mbox{$v(x)=x^2$} können mit Hilfe der Grundfunktion (1) (Potenzfunktion)
bestimmt werden. Damit erhalten wir:
\[f(x)=x^3+x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=3x^2+2x\]

Natürlich können auch mehr als zwei Summanden vorkommen.
\[f(x)=x^5-x^3+\cos x-e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=5x^4-3x^2-\sin x-e^x\]

Sehr oft benötigt man gleichzeitig zur Summenregel auch die Konstantenregel.
\[f(x)=3x^2-5x+7 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Die Ableitungen der Teilfunktionen \mbox{$u(x)=3x^2$} und \mbox{$v(x)=5x$}
können jeweils mit der Konstantenregel bestimmt werden. Damit ergibt sich:
\[f(x)=3x^2-5x+7 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=3 \cdot 2x-5\]

\subsubsection{Beispiele zur Produktregel:}
Die Produktregel ist leider etwas lästig in der Anwendung. Oft wird
fälschlicherweise auch vermutet, dass \mbox{$f'(x)=u'(x) \cdot v'(x)$} die
Lösung sei. Daher noch einmal ganz deutlich: \textbf{Das ist völlig falsch!}
Sehen wir uns ein erstes Beispiel an, in dem man die Ableitung auch ohne die
Produktregel bestimmen kann:
\[f(x)=(x^2+3x+1) \cdot (2x-3) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ liste ich auf und bilde die zugehörigen
Ableitungen:
\[\begin{array}{rclcrcl}
u(x)&=&x^2+3x+1 &\Rightarrow& u'(x)&=&2x+3 \\
v(x)&=&2x-3 &\Rightarrow& v'(x)&=&2 \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung bestimmt werden:
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\
&=&(2x+3) \cdot (2x-3)+(x^2+3x+1) \cdot 2 \\
\end{eqnarray*}

Ein anderes Beispiel:
\[f(x)=x^2 \cdot \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ liste ich auf und bilde die zugehörigen
Ableitungen:
\[\begin{array}{rclcrcl}
u(x)&=&x^2 &\Rightarrow& u'(x)&=&2x \\
v(x)&=&\sin x &\Rightarrow& v'(x)&=&\cos x \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung bestimmt werden:
\[f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)=2x \cdot \sin x+x^2 \cdot \cos x\]

\subsubsection{Beispiele zur Quotientenregel:}
Die Quotientenregel ist noch sperriger in der Anwendung, als die Produktregel.
Auch hier wird oft fälschlicherweise etwas falsches vermutet, nämlich:
\mbox{$f'(x)=\frac{u'(x)}{v'(x)}$} Das ist natürlich \textbf{völlig
falsch}! Sehen wir uns das erste Beispiel an, das man auch ohne die
Quotientenregel ableiten kann:
\[f(x)=\frac{2x^2-6x+4}{2x-2} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ liste ich auf und bilde die zugehörigen
Ableitungen:
\[\begin{array}{rclcrcl}
u(x)&=&2x^2-6x+4 &\Rightarrow& u'(x)&=&4x-6 \\
v(x)&=&2x-2 &\Rightarrow& v'(x)&=&2 \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung mit der Quotientenregel bestimmt werden:
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} \\
&=&\frac{(4x-6) \cdot (2x-2)-(2x^2-6x+4) \cdot 2}{(2x-2)^2}\\
&=&\frac{8x^2-8x-12x+12-4x^2+12x-8}{4x^2-8x+4}\\
&=&\frac{4x^2-8x+4}{4x^2-8x+4}\\
f'(x)&=&1 \\
\end{eqnarray*}
Wenn man den Zähler faktorisiert, kann die Ableitung auch einfacher bestimmt
werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{2x^2-6x+4}{2x-2}\\
&=&\frac{(2x-2) \cdot (x-2)}{2x-2}\\
&=&x-2 \\
\end{eqnarray*}
Mit der Summenregel ergibt sich daraus:
\[f'(x)=1\]
Die Ableitungen für beide Lösungswege stimmen überein.\\

