\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
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\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Übungsaufgaben zur Vektorrechnung}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage  %------------------------------------------

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Hier stehen einige Übungsaufgaben zu Grundlagen der Vektorrechnung. Die nötigen
Erläuterungen und Erklärungen der Grundlagen dazu finden Sie hier:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/vektor.pdf} \fi
\end{center}

\section{Einfache Aufgaben}
Lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben. Die Lösungen befinden sich im
übernächsten Hauptkapitel.
\subsection{Aufgabe 1}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig} (Aufg. a und b) bzw.
\textbf{komplanar} (Aufg. c bis e)?
\subsubsection{Aufgabe 1a}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1b}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1c}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-5 \\-5 \\-5 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1d}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\-2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1e}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}0 \\-1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 2}
Bestimmen Sie den Parameter $a$ so, dass die Vektoren \textbf{komplanar} sind!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} a \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 3}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\subsubsection{Aufgabe 3a}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 3b}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}-4 \\-3 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 3c}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 4}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\subsubsection{Aufgabe 4a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 4b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 5}
Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 6 \\-9 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\-8 \\ 10 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}-3 \\ 7 \\ 11 \end{array}\right) \qquad
  \vec e= \left( \begin{array}{c}7 \\-7 \\ 7 \end{array}\right)\]

\subsection{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-12 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}15 \\-16 \\ 12 \end{array}\right)\]

\subsection{Aufgabe 7}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\subsubsection{Aufgabe 7a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 7b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}24 \\ -6 \\ 8  \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie die fehlende Komponente $x$ so, dass sich ein Winkel von
$60^\circ$ zwischen den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ergibt!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50} \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0  \end{array}\right) \]

\newpage  %---------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!

\subsubsection{Aufgabe 9a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ z \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 9b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} y \\ -1 \\-3  \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z  \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 10}
Bestimmen Sie einen Vektor $\vec d$ senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ mit dem
Betrag von $\vec c$!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}1 \\-11 \\-23,5  \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 11}
Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks zwischen den Endpunkten der drei
Vektoren!
\subsubsection{Aufgabe 11a}
Gegeben sind drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$:

\[\vec a= \left( \begin{array}{c}2 \\4 \\ 6 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}4 \\4 \\5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\2 \\4  \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 11b}
Gegeben sind drei Vektoren im $\mathbb{R}^2$:
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2  \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}8 \\1  \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}6 \\5  \end{array}\right) \]

\newpage  %------------------------------------------------
\section{Zusammengesetzte Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 12}   % aus VEKTOR3
Gegeben sind die drei Vektoren:
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}u \\ 3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \quad
\vec b= \left( \begin{array}{c} -1 \\ v \\ 1 \\ \end{array} \right) \quad
\vec c= \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ w \\ \end{array} \right) \]
mit $u=-1$, $v=7$ und $w=1$.
\begin{enumerate}
\item Sind die drei Vektoren \emph{komplanar}? Begründen Sie Ihre
  Antwort durch eine Rechnung!
\item Berechnen Sie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, die die Vektoren
  miteinander bilden mit $\alpha = \angle \vec b,\vec c$, $\beta = \angle \vec
  a,\vec c$ und $\gamma = \angle \vec a,\vec b$!
\item Berechnen Sie die Länge des Vektors $\vec d$ mit
  $\vec d= \vec a+ \vec b+\vec c$!
\item Bestimmen Sie nun die Parameter $u$, $v$ und $w$ so, dass die Winkel
  $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ jeweils rechte Winkel darstellen!
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
\begin{wrapfigure}{r}{6.2cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(1,0.5)(13,9)
 \pnode(3.5,2.5){P1}
 \pnode(8.5,2.5){P2}
 \pnode(5,8){P3}
 \pnode(10,8){P4}
 \pnode(5.5,1.5){P5}
 \pnode(10.5,1.5){P6}
 \pnode(7,7){P7}
 \pnode(12,7){P8}
 \psline*[linecolor=yellow](P1)(P2)(P4)(P3)(P1)
 \psline*[linecolor=lightgray](P1)(P5)(P6)(P2)(P1)
 \psline*[linecolor=lightgray](P2)(P6)(P8)(P4)(P2)
 \psline[linewidth=2.5pt]{->}(P1)(P2)
 \psline[linewidth=2.5pt]{->}(P1)(P3)
 \psline[linewidth=2.5pt]{->}(P1)(P5)
 \psline[linewidth=1pt](P2)(P4)(P3)
 \psline[linewidth=1pt](P5)(P6)(P8)(P4)
 \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](P5)(P7)(P8)
 \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](P3)(P7)
 \psline[linewidth=1pt](P2)(P6)
 \uput{0.2}[-180](P1){$P_1$}
 \uput[120](P2){$P_2$}
 \uput[160](P3){$P_3$}
 \uput{0.2}[60](P4){$P_4$}
 \uput{0.2}[-90](P5){$P_5$}
 \uput{0.2}[-40](P6){$P_6$}
 \uput{0.2}[-60](P7){$P_7$}
 \uput{0.2}[-50](P8){$P_8$}
 \uput{2.6}[11](P1){$\vec a$}
 \uput{2.6}[85](P1){$\vec b$}
 \uput{0.8}[-50](P1){$\vec c$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben sind die Punkte $P_1(2|1|3)$, $P_2(7|1|3)$ und $P_3(x|5|6)$. Der Vektor
$\vec a$ verläuft von $P_1$ nach $P_2$, der Vektor $\vec b$ von $P_1$ nach
$P_3$. Ausgehend von diesen drei Punkten soll ein Würfel entwickelt werden,
dessen \textbf{zweidimensionales} Bild nebenstehend skizziert ist.\\

