\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage[ngerman]{babel} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}

\title{Bruchrechnung}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Hier sollen die Regeln zur Bruchrechnung und der Umgang damit für alle
dargestellt werden, die das im Prinzip schon kennen, also früher schon einmal
kennengelernt haben, aber eine Auffrischung benötigen. Zum neu Erlernen der
Bruchrechnung ist diese Darstellung vermutlich zu kurz.

\section{Die Bruchrechenregeln}
\subsection{Addition gleichnamiger Brüche} Gleichnamige Brüche werden
addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält.
\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\]

\subsection{Addition ungleichnamiger Brüche} Ungleichnamige Brüche
werden addiert, indem man sie zunächst gleichnamig macht.
\[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=
\frac{a \cdot d}{c \cdot d}+\frac{c \cdot b}{c \cdot d}=
\frac{a \cdot d+b \cdot c}{c \cdot d}\]

\subsection{Anleitung zur Hauptnennerbestimmung}
Bei der Addition von Brüchen (siehe vorangehendes Kapitel) benötigt man den
so\-ge\-nann\-ten \emph{Hauptnenner}. Die obige einfache Formel bildet das
nicht gut ab. Das Produkt aller vor\-kom\-men\-den Nenner kann zwar verwendet
werden, führt aber oft zu einem unnötig großen Nenner. Der \textbf{Haupt}nenner
ist jedoch nicht irgendein gemeinsames Viel\-fa\-ches aller vor\-kom\-men\-den
Nenner, sondern das \textbf{kleinste} gemeinsame Vielfache. Ein Beispiel soll
das verdeutlichen:
\[\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}= \ldots \]

Natürlich kann man \mbox{$12 \cdot 18=216$} als gemeinsamen Nenner verwenden,
jedoch geht es einfacher auch mit der Zahl 36 als Hauptnenner, wie nachfolgend
dargestellt.
\[\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}=\cfrac{18}{216}+\cfrac{12}{216}=\cfrac{30}{216}
 =\cfrac{5}{36}\]
\[\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}=\cfrac{3}{36}+\cfrac{2}{36}=\cfrac{5}{36}\]

In der ersten Variante führte erst das Kürzen des Ergebnisbruches zu dem
einfacheren Bruch, den die zweite Variante sofort liefert.\\

Im folgenden soll dargestellt werden, wie man \textbf{systematisch} den
Hauptnenner bestimmen kann. Dies ist sicherlich nicht die einzig mögliche
Methode, aber sie führt auf jeden Fall zum Ziel.\\

Am besten stelle ich meine Anleitung anhand eines Beispiels vor. In diesem
Beispiel soll der Hauptnenner für die Addition dieser Brüche bestimmt werden:
\[\cfrac{1}{12}+\cfrac{2}{15}-\cfrac{7}{18}+\cfrac{3}{20}= \ldots\]

Zur Hauptnennerbestimmung muss jeder Nenner einzeln in
Primfaktoren\footnote{Mit Primfaktoren sind die Primzahlen gemeint, die als
Ergebnis den zu untersuchenden Nenner haben, wenn man sie miteinander
multipliziert.}
zerlegt werden. Dazu werden die verschiedenen Nenner in einer Tabelle
untereinander aufgeschrieben.
\[\begin{array}{rcll}
12 &=& \ldots \\
15 &=& \ldots \\
18 &=& \ldots \\
20 &=& \ldots \\
\end{array}\]

Jetzt kann jeder Nenner in seine Primfaktoren zerlegt werden.
\[\begin{array}{rcl}
12 &=& 2 \cdot 2 \cdot 3 \\
15 &=& 3 \cdot 5 \\
18 &=& 2 \cdot 3 \cdot 3 \\
20 &=& 2 \cdot 2 \cdot 5 \\
\end{array}\]

