\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Die Binomischen Formeln}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage


\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage
\section{Grundlagen}
Wenn Summenterme miteinander multipliziert werden, dann kommt das
\textbf{Distributivgesetz}\footnote{Einzelheiten zum Distributivgesetz siehe
hier im Kapitel "`Regeln und Gesetze"' $\rightarrow$ "`Distributivgesetz"':\\ \ifpdf
\htmladdnormallink{\textcolor{blue}{
http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundrechnen.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundrechnen.pdf} \fi}
zum Einsatz. Damit kann man zwar im Prinzip alle Produkte bestimmen, es gibt
jedoch ein paar Sonderfälle, für die man eigene Formeln aufgestellt hat. Diese
heißen: \textbf{Binomische Formeln}.\\

\subsection{Die Erste Binomische Formel}
Die erste Binomische Formel lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$}
\end{center}
Sie lässt sich leicht herleiten, indem man das Quadrat "`zu Fuß"' mit Hilfe des
Distibutivgesetzes auflöst:
\[\begin{array}{rcll}
(a+b)^2&=&(a+b) \cdot (a+b) \\
&=&a \cdot a+a \cdot b+b \cdot a+b \cdot b \\
&=&a^2+ab+ba+b^2\\
&=&a^2+2ab+b^2 \\
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
  \psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,5)
  \psline*[linecolor=red!30](0,0)(3,0)(3,3)(0,3)(0,0)
  \psline*[linecolor=blue!30](3,3)(5,3)(5,5)(3,5)(3,3)
  \psline*[linecolor=green!30](3,0)(5,0)(5,3)(3,3)(3,0)
  \psline*[linecolor=green!30](0,3)(3,3)(3,5)(0,5)(0,3)
  \psline(0,0)(5,0)(5,5)(0,5)(0,0)
  \psline(3,0)(3,5)
  \psline(0,3)(5,3)
  \uput[-90](1.5,0){$a$}  \uput[-90](4,0){$b$}
  \uput[180](0,1.5){$a$}  \uput[180](0,4){$b$}
  \uput[90](1.5,1.2){$a^2$}
  \uput[90](1.5,3.7){$a \cdot b$}
  \uput[90](4,3.7){$b^2$}
  \uput[90](4,1.2){$a \cdot b$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die erste Binomische Formel lässt sich gut graphisch veranschaulichen.
Betrachten wir dazu die nebenstehenden Flächen.\\

Das kleine rote Quadrat hat die Seitenlängen $a$ und damit einen Flächeninhalt
$a^2$, das kleine blaue mit den Seitenlängen $b$ hat den Flächeninhalt $b^2$.
Soll die Gesamtfläche des großen Quadrates mit den Seitenlängen $(a+b)$ mit der
Gesamtfläche $(a+b)^2$ bestimmt werden, dann müssen alle vier Teilflächen
addiert werden. Das ist einmal das rote Quadrat $a^2$, zwei mal die grünen
Rechtecke $a \cdot b$ und einmal das blaue Quadrat $b^2$. Das entspricht genau
der ersten Binomischen Formel.\\

\textbf{Achtung!} In Schülerkreisen wird oft unterstellt, dass die Formel
lautet:
\[(a+b)^2\not=a^2+b^2\]
Dass diese Formel nicht richtig ist, erkennt man leicht an der Grafik. Die
beiden Rechtecke fehlen am Gesamtquadrat. Weil dieser Fehler trotzdem sehr oft
passiert, warne ich hiermit ausdrücklich davor!\\

Es gibt noch eine Regel, wie man das Vergessen des Terms $2ab$ besser
verhindern kann. Dazu verwendet man anstelle der Variablennamen $a$ und $b$ die
Variablennamen $klim$ und $bim$. Damit lautet die Binomische Formel:
\[(klim+bim)^2=(klim)^2+2 \cdot klimbim + (bim)^2 \]
Merkregel dazu: Vergiss nicht den Klimbim!\\

\subsection{Die Zweite Binomische Formel}
Die Zweite Binomische Formel ist der ersten sehr ähnlich. Sie lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$}
\end{center}
Auch sie lässt sich leicht herleiten, indem man das Quadrat "`zu Fuß"' mit
Hilfe des Distibutivgesetzes auflöst:
\[\begin{array}{rcll}
(a-b)^2&=&(a-b) \cdot (a-b) \\
&=&a \cdot a+a \cdot (-b)-b \cdot a-b \cdot (-b) \\
&=&a^2-ab-ba+b^2\\
&=&a^2-2ab+b^2 \\
\end{array}\]

Es mag dem einen oder anderen verwirrend erscheinen, dass der Term $b^2$
positiv ist, aber das ist richtig so. Es wurde ja $(-b)$ mit $(-b)$
multipliziert, wodurch wieder ein Pluszeichen entsteht.\\


\begin{wrapfigure}{r}{6.4cm}
  \psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
  \psline*[linecolor=red!30](0,0)(3,0)(3,3)(0,3)(0,0)
  \psline*[linecolor=blue!30](3,3)(5,3)(5,5)(3,5)(3,3)
  \psline*[linecolor=green!30](3,0)(5,0)(5,3)(3,3)(3,0)
  \psline*[linecolor=green!30](0,3)(3,3)(3,5)(0,5)(0,3)
  \psline(0,0)(5,0)(5,5)(0,5)(0,0)
  \psline(3,0)(3,5)
  \psline(0,3)(5,3)
  \uput[-90](2.5,0){$a$}  \uput[90](4,5){$b$}
  \uput[180](0,2.5){$a$}  \uput[0](5,4){$b$}
  \uput[90](1.5,1.2){$(a-b)^2$}
  \uput[90](2.5,3.7){$a \cdot b$}
  \uput[90](4,3.7){$b^2$}
  \uput[90](4,2.2){$a \cdot b$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auch die zweite Binomische Formel kann graphisch veranschaulicht werden. Die
Grafik ist aber leider nicht ganz so anschaulich wie die für die erste
Binomische Formel.\\

Hierbei ist die Seitenlänge des Gesamt-Quadrates $a$ und die Seitenlänge des
blauen Quadrates $b$. Das rote Quadrat hat dann die Seitenlänge $(a-b)$, stellt
also die Fläche $(a-b)^2$ dar. Die beiden langen grünen Rechtecke rechts und oben mit
den Seitenlängen $a$ und $b$ überlappen sich im Bereich des blauen Quadrates.
Bildet man nun gemäß der zweiten Binomischen Formel $(a-b)^2$, dann fängt man
ja mit $a^2$ an, also dem Gesamt-Quadrat. Subtrahiert man nun davon
$2ab$, schneidet also die beiden langen Rechtecke (grün plus blau) ab,
dann hat man das kleine blaue Quadrat quasi zweimal mit abgeschnitten, weil
sich die langen Rechtecke hier überlappen. Deshalb muss dieses wieder einmal
hinzugefügt werden. Das ist der Term $+b^2$ am Schluss der Formel.

