\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
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\fi                   %
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\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}
\title{Dreisatz}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage
\section{Der einfache Dreisatz}
Im täglichen Leben gibt es oft einfache Zusammenhänge, die man mathematisch
sehr einfach mit einem sogenannten \textbf{Dreisatz} in den Griff bekommen
kann. Man muss dabei zwischen dem \textbf{proportionalen} Dreisatz (auch
\textbf{direkter} Dreisatz genannt) und dem \textbf{antiproportionalen}
Dreisatz (auch \textbf{umgekehrt proportionaler} oder \textbf{indirekter}
Dreisatz genannt) unterscheiden.

\subsection{Der proportionale Dreisatz}
Beginnen wir mit dem proportionalen Dreisatz. Ein Beispiel soll das Prinzip und
die Vorgehensweise für die Lösung verdeutlichen.

\begin{quote}
\textbf{Ein Fläschchen Augentropfen mit 12 Milliliter Inhalt soll nach
Herstellerangaben bei täglicher Anwendung 30 Tage halten. Wie lange komme ich
mit einem größeren Fläschchen mit 30 Milliliter Inhalt aus?}
\end{quote}

\subsubsection{Das Grundprinzip}
Zur Lösung dieser Aufgabe hilft eine Anfrage bei Google\footnote{Natürlich gibt
es auch andere Suchmaschinen wie beispielsweise \\
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.duckduckgo.com}}
{http://www.duckduckgo.com}\fi {} oder
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.bing.com}}
{http://www.bing.com}\fi} hier kaum
weiter. Was sollte man als Suchbegriff eingeben? Es bleibt also nur die
Möglichkeit, selbst zu rechnen. Wie kann man also vorgehen?\\

Es empfiehlt sich, zunächst einmal auszurechnen, wie lange man mit der
"`Grundmenge"' in der jeweiligen Einheit auskommt, hier 1 Milliliter. Da wir
hier einen sogenannten \textbf{proportionalen}\footnote{Was genau
Proportionalität bedeutet, wird etwas später im Zusammenhang mit
Antiproportionalität erklärt.} Zusammenhang haben, müssen wir dividieren. Um
von $\unit[12]{ml}$ auf $\unit[1]{ml}$ zu kommen, dividieren wir durch 12.
Durch die gleiche Zahl dividieren wir auch die Anzahl der Tage, für die das
Medikament reicht.\\
\textbf{Anmerkung:} In der Rechnung verwende ich das Einheitenzeichen
$d$\footnote{Das kommt vom englischen Wort \textbf{day} für \textbf{Tag.}} für
die Einheit \emph{\textbf{Tage}}.
\[\cfrac{\unit[30]{d}}{12}=\unit[2{,}5]{d}\]
Mit einem Milliliter kommt man nach der Rechnung also 2,5 Tage aus. Jetzt kann
man natürlich einwenden, dass es für eine Anzahl (hier: Tage) nur
\textbf{ganzzahlige Lösungen} gibt. Das ist auch richtig so. Hätte man
tatsächlich nur eine Menge von einem einzigen Milliliter zur Verfügung, dann
kann ich \textbf{genau zwei} Anwendungen machen, für eine dritte recht es ja
nicht mehr, auch wenn noch etwas übrig bleibt. Wir müssen aber zunächst mit
dieser Dezimalzahl weiterrechnen, denn wir schütten den kleinen Rest ja nicht
weg.\\

Jetzt kommt der nächste Schritt -- wir schließen von einem auf die
gefragten 30 Milliliter. Wenn wir die Arzneimenge (aus $\unit[1]{ml}$ werden
$\unit[30]{ml}$) mit 30 mulitiplizieren, dann müssen wir das auch mit der
Anzahl der Tage tun:
\[30 \cdot \unit[2{,}5]{d}=\unit[75]{d}\]

Damit kennen wir das Ergebnis: Eine 30-ml-Flasche reicht für 75 Tage.

\subsubsection{Systematisierung des Lösungsweges}
Gerade dann, wenn man (noch) nicht ganz sicher mit dem Lösungsweg ist, hilft
es, einen \textbf{systematischen Lösungsweg} anzuwenden. Manche sagen auch
\textbf{Lösungsrezept} dazu. Auch wenn manche "`reinen"' Mathematiker lieber
dem Begriff \textbf{Algorithmus} verwenden möchte ich beim Begriff Rezept
bleiben. Dieses möchte ich anhand des bekannten Beispiels
darstellen.\footnote{Natürlich ist meine Lösungsschema nicht das einzig
mögliche oder sinnvolle. Wer schon ein anderes kennt und beherrscht, soll auf
jeden Fall dabei bleiben. Nehmen Sie es als Angebot.}
Zunächst gebe ich hier das Rezept an, dann wird es mit dem Beispiel
konkretisiert.
\paragraph{Lösungsrezept:}
\begin{enumerate}
\item Man schreibt die gegebenen Größen für den vorgegebenen Zusammenhang in
  der ersten Zeile nebeneinander auf. Dabei kommt die Größe, von der ein
  Ergebniswert berechnet werden soll, \textbf{nach hinten}\footnote{Warum man
  das so macht, wird in \ifpdf
  \hyperlink{rechts}{\textcolor{blue}{diesem}} Beispiel deutlich.\fi}.
  Dazwischen kann man einen Strich setzen, oder das
  "`Entsprechungszeichen"' \^ =. In meinem Skript verwende ich letzteres.
\item In der zweiten Zeile schreibt man die bekannte Größe aus dem gesuchten
  Zusammenhang vorn auf, dahinter z. B. ein Fragezeichen. Das steht für die
  noch zu bestimmende Größe.
\item Nach einem waagerechten Strich beginnt nun der eigentliche Dreisatz. Wie
  der Name schon andeutet, gehören dazu 3 Zeilen. Die erste Zeile ist eine
  genaue Kopie der ersten Zeile über dem Strich.
\item In der zweiten Zeile steht vorn eine 1. Man kann sich vorstellen, dass
  sie dadurch entstanden ist, dass man die Vorzeile durch die Zahl vorn links
  \textbf{dividiert} hat. Deswegen muss man auch die Zahl in der zweiten Spalte
  durch diese Zahl dividieren. \textbf{Ein Tipp:} An dieser Stelle noch den
  unausgerechneten Bruch stehen lassen!\footnote{Warum das so ist, zeigt \ifpdf
  \hyperlink{runden}{\textcolor{blue}{dieses}} Beispiel.\fi}
\item In der dritten Zeile soll vorn die Zahl stehen, die in der Zeile direkt
  über dem Strich auch vorn steht. Hier kann man sich vorstellen, dass die 1
  aus der Vorzeile mit genau dieser Zahl multipliziert wurde. Deswegen
  multipliziert man auch den Bruch hinten in der zweiten Zeile mit dieser Zahl.
  Damit erhalten wir das Ergebnis. Jetzt darf ausgerechnet werden.
\end{enumerate}

Jetzt wenden wir dieses Lösungsrezept auf unser Beispiel an.\\

\paragraph{Schritt 1:}
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\end{array}\]

Gesucht ist ja eine Anzahl von Tagen (für eine bestimmte Bedingung). Deswegen
stehen die Daten mit der Einheit \emph{Tage} hinten.

\paragraph{Schritt 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\end{array}\]
Damit haben wir die Aufgabenstellung als Ansatz für einen Dreisatz
aufgeschrieben. Jetzt beginnt die eigentliche Lösung.

\paragraph{Schritt 3:}
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\end{array}\]
Zeile 1 wurde als erste Zeile unter dem Strich übernommen.

\paragraph{Schritt 4:}
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[1]{ml} &\hat =&\unit[\cfrac{30}{12}]{d}\\
\end{array}\]
Die ganze erste Zeile wurde durch 12 dividiert. Das ergibt auf der linken Seite
\mbox{$\frac{\unit[12]{ml}}{12}=\unit[1]{ml}$}, rechts erhalten wir den Bruch
\mbox{$\frac{\unit[30]{d}}{12}$}, den wir aber noch nicht ausrechnen wollen.
Ansonsten könnte es sein, dass wir eine Rundung als Näherungslösung einführen
müssen, die möglicherweise beim nächsten Rechnenschritt erneut gerundet werden
müsste. Zudem ist es auch bequemer, die gesamte Rechnung am Schluss
durchzuführen.

\paragraph{Schritt 5:}
\[\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[1]{ml} &\hat =&\cfrac{\unit[30]{d}}{12}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\cfrac{\unit[30]{d}}{12} \cdot 30=\unit[75]{d}\\
\end{array}\]
Im letzten Rechenschritt wurde mit 30 multipliziert. Dadurch erhielten wir
links die gewünschten $\unit[30]{ml}$ und rechts das gesuchte Ergebnis für die
Anzahl der Tage, für die das Medikament reicht.

\subsubsection{Verfeinerung des systematischen Lösungsweges}
Ich empfehle grundsätzlich immer Rechenkommentare. Diese gestalten die Lösung
übersichtlicher und leichter nachvollziehbar. Diese Kommentare sind ganz simple
Zeichen. In unserem Beispiel könnte das etwa so aussehen:

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-7.5)(7,0)
  \pnode(-5.3,-3){A1}
  \pnode(-5.3,-3.7){A2}
  \pnode(-5.3,-4.4){A3}
  \pnode(5.3,-3){B1}
  \pnode(5.3,-3.7){B2}
  \pnode(5.3,-4.4){B3}
  \pnode(-5.3,-4.6){A4}
  \pnode(-5.3,-5.5){A5}
  \pnode(-5.3,-6.4){A6}
  \pnode(5.3,-4.6){B4}
  \pnode(5.3,-5.5){B5}
  \pnode(5.3,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:12$}
  \uput[0](B2){$:12$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 30$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 30$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[12]{ml} &\hat =&\unit[30]{d}\\
\unit[1]{ml} &\hat =&\cfrac{\unit[30]{d}}{12}\\
\unit[30]{ml} &\hat =&\cfrac{\unit[30]{d}}{12} \cdot 30=\unit[75]{d}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Bedeutung ist folgende: Der linke Pfeil von Zeile 3 nach Zeile 4 mit dem
"`$:12$"' daneben bedeutet, dass in diesem Schritt auf der linken Seite durch
12 dividiert wurde. Das gleiche sagt der rechte Pfeil für die rechte Seite aus.
Der linke Pfeil von Zeile 4 nach Zeile 5 mit dem "`$ \cdot 30$"' daneben
bedeutet, dass in diesem Schritt auf der linken Seite mit 30 multipliziert
wurde. Das gleiche sagt wiederum der Pfeil rechts für die rechte Seite aus.\\

Warum man das an \textbf{beide} Seiten schreibt, wird erst dann klar, wenn wir
uns mit dem \textbf{antiproportionalen} Dreisatz beschäftigt haben. Das
geschieht nun im nächsten Kapitel.