\textbf{a)} Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass sich zwischen $\vec a$
und $\vec b$ ein \textbf{Rechter Winkel} ergibt.\\

\textbf{b)} Weisen Sie nach, dass die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$
\textbf{gleich lang} sind. Gehen Sie dabei von $x=2$ aus.\\

\textbf{c)}
Bestimmen Sie einen Vektor $\vec c$, der sowohl senkrecht auf $\vec a$ als auch
auf $\vec b$ steht und die gleiche Länge wie  $\vec a$ und $\vec b$ hat.\\

\textbf{d)}
Bestimmen Sie den Punkt $P_4$, so dass die Punkte $P_1$, $P_2$, $P_4$, $P_3$
ein Quadrat ergeben. (Das Quadrat ist im Bild gelb markiert.) \\

\textbf{e)}
Ergänzen Sie das Quadrat aus \textbf{d)} zu einem Würfel mit den weiteren
Eckpunkten  $P_5$, $P_6$, $P_7$ und $P_8$ gemäß dem obenstehenden Bild.
Gehen Sie hierbei von
$\vec c=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right)$ aus.

\textbf{f)}
Um den \textbf{dreidimensionalen} Würfel zeichnen zu können, soll er auf die
\textbf{zweidimensionale} Ebene abgebildet werden. Die Projektion erfolgt nach
dieser Abbildungsvorschrift:
\[ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array}\right) \rightarrow
 \left( \begin{array}{c} x+0{,}5z \\ y+0{,}5z \\ \end{array}\right) \]
Bestimmen Sie zu jedem Punkt $P_1 \ldots P_8$ aus dem $\mathbb{R}^3$ (aus
dem dreidimensionalen Raum) den jeweils zugehörigen Punkt $P^*_1 \ldots P^*_8$
aus dem $\mathbb{R}^2$ (aus der zweidimensionalen Zei\-chen\-e\-be\-ne)!\\

\textbf{g)}
Berechnen Sie sie gelb markierte parallelogrammförmige Fläche auf der
Zeichenebene (im $\mathbb{R}^2$), die durch $\vec a$ und $\vec b$
aufgespannt wird!

