\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}
\title{Die Cramersche Regel}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Hier werden einige Beispielaufgaben mit Hilfe der Cramerschen Regel
durchgerechnet. Zuvor wird jedoch die Cramersche Regel in etwas
verallgemeinerter Form dargestellt.

\section{Die Cramersche Regel in allgemeiner Form}
Dargestellt wird die Cramersche Regel an einem Lineargleichungssystem dritter
Ordnung als Beispiel. Die allgemeine Schreibweise für ein System $n$-ter
Ordnung ist zwar möglich und auch unter Wissenschaftlern üblich, ist aber für
einen lernenden "`Neuling"' aus meiner Sicht unnötig unübersichtlich.\\

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem in der Normalform:
\begin{eqnarray*}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 & = & b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 & = & b_2 \\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 & = & b_3
\end{eqnarray*}
Dann erhalten wir die Lösungen für $x_1$ bis $x_3$ durch den Quotienten aus
zwei Determinanten\footnote{Was eine Determinante ist und wie sie berechnet
wird, wird später im Verlauf dieses Skriptes oder auch etwas ausführlicher hier
dargestellt:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/det.pdf}\fi}
in der Form:
\[
x_1=\frac
{\begin{array}{|rrr|}
b_1 & a_{12} & a_{13}  \\
b_2 & a_{22} & a_{23}  \\
b_3 & a_{32} & a_{33}
\end{array}}
{\begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}}
\quad \quad \quad
x_2=\frac
{\begin{array}{|rrr|}
a_{11} & b_1 & a_{13}  \\
a_{21} & b_2 & a_{23}  \\
a_{31} & b_3 & a_{33}
\end{array}}
{\begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}}
\quad \quad \quad
x_3=\frac
{ \begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3
\end{array}  }
{ \begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}  }
\]
Wenn man sich die Determinanten genauer ansieht, dann wird man schnell die
Systematik darin erkennen. Betrachten wir zunächst die Nenner-Determinanten.
Die sind bei allen drei Brüchen identisch. Sie bestehen aus den Koeffizienten
$a_{11}$ bis $a_{33}$ aus dem Gleichungssystem in genau der gleichen Position
zueinander, wie im Gleichungssystem. Die jeweiligen Zähler entstehen aus den
Nennern, indem \textbf{genau eine Spalte} durch die Werte $b_1$ bis $b_3$
ersetzt wird. Es wird jeweils \textbf{genau die} Spalte ersetzt, aus der die zu
bestimmende Variable stammt, also bei $x_1$ die vordere Spalte, bei $x_2$ die
mittlere und bei $x_3$ die hintere Spalte. Alle anderen Spalten sind mit dem
Nenner des Bruches identisch. \\

Wenn wir nur zwei Gleichungen mit zwei Variablen haben, dann wendet man dieses
System entsprechend genauso an. Sinngemäß das Gleiche gilt auch für
Gleichungssysteme mit einem höheren Grad als drei.\\

\section{Auflösen einer Determinante}
Es nützt wenig, einen Bruch zwei Determinanten aufzustellen, wenn man nicht
weiß, wie eine Determinante ausgerechnet wird. Dies soll im folgenden hier
dargestellt werden\\

Beim Auflösen einer Determinante muss man grundsätzlich drei verschiedene Fälle
unterscheiden.
\begin{enumerate}
\item Die Determinante ist zweireihig.
\item Die Determinante ist dreireihig.
\item Die Determinante hat mehr als drei Reihen.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Fall 1: Zweireihige Determinanten}
Eine zweireihige Determinante ist wie folgt definiert:
\[
{ \begin{array}{|rr|}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}  }
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}
\]
Am besten versucht man, sich die Reihenfolge der Faktoren optisch zu
verinnerlichen. Das erste Produkt $a_{11} \cdot a_{22}$ ist das Produkt über
die Diagonale von links oben nach rechts unten. Man spricht auch von der
\emph{Hauptdiagonalen}. Das Produkt entlang der Hauptdiagonalen ist positiv.
Das zweite Produkt $a_{21} \cdot a_{12}$ hat ein Minuszeichen, ist also
negativ. Es wurde über die andere Diagonale gebildet, die sogenannte
\emph{Nebendiagonale}. Auf diese Weise sollten sich die beiden Produkte merken
lassen.