\subsection{Der antiproportionale Dreisatz}
Auch diesen Dreisatz möchte ich an einem Beispiel erläutern. Dazu wird das
erste Beispiel etwas verändert.
\begin{quote}
\textbf{Ein Fläschchen Augentropfen reicht für die Behandlung von 3 Patienten
12 Tage. Wie lange komme ich bei der Behandlung von 4 Patienten damit aus?}
\end{quote}

\subsubsection{Das Grundprinzip}
Auf den ersten Blick ist die Vorgehensweise genauso, wie beim ersten Beispiel.
Wir schließen aus der Patientenzahl 3 auf die Grundeinheit, also auf genau
\textbf{einen} Patienten. Wie lange komme ich denn aus, wenn nur ein Patient
behandelt werden soll? Ich habe die Patientenzahl durch 3 dividiert. Der
logische Verstand sagt uns aber, dass das Fläschchen \textbf{länger} hält, wenn
\textbf{weniger} Patenten versorgt werden müssen. Es kann demnach nicht richtig
sein, die Anzahl der Tage auch durch 3 zu dividieren. Hier stehen die beiden
Größen -- die Zahl der Patienten und die Zahl der Tage -- in einem
\textbf{antiproportionalen} Verhältnis. Davon spricht man immer wenn eine Größe
\textbf{größer} wird, wenn man die andere \textbf{verkleinert}. Beim
\textbf{proportionalen} Dreisatz wird die zweite Größe ebenfalls
\textbf{kleiner}, wenn die erste Größe \textbf{verkleinert} wird (und
umgekehrt).\\

Halten wir fest: In diesem Beispiel haben wir \textbf{Antiproportionalität}.
Wenn ich also im ersten Schritt die Patientenzahl durch 3 \textbf{dividiere},
dann muss ich die Zahl der Tage mit 3 \textbf{multiplizieren}. Das Fläschchen
hält dann also:
\[\unit[12]{d} \cdot 3=\unit[36]{d}\]

Im nächsten Schritt wird auf die geforderten 4 Patienten geschlossen, ich
\textbf{multipliziere} die Patientenzahl demnach mit 4. Entsprechend muss ich
die Zahl der Tage, für die das Fläschchen ausreicht \textbf{durch 4
dividieren}.
\[\cfrac{\unit[36]{d}}{4}=\unit[9]{d}\]
Damit haben wir das Ergebnis: Das Fläschchen hält 9 Tage.\\

\subsubsection{Systematischer Lösungsweg}
Auch zum Antiproportionalen Dreisatz eignet sich das Schema, das wir bereits
beim proportionalen Dreisatz kennen gelernt haben. Es muss nur geringfügig
angepasst werden. Im eben vorgestellten Beispiel sieht das so aus:

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-6.5)(7,0)
  \pnode(-4.7,-2.9){A1}
  \pnode(-4.7,-3.4){A2}
  \pnode(-4.7,-3.9){A3}
  \pnode(4.7,-2.9){B1}
  \pnode(4.7,-3.4){B2}
  \pnode(4.7,-3.9){B3}
  \pnode(-4.7,-4.2){A4}
  \pnode(-4.7,-4.8){A5}
  \pnode(-4.7,-5.5){A6}
  \pnode(4.7,-4.2){B4}
  \pnode(4.7,-4.8){B5}
  \pnode(4.7,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:3$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 3$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 4$}
  \uput[0](B5){$:4$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[3]{P} &\hat =&\unit[12]{d}\\
\unit[4]{P} &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[3]{P} &\hat =&\unit[12]{d}\\
\unit[1]{P} &\hat =&\unit[12]{d} \cdot 3\\
\unit[4]{P} &\hat =&\cfrac{\unit[12]{d} \cdot 3}{4}=\unit[9]{d}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

Die äußere Struktur ist absolut identisch. Bei den Kommentar-Pfeilen ist jedoch
erkennbar, dass jetzt links und rechts \textbf{gegenteilige} Rechenoperationen
durchgeführt werden. Beim \textbf{proportionalen} Dreisatz stehen hier jeweils
die \textbf{gleichen} Rechenoperationen.\\

\newpage
\subsection{Beispiele zum einfachen Dreisatz}
Spätestens an dieser Stelle taucht natürlich die Frage auf:
\begin{quote}
\emph{Woran kann ich erkennen, ob in einem Dreisatzproblem ein
\textbf{proportionaler} oder ein \textbf{antiproportionaler} Zusammenhang
zugrunde liegt?}
\end{quote}
Die Antwort ist simpel und unbefriedigend zugleich: \textbf{Nachdenken!}
Nur die eigene Logik hilft. An einigen Beispielen schauen wir uns das an.\\

\subsubsection{Beispiel 1}
\begin{quote}
\textbf{Ein Beutel mit 6 Äpfeln kostet \EUR{1,30}. Wieviel muss ich für einen
Beutel mit 9 Äpfeln bezahlen?}
\end{quote}
Wir wollen das Problem mit unserem Schema lösen. Bevor wir es ansetzen können,
müssen wir zunächst klären, welche Größe kommt auf die linke Seite und welche
auf die rechte? Es gibt eine \textbf{Anzahl} (von Äpfeln) und einen
\textbf{Preis}. Bekanntlich soll die gesuchte Größe nach \textbf{rechts}. Das
Fragewort \emph{Wieviel} bezieht sich auf einen \textbf{Preis}. Daher kommt der
\textbf{Preis nach rechts} und die \textbf{Äpfelzahl nach links}. Der erste
Ansatz sieht demnach so aus:

\[\begin{array}{rcll}
6 &\hat =&\textnormal{\EUR{1,30}}\\
9 &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\end{array}\]

Jetzt beginnt der eigentliche Dreisatz. Die nächsten Schritte sind bis an diese
Stelle noch klar:

\[\begin{array}{rcll}
6 &\hat =&\textnormal{\EUR{1,30}}\\
9 &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
6 &\hat =&\textnormal{\EUR{1,30}}\\
1 &\hat =& \\
\end{array}\]

An genau dieser Stelle muss man jetzt überlegen, ob ein \textbf{proportionaler}
oder ein \textbf{antiproportionaler} Dreisatz vorliegt. Die Frage, die man sich
beantworten muss, lautet: "`Wenn ich statt 6 Äpfeln nur einen kaufe, muss ich
dann mehr oder weniger bezahlen?"' \\

Die Antwort dürfte klar sein: Ein Apfel kostet weniger als 6 Äpfel. Beide
Größen sind zueinander \textbf{proportional}, wenn eine kleiner wird, wird die
andere auch kleiner und umgekehrt. Neben unseren Kommentarpfeilen stehen daher
links und rechts die \textbf{selben} Rechenzeichen. Die weitere Lösung stellt
sich somit wie folgt dar.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-7.5)(7,0)
  \pnode(-5.3,-3){A1}
  \pnode(-5.3,-3.7){A2}
  \pnode(-5.3,-4.4){A3}
  \pnode(5.3,-3){B1}
  \pnode(5.3,-3.7){B2}
  \pnode(5.3,-4.4){B3}
  \pnode(-5.3,-4.6){A4}
  \pnode(-5.3,-5.5){A5}
  \pnode(-5.3,-6.4){A6}
  \pnode(5.3,-4.6){B4}
  \pnode(5.3,-5.5){B5}
  \pnode(5.3,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:6$}
  \uput[0](B2){$:6$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 9$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 9$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
6 &\hat =&\textnormal{\EUR{1,30}}\\
9 &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
6 &\hat =&\textnormal{\EUR{1,30}}\\
1 &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,30}}}{6}\\
9 &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,30}}}{6} \cdot 9=
  \textnormal{\EUR{1,95}} \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Für 9 Äfpel muss ich \EUR{1,95} bezahlen.

\subsubsection{Beispiel 2}
\begin{quote}
\textbf{Um alle Äpfel an einem Apfelbaum zu pflücken, benötigen drei
Erntehelfer 16 Minuten. Leider ist einer der Erntehelfer erkrankt. Wie lange
brauchen die beiden übrigen Erntehelfer für den Apfelbaum?}
\end{quote}
Auch hier stellt sich die Frage, welche Größe nach links und welche nach rechts
soll. Die Fragestellung \emph{Wie lange} deutet darauf hin, dass eine Zeit
gesucht wird, nämlich die Zeit für das Abernten des Baumes. Deshalb kommt die
Zeit nach rechts und die Anzahl der Helfer nach links.\\

Um die Lösung etwas abzukürzen, wollen wir an dieser Stelle schon überlegen, ob
Proportionalität oder Antiproportionalität vorliegt. Die Logik sagt uns, dass
weniger Leute mehr Zeit brauchen. Wir haben also Antiproportionalität.\\

Wir schließen von 3 auf einen Erntehelfer und danach auf 2. Wir erhalten dann
nachfolgendes Lösungsschema.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-6.5)(7,0)
  \pnode(-5.5,-2.9){A1}
  \pnode(-5.5,-3.4){A2}
  \pnode(-5.5,-3.9){A3}
  \pnode(5.5,-2.9){B1}
  \pnode(5.5,-3.4){B2}
  \pnode(5.5,-3.9){B3}
  \pnode(-5.5,-4.2){A4}
  \pnode(-5.5,-4.8){A5}
  \pnode(-5.5,-5.5){A6}
  \pnode(5.5,-4.2){B4}
  \pnode(5.5,-4.8){B5}
  \pnode(5.5,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:3$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 3$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 2$}
  \uput[0](B5){$:2$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[3]{E} &\hat =&\unit[16]{min}\\
\unit[2]{E} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\unit[3]{E} &\hat =&\unit[16]{d}\\
\unit[1]{E} &\hat =&\unit[16]{min} \cdot 3\\
\unit[2]{E} &\hat =&\cfrac{\unit[16]{min} \cdot 3}{2}=\unit[24]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Zwei Erntehelfer benötigen 24 Minuten

\newpage
\subsubsection{Beispiel 3}
\begin{quote}
\textbf{Die 24 Kinder einer Schulklasse benötigen 8 Minuten, um sich für den
Sportunterricht umzuziehen. Wie lange brauchen die Kinder, wenn nur 18 anwesend
sind?}
\end{quote}

Hier empfiehlt es sich, sofort auf Proportionalätät bzw. Antiproportionalität
zu untersuchen. Vielleicht hat auch der eine oder andere beim Lesen der
Aufgabenstellung schon laut gelacht. Es gibt nämlich Proportionalätät noch
Antiproportionalität, es gibt schlicht \textbf{keinen} Zusammenhang zwischen
der Kinderzahl und der Zeit zum Umziehen. Darum muss auch nichts gerechnet
werden, das Ergebnis bleibt bei 8 Minuten.\\

Etwas anders stellt sich freilich das Problem dar, wenn die Kinder sich nicht
selbst umziehen können, beispielsweise wenn sie eine entsprechende Behinderung
haben, oder wenn es sich noch um Säuglinge\footnote{Zugegeben, in diesem Fall
erübrigt sich das Problem, weil in dem Alter noch kein Sportunterricht in einer
Schule stattfindet.} handelt. Deshalb wir die Aufgabenstellung etwas
abgewandelt, und wir erhalten das nächste Beispiel.