\subsection{Die Dritte Binomische Formel}
Die Dritte Binomische Formel ähnelt den beiden ersten kaum noch. Sie lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$}
\end{center}
Auch sie kann problemlos mit Hilfe des Distributivgesetzes (man spricht meist
einfach vom "`Klammern-Ausmultiplizieren"') hergeleitet werden.

\[\begin{array}{rcll}
(a+b) \cdot (a-b)&=&a \cdot a+a \cdot (-b)+b \cdot a+b \cdot (-b) \\
&=&a^2-ab+ab-b^2 \\
&=&a^2-b^2 \\
\end{array}\]

Man kann zwar auch hier eine graphische Interpretation der Formel erstellen,
jedoch ist diese so unanschaulich, dass ich es erst garnicht vorstellen möchte.

\section{Anwendungsbeispiele für die Binomischen Formeln}
\paragraph{Anwendungen "`vorwärts"':}
Die Formeln lassen sich in beiden Richtungen anwenden. Die hier dargestellte
Form -- links das Produkt und rechts die Summe -- möchte ich der Einfachheit
halber als "`Vorwärtsrichtung"' bezeichnen. In dieser Form sind die Binomischen
Formeln in aller Regel unproblematisch in der Anwendung. Wer sie nicht parat
hat oder wem nicht klar ist, dass eine Binomische Formel angewendet werden
kann, der kommt auch mit einfachem Ausmultiplizieren weiter, wie in den
Herleitungen dargestellt. Ein paar Beispiele sollen die Anwendung
verdeutlichen.\\

\subsection{Beispiel 1:}

\[(2x+7)^2= \ldots \]
Hier ist \mbox{$a=2x$} und \mbox{$b=7$}. Damit wird die Formel angewendet:
\[(\underbrace{2x}_a+\underbrace7_b)^2=\underbrace{(2x)^2}_{a^2}
 +\underbrace{2 \cdot (2x) \cdot 7}_{2ab}
 +\underbrace{7^2}_{b^2}=4x^2+28x+49  \]

\subsection{Beispiel 2:}
\[5ab^2c^3+4a^2b^3c= \ldots \]
Hier ist \mbox{$a=5ab^2c^3$} und \mbox{$b=4a^2b^3c$}. Dabei ist zu beachten,
dass die Parameter $a$ und $b$ auf der linken Seite der Gleichheitszeichen
andere sind, als in den Termen rechts vom Gleichheitszeichen. So etwas sollte
man eigentlich vermeiden, ergibt sich hier aber durch die Bezeichnungen in der
Binomischen Formel. Damit kann die Erste Binomische Formel angewendet werden:
{\small
\[(\underbrace{5ab^2c^3}_a+\underbrace{4a^2b^3c}_b)^2
 =\underbrace{(5ab^2c^3)^2}_{a^2}
 +\underbrace{2 \cdot 5ab^2c^3 \cdot 4a^2b^3c}_{2ab}
 +\underbrace{(4a^2b^3c)^2}_{b^2}=25a^2b^4c^6+40a^3b^5c^4+16a^4b^6c^2 \]
}

\subsection{Beispiel 3:}
\[( \sqrt{x}-x)^2= \ldots \]
Hier ist \mbox{$a= \sqrt{x}$} und \mbox{$b=x$}. Die Formel kann ohne weiteres
angewendet werden.
\[( \underbrace{\sqrt{x}}_a-\underbrace{x}_b)^2
  = \underbrace{( \sqrt{x})^2}_{a^2}
  -\underbrace{2 \cdot \sqrt{x} \cdot x}_{2ab}+\underbrace{x^2}_{b^2}
  =x-2 \sqrt{x^3}+x^2 \]

\paragraph{Anwendungen "`rückwärts"':}
Interessant wird es, wenn die Formel "`rückwärts"' angewendet werden soll.
Beispielsweise beim Lösen von Gleichungen mit Brüchen\footnote{Details zu
Bruchgleichungen siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}
oder bei einer Partialbruchzerlegung\footnote{Details zur Partialbruchzerlegung
siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/partial.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/partial.pdf}\fi}
müssen Summenterme "`faktorisiert"' werden. Das bedeutet, sie sollen so
umgeformt werden, dass aus einem Summenterm ein Produktterm wird. Auch das soll
an ein paar Beispielen gezeigt werden.\\

\textbf{Anmerkung:} Diese Anwendungen werden vermutlich noch keine "`Neulinge"'
(was den Umgang mit Binomischen Formeln angeht) betreffen. Wer dieses Skript
studiert, um "`alte Grundlagen"' zu wiederholen, der wird solche Anwendungen
vermutlich kennen.\\

\subsection{Beispiel 4:}
\[ 9x^2-30x+25= \ldots\]
Aufgrund der Struktur des Summenterms (3 Summanden und ein Minuszeichen vor dem
mittleren) kommt nur die Zweite Binomische Formel in Frage. Ob sie passt, muss
nun genauer geprüft werden. Wenn sie tatsächlich passt muss gelten:
\[ 9x^2-30x+25=a^2-2ab+b^2 \]
Dann wäre \mbox{$9x^2=a^2$}, \mbox{$30x=2ab$} und \mbox{$25=b^2$}.
Aus der ersten und der dritten dieser drei Gleichungen können die Werte, die
$a$ und $b$ entsprechen, am einfachsten bestimmt werden. Dann muss geprüft
werden, ob die zweite Gleichung dazu passt. Bestimmen wir also zunächst $a$ und
$b$.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&9x^2 &| \sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{9x^2}\\
&=&\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2}\\
a&=&3x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&25 &| \sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{25}\\
b&=&5 \\
\end{array}\]

Jetzt wird der Term $2ab$ mit diesen Werten gebildet.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{3x}_a \cdot \underbrace{5}_b=30x\]
Das Ergebnis wird mit dem Mittel-Term verglichen und in der Tat findet man
Übereinstimmung. Mit den eben berechneten Werten für $a$ und $b$ kann nun die
Zweite Binomische Formel (rückwärts) angewendet werden:
\[ \underbrace{9x^2}_{a^2}-\underbrace{30x}_{2ab}+\underbrace{25}_{b^2}
  =(\underbrace{3x}_a-\underbrace{5}_{b})^2\]

\subsection{Beispiel 5:}
\[x^2+5x+6= \ldots \]
Hier könnte eventuell die Erste Binomische Formel Verwendung finden. Wir
bestimmen die Parameter $a$ und $b$ nach dem gleichen Muster wie im
vorangegangenen Beispiel.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{x^2}\\
a&=&x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&6 &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{6}\\
b&\approx&2{,}449 \\
\end{array}\]

Wenn die Erste Binomische Formel passt, dann muss für den Mittelterm gelten:
\[2ab=5x\]
Wir prüfen das.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{x}_a \cdot \underbrace{\sqrt{6}}_b
 \approx 4{,}899x\]
Abgesehen davon, dass man nicht mit Näherungen arbeiten sollte, ist aber auch
näherungsweise
\mbox{$4{,}899 \not= 5$}!\\