\subsection{Fall 2: Dreireihige Determinanten}
Mehrreihige Determinanten sind in aller Regel
nicht einfach zu bestimmen. Für eine Determinante mit \textbf{genau drei}
Reihen gibt es aber den Lehrsatz von \emph{Sarrus}. Dieser Satz erlaubt ein
direktes Berechnen. Das sieht dann so aus:
\[
 \begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}
+ a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}
+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}
- a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13}
- a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11}
- a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}
\]
In dieser Form kann man sich das aber kaum merken. Daher empfiehlt es sich, die
Determinante um zwei weitere Spalten als Merkhilfe zu ergänzen. Man schreibt
einfach die erste und zweite Spalte noch einmal hinter die Determinante.


\begin{center}\begin{pspicture}(0,0)(6,1.7)
  \psline[linecolor=red]{-}(0.7,1.15)(1.1,0.9)
  \psline[linecolor=red]{-}(1.6,1.15)(2.0,0.9)
  \psline[linecolor=red]{-}(2.5,1.15)(2.9,0.9)
  \psline[linecolor=red]{-}(1.6,0.65)(2.0,0.4)
  \psline[linecolor=red]{-}(2.5,0.65)(2.9,0.4)
  \psline[linecolor=red]{-}(3.4,0.65)(3.8,0.4)
  \psline[linecolor=blue]{-}(0.7,0.4)(1.1,0.65)
  \psline[linecolor=blue]{-}(1.6,0.4)(2.0,0.65)
  \psline[linecolor=blue]{-}(2.5,0.4)(2.9,0.65)
  \psline[linecolor=blue]{-}(1.6,0.9)(2.0,1.15)
  \psline[linecolor=blue]{-}(2.5,0.9)(2.9,1.15)
  \psline[linecolor=blue]{-}(3.4,0.9)(3.8,1.15)
  \uput{0.1}[45](0,0)
{$\begin{array}{|rrr|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\color{black}$}
\end{pspicture}\end{center}

In dieser Form kann man drei Hauptdiagonalen bilden, indem man bei $a_{11}$,
bei $a_{12}$ und bei $a_{13}$ beginnt und jeweils nach rechts unten weiter
geht. Diese Diagonalen sind \textcolor{red}{rot} markiert.
Die drei Parameter auf jeder dieser Diagonalen werden miteinander
multipliziert. Entsprechend liegen drei negative Diagonalen von links unten
nach rechts oben bei $a_{31}$, bei $a_{32}$ und bei $a_{33}$ beginnend. Auch
hier werden jeweils die drei Parameter auf diesen Diagonalen miteinander
multipliziert. Diese Diagonalen sind \textcolor{blue}{blau} markiert. Man muss
allerdings ganz genau auf die Vorzeichen achten, Vorzeichenfehler sind hier die
am häufigsten auftretenden Fehler. \\

\subsection{Fall 3: Vielreihige Determinanten}
Determinanten mit mehr als
drei Reihen können leider nur mit dem sogenannten \emph{Entwicklungssatz}
bestimmt werden. Wie man mit dem Entwicklungssatz arbeitet, ist hier
dargestellt:
\begin{center}
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/det.pdf}\fi \end{center}
Hier findet man auch weitergehende Informationen zu Determinanten.