\subsubsection{Beispiel 4}
\begin{quote}
\textbf{24 Babys in einer Säuglingsstation müssen frische Windeln bekommen.
Die 6 Kinderkrankenschwestern der Station benötigen dazu 20 Minuten. Wie lange
benötigen sie, wenn nur 18 Babys auf der Station sind?}
\end{quote}

Jetzt wird das Problem sinnvoll. Liest man die Aufgabe sorgfältig durch, dann
erkennt man, dass diesmal drei verschiedene Größen eine Rolle spielen:
\begin{enumerate}
\item Die Anzahl der Babys
\item Die Anzahl der Kinderkrankenschwestern
\item Die Zeit
\end{enumerate}
Beim genauen Hinsehen stellt man aber fest, dass dass die Anzahl der
Kinderkrankenschwestern sich nicht verändert. Sie kann daher unberücksichtigt
bleiben. Würde sich diese Zahl ebenfalls verändern, dann hätten wir einen
\textbf{zusammengesetzten Dreisatz}. Das wird in einem späteren Kapitel
beschrieben.\\

Da nach der Zeit gesucht wird, kommt diese Größe nach rechts, die Zahl der
Babys nach links. Da für mehr Babys zu wickeln auch mehr Zeit benötigt wird,
haben wir \textbf{Proportionalität}. Wir erhalten die Lösung mit nachfolgendem
Schema.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7.5,-7.5)(7.5,0)
  \pnode(-5.9,-3){A1}
  \pnode(-5.9,-3.7){A2}
  \pnode(-5.9,-4.4){A3}
  \pnode(5.9,-3){B1}
  \pnode(5.9,-3.7){B2}
  \pnode(5.9,-4.4){B3}
  \pnode(-5.9,-4.6){A4}
  \pnode(-5.9,-5.5){A5}
  \pnode(-5.9,-6.4){A6}
  \pnode(5.9,-4.6){B4}
  \pnode(5.9,-5.5){B5}
  \pnode(5.9,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:24$}
  \uput[0](B2){$:24$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 18$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 18$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[24]{B} &\hat =&\unit[20]{min}\\
\unit[18]{B} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\unit[24]{B} &\hat =&\unit[20]{min}\\
\unit[1]{B} &\hat =&\cfrac{\unit[20]{min}}{24}\\
\unit[18]{B} &\hat =&\cfrac{\unit[20]{min}}{24} \cdot 18
  =\unit[15]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Um 18 Babys zu wickeln benötigen die Kinderkrankenschwestern
15 Minuten.

\subsection{Die Grenzen der Dreisatzrechnung}
Manchmal gibt es Fälle, bei denen sich die Dreisatzrechnung nicht sinnvoll
ohne weiteres anwenden lässt. Das möchte ich an mehreren Beispielen zeigen.

\subsubsection{Beispiel 1}
\begin{quote}
\textbf{24 Babys in einer Säuglingsstation müssen frische Windeln bekommen.
Die 6 Kinderkrankenschwestern der Station benötigen dazu 20 Minuten. Wie lange
würden 100 Kinderkrankenschwestern benötigen, um die 24 Babys zu wickeln?}
\end{quote}
Hier ist das Problem offensichtlich. Wenn sich 100 Kinderkrankenschwestern um
24 Babys kümmern sollen, dann sind das mindestens 4 bei jedem Baby. Die stehen
sich mehr im Weg, als dass es schneller geht, denn die notwendigen Arbeitsgänge
müssen nacheinander ausgeführt werden. Wenn man hier nur blind mit dem
antiproportionalen Dreisatz rechnet, bekommt man zwar ein Ergebnis, aber das
passt nicht ansatzweise mehr zur Praxis.

\subsubsection{Beispiel 2}
Etwas kniffliger wird es in diesem Beispiel:
\begin{quote}
\textbf{24 Babys in einer Säuglingsstation müssen frische Windeln bekommen.
Die 6 Kinderkrankenschwestern der Station benötigen dazu 20 Minuten. Wie lange
benötigen sie, wenn nur 19 Babys auf der Station sind?}
\end{quote}
Rein rechnerisch sähe das Ergebnis so aus:
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8,-7.5)(8,0)
  \pnode(-6.3,-3){A1}
  \pnode(-6.3,-3.7){A2}
  \pnode(-6.3,-4.4){A3}
  \pnode(6.3,-3){B1}
  \pnode(6.3,-3.7){B2}
  \pnode(6.3,-4.4){B3}
  \pnode(-6.3,-4.6){A4}
  \pnode(-6.3,-5.5){A5}
  \pnode(-6.3,-6.4){A6}
  \pnode(6.3,-4.6){B4}
  \pnode(6.3,-5.5){B5}
  \pnode(6.3,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:24$}
  \uput[0](B2){$:24$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 19$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 19$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[24]{B} &\hat =&\unit[20]{min}\\
\unit[19]{B} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\unit[24]{B} &\hat =&\unit[20]{min}\\
\unit[1]{B} &\hat =&\cfrac{\unit[20]{min}}{24}\\
\unit[19]{B} &\hat =&\cfrac{\unit[20]{min}}{24} \cdot 19
  =\unit[15{,}83]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
\textbf{Rechnerisches Ergebnis:} Die 6 Krankenschwestern benötigen 15,83
Minuten (=15 Minuten und 50 Sekunden).\\

Was ist daran falsch?\\

Wir gehen das mal ganz praktisch durch. Zunächst nehmen sich die 6
Krankenschwestern je ein Baby. Damit sind sie nach 5 Minuten fertig. Nach 15
Minuten sind genau 18 Babys fertig. Jetzt müssten sich alle 6 Schwestern
gleichzeitig um das letzte kümmern. Dafür haben sie gemeinsam 50 Sekunden Zeit.
Das geht natürlich so nicht! Aber wie dann?\\

Hier muss richtig \textbf{gerundet} werden, und zwar aufgerundet. Wenn jeder
Windelwechsel 5 Minuten dauert, dann muss eben auf die nächsten ganzen 5
Minuten aufgerundet werden. Der Windelwechsel dauert damit insgesamt 20
Minuten, auch wenn in den letzten 5 Minuten 5 Kinderkrankenschwestern nichts zu
tun haben.\\


\subsubsection{Beispiel 3}
\begin{quote}
\textbf{Ein Landwirt hat ein Feld mit Erdbeeren. Um es vollständig abzuernten
benötigen 15 Erntehelfer 8 Stunden. Leider ist ein Gewitter angekündigt, so
dass das Feld spätestensin 7 Stunden abgeerntet sein muss. Wieviele Erntehelfer
muss der Landwirt einsetzen, damit das klappt?}
\end{quote}

Wir sehen uns zunächst die Rechnung an.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8,-7.5)(8,0)
  \pnode(-5.0,-2.9){A1}
  \pnode(-5.0,-3.4){A2}
  \pnode(-5.0,-3.9){A3}
  \pnode(5.0,-2.9){B1}
  \pnode(5.0,-3.4){B2}
  \pnode(5.0,-3.9){B3}
  \pnode(-5.0,-4.2){A4}
  \pnode(-5.0,-4.8){A5}
  \pnode(-5.0,-5.5){A6}
  \pnode(5.0,-4.2){B4}
  \pnode(5.0,-4.8){B5}
  \pnode(5.0,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:8$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 8$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 7$}
  \uput[0](B5){$:7$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[8]{h} &\hat =&\unit[15]{E}\\
\unit[7]{h} &\hat =&\unit[?]{E}\\
\hline
\unit[8]{h} &\hat =&\unit[15]{E}\\
\unit[1]{h} &\hat =&\unit[15]{E} \cdot 8\\
\unit[7]{h} &\hat =&\cfrac{\unit[15]{E} \cdot 8}{7}
  =\unit[17{,}14]{E}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Zahl der Erntehelfer steht rechts, es ist ein Antiproportionaler Dreisatz.
Das wurde alles richtig gemacht. Was stimmt also nicht?\\

Das Ergebnis ist ein Dezimalbruch (auch "`Kommazahl"' genannt). Es gibt aber
nur "`ganze"' Erntehelfer. Es muss also auf eine ganze Zahl gerundet werden.
Rein mathematisch würde man abrunden:
\[17{,}14 \approx 17 \]

Tatsächlich werden aber 17 Erntehelfer mit der Arbeit in 7 Stunden nicht ganz
fertig, ein Teil der Ernte fällt dem Gewitterregen zum Opfer. Deshalb muss hier
\textbf{aufgerundet} werden!
\[17{,}14 \approx 18 \]
Nur mit 18 Erntehelfern wird die Arbeit tatsächlich
rechtzeitig\footnote{Hierbei wurde natürlich außer acht gelassen, wie genau
tatsächlich eine Wettervorhersage sein kann.} fertig (sogar schon geringfügig
früher, aber das ist ja nicht schlimm).\\

\textbf{Fazit:} Wenn die Mathematik und die Wirklichkeit nicht
zusammenpassen, dann ist das nicht die Schuld der Mathematik. Die Mathematik
ist nur ein Werkzeug. Wenn ich versuche, mit einer Kombizange Nägel in die Wand
zu schlagen, dann ist nicht die Kombizange schuld, wenn das nicht klappt,
sondern der Handwerker (also ich), der das falsche Werkzeug ausgewählt hat. Es
kommt beim Lösen von praktischen Problemen also auch hier darauf an, welches
Werkzeug der Mathematik ich wie anwende.

\newpage
\subsection{Mögliche Fehler}
Wie überall im wirklichen Leben kann man auch beim Lösen von Dreisatz-Aufgaben
einiges falsch machen. Um davor zu warnen möchte ich anschließend einige
Beispiele vorstellen.

\ifpdf \hypertarget{rechts}{\subsubsection{Beispiel 1}}\fi
Aufgabenstellung:
\begin{quote}
\textbf{Lukas benötigt für den Schulweg 12 Minuten. Der Weg ist 1,2 Kilometer
lang. Nach einem Umzug verlängert sich der Schulweg auf 1,5 Kilometer. Wie
lange ist er jetzt unterwegs?}
\end{quote}
\paragraph{Lösungsansatz:}
\begin{center}\psset{xunit=3.0mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-10.5,-6.5)(10.5,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \uput[180](A2){$:12$}
  \uput[0](B2){$:12$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[12]{min} &\hat =&\unit[1{,}2]{km}\\
\unit[?]{min} &\hat =&\unit[1{,}5]{km}\\
\hline
\unit[12]{min} &\hat =&\unit[1{,}2]{km}\\
\unit[1]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[1{,}2]{km}}{12}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
An dieser Stelle geht es nicht weiter. Man müsste mit irgendeiner Zahl
multiplizieren, aber mit welcher?\\

Der Grund für das Problem liegt darin, dass die gesuchte Größe \textbf{nicht
rechts} steht. Man könnte allerdings auch in dieser Anordnung arbeiten, aber
dann müsste man entgegen dem gewohnten Schema auf der rechten anstatt auf der
linken Seite den Zwischenschritt auf die Grundeinheit machen. Jedoch ist es
immer sinnvoll, sich an einem festen Schema zu orientieren, dann geht weniger
schief, gerade dann, wenn man etwas unsicher ist. Die Lösung würde dann wie
folgt aussehen.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.5,-7.5)(8.5,0)
  \pnode(-6.5,-3){A1}
  \pnode(-6.5,-3.7){A2}
  \pnode(-6.5,-4.4){A3}
  \pnode(6.5,-3){B1}
  \pnode(6.5,-3.7){B2}
  \pnode(6.5,-4.4){B3}
  \pnode(-6.5,-4.6){A4}
  \pnode(-6.5,-5.5){A5}
  \pnode(-6.5,-6.4){A6}
  \pnode(6.5,-4.6){B4}
  \pnode(6.5,-5.5){B5}
  \pnode(6.5,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:1{,}2$}
  \uput[0](B2){$:1{,}2$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 1{,}5$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 1{,}5$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[1{,}2]{km} &\hat =&\unit[12]{min}\\
\unit[1{,}5]{km} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\unit[1{,}2]{km} &\hat =&\unit[12]{min}\\
\unit[1]{km} &\hat =&\cfrac{\unit[12]{min}}{1{,}2}\\
\unit[1{,}5]{km} &\hat =&\cfrac{\unit[12]{min}}{1{,}2} \cdot 1{,}5
 =\unit[15]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Der Schulweg dauert nach dem Umzug 15 Minuten.