Dass es "`fast"' zu einer Binomischen Formel passt, genügt nicht. Entweder es
passt genau oder es passt nicht. Mit anderen Worten: Die Binomische Formel
lässt sich hier \textbf{nicht} anwenden!\\

\textbf{Anmerkung:} Natürlich gibt es noch andere
Methoden zum Faktorisieren. Beispielsweise kann man mit dem Satz von
Vieta herausfinden, dass sich der Term folgendermaßen umformen lässt:
\[x^2+5x+6=(x+2) \cdot (x+3)\]
Dies ist aber hier nicht das Thema.\\

\subsection{Beispiel 6:}
\[16x^2-49=\ldots\]
Hier haben wir nur zwei Terme, wobei der zweite \textbf{negativ} ist. In einem
solchen Fall passt \textbf{immer} die Dritte Binomische Formel. Wenn
\mbox{$a^2-b^2=16x^2-49$} ist, dann muss \mbox{$a^2=16x^2$} und \mbox{$b^2=49$}
sein. Wir bestimmen $a$ und $b$.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&16x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{16x^2}\\
&=&\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2}\\
a&=&4x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&49 &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{49}\\
b&=&7 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann die Dritte Binomische Formel sofort angewendet werden.
\[\underbrace{16x^2}_{a^2}-\underbrace{49}_{b^2}
=(\underbrace{4x}_{a}+\underbrace{7}_{b}) \cdot
 (\underbrace{4x}_{a}-\underbrace{7}_{b})\]
Wie man leicht sieht, ist bei der Anwendung der \textbf{Dritten} Binomischen
Formel \textbf{keine} Prüfung notwendig, ob der Mittelterm zum Rest passt, wie
bei den beiden ersten Binomischen Formeln. Warum? \textbf{Es gibt keinen
Mittelterm!}\\

\subsection{Beispiel 7:}
\[36x^2+81+108x= \ldots \]
Hier haben wir wieder \textbf{drei} Summanden, alle \textbf{positiv}. Demnach
könnte (wenn überhaupt) nur die Erste Binomische Formel zum Einsatz kommen.
Bestimmen wir nach bekanntem Muster $a$ und $b$ aus dieser Binomischen Formel.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&36x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{36x^2}\\
&=&\sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2}\\
a&=&6x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&108x &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{108x}\\
b&=&\sqrt{108} \cdot \sqrt{x}\\
\end{array}\]
Das Ergebnis für $b$ ist irgendwie unbefriedigend. Weder ergibt $\sqrt{108}$
ein "`glattes"' Ergebnis, noch kann man $\sqrt{x}$ weiter auflösen. Bilden wir
nun mit diesen Ergebnissen den Mittelterm $2ab$.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{6x}_a \cdot \underbrace{\sqrt{108} \cdot
\sqrt{x}}_b\]
Ohne weiteres Zusammenfassen erkennt man sofort, dass das niemals den
Mittelterm 81 ergeben kann. Zumindest ergibt sich ein Term, in dem noch
ein $x$ enthalten ist. Offenbar lässt sich die Erste Binomische Formel hier
nicht anwenden. Oder etwa doch? \\

Schaut man sich die ersten Beispiele etwas genauer an, dann fällt
möglicherweise auf, dass die Potenz von $x$ (der Exponent, die Hochzahl) im
Mittelterm kleiner als im linken, aber größer, als im rechten Term ist. In dem
hier vorliegenden Beispiel ist das nicht der Fall. Es liegt also nahe, die
Summanden umzusortieren:
\[36x^2+81+108x=26x^2+108x+81\]
Führen wir nun erneut die Analyse zur Bestimmung von $a$ und $b$ durch. $a=6x$
haben wir schon, denn der erste Term ist ja geblieben. Bleibt das $b$.
\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&81 &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{81}\\
b&=&9 \\
\end{array}\]

Bilden wir nun den Mittelterm als $2ab$ mit diesen Werten:
\[2ab=2 \cdot \underbrace{6x}_a \cdot \underbrace{9}_b=108x\]
Jetzt passt es, die Erste Binomische Formel kann angewendet werden:
\[\underbrace{36x^2}_{a^2}+\underbrace{108x}_{2ab}+\underbrace{81}_{b^2}
 = (\underbrace{6x}_a+\underbrace{9}_b)^2\]

\subsection{Beispiel 8:}
\[3x^2-18x+27= \ldots \]
Vom Aufbau her (3 Summanden, Mittelterm negativ) sieht es nach der Zweiten
Binomischen Formel aus. Machen wir die Ansätze wie gehabt.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&3x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{3x^2}\\
&=&\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2}\\
a&=&\sqrt{3}x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&27 &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{27}\\
\end{array}\]

Die Ergebnisse für $a$ und $b$ sehen nicht sehr erfolgsversprechend aus. Prüfen
wir aber trotzdem den Term $2ab$.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{\sqrt{3}x}_a \cdot \underbrace{\sqrt{27}}_b
 =2 \cdot \sqrt{3 \cdot 27}x=2 \cdot 9x=18x\]
Erstaunlicherweise passt das, die Zweite Binomische Formel kommt zur Anwendung.
\[\underbrace{3x^2}_{a^2}-\underbrace{18x}_{2ab}+\underbrace{27}_{b^2}
= \big(\underbrace{\sqrt{3}x}_a- \underbrace{\sqrt{27}}_b \big)^2\]

Auch wenn jetzt alles gepasst hat, wäre es zum Faktorisiern günstiger, wenn man
\textbf{vor} der Anwendung einer Binomischen Formel so viel wie möglich
ausklammert\footnote{Einzelheiten zum Ausklammern siehe
hier im Kapitel "`Regeln und Gesetze"' $\rightarrow$ "`Distributivgesetz"':\\
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}{
http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundrechnen.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundrechnen.pdf} \fi}.
Dann wird die Faktorisierung weitergehender und damit in aller Regel besser.\\

In diesem Beispiel kann die Zahl 3 ausgeklammert werden.
\[3x^2-18x+27=3 \cdot (x^2-6x+9)\]
Auf den dadurch entstandenen Term passt jetzt die Zweite Binomische Formel
besser. Wir führen das nach bewährtem Muster durch.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{x^2}\\
a&=&x \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&9 &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{9}\\
b&=&3 \\
\end{array}\]

Es folgt die Prüfung für den Mittelterm, indem $2ab$ gebildet wird.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{x}_a \cdot \underbrace{3}_b=6x\]
Wie man sofort sieht, passt das. Die Binomische Formel kann angewendet werden.
\[3x^2-18x+27=3 \cdot (\underbrace{x^3}_{a^2}-\underbrace{6x}_{2ab}
 +\underbrace{9}_{b^2})=3 \cdot (\underbrace{x}_a-\underbrace{3}_b)^2\]