\newpage  %------------------------------------------------
\section{Lösungen der einfachen Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\subsubsection{Aufgabe 1a}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante\footnote{Alle Hintergrundinformationen zu
Determinanten, was das ist und wie sie berechnet wird, ist hier zu finden:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/det.pdf} \fi}
$\det \left( \vec a,\vec b \right)$. Ist sie Null, dann sind die Vektoren
\textbf{linear abhängig}.
\[\det \left( \vec a,\vec b \right) =\begin{array}{|cc|} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\
\end{array}=0 \cdot 3-0 \cdot 2=0 \]
Die Determinante ist Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{linear abhängig}.}

\subsubsection{Aufgabe 1b}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b \right)$. Ist sie
Null, dann sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}.
\[\det \left( \vec a,\vec b \right) =\begin{array}{|cc|} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array}
  =2 \cdot 1-1 \cdot 0=2 \not= 0  \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{linear unabhängig}.}

\newpage  %------------------------
\subsubsection{Aufgabe 1c}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-5 \\-5 \\-5 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 2 \\
1 & 2 \\
\end{array}}=-10-10-10+10+10+10=0 \]
Die Determinante ist Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{komplanar}.}

\subsubsection{Aufgabe 1d}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\-2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
0 &-1 &-2 \\
2 & 0 & 2 \\
-2& 2 & 1 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
0 &-1 \\
2 & 0 \\
-2& 2 \\
\end{array}}=0+4-8-0-0+2=-2 \not= 0 \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht komplanar}.}

\newpage  %------------------------
\subsubsection{Aufgabe 1e}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}0 \\-1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
1 & 0 &-1 \\
0 &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 &-1 \\
1 & 1 \\
\end{array}}=-1+0+0-1-1-0=-3 \not= 0 \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht komplanar}.}

\subsection{Aufgabe 2}
Bestimmen Sie den Parameter $a$ so, dass die Vektoren \textbf{komplanar} sind!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} a \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
\[\textnormal{Vektoren }\vec a,\ \vec b \textnormal{ und }\vec c \textnormal{
komplanar}\quad \Leftrightarrow \quad \det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =0\]
\begin{eqnarray*}  \det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)&=&0 \\
\begin{array}{|ccc|}
a &-5 & 5 \\
2 & 0 & 4 \\
0 & 3 & 3 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
a &-5 \\
2 & 0 \\
0 & 3 \\
\end{array}}&=&0 \\
0+0+30-0-12a+30&=&0 \\
-12a+60&=&0 \quad |-60 \\
-12a&=&-60 \quad |:(-12) \\
a&=&5
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a=5$}

\newpage  %------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
\subsubsection{Aufgabe 3a}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right)=
1 \cdot 2+2 \cdot 1=4 \not=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht}
orthogonal.}\end{center}

\subsubsection{Aufgabe 3b}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}-4 \\-3 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-4 \\ -3 \end{array}\right)=
-3 \cdot (-4)+4 \cdot (-3)=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind orthogonal.}\end{center}

\subsubsection{Aufgabe 3c}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)=
2 \cdot (-5)+3 \cdot 4+(-1) \cdot 2=-10+12-2=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind orthogonal.}\end{center}

\newpage  %------------------------
\subsection{Aufgabe 4}
\subsubsection{Aufgabe 4a}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\begin{eqnarray*}
\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right)&=&0 \\
-4+x+15&=&0 \\
x+11&=&0 \quad |-11 \\
x&=&-11
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=11$}

\subsubsection{Aufgabe 4b}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\begin{eqnarray*}
\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
\left(\begin{array}{c}5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)&=&0 \\
5x+0+0&=&0 \\
5x&=&0 \quad |:5 \\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=0$}

\newpage  %-------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 6 \\-9 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\-8 \\ 10 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}-3 \\ 7 \\ 11 \end{array}\right) \qquad
  \vec e= \left( \begin{array}{c}7 \\-7 \\ 7 \end{array}\right)\]
\paragraph{Lösung:}
Die Länge des Pfeiles entspricht dem Betrag des Vektors. Daher bestimme ich
zunächst die Beträge der Vektoren.
\[\begin{array}{rclclcl}
|\vec a|&=&\sqrt{(-5)^2+12^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec b|&=&\sqrt{6^2+(-9)^2}&=&\sqrt{117}&\approx&10,82 \\
|\vec c|&=&\sqrt{2^2+(-8)^2+10^2}&=&\sqrt{168}&\approx& 12,96 \\
|\vec d|&=&\sqrt{(-3)^2+7^2+11^2}&=&\sqrt{179}&\approx& 13,38 \\
|\vec e|&=&\sqrt{7^2+(-7)^2+7^2}&=&\sqrt{147}&\approx& 12,12 \\
\end{array}\]
Durch Vergleich der Werte -- am besten der exakten mit Wurzel -- ergibt sich
folgende Reihenfolge:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec b \qquad \vec e \qquad \vec c \qquad \vec a \qquad \vec d$}
\end{center}