\newpage
\subsubsection{Beispiel 2}
Aufgabenstellung:
\begin{quote}
\textbf{6 Äpfel kosten \EUR{1,80}. Wieviele Äpfel bekommt man für \EUR{2,60}?}
\end{quote}
\paragraph{Lösungsansatz:}
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8,-7.5)(8,0)
  \pnode(-6.1,-3){A1}
  \pnode(-6.1,-3.7){A2}
  \pnode(-6.1,-4.4){A3}
  \pnode(6.1,-3){B1}
  \pnode(6.1,-3.7){B2}
  \pnode(6.1,-4.4){B3}
  \pnode(-6.1,-4.6){A4}
  \pnode(-6.1,-5.5){A5}
  \pnode(-6.1,-6.4){A6}
  \pnode(6.1,-4.6){B4}
  \pnode(6.1,-5.5){B5}
  \pnode(6.1,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:1{,}8$}
  \uput[0](B2){$:1{,}8$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 2{,}6$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 2{,}6$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\textnormal{\EUR{1,80}} &\hat =&6 \\
\textnormal{\EUR{2,60}} &\hat =&? \\
\hline
\textnormal{\EUR{1,80}} &\hat =&6 \\
\textnormal{\EUR{1}} &\hat =&\cfrac{6}{1{,}8} \\
\textnormal{\EUR{2,60}} &\hat =&\cfrac{6}{1{,}8} \cdot 2{,}6
=8{,}\overline{6}\approx 9 \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Man bekommt für \EUR{2,60} 9 Äpfel.

\paragraph{Analyse der Lösung:}
Warum ist das falsch?\\

Hier wurde mathematisch korrekt $8{,}\overline{6}$ zu 9 gerundet. Auf ganze
Äpfel zu runden ist grundsätzlich richtig, denn Äpfel werden nicht in
Teilstücken verkauft. Da wir aber für den vorhandenen Geldbetrag von \EUR{2,60}
nicht ganz 9 Äpfel bekommen, muss \textbf{abgerundet} werden. (9 Äpfel würden
\EUR{2,70} kosten.) Wir können also für \EUR{2,60} tatsächlich nur 8 Äpfel
kaufen, auch wenn dabei noch 20 Cent übrig bleiben. Hier muss also die
Mathematik auf das tatsächliche praktische Problem angepasst werden.

\newpage
\subsubsection{Beispiel 3}
Aufgabenstellung:
\begin{quote}
\textbf{In einem Pflegeheim müssen 15 Patienten geduscht werden. Dazu
benötigen drei Pflegekräfte eine Stunde und 40 Minuten. Wieviele Pflegekräfte
müssen eingesetzt werden, damit die Arbeit in einer Stunde erledigt ist?}
\end{quote}

\paragraph{Lösungsansatz:}
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.8,-7.5)(8.8,0)
  \pnode(-6.5,-3){A1}
  \pnode(-6.5,-3.7){A2}
  \pnode(-6.5,-4.4){A3}
  \pnode(6.5,-3){B1}
  \pnode(6.5,-3.7){B2}
  \pnode(6.5,-4.4){B3}
  \pnode(-6.5,-4.6){A4}
  \pnode(-6.5,-5.5){A5}
  \pnode(-6.5,-6.4){A6}
  \pnode(6.5,-4.6){B4}
  \pnode(6.5,-5.5){B5}
  \pnode(6.5,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:100$}
  \uput[0](B2){$:100$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 60$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 60$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[100]{min} &\hat =&\unit[3]{P}\\
\unit[60]{min} &\hat =&\unit[?]{P}\\
\hline
\unit[100]{min} &\hat =&\unit[3]{P}\\
\unit[1]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[3]{P}}{100} \\
\unit[60]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[3]{P}}{100} \cdot 60
=\unit[1{,}8]{P} \approx \unit[2]{P} \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Es werden zwei Pflegekräfte benötigt.

\paragraph{Analyse der Lösung:}
Was ist falsch?\\

Zunächst wurde die Zeit von einer Stunde und 40 Minuten richtig in 100 Minuten
umgerechnet. Auch die ganze Stunde wurde richtig in 60 Minuten umgerechnet. Das
ist es also nicht. Auch die Aufrundung von 1,8 auf 2 Pflegekräfte ist korrekt.
Der Fehler liegt woanders.\\

Es wurde nicht beachtet, dass der Dreisatz \textbf{antiproportional} ist. Wenn
\textbf{weniger} Zeit zur Verfügung steht müssen \textbf{mehr} Kräfte
eingesetzt werden. Daher sieht die korrekte Lösung aus wie folgt.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.8,-7.5)(8.8,0)
  \pnode(-5.5,-2.9){A1}
  \pnode(-5.5,-3.4){A2}
  \pnode(-5.5,-3.9){A3}
  \pnode(5.5,-2.9){B1}
  \pnode(5.5,-3.4){B2}
  \pnode(5.5,-3.9){B3}
  \pnode(-5.5,-4.2){A4}
  \pnode(-5.5,-4.8){A5}
  \pnode(-5.5,-5.5){A6}
  \pnode(5.5,-4.2){B4}
  \pnode(5.5,-4.8){B5}
  \pnode(5.5,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:100$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 100$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 60$}
  \uput[0](B5){$ :60$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[100]{min} &\hat =&\unit[3]{P}\\
\unit[60]{min} &\hat =&\unit[?]{P}\\
\hline
\unit[100]{min} &\hat =&\unit[3]{P}\\
\unit[1]{min} &\hat =&\unit[3]{P} \cdot 100 \\
\unit[60]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[3]{P} \cdot 100}{60}
=\unit[5]{P} \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
5 Pflegekräfte werden benötigt, um die Arbeit in einer Stunde zu bewältigen.

\newpage
\ifpdf \hypertarget{runden}{\subsubsection{Beispiel 4}}\fi
Aufgabenstellung:
\begin{quote}
\textbf{Eine Packung mit 150 Unterlegscheiben soll \EUR{2,15} kosten. Wieviel
müsste man für 240 Unterlegscheiben bezahlen?}
\end{quote}

\paragraph{Lösungsansatz:}
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7.9,-7.5)(7.9,0)
  \pnode(-5.9,-3){A1}
  \pnode(-5.9,-3.7){A2}
  \pnode(-5.9,-4.4){A3}
  \pnode(5.9,-3){B1}
  \pnode(5.9,-3.7){B2}
  \pnode(5.9,-4.4){B3}
  \pnode(-5.9,-4.6){A4}
  \pnode(-5.9,-5.2){A5}
  \pnode(-5.9,-5.8){A6}
  \pnode(5.9,-4.6){B4}
  \pnode(5.9,-5.2){B5}
  \pnode(5.9,-5.8){B6}
  \uput[180](A2){$:150$}
  \uput[0](B2){$:150$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 240$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 240$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
150 &\hat =&\textnormal{\EUR{2,15}}\\
240 &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
150 &\hat =&\textnormal{\EUR{2,15}}\\
1 &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{2,15}}}{150}
  =\textnormal{\EUR{0,01}}\\
240 &\hat =&\textnormal{\EUR{0,01}} \cdot 240=
  \textnormal{\EUR{2,40}} \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Für 240 Unterlegscheiben muss ich \EUR{2,40} bezahlen.
\paragraph{Analyse der Lösung:}
In Zeile 4 wurde das Ergebnis
\mbox{$\frac{\textnormal{\EUR{2,15}}}{150} \approx \textnormal{\EUR{0,014\,333}}$}
sofort auf den ganzen Centbetrag \EUR{0,01} abgerundet. Mit diesem Ergebnis
wurde in Zeile 5 weiter gerechnet. Hätte man das nicht getan, hätte man das
korrekte Ergebnis
\mbox{$\frac{\textnormal{\EUR{2,15}}}{150} \cdot 240=\textnormal{\EUR{3,44}}$}
erhalten. Das ist doch ein ganz anderer Wert! Aus diesem Grund ist es wichtig,
\textbf{nicht zwischendurch einen Wert auszurechnen und mit dem gerundeten
Ergebnis weiter zu rechnen}.

\newpage
\section{Übungsaufgaben zum einfachen Dreisatz}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Ring Kabel mit $\unit[150]{m}$ kosten \EUR{27,50}. Wieviel kosten
$\unit[270]{m}$?

\subsection{Aufgabe 2}
Eine Packung mit 240 Stegleitungsnägeln soll \EUR{12,80} kosten. Wieviele Nägel
würde man für \EUR{20} bekommen?

\subsection{Aufgabe 3}
Die Fertigung von 800 Dosenklemmen belegt eine Spritzgussmaschine mit 3 Stunden
und 12 Minuten. Wieviele Dosenklemmen können während einer 8-Stunden-Schicht
gefertigt werden?

\subsection{Aufgabe 4}
Um die Installation eines Netzwerkes vorzunehmen, benötigen 3
Informationstechnische Assistenten eine Woche mit 36 Arbeitsstunden. Wie lange
dauert die Arbeit, wenn nur 2 Informationstechnische Assistenten die Arbeit
durchführen können?

\subsection{Aufgabe 5}
Die Arbeit aus vorstehender Aufgabe muss unbedingt in 22 Stunden erledigt sein.
Wieviele Informationstechnische Assistenten muss der Betriebsleiter einsetzen?

\subsection{Aufgabe 6}
Eine Datei mit einer Größe von $\unit[3{,}2]{MB}$ vom Server zu laden dauert
0,8 Sekunden. Welche Zeit beansprucht die Übertragung von $\unit[20]{MB}$?

\subsection{Aufgabe 7}
Zur Auswahl stehen zwei Angebote für Kirschen in Gläsern. Welches Angebot ist
günstiger?\\
Angebot 1: $\unit[820]{ml}$ zu \EUR{1,15},
Angebot 2: $\unit[650]{ml}$ zu \EUR{0,90}.

\subsection{Aufgabe 8}
Ein 1,2-Volt-Akku mit einer Kapazität von $\unit[600]{mAh}$ kostet \EUR{1,49}.
Wie teuer darf ein vergleichbarer Akku mit einer Kapazität von
$\unit[850]{mAh}$ sein?