\subsection{Beispiel 9:}
\[60x^3+12x^5+75x= \ldots \]
Man sieht, dass hier zunächst etwas ausgeklammert werden kann. Die 3 ist in
jedem Summanden als Faktor enthalten, ebenso ein $x$. Der größtmögliche
ausklammerbate Term ist demnach $3x$.
\[60x^3+12x^5+75x=3x \cdot (20x^2+4x^4+25)= \ldots \]
Jetzt muss nur noch der Klammerterm faktorisiert werden. Hier könnte eventuell
die Erste Binomische Formel passen, denn wir haben 3 Summanden, die alle
positiv sind. Allerdings steht die höchste vorkommende Potenz in der Mitte. Man
sollte also umsortieren.
\[3x \cdot (20x^2+4x^4+25)=3x \cdot (4x^4+20x^2+25) \]
In dieser Form können wir den Ansatz versuchen. Der erste Summand $4x^4$ wäre
dann $a^2$ und der letzte mit 25 wäre $b^2$.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&4x^4 &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{4x^4}\\
&=&\sqrt{4} \cdot \sqrt{x^4}\\
a&=&2x^2\\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&25 &|\sqrt{25}\\
b&=&\sqrt{25}\\
b&=&5 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann geprüft werden, ob der Mittelterm \mbox{$20x^2=2ab$} ist.
\[2ab=2 \cdot \underbrace{2 x^2}_a \cdot \underbrace{5}_b=20x^2\]
Da das passt, kann die Zerlegung gemäß der Ersten Binomischen Formel
durchgeführt werden.
\[60x^3+12x^5+75x
 =3x \cdot (\underbrace{4x^4}_{a^2}+\underbrace{20x^2}_{2ab}
 +\underbrace{25}_{b^2})=3x \cdot (\underbrace{2x^2}_a+\underbrace{5}_b)^2\]

\subsection{Beispiel 10:}
\[x-y= \ldots \]
Auch wenn es zunächst nicht so aussieht lässt sich auch hier eine
Faktorisierung mit Hilfe einer Binomischen Formel durchführen. Weil wir nur
zwei Summanden haben, von denen einer negativ ist, ist es die Dritte Binomische
Formel.
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&x &|\sqrt{\ }\\
a&=&\sqrt{x} \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&y &|\sqrt{\ }\\
b&=&\sqrt{y} \\
\end{array}\]

Die Faktorisierung mit Hilfe der Dritten Binomischen Formel sieht damit so aus:
\[ \underbrace{x}_{a^2}-\underbrace{y}_{b^2}
 =\bigl(\underbrace{\sqrt{x}}_a+\underbrace{\sqrt{y}}_b \bigr) \cdot
  \bigl(\underbrace{\sqrt{x}}_a-\underbrace{\sqrt{y}}_b \bigr) \]
In welchen Fällen eine solche Faktorisierung sinnvoll ist, ist allerdings eine
andere Frage.

\newpage
\section{Gern gemachte Fehler}
Wie bereits erwähnt wird sehr oft vermutet, dass die beiden ersten Binomischen
Formeln lauten:
\[(a+b)^2\not=a^2+b^2\]
und
\[(a-b)^2\not=a^2-b^2\]
Das passiert immer dann, wenn der Schüler nicht mit einer Binomischen Formel
rechnet, also "`unbedarft"' oder "`intuitiv"' nur einen Term umformen will, der
bei einer beliebigen Aufgabe ansteht.\\
Sehr leicht passiert das auch im Zusammenhang mit Wurzeln, etwa in dieser Form:
\[ \sqrt{a^2+b^2}\not= a+b\]
oder
\[ \sqrt{a^2-b^2}\not= a-b\]
Es ist für die meisten Schüler schlicht \emph{unbefriedigend}, dass eine solche
Wurzel nicht weiter vereinfacht werden kann. Man glaubt einfach, irgendwie
\textbf{muss} das gehen! Tut es leider aber nicht.\\

\newpage
\section{Authentische Schülerfehler}
Nachfolgend möchte ich ein paar Originalbeispiele von Fehlern vorstellen, die
von Schülern der Klassenstufe 12 tatsächlich in Klassenarbeiten gemacht
wurden. (Aus Gründen des Datenschutzes darf ich die Authoren nicht namentlich
nennen, auch wenn es dadurch eigentlich Plagiate sind.)

\subsection{Fehlerbeispiel 1}
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{(6x-5) \cdot (x-3)-(3x^2-5x) \cdot 1}{(x-3)^2}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{x^2-9}\\
f'(x)&=&\frac{3x^2-18x+15}{x^2-9}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{Auflösung:}
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{(6x-5) \cdot (x-3)-(3x^2-5x) \cdot 1}{(x-3)^2}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{\textcolor{red}{x^2-9}}
  \quad \textnormal{(falsch)}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{\textcolor{green}{x^2-6x+9}}
 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
f'(x)&=&\frac{3x^2-18x+15}{x^2-6x+9}\\
\end{eqnarray*}
Hier wurde gegen die \textbf{Zweite Binomische Formel} verstoßen.\\

\subsection{Fehlerbeispiel 2}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (2x-4)^5 \\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (32x^5-1024) \\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (2x-4)^5 \\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot \textcolor{red}{(32x^5-1024)}& \textnormal{(falsch)}\\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot \textcolor{green}
{(32x^5-320x^4+1280x^3-2560x^2+2560x-1024)}& \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier wurde eine Potenzregel unterstellt, die es nicht gibt, weil ja schon die
Erste Binomische Formel gilt:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
und nicht:
\[(a+b)^2\not=a^2+b^2\]
gilt Entsprechendes erst recht allgemein:
\[(a+b)^n\not=a^n+b^n\]
(Eigentlich ist es nur ein Verstoß gegen die Erste Binomische Formel im
erweiterten Sinn.)

\subsection{Fehlerbeispiel 3}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&\cfrac{(2x-5) \cdot (2x-6)-(x^2-5x+6) \cdot 2x}{(2x-6)^2}\\
f'(x)&=&\cfrac{(4x^2-12x-10x+30)-(2x^3-10x^2+12x)}{4x^2+36}\\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&\cfrac{(2x-5) \cdot (2x-6)-(x^2-5x+6) \cdot 2x}{(2x-6)^2}\\
f'(x)&=&\cfrac{(4x^2-12x-10x+30)-(2x^3-10x^2+12x)}
  {\textcolor{red}{4x^2+36}}& ( \textnormal{falsch}) \\
f'(x)&=&\cfrac{(4x^2-12x-10x+30)-(2x^3-10x^2+12x)}
  {\textcolor{green}{4x^2-24x+36}}&( \textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Diesmal wurde etwas anders gegen die Zweite Binomische Formel verstoßen.