Um bessere Übersicht zu behalten ist es zweckmäßig, in diese Liste eine gewisse
Struktur zu bekommen. Dazu fasst man einerseits mehrere gleiche Primfaktoren zu
einer Potenz zusammen (Beispiel: \mbox{$2 \cdot 2=2^2$}) und sortiert
andererseits gleiche Primfaktoren in gleiche Spalten untereinander. In unserem
Beispiel sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rclclll}
12 &=& 2 \cdot 2 \cdot 3 &=&2^2& \cdot 3&\\
15 &=& 3 \cdot 5         &=&&\textcolor{white}{\cdot}3& \cdot 5 \\
18 &=& 2 \cdot 3 \cdot 3 &=&2& \cdot 3^2& \\
20 &=& 2 \cdot 2 \cdot 5 &=&2^2&& \cdot 5 \\
\end{array}\]

Jetzt können wir einen Strich drunter machen und den Hauptenner (kurz: HN)
angeben. Dies geschieht nach folgendem Merksatz:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{In den Hauptnenner kommt aus jeder Spalte
die höchste vorkommende Potenz.}\end{center}
Das Ganze sieht dann so aus:
\[\begin{array}{rclclll}
12 &=& 2 \cdot 2 \cdot 3 &=&2^2& \cdot 3&\\
15 &=& 3 \cdot 5         &=&&\textcolor{white}{\cdot}3& \cdot 5 \\
18 &=& 2 \cdot 3 \cdot 3 &=&2& \cdot 3^2& \\
20 &=& 2 \cdot 2 \cdot 5 &=&2^2&& \cdot 5 \\
\hline
&& \textnormal{ HN}&=&2^2& \cdot 3^2& \cdot 5 \\
\end{array}\]

Gehen wir das anhand des Merksatzes einmal schrittweise durch.\\

In der ersten Spalte stehen alle Zweien. Die Zwei kommt einfach (wie in Zeile
3), im Quadrat (wie in Zeile 1 und 4) oder auch garnicht vor (wie in Zeile 2).
Die höchste vor\-kom\-men\-de Potenz ist das Quadrat, also muss $2^2$ in den HN
übernommen werden. Ähnlich sieht es auch in der Spalte der Dreien aus, $3^2$
wird in den HN übernommen. In der Spalte der Fünfen kommt die 5 immer nur
einfach vor, daher übernehmen wir $5^1=5$ in den HN.\\

Der Hauptnenner kann nun natürlich auch ausgerechnet werden:
\mbox{HN$=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5=180$}. Hiermit geht man zurück in die
Aufgabenstellung. Jeder einzelne Bruch muss auf den Hauptnenner erweitert
werden.
\[\cfrac{1}{12}+\cfrac{2}{15}-\cfrac{7}{18}+\cfrac{3}{20}
 =\cfrac{\ldots}{180}+\cfrac{\ldots}{180}
  -\cfrac{\ldots}{180}+\cfrac{\ldots}{180}\]

Jeder einzelne Bruch muss mit einem bestimmten Faktor -- dem sogenannten
\emph{Er\-wei\-te\-rungs\-fak\-tor}, kurz: EF -- erweitert werden. Diesen
Erweiterungsfaktor kann man bestimmen, indem man den Hauptnenner durch den
jeweiligen Einzelnenner dividiert, man kann aber auch etwas bequemer die hier
bereits erstellte Tabelle dafür verwenden. Das geht so:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{In den Erweiterungsfaktor kommt alles,
was dem jeweiligen Nenner am HN fehlt.}\end{center}

Was damit gemeint ist, schauen wir uns an dem Beispiel an.
\[\begin{array}{rclclllcl}
12 &=& 2 \cdot 2 \cdot 3 &=&2^2& \cdot 3& &\Rightarrow&
  \textnormal{EF}=3 \cdot 5=15 \\
15 &=& 3 \cdot 5         &=&&\textcolor{white}{\cdot}3& \cdot 5
  &\Rightarrow&\textnormal{EF}=2^2 \cdot 3=12 \\
18 &=& 2 \cdot 3 \cdot 3 &=&2& \cdot 3^2& &\Rightarrow&
  \textnormal{EF}=2 \cdot 5=10 \\
20 &=& 2 \cdot 2 \cdot 5 &=&2^2&& \cdot 5 &\Rightarrow&
  \textnormal{EF}=3^3=9 \\
\hline
&& \textnormal{ HN}&=&2^2& \cdot 3^2& \cdot 5 &=&180 \\
\end{array}\]