\subsection{Aufgabe 9}
Ein voll geladener Akku kann ein Gerät mit einem Strombedarf von
$\unit[12]{mA}$ 40 Stunden lang betreiben. Wie lange hält der Akku bei einem
Strombedarf von $\unit[15]{mA}$?

\subsection{Aufgabe 10}
Wird die Kochplatte eines Elektroherdes auf eine Leistung von $\unit[250]{W}$
geschaltet, dann kocht das Nudelwasser nach 12 Minuten. Welche Leistung ist
erforderlich, damit das Wasser schon nach 8 Minuten zum Kochen kommt?

\subsection{Aufgabe 11}
Eine Partie mit 120 Dosen Kondensmilch ist 2 Jahre haltbar. Wie lange halten
sich 250 Dosen Kondensmilch?

\subsection{Aufgabe 12}
Ein Telefongespräch von 15 Minuten Dauer ins Ausland kostet \EUR{1,35}. Wie
lange kann man für \EUR{1,71} telefonieren?

\newpage
\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben zum einfachen Dreisatz}
\paragraph{Aufgabe 1} \EUR{49,50}
\paragraph{Aufgabe 2} 375 Nägel
\paragraph{Aufgabe 3} 2\,000 Stück
\paragraph{Aufgabe 4} 54 Stunden
\paragraph{Aufgabe 5} 5 ITAs
\paragraph{Aufgabe 6} 5 Sekunden
\paragraph{Aufgabe 7} 60 Liter
\paragraph{Aufgabe 8} Angebot 2
\paragraph{Aufgabe 9} \EUR{2,11}
\paragraph{Aufgabe 10} 32 Stunden
\paragraph{Aufgabe 11} 2 Jahre
\paragraph{Aufgabe 12} 19 Minuten

\newpage
\section{Komplettlösungen der Übungsaufgaben zum einfachen Dreisatz}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Ring Kabel mit $\unit[150]{m}$ kosten \EUR{27,50}. Wieviel kosten
$\unit[270]{m}$?
\paragraph{Lösung:}
Gesucht ist ein Preis. Deswegen müssen die Preise nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \pnode(-6.7,-4.6){A4}
  \pnode(-6.7,-5.5){A5}
  \pnode(-6.7,-6.4){A6}
  \pnode(6.7,-4.6){B4}
  \pnode(6.7,-5.5){B5}
  \pnode(6.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:150$}
  \uput[0](B2){$:150$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 270$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 270$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[150]{m} &\hat =&\textnormal{\EUR{27,50}}\\
\unit[270]{m} &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
\unit[150]{m} &\hat =&\textnormal{\EUR{27,50}}\\
\unit[1]{m} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{27,50}}}{150}\\
\unit[270]{m} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{27,50}}}{150} \cdot 270
 =\textnormal{\EUR{49,50}}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Für $\unit[270]{m}$ müsste man \EUR{49,50} bezahlen.


\subsection{Aufgabe 2}
Eine Packung mit 240 Stegleitungsnägeln soll \EUR{12,80} kosten. Wieviele Nägel
würde man für \EUR{20} bekommen?
\paragraph{Lösung:}
Gesucht ist eine Anzahl von Nägeln. Deswegen müssen die Nägelanzahlen nach
\textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \pnode(-6.7,-4.6){A4}
  \pnode(-6.7,-5.5){A5}
  \pnode(-6.7,-6.4){A6}
  \pnode(6.7,-4.6){B4}
  \pnode(6.7,-5.5){B5}
  \pnode(6.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:12{,}8$}
  \uput[0](B2){$:12{,}8$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 20$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 20$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\textnormal{\EUR{12,80}} &\hat =&\unit[240]{N}\\
\textnormal{\EUR{20,00}} &\hat =&\unit[?]{N}\\
\hline
\textnormal{\EUR{12,80}} &\hat =&\unit[240]{N}\\
\textnormal{\EUR{1,00}} &\hat =&\cfrac{\unit[240]{N}}{12{,}8}\\
\textnormal{\EUR{20,00}} &\hat =&\cfrac{\unit[240]{N}}{12{,}8} \cdot
20=\unit[375]{N}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Für \EUR{20} bekommt man 375 Stegleitungsnägel.

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Die Fertigung von 800 Dosenklemmen belegt eine Spritzgussmaschine mit 3 Stunden
und 12 Minuten. Wieviele Dosenklemmen können während einer 8-Stunden-Schicht
gefertigt werden?
\paragraph{Lösung:}
Zunächst ist es sinnvoll, die Zeit, die zum Teil in Stunden und Minuten
angegeben ist, in eine einheitliche Zeit umzurechnen. Das können Stunden oder
Minuten sein. Willkürlich wähle ich hier die Einheit
"`Minuten"'. \footnote{Einzelheiten zum Umrechnen von Einheiten siehe
hier: \ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einheit.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einheit.pdf}\fi}
\[\begin{array}{rclclcl}
\unit[3]{h}+\unit[12]{min}&=&3 \cdot \unit[60]{min}+\unit[12]{min}
  &=&\unit[192]{min}\\
\unit[8]{h}&=&8 \cdot \unit[60]{min}
  &=&\unit[480]{min}\\
\end{array}\]

Gesucht ist eine Anzahl. Daher müssen die Anzahlen nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \pnode(-6.7,-4.6){A4}
  \pnode(-6.7,-5.5){A5}
  \pnode(-6.7,-6.4){A6}
  \pnode(6.7,-4.6){B4}
  \pnode(6.7,-5.5){B5}
  \pnode(6.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:192$}
  \uput[0](B2){$:192$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 480$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 480$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[192]{min} &\hat =&\unit[800]{D}\\
\unit[480]{min} &\hat =&\unit[?]{D}\\
\hline
\unit[192]{min} &\hat =&\unit[800]{D}\\
\unit[1]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[800]{D}}{192}\\
\unit[480]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[800]{D}}{192} \cdot 480
=\unit[2\,000]{D}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
In 8 Stunden können 2\,000 Dosenklemmen gefertigt werden.

\subsection{Aufgabe 4}
Um die Installation eines Netzwerkes vorzunehmen, benötigen 3
Informationstechnische Assistenten eine Woche mit 36 Arbeitsstunden. Wie lange
dauert die Arbeit, wenn nur 2 Informationstechnische Assistenten die Arbeit
durchführen können?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-6.5)(7,0)
  \pnode(-4.7,-2.9){A1}
  \pnode(-4.7,-3.4){A2}
  \pnode(-4.7,-3.9){A3}
  \pnode(4.7,-2.9){B1}
  \pnode(4.7,-3.4){B2}
  \pnode(4.7,-3.9){B3}
  \pnode(-4.7,-4.2){A4}
  \pnode(-4.7,-4.8){A5}
  \pnode(-4.7,-5.5){A6}
  \pnode(4.7,-4.2){B4}
  \pnode(4.7,-4.8){B5}
  \pnode(4.7,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:3$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 3$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 2$}
  \uput[0](B5){$:2$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[3]{A} &\hat =&\unit[36]{h}\\
\unit[2]{A} &\hat =&\unit[?]{h}\\
\hline
\unit[3]{A} &\hat =&\unit[36]{h}\\
\unit[1]{A} &\hat =&\unit[36]{h} \cdot 3\\
\unit[2]{A} &\hat =&\cfrac{\unit[36]{h} \cdot 3}{2}=\unit[54]{h}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Zwei Informatonstechnische Assistenten benötigen 54 Stunden.

\subsection{Aufgabe 5}
Die Arbeit aus vorstehender Aufgabe muss unbedingt in 22 Stunden erledigt sein.
Wieviele Informationstechnische Assistenten muss der Betriebsleiter einsetzen?
\paragraph{Lösung:}
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-6.5)(7,0)
  \pnode(-5.3,-2.9){A1}
  \pnode(-5.3,-3.4){A2}
  \pnode(-5.3,-3.9){A3}
  \pnode(5.3,-2.9){B1}
  \pnode(5.3,-3.4){B2}
  \pnode(5.3,-3.9){B3}
  \pnode(-5.3,-4.2){A4}
  \pnode(-5.3,-4.8){A5}
  \pnode(-5.3,-5.5){A6}
  \pnode(5.3,-4.2){B4}
  \pnode(5.3,-4.8){B5}
  \pnode(5.3,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:36$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 36$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 22$}
  \uput[0](B5){$:22$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[36]{h} &\hat =&\unit[3]{A}\\
\unit[22]{h} &\hat =&\unit[?]{A}\\
\hline
\unit[36]{h} &\hat =&\unit[3]{A}\\
\unit[1]{h} &\hat =&\unit[3]{A} \cdot 36 \\
\unit[22]{h} &\hat =&\cfrac{\unit[3]{A} \cdot 36}{22}
  \approx \unit[4{,}909]{A}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Es muss auf eine ganze Anzahl von Assistenten aufgerundet werden:\\
Es müssen 5 Informationstechnische Assistenten eingesetzt werden.

\subsection{Aufgabe 6}
Eine Datei mit einer Größe von $\unit[3{,}2]{MB}$ vom Server zu laden dauert
0,8 Sekunden. Welche Zeit beansprucht die Übertragung von $\unit[20]{MB}$?
\paragraph{Lösung:}
Eine Zeit ist gesucht. Deswegen müssen die Zeiten nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-5.7,-3){A1}
  \pnode(-5.7,-3.7){A2}
  \pnode(-5.7,-4.4){A3}
  \pnode(5.7,-3){B1}
  \pnode(5.7,-3.7){B2}
  \pnode(5.7,-4.4){B3}
  \pnode(-5.7,-4.6){A4}
  \pnode(-5.7,-5.5){A5}
  \pnode(-5.7,-6.4){A6}
  \pnode(5.7,-4.6){B4}
  \pnode(5.7,-5.5){B5}
  \pnode(5.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:3{,}2$}
  \uput[0](B2){$:3{,}2$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 20$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 20$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[3{,}2]{MB} &\hat =&\unit[0{,}8]{s}\\
\unit[20]{MB} &\hat =&\unit[?]{s}\\
\hline
\unit[3{,}2]{MB} &\hat =&\unit[0{,}8]{s}\\
\unit[1]{MB} &\hat =&\cfrac{\unit[0{,}8]{s}}{3{,}2}\\
\unit[20]{MB} &\hat =&\cfrac{\unit[0{,}8]{s}}{3{,}2} \cdot
20=\unit[5]{s}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Übertragung von $\unit[20]{MB}$ dauert 5 Sekunden.