\subsection{Fehlerbeispiel 4}
\[\begin{array}{rcll}
f''(x)&=&\cfrac{(4x-12)(4x^2+36)-(2x^2-12x+18)(8x)}{(4x^2+36)(4x^2+36)}\\
&=&\cfrac{16x^3+144x-48x^2-432-16x^3+96x^2-144x}{16x^4+1296}\\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f''(x)&=&\cfrac{(4x-12)(4x^2+36)-(2x^2-12x+18)(8x)}{(4x^2+36)(4x^2+36)}\\
&=&\cfrac{16x^3+144x-48x^2-432-16x^3+96x^2-144x}
{\textcolor{red}{16x^4+1296}} & ( \textnormal{falsch}) \\
&=&\cfrac{16x^3+144x-48x^2-432-16x^3+96x^2-144x}
{\textcolor{green}{16x^4+288x^2+1296}} & ( \textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Hier wurde die Erste Binomische Formel übersehen.

\subsection{Fehlerbeispiel 5}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&(2x^2-7)^7 \\
f(x)&=&2x^9+7 \\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&(2x^2-7)^7 \\
f(x)&=&\textcolor{red}{2x^9+7} \quad ( \textnormal{falsch}) \\
f(x)&=&\textcolor{green}{128x^{14}-3\,136x^{12}+32\,928x^{10}-192\,080x^8
  +672\,280x^6 \ldots} \\
  && \textcolor{green}{\ldots \quad -1\,411\,788x^4+1\,647\,086x^2-823\,543}
   \quad ( \textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]

Auch in diesem Beispiel war es keine Binomische Formel im eigentlichen Sinne,
dennoch zeigt das Beispiel, was man alles falsch machen kann.

\subsection{Fehlerbeispiel 6}
In diesem Beispiel ist zwar schon in der Ausgangsformel ein Fehler, wir tun
aber mal so, als sei die Ausgangsformel richtig.
\[\begin{array}{rcll}
h&=&\sqrt{r^2-\cfrac{b}{2}}\\
h&=&r-\sqrt{\cfrac{b}{2}}\\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
Hier ist eine Vereinfachung durch Auflösen der Wurzel schlicht nicht möglich.
Der Schüler vermutet eine Binomische Formel in dieser Art:
\[a^2-b^2 \not= (a-b)^2\]

\subsection{Fehlerbeispiel 7}
\[\begin{array}{rcll}
3(n+1)-9(n+1)^2+4&<&3n-9n^2+4 \\
3n+3-9n^2-9+4&<&3n-9n^2+4 \\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
3(n+1)-9(n+1)^2+4&<&3n-9n^2+4 \\
3n+3-9n^2-9+4&<&3n-9n^2+4 &( \textnormal{falsch}) \\
3n+3-9n^2\textcolor{green}{-18n}-9+4&<&3n-9n^2+4 &( \textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Ein Klassiker. Vermutlich hat der Schüler seine volle Aufmerksamkeit darauf
verwendet, das Minuszeichen bei der 9 vor der Klammer beim Ausmultiplizieren
nicht zu verlieren und dabei übersehen, dass die Erste Binomische Formel
angewendet werden muss. Das passiert leicht, wenn man zu viele Schritte auf
einmal versucht.

\subsection{Fehlerbeispiel 8}
\[\begin{array}{rcll}
(x-4)(2x+3)-2(x-4)&=&(x-4)(3x-4) \\
2x-12-2x+8&=&3x+16 \\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
(x-4)(2x+3)-2(x-4)&=&(x-4)(3x-4) \\
2x-12-2x+8&=&3x+16&( \textnormal{falsch}) \\
2x\textcolor{green}{^2-5x}-12-2x+8&=&3x\textcolor{green}{^2-16x}+16
 &( \textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Hier liegen zwei (identische) Fehler vor, die allerdings nicht genau zu
Binomischen Formeln passen. Es sind aber artverwandte Fehler. Bei dem Schüler
ist \mbox{$x \cdot x=x$}. Außerdem multipliziert er Klammern aus, indem nur die
ersten und die letzten Summanden miteinander multipliziert werden.

\subsection{Fehlerbeispiel 9}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&\cfrac{(6x) \cdot (x^2+3)-(3x^2-3) \cdot (2x)}{(x^2+3)^2}\\
&=&\cfrac{6x^3+18x-6x^3-6x}{x^4+9}\\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&\cfrac{(6x) \cdot (x^2+3)-(3x^2-3) \cdot (2x)}{(x^2+3)^2}\\
&=&\cfrac{6x^3+18x-6x^3\textcolor{red}{-}6x}{x^4+9}&( \textnormal{falsch})\\
&=&\cfrac{6x^3+18x-6x^3\textcolor{green}{+}6x}{x^4\textcolor{green}{+6x^2}+9}
 &( \textnormal{korrigiert})\\
\end{array}\]
Hier wurde im Nenner die Erste Binomische Formel "`übersehen"'. Außerdem wurde
beim Ausmultiplizieren im Zähler das Minuszeichen vor der Klammer missachtet.

\subsection{Fehlerbeispiel 10}
\[\begin{array}{rcll}
x^2&=&11x-24 &|\sqrt{\ }\\
% x&=&\sqrt{11x-24}\\
x&=&3{,}32x-4{,}9 \\
\end{array}\]

\paragraph{Auflösung:}
\[\begin{array}{rcll}
x^2&=&11x-24 &|\sqrt{\ }\\
% x&=&\sqrt{11x-24}\\
x&=&3{,}32x-4{,}9&( \textnormal{völlig falsch!}) \\
\end{array}\]
Dem aufmerksamen Leser wird sicher nicht entgangen sein, dass schon der erste
Schritt alles andere als sinnvoll ist. Eine Quadratische
Gleichung\footnote{Lösen einer Quadratischen Gleichung siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
kann nicht
durch einfaches Wurzelziehen gelöst werden. (Auch dies betrifft nur Leser
dieses Skriptes, die es zur Aufarbeitung eigentlich schon bekannten Wissens
nutzen, nicht aber Neulinge.) Lassen wir das außer acht und
widmen wir uns nur der Frage, ob die Wurzel aus der Gleichung richtig gezogen
wurde. Leider wurden hier gleich mehrere Fehler auf einmal gemacht. Um das
besser zu verstehen, füge ich einen Zwischenschritt ein.
\[\begin{array}{rcll}
x^2&=&11x-24 &|\sqrt{\ }\\
x&=&\sqrt{11x-24}\\
x&=&3{,}32x-4{,}9&( \textnormal{völlig falsch!}) \\
\end{array}\]