\subsection{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-12 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}15 \\-16 \\ 12 \end{array}\right)\]
\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rclclcl}
|\vec a|&=&\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec b|&=&\sqrt{(-21)^2+(-28)^2}&=&\sqrt{1225}&=&35 \\
|\vec c|&=&\sqrt{(-12)^2+4^2+(-3)^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec d|&=&\sqrt{15^2+(-16)^2+12^2}&=&\sqrt{625}&=&25 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$|\vec a|=13 \quad |\vec b|=35 \quad |\vec c|=13 \quad |\vec d|=25$}
\end{center}

\newpage  %-------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\subsubsection{Aufgabe 7a}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die Grundformel: \mbox
{$|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b=\vec a \cdot \vec b$}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b&=&\vec a \cdot \vec b
  \quad| :\left(|\vec a|\cdot|\vec b| \right) \\
\cos \angle \vec a \vec b&=&\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos
  \frac{\left( \begin{array}{c}-5 \\-12 \end{array}\right) \cdot
  \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right)}
  {\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}\cdot \sqrt{(-21)^2+(-28)^2}}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{105+336}{13 \cdot 35}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{441}{455}\\
\angle \vec a \vec b&\approx&14,25^\circ
\end{eqnarray*}
Der Winkel zwischen den Vektoren ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\angle \vec a \vec b \approx 14,25^\circ$}

\newpage  %----------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 7b}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}24 \\ -6 \\ 8  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die umgestellte Grundformel: \mbox
{$\angle \vec a \vec b
 = \arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$}
\begin{eqnarray*}
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos
  \frac{\left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \cdot
  \left( \begin{array}{c}24 \\-6 \\ 8 \end{array}\right)}
  {\sqrt{(-9)^2+(-12)^2+36^2}\cdot \sqrt{24^2+(-6)^2}+8^2}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{-216+72+288}{39 \cdot 26}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{144}{1014}\\
\angle \vec a \vec b&\approx&81,8357^\circ
\end{eqnarray*}
Der Winkel zwischen den Vektoren ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\angle \vec a \vec b \approx 81,8357^\circ$}

\newpage   %----------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie die fehlende Komponente $x$ so, dass sich ein Winkel von
$60^\circ$ zwischen den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ergibt!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50} \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die Grundformel: \mbox
{$|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b=\vec a \cdot \vec b$}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b&=&\vec a \cdot \vec b
  \quad| :\left(|\vec a|\cdot|\vec b| \right) \\
\sqrt{(-7)^2+1^2+\left( \sqrt{50}\right)^2}\cdot \sqrt{x^2+4^2+0^2}\cdot
 \cos 60^\circ&=&\left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50}\end{array}\right)
 \cdot \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \\
10 \cdot \sqrt{x^2+16}\cdot 0,5 &=&-7x+4 \quad |\ (\ )^2 \\
5 \cdot \sqrt{x^2+16}&=&-7x+4 \quad |\ (\ )^2 \\
25 \cdot (x^2+16)&=&49x^2-56x+16 \\
25x^2+400&=&49x^2-56x+16 \\
-24x^2+56x+384&=&0 \quad|:(-24) \\
x^2-\frac{7}{3}x-16&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{7}{6}\pm \sqrt{\frac{49}{36}+\frac{576}{36}}\\
x_{1/2}&=&\frac{7}{6}\pm \frac{25}{6}\\
x_1=\frac{16}{3} && x_2=-3
\end{eqnarray*}
Im Verlauf der Lösung entstand eine \textbf{Wurzelgleichung}, die gelöst werden
musste. Bekanntlich können dabei Pseudo-Lösungen entstehen, die aber die
ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Eine \textbf{Probe} mit beiden
gefundenen Lösungskandidaten ist also unumgänglich.
\begin{center}\underline{\textbf{Probe mit }$\mathbf{x_1=\frac{16}{3}:}$}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
5 \cdot \sqrt{x_1^2+16}&? \atop =&-7x_1+4 \\
5 \cdot \sqrt{\left( \frac{16}{3}\right)^2+16}&? \atop =&
  -7 \cdot \frac{16}{3}+4 \\
5 \cdot \frac{20}{3}&? \atop =&-\frac{112}{3}+\frac{12}{3}\\
\frac{100}{3}&\not=&-\frac{100}{3}
\end{eqnarray*}