\newpage
\subsection{Aufgabe 7}
Zur Auswahl stehen zwei Angebote für Kirschen in Gläsern. Welches Angebot ist
günstiger?\\
Angebot 1: $\unit[820]{ml}$ zu \EUR{1,15},
Angebot 2: $\unit[650]{ml}$ zu \EUR{0,90}.
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung sind 3 Varianten möglich:
\begin{enumerate}
\item Man berechnet, wieviel $\unit[650]{ml}$ aus Angebot 1 kosten würden.
\item Man berechnet, wieviel $\unit[820]{ml}$ aus Angebot 2 kosten würden.
\item Man berechnet für beide Angebote den Preis für ein Liter (oder ein
Milliliter).\footnote{Aus
Verbraucherschutzgründen ist heutzutage eine solche Angabe in den Läden
gesetzlich vorgeschrieben.}
\end{enumerate}
Beispielhaft stelle ich zunächst Lösungsvariante 1 vor.
\subparagraph{Variante 1:}
Gesucht ist ein Preis. Deswegen müssen die Preise nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \pnode(-6.7,-4.6){A4}
  \pnode(-6.7,-5.5){A5}
  \pnode(-6.7,-6.4){A6}
  \pnode(6.7,-4.6){B4}
  \pnode(6.7,-5.5){B5}
  \pnode(6.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:820$}
  \uput[0](B2){$:820$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 650$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 650$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[820]{ml} &\hat =&\textnormal{\EUR{1,15}}\\
\unit[650]{ml} &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
\unit[820]{ml} &\hat =&\textnormal{\EUR{1,15}}\\
\unit[1]{ml} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,15}}}{820}\\
\unit[650]{ml} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,15}}}{820} \cdot 650
 \approx \textnormal{\EUR{0,91}}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Für $\unit[650]{ml}$ müsste man nach dem 1. Angebot \EUR{0,91} bezahlen. Im
Angebot 2 kosten sie nur \EUR{0,90}. Angebot 2 ist demnach günstiger.\\

Alternativ stelle ich noch Variante 3 vor. Die zweite Alternative schenke ich
mir.
\subparagraph{Variante 3:}
Ich berechne jeweils den Preis für ein Milliliter.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{Angebot 1:}&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,15}}}{820}
&\approx&\textnormal{\EUR{0,00140}}\\
\textnormal{Angebot 2:}&\cfrac{\textnormal{\EUR{0,90}}}{650}
&\approx&\textnormal{\EUR{0,00138}}\\
\end{array}\]
Der Grundpreis für Angebot 2 ist günstiger.\\

\textbf{Anmerkung:} Hier ist es nicht möglich, auf einen ganzen Centbetrag zu
runden. Dann bliebe jeweils nichts übrig. Tatsächlich reicht es auch nicht, auf
4 Stellen nach dem Komma zu runden, denn dann würde auch bei Angebot 2 ein
Betrag von \EUR{0,0014} stehen. Mindestens 5 Stellen nach dem Komma sind hier
erforderlich, um den Unterschied zu erkennen.

\subsection{Aufgabe 8}
Ein 1,2-Volt-Akku mit einer Kapazität von $\unit[600]{mAh}$ kostet \EUR{1,49}.
Wie teuer darf ein vergleichbarer Akku mit einer Kapazität von
$\unit[850]{mAh}$ sein?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-9,-7.5)(9,0)
  \pnode(-6.8,-3){A1}
  \pnode(-6.8,-3.7){A2}
  \pnode(-6.8,-4.4){A3}
  \pnode(6.8,-3){B1}
  \pnode(6.8,-3.7){B2}
  \pnode(6.8,-4.4){B3}
  \pnode(-6.8,-4.6){A4}
  \pnode(-6.8,-5.5){A5}
  \pnode(-6.8,-6.4){A6}
  \pnode(6.8,-4.6){B4}
  \pnode(6.8,-5.5){B5}
  \pnode(6.8,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:600$}
  \uput[0](B2){$:600$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 850$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 850$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[600]{mAh} &\hat =&\textnormal{\EUR{1,49}}\\
\unit[850]{mAh} &\hat =&\textnormal{\EUR{?}}\\
\hline
\unit[600]{mAh} &\hat =&\textnormal{\EUR{1,49}}\\
\unit[1]{mAh} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,49}}}{600}\\
\unit[850]{mAh} &\hat =&\cfrac{\textnormal{\EUR{1,49}}}{600} \cdot
850 \approx \textnormal{\EUR{2,11}} \\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Für eine Kapazität von $\unit[850]{mAh}$ müsste ich
\EUR{2,11} bezahlen.


\subsection{Aufgabe 9}
Ein voll geladener Akku kann ein Gerät mit einem Strombedarf von
$\unit[12]{mA}$ 40 Stunden lang betreiben. Wie lange hält der Akku bei einem
Strombedarf von $\unit[15]{mA}$?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-6.5)(7,0)
  \pnode(-5.2,-2.9){A1}
  \pnode(-5.2,-3.4){A2}
  \pnode(-5.2,-3.9){A3}
  \pnode(5.2,-2.9){B1}
  \pnode(5.2,-3.4){B2}
  \pnode(5.2,-3.9){B3}
  \pnode(-5.2,-4.2){A4}
  \pnode(-5.2,-4.8){A5}
  \pnode(-5.2,-5.5){A6}
  \pnode(5.2,-4.2){B4}
  \pnode(5.2,-4.8){B5}
  \pnode(5.2,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:12$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 12$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 15$}
  \uput[0](B5){$:15$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[12]{mA} &\hat =&\unit[40]{h}\\
\unit[15]{mA} &\hat =&\unit[?]{h}\\
\hline
\unit[12]{mA} &\hat =&\unit[40]{h}\\
\unit[1]{mA} &\hat =&\unit[40]{h} \cdot 12\\
\unit[15]{mA} &\hat =&\cfrac{\unit[40]{h} \cdot 12}{15}
 =\unit[32]{h}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Der Akku kann 32 Stunden lang einen Strom von $\unit[15]{mA}$ liefern.

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
Wird die Kochplatte eines Elektroherdes auf eine Leistung von $\unit[250]{W}$
geschaltet, dann kocht das Nudelwasser nach 12 Minuten. Welche Leistung ist
erforderlich, damit das Wasser schon nach 8 Minuten zum Kochen kommt?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8,-6.5)(8,0)
  \pnode(-6.3,-2.9){A1}
  \pnode(-6.3,-3.4){A2}
  \pnode(-6.3,-3.9){A3}
  \pnode(6.3,-2.9){B1}
  \pnode(6.3,-3.4){B2}
  \pnode(6.3,-3.9){B3}
  \pnode(-6.3,-4.2){A4}
  \pnode(-6.3,-4.8){A5}
  \pnode(-6.3,-5.5){A6}
  \pnode(6.3,-4.2){B4}
  \pnode(6.3,-4.8){B5}
  \pnode(6.3,-5.5){B6}
  \uput[180](A2){$:12$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 12$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 8$}
  \uput[0](B5){$:8$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[12]{min} &\hat =&\unit[250]{W}\\
\unit[8]{min} &\hat =&\unit[?]{W}\\
\hline
\unit[12]{min} &\hat =&\unit[250]{W}\\
\unit[1]{min} &\hat =&\unit[250]{W} \cdot 12 \\
\unit[8]{min} &\hat =&\cfrac{\unit[250]{W} \cdot 12}{8}
 =\unit[375]{W}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Kochplatte muss auf eine Leistung von $\unit[375]{W}$ geschaltet werden.

\subsection{Aufgabe 11}
Eine Partie mit 120 Dosen Kondensmilch ist 2 Jahre haltbar. Wie lange halten
sich 250 Dosen Kondensmilch?
\paragraph{Lösung:}

Die Haltbarkeit ist in keiner Weise von der Anzahl der Dosen abhängig. Daher
bleibt es bei 2 Jahren.

\subsection{Aufgabe 12}
Ein Telefongespräch von 15 Minuten Dauer ins Ausland kostet \EUR{1,35}. Wie
lange kann man für \EUR{1,71} telefonieren?
\paragraph{Lösung:}
Gesucht ist eine Zeit. Deswegen müssen die Zeiten nach
\textbf{rechts}.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.9,-7.5)(8.9,0)
  \pnode(-6.7,-3){A1}
  \pnode(-6.7,-3.7){A2}
  \pnode(-6.7,-4.4){A3}
  \pnode(6.7,-3){B1}
  \pnode(6.7,-3.7){B2}
  \pnode(6.7,-4.4){B3}
  \pnode(-6.7,-4.6){A4}
  \pnode(-6.7,-5.5){A5}
  \pnode(-6.7,-6.4){A6}
  \pnode(6.7,-4.6){B4}
  \pnode(6.7,-5.5){B5}
  \pnode(6.7,-6.4){B6}
  \uput[180](A2){$:1{,}35$}
  \uput[0](B2){$:1{,}35$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 1{,}71$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 1{,}71$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\textnormal{\EUR{1,35}} &\hat =&\unit[15]{min}\\
\textnormal{\EUR{1,71}} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\textnormal{\EUR{1,35}} &\hat =&\unit[15]{min}\\
\textnormal{\EUR{1,00}} &\hat =&\cfrac{\unit[15]{min}}{1{,}35}\\
\textnormal{\EUR{1,71}} &\hat =&\cfrac{\unit[15]{min}}{1{,}35} \cdot
1{,}71 =\unit[19]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Man kann für \EUR{1,71} 19 Minuten telefonieren.

\newpage
\section{Der zusammengesetzte Dreisatz}
Wenn nicht nur zwei, sondern drei (oder noch mehr) Größen voneinander abhängig
sind und variiert werden, spricht man von einem \textbf{zusammengesetzten
Dreisatz}. Ein Beispiel soll das verdeutlichen.
\paragraph{Beispiel 1}
\begin{quote}
\textbf{Um beim Bau von 5 Reihenhäusern den Erdaushub abzufahren benötigen 2
LKW 15 Stunden. Wie lange dauert es, wenn 7 vergleichbare Häuser gebaut werden
sollen und für den Abtransport 3 LKW zur Verfügung stehen?}  %14
\end{quote}

\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung fügt man zwei Dreisätze aneinander an. So kann man bei zunächst
gleichbleibender Anzahl von LKW die Zahl der Häuser im ersten Dreisatz von 5
auf 7 verändern, und dann im nachgeschalteten Dreisatz bei unveränderter
Häuserzahl die Zahl der LKW von 2 auf drei verändern. In unserem Schema -- das
natürlich entsprechend erweitert werden muss -- sieht dass dann so aus.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-11.3)(11,0)
  \pnode(-7.5,-3){A1}
  \pnode(-7.5,-3.7){A2}
  \pnode(-7.5,-4.4){A3}
  \pnode(7.5,-3){B1}
  \pnode(7.5,-3.7){B2}
  \pnode(7.5,-4.4){B3}
  \pnode(-7.5,-4.6){A4}
  \pnode(-7.5,-5.5){A5}
  \pnode(-7.5,-6.4){A6}
  \pnode(7.5,-4.6){B4}
  \pnode(7.5,-5.5){B5}
  \pnode(7.5,-6.4){B6}
  \pnode(7.5,-6.6){B7}
  \pnode(7.5,-7.5){B8}
  \pnode(7.5,-8.4){B9}
  \pnode(7.5,-8.6){B10}
  \pnode(7.5,-9.5){B11}
  \pnode(7.5,-10.4){B12}
  \pnode(-4.2,-6.6){A7}
  \pnode(-4.2,-7.5){A8}
  \pnode(-4.2,-8.4){A9}
  \pnode(-4.2,-8.6){A10}
  \pnode(-4.2,-9.5){A11}
  \pnode(-4.2,-10.4){A12}
  \uput[180](A2){$:5$}
  \uput[0](B2){$:5$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 7$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 7$}
  \uput[180](A8){$:2$}
  \uput[0](B8){$ \cdot 2$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 3$}
  \uput[0](B11){$:3$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[5]{H}&\mid& \unit[2]{LKW}  &\hat =&\unit[15]{h}\\
\unit[7]{H}&\mid& \unit[3]{LKW}  &\hat =&\unit[?]{h}\\
\hline
\unit[5]{H}&\mid& \unit[2]{LKW}  &\hat =&\unit[15]{h}\\
\unit[1]{H}&\mid& \unit[2]{LKW}  &\hat =&\cfrac{\unit[15]{h}}{5}\\
\unit[7]{H}&\mid& \unit[2]{LKW}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[15]{h} \cdot 7}{5} \\
\unit[7]{H}&\mid& \unit[1]{LKW}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[15]{h} \cdot 7 \cdot 2}{5}\\
\unit[7]{H}&\mid& \unit[3]{LKW}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[15]{h} \cdot 7 \cdot 2}{5 \cdot 3}=\unit[14]{h}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Um den Erdaushub von 7 Häusern mit 3 LKW abzufahren werden
14 Stunden benötigt.