%----------------------------------------------------------------------
\section{Einige durchgerechnete Beispiele}
\subsection{Beispiel 1}
\[\begin{array}{crcl}
(1)&3x-2y+2z & = & 10 \\
(2)&4x+2y-3z & = & 1 \\
(3)&2x-3y+2z & = & 7
\end{array}\]
In diesem Beispiel wollen wir zunächst die Variable $x$ bestimmen. Das geht mit
dem Ansatz:
\[x= \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
10 & -2 & 2 \\
1 & 2  & -3 \\
7 & -3 & 2
\end{array}  }
{ \begin{array}{|rrr|}
3 & -2 & 2 \\
4 & 2  & -3 \\
2 & -3 & 2
\end{array}  }
\]
Wie man leicht sehen kann, ist die Determinante im Nenner genau der
"`Zahlenhaufen"', der als Koeffizienten (Vorzahlen) vor den Variablen $x$, $y$
und $z$ steht. Die Determinante im Zähler ist fast identisch, nur die erste
Spalte wurde durch die rechten Seiten der Gleichungen ersetzt. Damit das Ganze
vernünftig berechenbar wird, schreiben wir -- wie oben besprochen -- jeweils
die erste und zweite Spalte als Gedankenstütze noch einmal hinter die jeweilige
Determinante. Dann können wir rechnen, indem wir die Produkte der drei
positiven Diagonalen (von links oben nach rechts unten) und der drei
negativen Diagonalen (von links unten nach rechts oben) bilden. Die farbliche
Markierung der Diagonalen möchte ich mir hier ersparen.
\newpage
\begin{eqnarray*}
x & = & \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
10 & -2 & 2 \\
1 & 2  & -3 \\
7 & -3 & 2
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
10 & -2 \\
1  &  2 \\
7  & -3
\end{array}\color{black}}
{ \begin{array}{|rrr|}
3 & -2 & 2 \\
4 & 2  & -3 \\
2 & -3 & 2
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
4 &  2 \\
2 & -3
\end{array}\color{black}} \\
x & = & \frac
{10 \cdot 2 \cdot 2+(-2) \cdot (-3) \cdot 7+2 \cdot 1 \cdot (-3)
-7 \cdot 2 \cdot 2-(-3) \cdot (-3) \cdot 10-2 \cdot 1 \cdot (-2)}
{3 \cdot 2 \cdot 2+(-2) \cdot (-3) \cdot 2+2 \cdot 4 \cdot (-3)
-2 \cdot 2 \cdot 2-(-3) \cdot (-3) \cdot 3-2 \cdot 4 \cdot (-2)} \\
x & = & \frac{40+42-6-28-90+4}{12+12-24-8-27+16} \\
x & = & \frac{-38}{-19} \\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