Hier eine andere Funktion, die ohne Quotientenregel nicht abgeleitet werden
kann:
\[f(x)= \tan x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Bekanntlich (oder auch nicht...) lässt sich $\tan x$ schreiben als Quotient aus
$\sin x$ und $\cos x$.
\[f(x)= \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]
Die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ liste ich auf und bilde die zugehörigen
Ableitungen:
\[\begin{array}{rclcrcl}
u(x)&=&\sin x &\Rightarrow& u'(x)&=&\cos x \\
v(x)&=&\cos x &\Rightarrow& v'(x)&=&-\sin x \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung mit der Quotientenregel bestimmt werden:
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} \\
&=&\frac{(\cos x) \cdot (\cos x)-(\sin x) \cdot (-\sin x)}{\cos^2x}\\
f'(x)&=&\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\
\end{eqnarray*}
Im Zähler kann man noch den \textbf{Trigonometrischen Pythagoras} anwenden, der
besagt: \mbox{$\sin^2x+\cos^2x=1$}.\quad Damit erhält man:
\[f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}\]

\subsubsection{Beispiele zur Kettenregel:}
Die Kettenregel ist eine sehr mächtige Regel, allgemein macht sie jedoch von
allen Regeln die meisten Schwierigkeiten, bis sie verstanden ist. Sie kommt
immer dann zur Anwendung, wenn sich eine Funktion als \textbf{Funktion einer
(Unter-) Funktion} auffassen lässt. Das bedeutet, es gibt einen Teil in der
Funktion, der -- bekannte $x$-Werte vorausgesetzt -- zunächst berechnet werden
muss, bevor \textbf{auf das Ergebnis eine andere Funktion} angewendet wird.
Hier das erste Beispiel:
\[f(x)= (2x+3)^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Hier lässt sich der Klammerausdruck als innere Funktion auffassen. Bevor man
quadriert (das ist die äußere Funktion) muss ja erst der Klammerinhalt
ausgerechnet werden. Es liegt also nahe, den Klammerinhalt als Unterfunktion
\mbox{$g(x)=2x+3$} zu bezeichnen. Ersetzt man diesen Ausdruck in der
Originalfunktion durch $g$, dann erhält man die äußere Funktion
\mbox{$f(g)=g^2$}.\\

Um etwas Ordnung in das System zu bringen schreibe ich die Funktionen sowie
deren Ableitungen auf. Dabei ist zu beachten, dass die Funktion \mbox{$f(g)$}
im Gegensatz zur Funktion \mbox{$f(x)$} nach $g$ und nicht nach $x$ abgeleitet
wird. Das ist im Anfang etwas gewöhnungsbedürftig.
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&2x+3 &\Rightarrow& g'(x)&=&2 \\
f(g)&=&g^2 &\Rightarrow& f'(g)&=&2g \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung mit der Kettentenregel bestimmt werden:
\[f'(x)=f'(g) \cdot g'(x)=2g \cdot 2\]
Jetzt muss nur noch $g$ wieder durch \mbox{$(2x+3)$} ersetzt werden. Danach
fasst man noch zusammen.
\[f'(x)=2g \cdot 2=2 \cdot (2x+3) \cdot 2=4 \cdot (2x+3)=8x+12\]
Dieses Beispiel kann auch ohne Kettenregel gelöst werden. Wir führen das einmal
durch, um ein Gefühl dafür zu bekommen, dass die Kettenregel richtig ist. Dazu
wird zunächst die Klammer in der Funktion mit der ersten Binomischen Formel
aufgelöst. Dann lässt sich die Ableitung bequem mit Konstanten- und Summenregel
bestimmen.
\[f(x)= (2x+3)^2=4x^2+12x+9 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=8x+12\]

Hier ein weiteres Beispiel:
\[f(x)= e^{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]
Da keine Klammer um \mbox{$e^x$} steht, muss der Term \mbox{$x^2$} zuerst
ausgerechnet werden. Deshalb stellt er die \textbf{innere Funktion} dar. Damit
ergibt sich:
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&x^2 &\Rightarrow& g'(x)&=&2x \\
f(g)&=&e^g &\Rightarrow& f'(g)&=&e^g \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung mit der Kettentenregel bestimmt werden:
\[f'(x)=f'(g) \cdot g'(x)=e^g \cdot 2x\]
Jetzt muss nur noch $g$ wieder durch \mbox{$x^2$} ersetzt werden.
\[f'(x)=e^g \cdot 2x=2x \cdot e^{x^2}\]