\paragraph{Erläuterungen zum erweiterten Lösungsschema:}
\begin{description}
\item[Zeile 1] Hier stehen (wie beim einfachen Dreisatz auch) die gegebenen Werte, die
      zusammengehören. Auch hier ist es wichtig, dass die Größe, die gesucht
      wird, \textbf{rechts} steht. Die beiden anderen stehen gleichwertig
      davor. Deren Reihenfolge untereinander ist gleichgültig.
\item[Zeile 2] Hier stehen alle Größen, die zum gesuchten Ergebnis gehören.
      Auch das ist kaum anders, als beim einfachen Dreisatz.
\item[Zeile 3] Hier steht wieder unverändert Zeile 1, also nichts Neues.
\item[Zeile 4] Hier wird die \textbf{erste} Größe (hier die Anzahl der Häuser)
      auf die Grundeinheit 1 gebracht. Der Kommentarpfeil $\downarrow$
      mit "':5"' daneben
      zeigt das an. \textbf{Ganz wichtig:} Die zweite Größe (hier die Anzahl
      der LKW) bleibt zunächst unverändert. An dieser Stelle muss man
      überlegen, ob zwischen der ganz linken und der rechten Größe eine
      Proportionalität, oder eine Antiproportionalität vorliegt. (Hier: Bei
      weniger Häusern braucht man auch weniger Zeit $\Rightarrow$
      Proportionalität. Deswegen wird auch ganz rechts durch die selbe
      Zahl wie links \textbf{dividiert}. Hätten wir eine Antiproportionalität
      festgestellt, müssten wir hier multiplizieren wie beim einfachen Dreisatz
      auch.
\item[Zeile 5] Wie beim einfachen Dreisatz auch wird die linke Größe durch
      geeignete Multiplikation auf den gewünschten Wert gebracht. Die Größe in
      der mittleren Spalte bleibt immer noch unverändert. Auch die rechte Größe
      wird entsprechend der gefundenen Proportionalität oder
      Antiproportionalität angepasst, wie beim einfachen Dreisatz auch.
\item[Zeile 6] Ab hier bleibt die ganz linke Größe unverändert. Sie hat ja
      inzwischen schon den gewünschten Endwert. Jetzt wird die Größe in der
      Mitte auf die Grundeinheit 1 gebracht (hier die Anzahl der LKW). Man kann
      sagen, es schließt sich ein zweiter Dreisatz an den ersten an. Der
      Kommentarpfeil $\downarrow$ steht jetzt entsprechend nicht mehr neben den
      linken, sondern neben den mittleren Größen. Es muss wieder erneut über
      Proportionalität oder Antiproportionalität nachgedacht werden.\\
      \textbf{\emph{Wichtig:} Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Art der
      Proportionalität im ersten und zweiten Teildreisatz!}\\
      Im vorliegenden Beispiel ist sofort klar, dass \textbf{weniger} LKW zu
      \textbf{mehr} Zeit führen, also eine Antiproportionalität vorliegt.
      Entsprechend muss in Zeile 6 rechts mit 2 \textbf{multipliziert} werden,
      während in der Mitte durch 2 \textbf{dividiert} wird.
\item[Zeile 7] Hier wird wie beim einfachen Dreisatz auch nun bei der Größe in
      der Mitte auf den gewünschten Endwert (hier 3 LKW) geschlossen.
      Entsprechendes geschieht auch rechts (hier die gegenteilige
      Rechenoperation). Erst ganz am Schluss wird ausgerechnet.
\end{description}

Mit einem weiteren Beispiel möchte ich die Erklärungen zum erweiterten Dreisatz
abschließen.

\newpage
\paragraph{Beispiel 2}
\begin{quote}
\textbf{In einem Büro-Hochhaus mit 14 Etagen sollen alle Fenster gereinigt
werden. Am ersten Arbeitstag mit 8 Stunden Arbeitszeit schaffen 4
Gebäudereiniger genau 5 Etagen. Wie lange benötigen sie für den Rest, wenn ab
dem zweiten Tag einer der Gebäudereiniger erkrankt ist?}
\end{quote}
\paragraph{Lösung:}
Zunächst werden Hilfsgrößen berechnet, die nur indirekt angegeben sind.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[4]{Geb"audereiniger}-\unit[1]{Geb"audereiniger}&=&\unit[3]{Geb"audereiniger}\\
\unit[14]{Etagen}-\unit[5]{Etagen}&=&\unit[9]{Etagen}\\
\end{array}\]
Mit diesen Daten kann das Lösungsschema angesetzt werden. Da eine Zeit gesucht
ist, kommt diese Größe nach \textbf{rechts}. Die Reihenfolge der anderen ist
beliebig.

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-10.3)(11,0)
  \pnode(-6.8,-3){A1}
  \pnode(-6.8,-3.4){A2}
  \pnode(-6.8,-3.9){A3}
  \pnode(6.8,-3){B1}
  \pnode(6.8,-3.4){B2}
  \pnode(6.8,-3.9){B3}
  \pnode(-6.8,-4.2){A4}
  \pnode(-6.8,-4.8){A5}
  \pnode(-6.8,-5.5){A6}
  \pnode(6.8,-4.2){B4}
  \pnode(6.8,-4.8){B5}
  \pnode(6.8,-5.5){B6}
  \pnode(6.8,-5.8){B7}
  \pnode(6.8,-6.5){B8}
  \pnode(6.8,-7.3){B9}
  \pnode(6.8,-7.6){B10}
  \pnode(6.8,-8.5){B11}
  \pnode(6.8,-9.4){B12}
  \pnode(-3.5,-5.8){A7}
  \pnode(-3.5,-6.5){A8}
  \pnode(-3.5,-7.3){A9}
  \pnode(-3.5,-7.6){A10}
  \pnode(-3.5,-8.5){A11}
  \pnode(-3.5,-9.4){A12}
  \uput[180](A2){$:4$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 4$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 3$}
  \uput[0](B5){$:3$}
  \uput[180](A8){$:5$}
  \uput[0](B8){$:5$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 9$}
  \uput[0](B11){$ \cdot 9$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[4]{G}&\mid& \unit[5]{E}  &\hat =&\unit[8]{h}\\
\unit[3]{G}&\mid& \unit[9]{E}  &\hat =&\unit[?]{h}\\
\hline
\unit[4]{G}&\mid& \unit[5]{E}  &\hat =&\unit[8]{h}\\
\unit[1]{G}&\mid& \unit[5]{E}  &\hat =&\unit[8]{h} \cdot 4 \\
\unit[3]{G}&\mid& \unit[5]{E}  &\hat =&\cfrac{\unit[8]{h} \cdot 4}{3}\\
\unit[3]{G}&\mid& \unit[1]{E}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[8]{h} \cdot 4}{3 \cdot 5}\\
\unit[3]{G}&\mid& \unit[9]{E}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[8]{h} \cdot 4 \cdot 9}{3 \cdot 5}=\unit[19{,}2]{h}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Zeit in dezimalen Stunden sollte noch in Stunden und Minuten umgerechnet
werden.
\[\unit[19{,}2]{h}=\unit[19]{h}+0{,}2 \cdot
\unit[60]{min}=\unit[19]{h}+\unit[12]{min}\]

\textbf{Ergebnis:} Die restliche Arbeit ist in 19 Stunden und 12 Minuten
erledigt.\\

\textbf{Anmerkung:} In diesem Beispiel war der erste Teil-Dreisatz
antiproportional und der zweite proportional. Deshalb wurde in Zeile 4 rechts
multipliziert, während links dividiert wurde. (In Zeile 5 entsprechend
andersherum.)

\newpage
\section{Übungsaufgaben zum zusammengesetzten Dreisatz}
\subsection{Aufgabe 1}
Mit 5 gleichartigen Spritzgussmaschinen können 450 Schaltergehäuse in 3 Stunden
hergestellt werden. Wie lange dauert die Produktion von 780 Schaltergehäusen,
wenn nur 2 Spritzgussmaschinen zur Verfügung stehen?

\subsection{Aufgabe 2}
In der Produktion nach vorstehender Aufgabe soll ein Auftrag von 800
Schaltergehäusen unbedingt während einer 8-Stunden-Schicht abgearbeitet werden.
Wieviele Spritzgussmaschinen muss der Schichtleiter mindestens einsetzen, damit
diese Anforderung erfüllt werden kann?

\subsection{Aufgabe 3}
Zu der Baustelle einer Bahnstrecke muss Material mit Lastwagen gefahren werden.
Mit 6 LKW dauert es 8 Tage, bis das Material für 1,5 Kilometer Bahnstrecke
angeliefert ist. Wie lange dauert die Anlieferung, wenn mit 4 LKW das Material
für 2,5 Kilometer Bahnstrecke gebracht wird?

\subsection{Aufgabe 4}
Die Bestückung von 600 Grafikkarten dauert beim Einsatz von 4
Bestückungsautomaten 25 Minuten. Wie lange dauert die Ausführung eines
Auftrages von 4\,500 Karten, wenn 5 Bestückungsautomaten eingesetzt werden
können?