Die Lösung für $y$ wird entsprechend bestimmt. Da die Nennerdeterminante bei
$y$ völlig identisch mit der Nennerdeterminante bei $x$ ist, kann man deren
Ergebnis $(-19)$ nicht nur für das Gesamtergebnis übernehmen, sondern sogar
schon im Ansatz mit verwenden. Damit ergibt sich für $y$:
\begin{eqnarray*}
y & = & \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
3 &10 & 2 \\
4 & 1 & -3 \\
2 & 7 & 2
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
3 & 10 \\
4 &  1 \\
2 &  7
\end{array}\color{black}}{-19} \\
y & = & \frac{3 \cdot 1 \cdot 2+10 \cdot (-3) \cdot 2+2 \cdot 4 \cdot 7
-2 \cdot 1 \cdot 2-7 \cdot (-3) \cdot 3-2 \cdot 4 \cdot 10}{-19} \\
y & = & \frac{6-60+56-4+63-80}{-19} \\
y & = & \frac{-19}{-19} \\
y & = & 1
\end{eqnarray*}
Man könnte nun $z$ natürlich mit dem entsprechenden Ansatz mit Hilfe der
Cramerschen Regel bestimmen. Da wir aber bereits $x$ und $y$ bestimmt haben,
geht es deutlich einfacher, indem man die bekannten Werte in eine der drei
gegebenen Gleichungen einsetzt und nach $z$ auflöst. Ich mache das mit
Gleichung (1):
\[\begin{array}{rcll}
3x-2y+2z & = & 10 &| \textnormal{ Werte einsetzen}\\
3 \cdot 2-2 \cdot 1+2z & = & 10 &| \textnormal{ zusammenfassen} \\
4+2z & = & 10 &| -4 \\
2z & = & 6 &| :2 \\
z & = & 3
\end{array}\]
\newpage
\subsection{Beispiel 2}
\[\begin{array}{crrrcl}
(1)&2x&+5y&-3z & = & 15 \\
(2)&3x&-5y&+4z & = & 10 \\
(3)&x&+3y&  & = & 8
\end{array}\]
Bei diesem Gleichungssystem fällt auf, dass in der dritten Gleichung kein $z$
vorkommt. In den Determinanten muss daher an der entsprechenden Stelle eine $0$
eingesetzt werden. Entsprechend bedeutet das $x$ ohne Koeffizienten eine 1 als
Koeffizienten, denn es gilt: $x=1x$. Man tut also so, als ob die dritte
Gleichung $1x+3y+0z=8$ lautete. Damit ergibt sich der Ansatz für $x$:
\[x= \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
15 &  5 & -3 \\
10 & -5 & 4 \\
 8 &  3 & 0
\end{array}  }
{ \begin{array}{|rrr|}
2 & 5 & -3 \\
3 & -5 & 4 \\
1 & 3& 0
\end{array}  }
\]
Zum Zweck der besseren Berechenbarkeit schreiben wir wieder im Zähler und auch
im Nenner jeweils die erste und zweite Spalte hinter die jeweilige
Determinante und rechnen alles aus.
\begin{eqnarray*}
x & = & \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
15 & 5 & -3 \\
10 & -5 & 4 \\
 8 & 3& 0
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
15 & 5  \\
10 & -5 \\
 8 & 3
\end{array}\color{black}}
{ \begin{array}{|rrr|}
2 &  5 & -3 \\
3 & -5 &  4 \\
1 &  3 &  0
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
2 & 5  \\
3 & -5 \\
1 & 3
\end{array}\color{black}} \\
x & = & \frac
{15 \cdot (-5) \cdot 0+5 \cdot 4 \cdot 8+(-3) \cdot 10 \cdot 3
-8 \cdot (-5) \cdot (-3)-3 \cdot 4 \cdot 15-0 \cdot 10 \cdot 5}
{2 \cdot (-5) \cdot 0+5 \cdot 4 \cdot 1+(-3) \cdot 3 \cdot 3
-1 \cdot (-5) \cdot (-3)-3 \cdot 4 \cdot 2-0 \cdot 3 \cdot 5} \\
x & = & \frac{0+160-90-120-180-0}{0+20-27-15-24-0} \\
x & = & \frac{-230}{-46} \\
x & = & 5
\end{eqnarray*}
Ähnlich, wie beim ersten Beispiel könnten wir jetzt den Ansatz nach der
Cramerschen Regel mit $y$ machen. Schaut man sich das Gleichungssystem aber
einmal genau an, dann kann man ausnutzen, dass in Gleichung (3) nur $x$ und $y$
vorkommen. Daher ist es sinnvoll, diese Gleichung zu verwenden und sofort den
gefundenen Wert $x=5$ dort einzusetzen. Damit bekommt man sofort $y$.
\[\begin{array}{rcll}
x+3y & = & 8 &| \textnormal{ $x$ durch 5 ersetzen} \\
5+3y & = & 8 &| -5 \\
3y & = & 3 &| :3 \\
y & = & 1
\end{array}\]
Ebenfalls durch Einsetzen der Ergebnisse in Gleichung (1) oder (2) bekommen wir
am bequemsten die noch fehlende Variable $z$. Natürlich wäre auch hier ein
Ansatz mit der Cramerschen Regel möglich, aber anders geht es eben schneller.
Ich wähle für die Bestimmung von $z$ die Gleichung (1).
\[\begin{array}{rcll}
2x+5y-3z & = & 15 &| \textnormal{ $x$ und $y$ ersetzen} \\
2 \cdot 5+5 \cdot 1-3z & = & 15 &| \textnormal{ zusamenfassen}\\
15-3z & = & 15 &| -15 \\
-3z & = & 0 &| :(-3) \\
z & = & 0
\end{array}\]

\subsection{Beispiel 3}
\[\begin{array}{crcl}
(1)&8x-17+9y & = & 2z \\
(2)&2(x+3y) & = & 11-z \\
(3)&3(z-3)+2y & =  & 2x
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem ist nicht in der Normalform angegeben, es ist
"`unsortiert"'. So kann man die Cramersche nicht anwenden. Wir müssen es also
erst noch in die Normalform bringen. Dazu lösen wir zunächst alle Klammern auf.
\[\begin{array}{crcll}
(1)&8x-17+9y & = & 2z &| +17-2z \\
(2)&2x+6y & = & 11-z &| +z \\
(3)&3z-9+2y & = & 2x &| +9-2x
\end{array}\]
Im nächsten Schritt kommen alle absoluten Terme (ohne eine Variable) auf die
rechte Seite und alle Terme mit einer Variablen auf die linke.
\[\begin{array}{crcl}
(1)&8x+9y-2z & = & 17 \\
(2)&2x+6y+z & = & 11 \\
(3)&3z+2y-2x & = & 9
\end{array}\]
Zum Schluss sortieren wir alle Terme mit einer Variablen, dass die Variablen
nach dem Alfabet sortiert da stehen. Hier ist das bei der ersten und der
zweiten Gleichung zufälligerweise schon der Fall. Also muss nur noch die dritte
Gleichung umsortiert werden.\\