Die Zerlegung des ersten Nenners -- der 12 -- zeigt in Übereinstimmung mit dem
Hauptnenner in der ersten Spalte eine $2^2$. Daher muss keine 2 in den
Erweiterungsfaktor übernommen werden. An der nächsten Stelle steht im
Hauptnenner $3^2$, in der Zerlegung des Nenners 12 aber nur eine einfache 3.
Bis $3^2$ fehlt also noch eine 3, die deshalb in den Erweiterungsfaktor
geschrieben werden muss. An der dritten Stelle des Hauptnenners sehen wir eine
5 (ohne Potenz), die im zerlegten Nenner ganz fehlt. Deshalb gehört in den
Erweiterungsfaktor auch die 5.\\

Weiter geht es mit den zweiten Nenner, der 15. Im Hauptnenner steht in der
ersten Spalte eine $2^2$, im faktorisierten Nenner ist garkeine 2. Die $2^2$
muss also komplett in den Erweiterungsfaktor. Der nächste Faktor im Haupt\-nen\-ner lautet
$3^2$, in der Zerlegung des zweiten Nennerst steht nur eine einfache 3. Bis
$3^2$ fehlt daher noch eine 3, die wir in den Erweiterungsfaktor übernehmen.
Die 5 als dritter Faktor im Haupt\-nen\-ner ist genauso auch oben vorhanden, kommt also
nicht in den Erweiterungsfaktor.\\

Entsprechend fehlt dem dritten Nenner nur eine 2 und eine 5 zum Haupt\-nen\-ner und dem
vierten die $2^2$.\\

Damit wären wir in der Tabelle fertig. Wir können den ersten Bruch mit 15, den
zweiten mit 12, den dritten mit 10 und den vierten mit 9 erweitern, um alle
Brüche gleichnamig zu machen.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{1}{12}+\cfrac{2}{15}-\cfrac{7}{18}+\cfrac{3}{20}
&=&\cfrac{1 \cdot 15}{180}+\cfrac{2 \cdot 12}{180}
  -\cfrac{7 \cdot 10}{180}+\cfrac{2 \cdot 9}{180}\\
&=&\cfrac{15}{180}+\cfrac{24}{180}
  -\cfrac{70}{180}+\cfrac{18}{180}\\
\cfrac{1}{12}+\cfrac{2}{15}-\cfrac{7}{18}+\cfrac{3}{20}&=&\cfrac{127}{180}\\
\end{array}\]

\subsection{Addition eines Bruches zu einer Zahl} Ein Bruch wird zu
einer Zahl addiert, indem man die Zahl zunächst in einen unechten Bruch mit dem
gleichen Nenner umwandelt.
\[\frac{a}{b}+c=\frac{a}{b}+\frac{c \cdot b}{b}=\frac{a+c \cdot b}{b}\]

\subsection{Multiplikation von Brüchen} Brüche werden miteinander
multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
\emph{Vor} dem Ausrechnen sollte man kürzen!
\[\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{d}=\frac{a \cdot b}{c \cdot d}\]

\subsection{Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl} Man
multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler des Bruches mit
der Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.
\emph{Vor} dem Ausrechnen sollte man kürzen!
\[\frac{a}{b} \cdot c=\frac{a \cdot c}{b}\]

\subsection{Division durch einen Bruch} Man dividiert durch einen Bruch,
indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
=\frac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad \textnormal{ oder: }\qquad
\frac{a}{\frac{b}{c}}=a \cdot \frac{c}{b}=\frac{a \cdot c}{b}\]