\begin{center}\underline{\textbf{Probe mit }$\mathbf{x_2=-3:}$}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
5 \cdot \sqrt{x_2^2+16}&? \atop =&-7x_2+4 \\
5 \cdot \sqrt{(-3)^2+16}&? \atop =&-7 \cdot (-3)+4 \\
5 \cdot 5&? \atop =&21+4 \\
25&=&25
\end{eqnarray*}

Es gibt also nur eine Lösung, nämlich:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=-3$}

\newpage  %------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}

\subsubsection{Aufgabe 9a}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ z \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten
wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens.
\[\begin{array}{llclcl}
(1)&\vec a \perp \vec b&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \perp \vec c&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \perp \vec c&\Rightarrow&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\end{array}\]
Die konkreten Werte werden eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcl}
(1)&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\hline
(1)&\left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
(3)&\left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
\hline
(1)&-3x-25y+12&=&0 \\
(2)&4x-25-3z&=&0 \\
(3)&-12+y-4z&=&0 \\
\hline
(1)&-3x-25y&=&-12 \\
(2)&4x-3z&=&25 \\
(3)&+y-4z&=&12 \\
\hline
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Lösungsverfahren
gelöst werden.\footnote{Weitere Informationen zu möglichen Lösungsverfahren
für Lineargleichungssysteme sind hier zu finden:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf} \fi}
Man erhält die Lösungen:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=4 \quad y=0 \quad z=-3$}

\subsubsection{Aufgabe 9b}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} y \\ -1 \\-3  \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten
wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens.
\[\begin{array}{llclcl}
(1)&\vec a \perp \vec b&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \perp \vec c&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \perp \vec c&\Rightarrow&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\end{array}\]
Die konkreten Werte werden eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcl}
(1)&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\hline
(1)&\left( \begin{array}{c}x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}y \\-1 \\-3 \end{array}\right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c}x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
(3)&\left( \begin{array}{c}y \\-1 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
\hline
(1)&xy-11-9&=&0 \\
(2)&15x-198+3z&=&0 \\
(3)&15y+18-3z&=&0 \\
\hline
(1)&xy&=&20 \\
(2)&15x+3z&=&198 \\
(3)&15y-3z&=&-18 \\
\hline
\end{array}\]
Da in Gleichung (1) das Produkt $xy$ vorkommt, handelt es sich \textbf{nicht}
um ein \textbf{lineares} Gleichungssystem. Einige Lösungsverfahren müssen daher
entfallen. Daher verwende ich das \textbf{Einsetzungsverfahren}, denn das
funktioniert immer. Ich löse Gleichung (3) nach $z$ auf und setze das Ergebnis
in Gleichung (2) ein. Gleichung (1) bleibt erhalten, da dort kein $z$ vorkommt.
\begin{eqnarray*}
15y-3z&=&-18 \quad|-15y \\
-3z&=&-18-15y \quad|:(-3) \\
z&=&6+5y
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (2):
\begin{eqnarray*}
15x+3 \cdot (6+5y)&=&198 \\
15x+18+15y&=&198 \quad|-18 \\
15x+15y&=&180
\end{eqnarray*}
Jetzt stelle ich diese Gleichung nach y um und setze das Ergebnis in (1) ein.
\begin{eqnarray*}
15x+15y&=&180 \quad|-15x \\
15y&=&180-15x \quad|:15 \\
y&=&12-x \\
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (1):
\begin{eqnarray*}
xy&=&20 \\
x \cdot (12-x)&=&20 \\
12x-x^2&=&20 \quad|-20 \\
12x-x^2-20&=&0 \quad| \cdot (-1) \\
x^2-12x+20&=&0 \\
x_{1/2}&=&6 \pm \sqrt{36-20}\\
x_{1/2}&=&6 \pm 4 \\
x_1=10 && x_2=2 \\
\end{eqnarray*}
Zu jedem $x$-Wert gibt es passende $y$- und $z$-Werte.
\[y_1=12-x_1=12-10=2\]
\[y_2=12-x_2=12-2=10\]
\[z_1=6+5y_1=6+5 \cdot 2=16\]
\[z_2=6+5y_2=6+5 \cdot 10=56\]
Lösungen:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_1=10 \quad y_1=2 \quad z_1=16$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=2 \quad y_2=10 \quad z_2=56$}