\textbf{Ein kleiner Tipp dazu:} Es ist hilfreich, wenn man etwas Sorgfalt beim
Schreiben aufbringt und die Gleichungen so aufschreibt, dass alle $x$ genau
untereinander stehen. Mit $y$ und $z$ macht man es natürlich genauso.
\[\begin{array}{crrrcl}
(1)&8x&+9y&-2z & = & 17 \\
(2)&2x&+6y&+z & = & 11 \\
(3)&-2x&+2y&+3z & = & 9
\end{array}\]
Jetzt ist es endlich möglich, die Cramersche Regel anzuwenden. Wie gewohnt,
bestimmen wir zunächst $x$.
\begin{eqnarray*}
x & = & \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
17 & 9 & -2 \\
11 & 6 & 1 \\
 9 & 2 & 3
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
17 & 9 \\
11 & 6 \\
 9 & 2
\end{array}\color{black}}
{ \begin{array}{|rrr|}
8 & 9 & -2 \\
2 & 6 &  1 \\
-2 & 2 &  3
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
8 & 9 \\
2 & 6 \\
-2 & 2
\end{array}\color{black}} \\
x & = & \frac
{17 \cdot 6 \cdot 3+9 \cdot 1 \cdot 9+(-2) \cdot 11 \cdot 2
-9 \cdot 6 \cdot (-2)-2 \cdot 1 \cdot 17-3 \cdot 11 \cdot 9}
{8 \cdot 6 \cdot 3+9 \cdot 1 \cdot (-2)+(-2) \cdot 2 \cdot 2
-(-2) \cdot 6 \cdot (-2)-2 \cdot 1 \cdot 8-3 \cdot 2 \cdot 9} \\
x & = & \frac{306+81-44+108-34-297}{144-18-8-24-16-54} \\
x & = & \frac{120}{24} \\
x & = & 5
\end{eqnarray*}

Zur Abwechslung bestimmen wir als zweite Variable einmal $z$. Natürlich spricht
nichts dagegen, wenn man -- wie gewohnt -- zunächst $y$ bestimmt. Wie schon im
ersten Beispiel verwenden wir sofort das Ergebnis, das wir für die
Nennerdeterminante bei der Berechnung von $x$ mit 24 erhalten haben.
\begin{eqnarray*}
z & = & \frac
{ \begin{array}{|rrr|}
8 & 9 & 17 \\
2 & 6 & 11 \\
-2 & 2 & 9
\end{array}
\color{green}\begin{array}{rr}
8 & 9 \\
2 & 6 \\
-2 & 2
\end{array}\color{black}}
{24} \\
z & = & \frac
{8 \cdot 6 \cdot 9+9 \cdot 11 \cdot (-2)+17 \cdot 2 \cdot 2
-(-2) \cdot 6 \cdot 17-2 \cdot 11 \cdot 8-9 \cdot 2 \cdot 9}{24} \\
z & = & \frac{432-198+68+204-176-162}{24} \\
z & = & \frac{168}{24} \\
z & = & 7
\end{eqnarray*}
Mit $x$ und $z$ können wir nun aus einer beliebigen Gleichung $y$ bestimmen.
Ich suche mir dafür Gleichung (3) aus, weil die relativ einfach ist.
\[\begin{array}{rcll}
-2x+2y+3z & = & 9 &| \textnormal{ $x$ und $z$ ersetzen} \\
-2 \cdot 5+2y+3 \cdot 7 & = & 9 &| \textnormal{ zusammenfassen} \\
-10+2y+21 & = & 9 &| \textnormal{ zusammenfassen} \\
2y+11 & = & 9 &| -11 \\
2y & = & -2 &| :2 \\
y & = & -1
\end{array}\]

\section{Nachtrag}
Übungsaufgaben, die mit der Cramerschen Regel gelöst werden
können, sind zusammen mit kompletten Musterlösungen hier zu finden:
\begin{center} \ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf} \fi \end{center}

\paragraph{Anmerkung:}
Es gibt eine schöne interaktive Webseite, auf der man sich die Lösung eines
beliebigen Lineargleichungssystems mit allen Zwischenschritten anzeigen lassen
kann:
\begin{center}\ifpdf \url{https://matrixcalc.org/de/slu.html} \fi \end{center}


\end{document}


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%\caption{Bildunterschrift}
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%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
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