Weil die Kettenregel vielen Verständnisschwierigkeiten macht, kommt hier noch
ein Beispiel.
\[f(x)= \sin (3x+5) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]

Wieder muss man überlegen, was zuerst ausgerechnet wird. Hier ist es der
Klammerausdruck \mbox{$(3x+5)$}. Erst von dessen Ergebnis wird ja der Sinuswert
bestimmt. Daher stellt er die innere Funktion dar.
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&3x+5 &\Rightarrow& g'(x)&=&3 \\
f(g)&=&\sin g &\Rightarrow& f'(g)&=&\cos g \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung mit der Kettentenregel bestimmt werden:
\[f'(x)=f'(g) \cdot g'(x)=(\cos g) \cdot 3\]
Jetzt muss nur noch $g$ wieder durch \mbox{$3x+5$} ersetzt werden.
\[f'(x)=( \cos g) \cdot 3= \Bigl( \cos (3x+5) \Bigr) \cdot 3
=3 \cdot \cos(3x+5)\]

Als letztes Bespiel sehen wir uns an, wie die Kettenregel gleich mehrfach
verwendet werden kann.
\[f(x)= e^{\sin^3 x} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=?\]

Da der Exponent zuerst berechnet werden muss, stellt er die innere Funktion
dar. Wir erhalten damit:
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&\sin^3x &\Rightarrow& g'(x)&=&? \\
f(g)&=&e^g &\Rightarrow& f'(g)&=&e^g \\
\end{array}\]
Für \mbox{$g(x)=\sin^3x$} steht uns keine Grundfunktion zur Verfügung. Es lässt
sich aber hierauf die Kettenregel anwerden, denn \mbox{$\sin x$} muss ja zuerst
bestimmt werden, bevor mit 3 potenziert wird. Die Ableitung der Unterfunktion
\mbox{$g(x)=\sin^3x$} wird also vorweg bestimmt.
\[\begin{array}{rclcrcl}
h(x)&=&\sin x &\Rightarrow& h'(x)&=&\cos x \\
g(h)&=&h^3 &\Rightarrow& g'(h)&=&3h^2 \\
\end{array}\]
Damit können wir die Kettenregel auf \mbox{$g(x)$} anwenden.
\[g'(x)=g'(h) \cdot h'(x)=3h^2 \cdot \cos x \]
Mit diesem Ergebnis der "`Nebenrechnung"' können wir bei der Hauptrechnung
weitermachen.
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&\sin^3x &\Rightarrow& g'(x)&=&3h^2 \cdot \cos x \\
f(g)&=&e^g &\Rightarrow& f'(g)&=&e^g \\
\end{array}\]
Damit kann die Ableitung bestimmt werden.
\[f'(x)=f'(g) \cdot g'(x)=e^g \cdot 3h^2 \cdot \cos x\]
Nun werden $g$ und $h$ zurückeingesetzt.
\[f'(x)=e^g \cdot 3h^2 \cdot \cos x
=e^{\sin^3x} \cdot \left( 3 \cdot \sin^2x \right) \cdot \cos x\]

Wir sehen uns das Ergebnis noch einmal an der Stelle an, bevor wir $g$ und $h$
zurückeingesetzt haben Es war \mbox{$f'(g)=e^g$}, \mbox{$g'(h)=3h^2$} und
\mbox{$h'(x)=\cos x$}. Genau dieses Produkt stellt $f'(x)$ dar. Man kann also
die Kettenregel wie folgt erweitern:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=f \Bigl( g(h(x)) \Bigr) \quad \Rightarrow \quad
f'(x)=f'(g) \cdot g'(h) \cdot h'(x)$}\end{center}

Weiteres zu Ableitungsregeln ist hier zu finden:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}\fi\end{center}

\end{document}
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%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