\newpage   %--------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10}
Bestimmen Sie einen Vektor $\vec d$ senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ mit dem
Betrag von $\vec c$!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}1 \\-11 \\-23,5  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Einen beliebigen Vektor senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ findet man leicht
mit Hilfe des \textbf{Kreuzproduktes}. Da er (vermutlich) noch nicht die
richtige Länge hat, nenne ich ihn nicht $\vec d$ sondern $\vec e$.
\[\vec e=\vec a \times \vec b=
\left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \times
\left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) =
\left( \begin{array}{c}
-2 \cdot (-5)-3 \cdot (-4) \\
3 \cdot 9-4 \cdot (-5) \\
4 \cdot (-4)-(-2) \cdot 9 \\
\end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c} 22 \\ 47 \\ 2 \end{array}\right) \]
Jetzt wird der Betrag von $\vec c$ und $\vec e$ bestimmt.
\[|\vec c|= \sqrt{1^2+(-11)^2+(-23,5)^2}= \sqrt{552,25}\approx 25,9663 \]
\[|\vec e|= \sqrt{22^2+47^2+2^2}= \sqrt{2697}\approx 51,9326 \]
Ich berechne das "`Verlängerungsverhältnis"'
\mbox{$\lambda=\frac{|\vec c|}{|\vec e|}$} (das in Wahrheit für eine Verkürzung
sorgt), mit dem $\vec e$ multipliziert werden muss, um $\vec d$ zu erhalten.
\[\lambda=\frac{|\vec c|}{|\vec e|}=\frac{\sqrt{552,25}}{\sqrt{2697}}=0,5\]
Damit erhalten wir:
\[\vec d= \lambda \cdot \vec e=0,5 \cdot
\left( \begin{array}{c} 22 \\ 47 \\ 2 \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c} 11 \\ 23,5 \\ 1 \end{array}\right)\]
Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung. Auch der Vektor, der $\vec d$ genau
entgegengesetzt ist, ist eine Lösung. Wir erhalten also:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec d_1=\left( \begin{array}{c} 11 \\ 23,5 \\ 1 \end{array}\right)$}
und
\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec d_2=\left( \begin{array}{c}-11 \\-23,5 \\-1 \end{array}\right)$}
\end{center}

\newpage %-------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11}
Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks zwischen den Endpunkten der drei
Vektoren!\\

\subsubsection{Aufgabe 11a}
Gegeben sind drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$:

\[\vec a= \left( \begin{array}{c}2 \\4 \\ 6 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}4 \\4 \\5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\2 \\4  \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
Zunächst müssen zwei Kantenvektoren des Dreiecks bestimmt werden. Den
Kantenvektor von der Pfeilspitze von $\vec a$ zur Pfeilspitze von $\vec b$
nenne ich $\vec d$, den Kantenvektor von der Pfeilspitze von $\vec a$ zur
Pfeilspitze von $\vec c$ nenne ich $\vec e$.
\[\vec d=-\vec a+\vec b=-
\left( \begin{array}{c}2 \\4 \\6  \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c}4 \\4 \\5  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}-2+4 \\-4+4 \\-6+5  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{r}2 \\0 \\-1 \end{array}\right)\]
\[\vec e=-\vec a+\vec c=-
\left( \begin{array}{c}2 \\4 \\6  \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c}2 \\2  \\4 \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}-2+2 \\-4+2 \\-6+4  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{r}0 \\-2 \\-2 \end{array}\right)\]