Der Zwischenschritt ist noch richtig. Dann wird es aber grausam falsch. Mehrere
Fehler wurden gleichzeitig gemacht. Zunächst versucht der Schüler, die Wurzel
unter Umgehung der Binomischen Formeln aus jedem Summand einzeln zu ziehen,
etwa in dieser Form:
\[\sqrt{11x-24}\not= \sqrt{11x}-\sqrt{24}\]
Die Wurzel aus dem ersten Term $\sqrt{11x}$ bildet er, indem er nur die Wurzel
aus 11 (als \textbf{Näherungslösung}) bestimmt:
\[\sqrt{11} \approx 3{,}32 \]
Die Wurzel aus $x$ bildet er nicht, er nimmt an:
\[ \sqrt{x} \not= x\]
Auch die Wurzel aus 24 bestimmt er als Näherungslösung:
\[ \sqrt{24}\approx 4{,}9\]
Obwohl er Näherungen bestimmt hat, verwendet er aber anstelle des
Näherungszeichens $\approx$ das Gleichheitszeichen =.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Lösen Sie die Terme mit Hilfe einer Binomischen Formel auf!
\paragraph{a)}  \[(2x+5)^2=\ldots\]
\paragraph{b)}  \[(4xy-3x)^2=\ldots\]
\paragraph{c)}  \[\left(x^2-10\right)^2=\ldots\]
\paragraph{d)}  \[\left(ab^2+a^2b\right)^2=\ldots\]
\paragraph{e)}  \[\left(5a-10b\right) \cdot (5a+10b)=\ldots\]
\paragraph{f)}  \[\left(c^5+d^3\right)^2=\ldots\]
\paragraph{g)}  \[\left(15 \sqrt{m}-10 \sqrt{n}\right)^2=\ldots\]
\paragraph{h)}  \[\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)
 \cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\ldots\]
\paragraph{i)}  \[\left( \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\right)^2=\ldots\]
\paragraph{j)}  \[\left( \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b} \right)
  \cdot \left( \sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right) =\ldots\]
\paragraph{k)}  \[\left(3x-4x \right)^2=\ldots\]
Die zugehörigen Lösungen stehen \ifpdf \hyperlink{L1}{hier.}\fi

\ifpdf \hypertarget{A2}{\subsection{Aufgabe 2}}\fi
Faktorisieren Sie die Terme mit Hilfe von Binomischen Formeln, falls das
möglich ist!
\paragraph{a)} \[4x^2+12x+9 =\ldots\]
\paragraph{b)} \[25x^4-90x^2y+81y^2 =\ldots\]
\paragraph{c)} \[2{,}25m^6n^4-1{,}69m^2n^2 =\ldots\]
\paragraph{d)} \[3u^4-6u^2v+3v^2 =\ldots\]
\paragraph{e)} \[x^4+y^4 =\ldots\]
\paragraph{f)} \[a+2 \sqrt{ab}+b =\ldots\]
\paragraph{g)} \[p^4-16q^2 =\ldots\]
\paragraph{h)} \[r^2+9t^2+6rt =\ldots\]
\paragraph{i)} \[16x^4+8x^2y^3+4y^6 =\ldots\]
\paragraph{j)} \[0{,}25x^6+1-x^3 =\ldots\]

Die zugehörigen Lösungen stehen \ifpdf \hyperlink{L2}{hier.}\fi

%\ifpdf \hypertarget{A3}{\subsection{Aufgabe 3}}\fi

%Die zugehörigen Lösungen stehen \ifpdf \hyperlink{L3}{hier.}\fi

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\ifpdf \hypertarget{L1}{\subsection{Aufgabe 1}}\fi
Lösen Sie die Terme mit Hilfe einer Binomischen Formel auf!
\paragraph{a)}  \[(2x+5)^2=(2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 5+5^2=4x^2+20x+25\]
\paragraph{b)}  \[(4xy-3x)^2=(4xy)^2-2 \cdot 4xy \cdot 3x+(3x)^2
 =16x^2y^2-24x^2y+9x^2\]
\paragraph{c)}  \[\left(x^2-10\right)^2=\left(x^2 \right)^2-2 \cdot x^2 \cdot
  10+10^2=x^4-20x^2+100\]
\paragraph{d)}  \[\left(ab^2+a^2b\right)^2= \left(ab^2 \right)^2+2 \cdot ab^2
  \cdot a^2b+\left( a^2b \right)^2=a^2b^4+2a^3b^3+a^4b^2\]
\paragraph{e)}  \[\left(5a-10b\right) \cdot (5a+10b)
  =(5a)^2-(10b)^2=25a^2-100b^2\]
\paragraph{f)}  \[\left(c^5+d^3\right)^2= \left( c^5 \right)^2+2 \cdot c^5 \cdot d^3
 +\left( d^3 \right)^2=c^{10}+2c^5d^3+d^6\]
\paragraph{g)}  \[\left(15 \sqrt{m}-10 \sqrt{n}\right)^2
 = \left( 15 \sqrt{m}\right)^2-2 \cdot 15\sqrt{m} \cdot 10\sqrt{n}
 +\left( 10 \sqrt{n}\right)^2=225m-300 \sqrt{mn}+100n\]
\paragraph{h)}  \[\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)
 \cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)
  =\left( \sqrt{x}\right)^2-\left( \sqrt{y}\right)^2=x-y\]
\paragraph{i)}
\[\begin{array}{rcll}
\left( \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\right)^2
 &=&\left( \sqrt{a+b}\right)^2-2 \cdot \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}
  +\left( \sqrt{a-b}\right)^2 \\
 &=&(a+b)-2 \cdot \sqrt{(a+b) \cdot (a-b)}+(a-b) \\
 &=&a+b-2 \cdot \sqrt{a^2-b^2}+a-b \\
 &=&2a-2 \cdot \sqrt{a^2-b^2}\\
\end{array}\]
\textbf{Anmerkung:} Hier wurde einmal die zweite und einmal die dritte
Binomische Formel angewendet.

\paragraph{j)}
\[\begin{array}{rcll}
\left( \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b} \right) \cdot \left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)
&=& \left( \sqrt{a+b}\right)^2-\left( \sqrt{a+b}\right)^2 \\
&=&(a+b)-(a-b) \\
&=&a+b-a+b \\
&=&2b\\
\end{array}\]
\emph{Nach meiner Erfahrung wird hier vermutlich er eine oder andere unbedarfte
Schüler die beiden Klammern so zusammenfassen wollen:}
\[\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\not=\sqrt{(a+b)-(a-b)}=\sqrt{2b}\]
\[\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\not=\sqrt{(a+b)+(a-b)}= \sqrt{2a}\]
\emph{Das ist leider falsch. Deshalb möchte ich hier ausdrücklich davor
warnen!}

\paragraph{k)}
\[\left(3x-4x \right)^2=(3x)^2-2 \cdot 3x \cdot 4x+(4x)^2
 =9x^2-24x^2+16x^2=x^2\]
\emph{Einfacher und damit auch sinnvoller wäre es allerdings gewesen, hier
keine Binomische Formel anzuwenden, sondern sofort die Terme zusammenzufasen:}
\[(3x-4x)^2=(-x)^2=x^2\]

Zu der nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A2}{hier}\fi{} weiter.