\subsection{Division eines Bruches durch eine Zahl:} Man dividiert einen
Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner des Bruches mit der Zahl
multipliziert.
\[\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b \cdot c}\]

\subsection{Anmerkung}
Einige Schüler schreiben gern das Gleich\-heits\-zei\-chen nicht \textbf{vor
den Bruch}, wo es hingehört, sondern irgendwohin, beispielsweise in den Zähler. An
dieser Stelle möchte ich gern an einem Beispiel zeigen, dass das Ergebnis davon
abhängen kann, wo das Gleich\-heits\-zei\-chen steht. Steht es bei einem
Doppelbruch nämlich nicht \textbf{vor dem Hauptbruchstrich}, dann weiß niemand,
welches der Hauptbruchstrich ist.\\

Hier ist das Beispiel. Wir suchen das Ergebnis für diesen Doppelbruch:
\[\cfrac{\cfrac{8}{4}}{2}\]

Ohne Gleichheitszeichen weiß niemand, was das bedeutet. Steht der Bruch
$\frac{8}{4}$ im Zähler und die 2 im Nenner eines Bruches, oder lautet der
Zähler 8 und der Nenner $\frac{4}{2}$?\\

Ich rechne beide Fälle mal durch.
\[\cfrac{\cfrac{8}{4}}{2}=\cfrac{8}{4 \cdot 2}=\cfrac{8}{8}=1\]
\[\cfrac{8}{\cfrac{4}{2}}=8 \cdot \cfrac{2}{4}=\cfrac{8 \cdot 2}{4}
 =\cfrac{16}{4}=4\]

Wie man leicht sieht, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse in Anhängigkeit
davon, auf welcher Höhe man das Gleichheitszeichen setzt! (Die Lehrer, die
immer gleich meckern, wenn das Gleichheitszeichen auf der falschen Höhe steht,
sind also nicht einfach nur kleinkarriert, sie haben einen mahematischen
Grund für die Meckerei\ldots)