Zur Berechnung eines \textbf{Parallelogramms} kann das Kreuzprodukt verwendet
werden. Die gesuchte Dreieckfläche ist dann die Hälfte davon.
\[
\vec d \times \vec e
=\left( \begin{array}{r}2 \\0 \\-1 \end{array}\right)
  \times \left( \begin{array}{r}0 \\-2 \\-2 \end{array}\right) \\
=\left( \begin{array}{c}
 0 \cdot (-2)-(-1) \cdot (-2) \\
 -1 \cdot 0-2 \cdot (-2)  \\
 2 \cdot  (-2)-0 \cdot 0 \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{r}
 -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)\]

Jetzt muss der Betrag davon bestimmt werden:
\[|\vec d \times \vec e|= \sqrt{(-2)^2+4^2+(-4)^2}=6 \]

Die gesuchte Dreieckfläche ist davon die Hälfte.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$A_ \Delta =\unit[3]{FE}$}
\end{center}



\newpage %-------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 11b}

Gegeben sind drei Vektoren im $\mathbb{R}^2$:
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2  \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}8 \\1  \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}6 \\5  \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
Zunächst müssen zwei Kantenvektoren des Dreiecks bestimmt werden. Den
Kantenvektor von der Pfeilspitze von $\vec a$ zur Pfeilspitze von $\vec b$
nenne ich $\vec d$, den Kantenvektor von der Pfeilspitze von $\vec a$ zur
Pfeilspitze von $\vec c$ nenne ich $\vec e$.
\[\vec d=-\vec a+\vec b=-
\left( \begin{array}{c}4 \\-2  \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c}8 \\1  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}-4+8 \\-(-2)+1  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}4 \\3 \end{array}\right)\]
\[\vec e=-\vec a+\vec c=-
\left( \begin{array}{c}4 \\-2  \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c}6 \\5  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}-4+6 \\-(-2)+5  \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}2 \\7 \end{array}\right)\]

Zur Berechnung eines \textbf{Parallelogramms} kann das Kreuzprodukt verwendet
werden. Die gesuchte Dreieckfläche ist dann die Hälfte davon. Leider ist jedoch
das Kreuzprodukt nicht im $\mathbb{R}^2$ sondern nur im $\mathbb{R}^3$
definiert. Man kann sich jedoch helfen, indem man an jeden Vektor eine dritte
Dimension mit dem Wert 0 anfügt. Damit erhalte ich:
\[\vec d^*=\left( \begin{array}{c}4 \\3 \\0 \end{array}\right)\]
\[\vec e^*=\left( \begin{array}{c}2 \\7 \\0 \end{array}\right)\]

Jetzt kann das Kreuzprodukt berechnet werden:
\[
\vec d^* \times \vec e^*
=\left( \begin{array}{c}4 \\3 \\0 \end{array}\right)
  \times \left( \begin{array}{c}2 \\7 \\0 \end{array}\right) \\
=\left( \begin{array}{c}
 3 \cdot 0-0 \cdot 7 \\
 0 \cdot 2-4 \cdot 0  \\
 4 \cdot  7-3 \cdot 2 \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c}
 0 \\ 0 \\ 22 \end{array}\right)\]

Jetzt muss der Betrag davon bestimmt werden:
\[|\vec d^* \times \vec e^*|= \sqrt{0^2+0^2+22^2}=22 \]

Die gesuchte Dreieckfläche ist davon die Hälfte.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$A_ \Delta =\unit[11]{FE}$}
\end{center}


\section{Lösungen der zusammengesetzten Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 12}
\paragraph{zu 1:}
Am einfachsten geht die Überprüfung mit Hilfe einer Determinante.
\[\begin{array}{rcll}
\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)&=&
\begin{array}{|rrr|}
-1 & -1 & 3 \\
3 & 7 & 2 \\
1 & 1& 1 \\
\end{array} \\
&=&-7-2+9-21+2+3 \\
\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)&=&-16 \ \not= \ 0 \\
\end{array}\]

Da die Determinatne $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) \not= 0$ ist,
sind die Vektoren \textbf{nicht komplanar}.