\ifpdf \hypertarget{L2}{\subsection{Aufgabe 2}}\fi
Faktorisieren Sie die Terme mit Hilfe von Binomischen Formeln, falls das
möglich ist!
\paragraph{a)}
\[4x^2+12x+9 =\ldots \]
Hier könnte die erste Binomische Formel passen, da wir drei Terme haben, die
alle positiv sind. In der Gegenüberstellung sieht das so aus:
\[ \underbrace{4x^2}_{a^2}+\underbrace{12x}_{2ab}+\underbrace{9}_{b^2}
 =(a+b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&4x^2 \\
(2)&2ab&=&12x \\
(3)&b^2&=&9 \\
\end{array}\]
Aus (1) und (3) kann sofort $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&4x^2 &| \sqrt{\ }\\
  &a&=&2x \\
(3)&b^2&=&9 &| \sqrt{\ } \\
   &b&=&3 \\
\end{array}\]
Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[(2) \quad 2ab=2 \cdot 2x \cdot 3=12x \quad \textnormal{ (passt)}\]
Damit lautet die Faktorisierung:
\[4x^2+12x+9 =(2x+3)^2 \]

\paragraph{b)} \[25x^4-90x^2y+81y^2 =\ldots \]
Hier kommt die zweite Binomische Formel in Frage, weil wir drei Terme haben,
von denen einer negativ ist. In der Gegenüberstellung sieht das so aus:
\[ \underbrace{25x^4}_{a^2}-\underbrace{90x^2y}_{2ab}+\underbrace{81y^2}_{b^2}
 =(a-b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a^2&=&25x^4 \\
(2)& 2ab&=&90x^2y \\
(3)& b^2&=&81y^2 \\
\end{array}\]

Aus (1) und (3) kann sofort $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a^2&=&25x^4 &|\sqrt{\ }\\
   & a&=&5x^2 \\
(3)& b^2&=&81y^2 &|\sqrt{\ } \\
   & b&=&9y \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[(2) \quad 2ab=2 \cdot 5x^2 \cdot 9y=90x^2y \qquad \textnormal{ passt}\]
Damit lautet die Faktorisierung:

 \[25x^4-90x^2y+81y^2 =5x^2-9y \]

\paragraph{c)} \[2{,}25m^6n^4-1{,}69m^2n^2= \ldots \]
Weil es hier nur zwei Terme gibt, von denen einer negativ ist, kommt hier
die dritte Binomische Formel zum Einsatz. Hierbei muss nicht geprüft werden, ob
alles zusammenpasst, die passt von allein.
 \[\underbrace{2{,}25m^6n^4}_{a^2}-\underbrace{1{,}69m^2n^2}_{b^2}
 = \left(\underbrace{1{,}5m^3n^2}_a+\underbrace{1{,}3mn}_b \right) \cdot
  \left(\underbrace{1{,}5m^3n^2}_a-\underbrace{1{,}3mn}_b \right)\]
\emph{\textbf{Anmerkung:} Es wäre hier möglich, vor Anwendung der dritten
Binomischen Formel etwas auszuklammern. Die Faktorisierung wird dadurch
vollständiger. Das sieht dann so aus:}
\[\begin{array}{rcll}
2{,}25m^6n^4-1{,}69m^2n^2&=&m^2n^2 \cdot \left(2{,}25m^4n^2-1{,}69 \right) \\
 &=&m^2n^2 \cdot \left(1{,}5m^2n+1{,}3 \right)
  \cdot \left(1{,}5m^2n-1{,}3 \right)\\
\end{array}\]

\paragraph{d)} \[3u^4-6u^2v+3v^2 =\ldots\]
Hier könnte die zweite Binomische Formel passen, da wir drei Terme haben, von
denen der mittlere negativ ist. In der Gegenüberstellung sieht das so aus:
\[ \underbrace{3u^4}_{a^2}-\underbrace{6u^2v}_{2ab}+\underbrace{3v^2}_{b^2}
 =(a-b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&3u^4 \\
(2)&2ab&=&6u^2v \\
(3)&b^2&=&3v^2 \\
\end{array}\]
Aus (1) und (3) kann sofort $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&3u^4 &| \sqrt{\ }\\
  &a&=&\sqrt{3}u^2 \\
(3)&b^2&=&3v^2 &| \sqrt{\ } \\
   &b&=&\sqrt{3}v \\
\end{array}\]
Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[(2) \quad 2ab=2 \cdot \sqrt{3}u^2 \cdot \sqrt{3}v=6u^2v \quad \textnormal{ (passt)}\]

Damit würde die Faktorisierung lauten:
\[3u^4-6u^2v+3v^2 = \left( \sqrt{3}u^2-\sqrt{3}v \right)^2 \]

Das Ergebnis ist zwar richtig, aber doch irgendwie unbefriedigend. Zwei mal
kommt der Faktor $\sqrt{3}$ vor. Schaut man sich den ursprünglichen Term an,
dann erkennt man, dass aus allen Summanden eine 3 ausgeklammert werden kann.
\[3u^4-6u^2v+3v^2 =3 \cdot \left( u^4-2u^2v+v^2\right)\]
Auf den Klammerterm kann nun etwas einfacher die zweite Binomische Formel
angewendet werden.
\[3 \cdot \left( \underbrace{u^4}_{a^2}-\underbrace{2u^2v}_{2ab}
 +\underbrace{v^2}_{b^2}\right)=3 \cdot (a-b)^2\]
Wir vergleichen wieder:
\[\begin{array}{crclccrcl}
(1)& a^2&=&u^4 &\Rightarrow& a&=&u^2\\
(2)& 2ab&=&2u^2v \\
(3)& b^2&=&v^2 &\Rightarrow& b&=&v \\
\end{array}\]

Auch hier geht die Prüfung mit (2) auf:
\[2ab=2 \cdot u^2 \cdot v=2u^2v\]
Wir können die komplette Zerlegung angeben:
\[3u^4-6u^2v+3v^2 =3 \cdot \left( u^2-v \right)^2 \]

\paragraph{e)} \[x^4+y^4 =\ldots\]
Es gibt nur \textbf{zwei} Summanden, also denkt man an die dritte Binomische
Formel. Dafür müsste jedoch einer der Terme negativ sein. Das ist hier nicht
der Fall, man kann also \textbf{keine Faktorisierung} durchführen, jedenfalls
nicht in der Menge der Reellen Zahlen.\footnote{Wer sich mit Komplexen Zahlen
auskennt, wird hier vermutlich eine Zerlegung in dieser Art angeben:
\mbox{$x^4+y^4=(x^2+jy^2) \cdot (x^2-jy^2)$}\\
Weitere Infos dazu siehe hier: \ifpdf
\htmladdnormallink{\textcolor{blue}{
http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/komplgl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/komplgl.pdf} \fi}
Für den Neuling, was Binomische Formel angeht, sind allerdings nur Reelle
Zahlen relevant.