%----------------------------------------------------------
\newpage
\section{Beispielaufgaben}
\begin{enumerate}
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{5}{3}-\cfrac{1}{3}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{6}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+2-\cfrac{1}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad 5 \cdot \cfrac{3}{4}-\cfrac{3}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{6}-\cfrac{5}{12}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{10}+\cfrac{2}{25}-\cfrac{1}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad 2-\left( \cfrac{11}{15}+\cfrac{3}{5}\right)= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{12}{7} \cdot \cfrac{35}{36}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{22} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{44}{25}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+\cfrac{25}{18} \cdot \cfrac{12}{35}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{\cfrac{2}{3}}{\cfrac{4}{9}}= \ldots$ \\
\item $\quad 6:\left(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}\right)= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{14}{9} \cdot \cfrac{12}{35}
 +\cfrac{38}{33} \cdot\cfrac{44}{95}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{39}{19} : \cfrac{52}{38}
 -\cfrac{\frac{42}{55}}{\frac{35}{66}}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{5}{12}-\cfrac{3}{8}+\cfrac{4}{9}-\cfrac{11}{18}= \ldots$
\end{enumerate}
%-----------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Lösungen der Beispielaufgaben}
\begin{enumerate}
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{5}{3}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2+5-1}{3}=\cfrac{6}{3}=2$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{6}
 =\cfrac{4}{6}+\cfrac{9}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4+9-1}{6}=\cfrac{12}{6}=2$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{4}{14}+\cfrac{28}{14}-\cfrac{7}{14}
 =\cfrac{4+28-7}{14}=\cfrac{25}{14}$ \\
\item $\quad 5 \cdot \cfrac{3}{4}-\cfrac{3}{2}=\cfrac{5 \cdot 3}{4}-\cfrac{6}{4}
 =\cfrac{15-6}{4}=\cfrac{9}{4} $ \\
\item $\quad \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{6}-\cfrac{5}{12}
 = \cfrac{9}{36}+\cfrac{12}{36}-\cfrac{8}{36}+\cfrac{30}{36}-\cfrac{15}{36}
 = \cfrac{9+12-8+30-15}{36}= \cfrac{28}{36}= \cfrac{7}{9}$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{10}+\cfrac{2}{25}-\cfrac{1}{2}
 =\cfrac{15}{50}+\cfrac{4}{50}-\cfrac{25}{50}= \cfrac{15+4-25}{50}
 =-\cfrac{6}{50}=-\cfrac{3}{25}$ \\
\item $\quad 2-\left( \cfrac{11}{15}+\cfrac{3}{5}\right)=2-\cfrac{11}{15}-\cfrac{3}{5}
 =\cfrac{30}{15}-\cfrac{11}{15}-\cfrac{9}{15}=\cfrac{30-11-9}{15}
 =\cfrac{10}{15}=\cfrac{2}{3}$ \\
\item $\quad \cfrac{12}{7} \cdot \cfrac{35}{36}=\cfrac{12 \cdot 35}{7 \cdot 36}
 = \cfrac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3}=\cfrac{5}{3}$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{22} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{44}{25}
 = \cfrac{1}{22} \cdot \cfrac{5}{2} \cdot \cfrac{44}{25}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{5}{2} \cdot \cfrac{2}{25}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{1}{5}$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+\cfrac{25}{18} \cdot \cfrac{12}{35}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{25 \cdot 12}{18 \cdot 35}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{5 \cdot 2}{3 \cdot 7}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{10}{21}= \cfrac{6}{21}+\cfrac{10}{21}= \cfrac{6+10}{21}
 = \cfrac{16}{21}$ \\
\item $\quad \cfrac{\cfrac{2}{3}}{\cfrac{4}{9}}
 = \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{9}{4}=\cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{3}{2}=\cfrac{3}{2} $ \\
\item $\quad 6:\left(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}\right)
 =6:\left( \cfrac{3}{6}-\cfrac{2}{6}\right)
 =6:\cfrac{3-2}{6}=6:\cfrac{1}{6}=6 \cdot \cfrac{6}{1}=6 \cdot 6=36$ \\
\item $\quad \cfrac{14}{9} \cdot \cfrac{12}{35}+\cfrac{38}{33} \cdot\cfrac{44}{95}
 =\cfrac{2}{9} \cdot \cfrac{12}{5}+\cfrac{2}{33} \cdot\cfrac{44}{5}
 =\cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{5}+\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{4}{5}
 =\cfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}+\cfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3}
 =\cfrac{8}{15}+\cfrac{8}{15}=\cfrac{16}{15}$ \\
\item $\quad \cfrac{39}{19} : \cfrac{52}{38}-\cfrac{\frac{42}{55}}{\frac{35}{66}}
 = \cfrac{39}{19} \cdot \cfrac{38}{52}-\cfrac{42}{55} \cdot \cfrac{66}{35}
 = \cfrac{39 \cdot 38}{19 \cdot 52}-\cfrac{42 \cdot 66}{55 \cdot 35}
 = \cfrac{3 \cdot 2}{1 \cdot 4}-\cfrac{6 \cdot 6}{5 \cdot 5}
 = \cfrac{3}{2}-\cfrac{36}{25}=\cfrac{75}{50}-\cfrac{72}{50}=\cfrac{3}{50}$ \\
\item $\quad \cfrac{5}{12}-\cfrac{3}{8}+\cfrac{4}{9}-\cfrac{11}{18}
 = \cfrac{30}{72}-\cfrac{27}{72}+\cfrac{32}{72}-\cfrac{44}{72}
 = \cfrac{30-27+32-44}{72}= -\cfrac{9}{72}= -\cfrac{1}{8}$

\end{enumerate}
%(Weitere Aufgaben folgen in Kürze)
\end{document}