\newpage
\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben zum zusammengesetzten Dreisatz}
\paragraph{Aufgabe 1}
13 Stunden
\paragraph{Aufgabe 2}
4 Spritzgussmaschinen
\paragraph{Aufgabe 3}
20 Tage
\paragraph{Aufgabe 4}
2 Stunden und 30 Minuten

\newpage
\section{Komplettlösungen der Übungsaufgaben zum zusammengesetzten Dreisatz}
\subsection{Aufgabe 1}
Mit 5 gleichartigen Spritzgussmaschinen können 450 Schaltergehäuse in 3 Stunden
hergestellt werden. Wie lange dauert die Produktion von 780 Schaltergehäusen,
wenn nur 2 Spritzgussmaschinen zur Verfügung stehen?
\paragraph{Lösung:} Als Bezeichner verwende ich \textbf{M} für die Anzahl der
Maschinen und \textbf{G} für die Anzahl der Gehäuse.
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-10.3)(11,0)
  \pnode(-7.1,-3){A1}
  \pnode(-7.1,-3.4){A2}
  \pnode(-7.1,-3.9){A3}
  \pnode(7.1,-3){B1}
  \pnode(7.1,-3.4){B2}
  \pnode(7.1,-3.9){B3}
  \pnode(-7.1,-4.2){A4}
  \pnode(-7.1,-4.8){A5}
  \pnode(-7.1,-5.5){A6}
  \pnode(7.1,-4.2){B4}
  \pnode(7.1,-4.8){B5}
  \pnode(7.1,-5.5){B6}
  \pnode(7.1,-5.8){B7}
  \pnode(7.1,-6.5){B8}
  \pnode(7.1,-7.3){B9}
  \pnode(7.1,-7.6){B10}
  \pnode(7.1,-8.5){B11}
  \pnode(7.1,-9.4){B12}
  \pnode(-4.0,-5.8){A7}
  \pnode(-4.0,-6.5){A8}
  \pnode(-4.0,-7.3){A9}
  \pnode(-4.0,-7.6){A10}
  \pnode(-4.0,-8.5){A11}
  \pnode(-4.0,-9.4){A12}
  \uput[180](A2){$:5$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 5$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 2$}
  \uput[0](B5){$:2$}
  \uput[180](A8){$:450$}
  \uput[0](B8){$:450$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 780$}
  \uput[0](B11){$ \cdot 780$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[5]{M}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[3]{h}\\
\unit[2]{M}&\mid& \unit[780]{G}  &\hat =&\unit[?]{h}\\
\hline
\unit[5]{M}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[3]{h}\\
\unit[1]{M}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[3]{h} \cdot 5 \\
\unit[2]{M}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[3]{h} \cdot 5}{2}\\
\unit[2]{M}&\mid& \unit[1]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[3]{h} \cdot 5}{2 \cdot 450}\\
\unit[2]{M}&\mid& \unit[780]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[3]{h} \cdot 5 \cdot 780}{2 \cdot 450}=\unit[13]{h}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Für 780 Schaltergehäuse benötigen 2 Spritzgussmaschinen 13
Stunden.

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
In der Produktion nach vorstehender Aufgabe soll ein Auftrag von 800
Schaltergehäusen unbedingt während einer 8-Stunden-Schicht abgearbeitet werden.
Wieviele Spritzgussmaschinen muss der Schichtleiter mindestens einsetzen, damit
diese Anforderung erfüllt werden kann?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-10.3)(11,0)
  \pnode(-7.6,-3){A1}
  \pnode(-7.6,-3.4){A2}
  \pnode(-7.6,-3.9){A3}
  \pnode(7.6,-3){B1}
  \pnode(7.6,-3.4){B2}
  \pnode(7.6,-3.9){B3}
  \pnode(-7.6,-4.2){A4}
  \pnode(-7.6,-4.8){A5}
  \pnode(-7.6,-5.5){A6}
  \pnode(7.6,-4.2){B4}
  \pnode(7.6,-4.8){B5}
  \pnode(7.6,-5.5){B6}
  \pnode(7.6,-5.8){B7}
  \pnode(7.6,-6.5){B8}
  \pnode(7.6,-7.3){B9}
  \pnode(7.6,-7.6){B10}
  \pnode(7.6,-8.5){B11}
  \pnode(7.6,-9.4){B12}
  \pnode(-4.8,-5.8){A7}
  \pnode(-4.8,-6.5){A8}
  \pnode(-4.8,-7.3){A9}
  \pnode(-4.8,-7.6){A10}
  \pnode(-4.8,-8.5){A11}
  \pnode(-4.8,-9.4){A12}
  \uput[180](A2){$:3$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 3$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 8$}
  \uput[0](B5){$:8$}
  \uput[180](A8){$:450$}
  \uput[0](B8){$:450$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 800$}
  \uput[0](B11){$ \cdot 800$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[3]{h}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[5]{M}\\
\unit[8]{h}&\mid& \unit[800]{G}  &\hat =&\unit[?]{M}\\
\hline
\unit[3]{h}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[5]{M}\\
\unit[1]{h}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =&\unit[5]{M} \cdot 3\\
\unit[8]{h}&\mid& \unit[450]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[5]{M} \cdot 3}{8}\\
\unit[8]{h}&\mid& \unit[1]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[5]{M} \cdot 3}{8 \cdot 450}\\
\unit[8]{h}&\mid& \unit[800]{G}  &\hat =
 &\cfrac{\unit[5]{M} \cdot 3 \cdot 800}{8 \cdot 450} \approx \unit[3{,}33]{M}
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Da nur eine \textbf{ganze} Anzahl von Maschinen eingesetzt werden kann, muss
gerundet werden. Damit die Arbeit auf jeden Fall in der vorgegebenen Zeit
erledigt ist, muss entgegen dem reinen "`mathematischen"' Runden
\textbf{aufgerundet} werden, auch wenn dadurch die Arbeit etwas früher fertig
ist.\\

\textbf{Ergebnis:} Der Schichtleiter muss 4 Spritzgussmaschinen einsetzen.

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Zu der Baustelle einer Bahnstrecke muss Material mit Lastwagen gefahren werden.
Mit 6 LKW dauert es 8 Tage, bis das Material für 1,5 Kilometer Bahnstrecke
angeliefert ist. Wie lange dauert die Anlieferung, wenn mit 4 LKW das Material
für 2,5 Kilometer Bahnstrecke gebracht wird?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11,-11.3)(11,0)
  \pnode(-7.8,-3){A1}
  \pnode(-7.8,-3.4){A2}
  \pnode(-7.8,-3.9){A3}
  \pnode(7.8,-3){B1}
  \pnode(7.8,-3.4){B2}
  \pnode(7.8,-3.9){B3}
  \pnode(-7.8,-4.2){A4}
  \pnode(-7.8,-4.8){A5}
  \pnode(-7.8,-5.5){A6}
  \pnode(7.8,-4.2){B4}
  \pnode(7.8,-4.8){B5}
  \pnode(7.8,-5.5){B6}
  \pnode(7.8,-5.8){B7}
  \pnode(7.8,-6.5){B8}
  \pnode(7.8,-7.3){B9}
  \pnode(7.8,-7.6){B10}
  \pnode(7.8,-8.5){B11}
  \pnode(7.8,-9.4){B12}
  \pnode(-3.5,-5.8){A7}
  \pnode(-3.5,-6.5){A8}
  \pnode(-3.5,-7.3){A9}
  \pnode(-3.5,-7.6){A10}
  \pnode(-3.5,-8.5){A11}
  \pnode(-3.5,-9.4){A12}
  \uput[180](A2){$:6$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 6$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 4$}
  \uput[0](B5){$:4$}
  \uput[180](A8){$:1{,}5$}
  \uput[0](B8){$:1{,}5$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 2{,}5$}
  \uput[0](B11){$ \cdot 2{,}5$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[6]{LKW}&\mid& \unit[1{,}5]{km}  &\hat =&\unit[8]{d}\\
\unit[4]{LKW}&\mid& \unit[2{,}5]{km}  &\hat =&\unit[?]{d}\\
\hline
\unit[6]{LKW}&\mid& \unit[1{,}5]{km}  &\hat =&\unit[8]{d}\\
\unit[1]{LKW}&\mid& \unit[1{,}5]{km}  &\hat =&\unit[8]{d} \cdot 6 \\
\unit[4]{LKW}&\mid& \unit[1{,}5]{km}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[8]{d} \cdot 6}{4}\\
\unit[4]{LKW}&\mid& \unit[1]{km}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[8]{d} \cdot 6}{4 \cdot 1{,}5}\\
\unit[4]{LKW}&\mid& \unit[2{,}5]{km}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[8]{d} \cdot 6 \cdot 2{,}5}{4 \cdot 1{,}5}=\unit[20]{d}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\textbf{Ergebnis:} Um Material für 2,5 Kilometer Bahnstrecke mit 4 LKW
anzuliefern werden 20 Tage benötigt.


\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Die Bestückung von 600 Grafikkarten dauert beim Einsatz von 4
Bestückungsautomaten 25 Minuten. Wie lange dauert die Ausführung eines
Auftrages von 4\,500 Karten, wenn 5 Bestückungsautomaten eingesetzt werden
können?
\paragraph{Lösung:}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-11.5,-11.3)(11.5,0)
  \pnode(-8.9,-3){A1}
  \pnode(-8.9,-3.7){A2}
  \pnode(-8.9,-4.4){A3}
  \pnode(8.9,-3){B1}
  \pnode(8.9,-3.7){B2}
  \pnode(8.9,-4.4){B3}
  \pnode(-8.9,-4.6){A4}
  \pnode(-8.9,-5.5){A5}
  \pnode(-8.9,-6.4){A6}
  \pnode(8.9,-4.6){B4}
  \pnode(8.9,-5.5){B5}
  \pnode(8.9,-6.4){B6}
  \pnode(8.9,-6.6){B7}
  \pnode(8.9,-7.5){B8}
  \pnode(8.9,-8.4){B9}
  \pnode(8.9,-8.6){B10}
  \pnode(8.9,-9.5){B11}
  \pnode(8.9,-10.4){B12}
  \pnode(-4.6,-6.6){A7}
  \pnode(-4.6,-7.5){A8}
  \pnode(-4.6,-8.4){A9}
  \pnode(-4.6,-8.6){A10}
  \pnode(-4.6,-9.5){A11}
  \pnode(-4.6,-10.4){A12}
  \uput[180](A2){$:600$}
  \uput[0](B2){$:600$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 4\,500$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 4\,500$}
  \uput[180](A8){$:4$}
  \uput[0](B8){$ \cdot 4$}
  \uput[180](A11){$ \cdot 5$}
  \uput[0](B11){$:5$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A7)(A9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B7)(B9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A10)(A12)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B10)(B12)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rclcll}
\unit[600]{G}&\mid& \unit[4]{B}  &\hat =&\unit[25]{min}\\
\unit[600]{G}&\mid& \unit[4]{B}  &\hat =&\unit[25]{min}\\
\hline
\unit[600]{G}&\mid& \unit[4]{B}  &\hat =&\unit[25]{min}\\
\unit[1]{G}&\mid& \unit[4]{B}  &\hat =&\cfrac{\unit[25]{min}}{600}\\
\unit[4\,500]{G}&\mid& \unit[4]{B}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[25]{min} \cdot 4\,500}{600}\\
\unit[4\,500]{G}&\mid& \unit[1]{B}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[25]{min} \cdot 4\,500 \cdot 4}{600}\\
\unit[4\,500]{G}&\mid& \unit[5]{B}  &\hat =
  &\cfrac{\unit[25]{min} \cdot 4\,500 \cdot 4}{600 \cdot 5}=\unit[150]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Die Zeit von $\unit[150]{min}$ sollte noch in $\unit[2]{h}+\unit[30]{min}$
umgerechnet werden.\\

\textbf{Ergebnis:} Um 4\,500 Grafikkarten mit 5 Bestückungsautomaten zu
bestücken benötigt man 2 Stunden und 30 Minuten.

\newpage
\emph{(Wird bald um weitere Übungsaufgaben ergänzt.)}

\end{document}
%------------------------
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
 \^ =                  % "entspricht"
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi
\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