\paragraph{f)} \[a+2 \sqrt{ab}+b =\ldots\]
Hier haben wir wieder \textbf{drei} Summanden, alle positiv. Es kommt also nur
die erste Binomische Formel in Frage. Weil hier die gleichen Buchstaben $a$ und
$b$ vorkommen, wie in der Binomischen Formel schreibe ich die erste Binomische
Formel hier mit Großbuchstaben.
\[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\]
In der Gegenüberstellung sieht das damit so aus:
\[ \underbrace{a}_{A^2}-\underbrace{2\sqrt{ab}}_{2AB}+\underbrace{b}_{B^2}
 =(A-B)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& A^2&=&a \\
(2)& 2AB&=&2 \sqrt{ab}\\
(3)& B^2&=&b \\
\end{array}\]

Aus (1) und (3) werden $A$ und $B$ bestimmt.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& A^2&=&a &|\sqrt{\ }\\
   &A&=&\sqrt{a}\\
(3)& B^2&=&b &|\sqrt{\ } \\
   &B&=&\sqrt{b}\\
\end{array}\]

Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[(2) \quad 2AB=2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=2 \sqrt{ab} \qquad \textnormal{ passt}\]
Damit lautet die Faktorisierung:
 \[a+2 \sqrt{ab}+b = \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^2\]

\paragraph{g)} \[p^4-16q^2 =\ldots\]
In diesem Fall haben wir nur zwei Terme, von denen einer negativ ist. Darum
kommt hier die dritte Binomische Formel zum Einsatz.
\[\underbrace{p^4}_{a^2}-\underbrace{16q^2}_{b^2}
 = \left(\underbrace{p^2}_a+\underbrace{4q}_b \right) \cdot
  \left(\underbrace{p^2}_a-\underbrace{4q}_b \right)\]

\paragraph{h)} \[r^2+9t^2+6rt =\ldots\]
Hier könnte die erste Binomische Formel passen, da wir drei Terme haben, die
alle positiv sind. In der Gegenüberstellung sieht das so aus:
\[ \underbrace{r^2}_{a^2}+\underbrace{9t^2}_{2ab}+\underbrace{6rt}_{b^2}
 =(a+b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&r^2 \\
(2)&2ab&=&9t^2 \\
(3)&b^2&=&6rt \\
\end{array}\]
Aus (1) und (3) kann sofort $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&r^2 &|\sqrt{\ }\\
 &a&=&r \\
(3)&b^2&=&6rt &|\sqrt{\ }\\
 &b&=&\sqrt{6rt}\\
\end{array}\]

Das Ergebnis für $b$ sollte uns nachdenklich stimmen. Prüfen wir trotzdem mit
(2), ob alleszusammenpasst.
\[2ab=2 \cdot r \cdot \sqrt{6rt}=\sqrt{24r^2t}\not=9t^2 \qquad
\textnormal{passt nicht!}\]

Spätestens jetzt ist erkennbar, dass das so nicht zusammenpasst.\\

Sehen wir uns den Ursprungsterm noch einmal genau an.
\[r^2+9t^2+6rt =\ldots\]

Es sollte auffallen, dass die Sortierung nicht gut ist. Die höchste Potenz von
$r$ mit $r^2$ steht vorn, die niedrigste mit $p^0=1$ in der Mitte und die
mittlere Potenz mit $p^1=p$ hinten. Daher sollte man umsortieren.
\[r^2+9t^2+6rt =r^2+6rt+9t^2=\ldots\]
Jetzt ist alles gut sortiert, die höchste Potenz von $p$ links und die
niedrigste rechts. Mit dieser Sortierung könnte es besser klappen.

\[ \underbrace{r^2}_{a^2}+\underbrace{6rt}_{2ab}+\underbrace{9t^2}_{b^2}
 =(a+b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&r^2 \\
(2)&2ab&=&6rt \\
(3)&b^2&=&9t^2 \\
\end{array}\]
Aus (1) und (3) kann jetzt neu $a$ und $b$ bestimmt werden:

\[\begin{array}{crcll}
(1)&a^2&=&r^2 &|\sqrt{\ }\\
&a&=&r \\
(3)&b^2&=&9t^2 &|\sqrt{\ }\\
&b&=&3t \\
\end{array}\]

Prüfen wir erneut, ob jetzt alles zusammenpasst:
\[2ab=2 \cdot r \cdot 3t=6rt \qquad \textnormal{Jetzt passt es.}\]
Jetzt geht die Prüfung auf, wir können die Faktorisierung mit der ersten
Binomischen Formel durchführen:
\[r^2+9t^2+6rt =r^2+6rt+9t^2= \left( r+3t\right)^2\]

\paragraph{i)} \[16x^4+8x^2y^3+4y^6 =\ldots\]
Hier spricht wieder vieles für die dritte Binomische Formel. Zudem ist der Term
von links nach rechts nach fallenden Potenzen von $x$ sortiert. In der
Gegenüberstellung sieht das dann so aus:
\[ \underbrace{16x^4}_{a^2}+\underbrace{8x^2y^3}_{2ab}+\underbrace{4y^6}_{b^2}
 =(a+b)^2 \]
Durch abschnittsweise Vergleiche erhalten wir:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a^2&=&16x^4 \\
(2)& 2ab&=&8x^2y^3 \\
(3)& b^2&=&4y^6 \\
\end{array}\]
Aus (1) und (3) kann unmittelbar $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a^2&=&16x^4 &|\sqrt{\ }\\
   &a&=&4x^2 \\
(3)& b^2&=&4y^6 &|\sqrt{\ }\\
   &b&=&2y^3 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[(2) \quad 2ab=2 \cdot 4x^2 \cdot 2y^3=16x^2y^3 \not=8x^2y^3
 \qquad \textnormal{ Das passt \textbf{nicht}!}\]
Daher kann der vorgegebene Term \textbf{nicht} mit Hilfe einer Binomischen
Formel faktorisiert werden.

\paragraph{j)}
\[0{,}25x^6+1-x^3 =\ldots\]
Wir haben zwei positive und einen negativen Summanden. Das spricht für die
zweite Binomische Formel. Allerdings steht der negative Term nicht in der
Mitte, sondern hinten. Es muss also umsortiert werden.

\[0{,}25x^6+1-x^3=0{,}25x^6-x^3+1=\ldots\]
Damit kann die Gegenüberstellung gemacht werden.

\[0{,}25x^6+1-x^3= \underbrace{0{,}25x^6}_{a^2}-\underbrace{x^3}_{2ab}
+\underbrace{1}_{b^2}=(a-b)^2\]

Aus (1) und (3) kann nun $a$ und $b$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a^2&=&0{,}25x^6 &|\sqrt{\ }\\
   & a&=&0{,}5x^3 \\
(3)& b^2&=&1 &|\sqrt{\ } \\
   & b&=&1 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten muss nun in (2) geprüft werden, ob alles zusammenpasst.
\[2ab=2 \cdot 0{,}5x^3 \cdot 1=x^3 \qquad \textnormal{ passt}\]

Damit kann die Faktorisierung abgegeben werden:
\[0{,}25x^6+1-x^3=0{,}25x^6-x^3+1= \left( 0{,}5x^3-1 \right)^2 \]


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%-------------------------
%\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
%  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
%    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
%    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
%  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
%    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
%    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
%     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
%     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
%  \pscustom{
%   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
%   \gsave
%   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
%   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
%  \grestore }
%  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
%          gridcolor=black!50,yunit=2]
%  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
%  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
%  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