\paragraph{zu 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\alpha&=&\arccos \cfrac{\vec b \cdot \vec c}
  {\left|\vec b\right| \cdot \left|\vec c\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{\left(\begin{array}{r}-1\\ 7\\ 1 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{r}-3\\ 2\\ 1 \end{array}\right)}
 {\left|\left(\begin{array}{r}-1\\ 7\\ 1  \end{array}\right)\right|
   \cdot \left|\left(\begin{array}{r}-3\\ 2\\ 1  \end{array}\right)\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{-1 \cdot (-3)+7 \cdot 2+1 \cdot 1}
  {\sqrt{(-1)^2+7^2+1^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}}\\
&=&\arccos \cfrac{18}{\sqrt{51} \cdot \sqrt{14}}\\
&=&\arccos \cfrac{18}{\sqrt{714}}\\
\alpha&\approx&47{,}65^\circ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\beta&=&\arccos \cfrac{\vec a \cdot \vec c}
  {\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec c\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ 1 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{r}-3\\ 2\\ 1 \end{array}\right)}
 {\left|\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ 1  \end{array}\right)\right|
   \cdot \left|\left(\begin{array}{r}-3\\ 2\\ 1  \end{array}\right)\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{-1 \cdot (-3)+3 \cdot 2+1 \cdot 1}
  {\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}}\\
&=&\arccos \cfrac{10}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}}\\
&=&\arccos \cfrac{10}{\sqrt{154}}\\
\beta&\approx&36{,}31^\circ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\gamma&=&\arccos \cfrac{\vec a \cdot \vec b}
  {\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ 1 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{r}-1\\ 7\\ 1 \end{array}\right)}
 {\left|\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ 1  \end{array}\right)\right|
   \cdot \left|\left(\begin{array}{r}-1\\ 7\\ 1  \end{array}\right)\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{-1 \cdot (-1)+3 \cdot 7+1 \cdot 1}
  {\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+7^2+1^2}}\\
&=&\arccos \cfrac{23}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{51}}\\
&=&\arccos \cfrac{23}{\sqrt{561}}\\
\gamma&\approx&13{,}82^\circ \\
\end{array}\]

\paragraph{zu 3:}
\[\begin{array}{rcll}
\vec d&=& \vec a+ \vec b+\vec c \\
&=&\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ 1 \end{array}\right)
  +\left(\begin{array}{r}-1\\ 7\\ 1 \end{array}\right)
  +\left(\begin{array}{r}-3\\ 2\\ 1 \end{array}\right) \\
&=&\left(\begin{array}{r}-1-1-3 \\ 3+7+2 \\ 1+1+1 \end{array}\right) \\
\vec d&=&\left(\begin{array}{r}-5 \\ 12 \\ 3 \end{array}\right) \\
\left| \vec d \right|&=&\sqrt{(-5)^2+12^2+3^2}\\
&=&\sqrt{178}\\
\left| \vec d \right|&\approx&13{,}34 \\
\end{array}\]
Die Länge von $\vec d$ beträgt ungefähr 13,34 Längeneinheiten.

\paragraph{zu 4:}
Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten
wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens.
\[\begin{array}{llclcl}
(1)&\vec a \perp \vec b&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \perp \vec c&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \perp \vec c&\Rightarrow&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\end{array}\]
Die konkreten Werte werden eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcl}
(1)&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\hline
(1)&\left( \begin{array}{c}u \\3 \\1 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}-1 \\ v \\1 \end{array}\right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c}u \\3 \\1 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ w \end{array}\right)&=&0 \\
(3)&\left( \begin{array}{c}-1 \\ v \\1 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ w \end{array}\right)&=&0 \\
\hline
(1)&-u+3v+1&=&0 \\
(2)&-3u+6+w&=&0 \\
(3)&3+2v+w&=&0 \\
\hline
(1)&-u+3v&=&-1 \\
(2)&-3u+w&=&-6 \\
(3)&2v+w&=&-3 \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem wird ein wenig "`geordnet"', um eine bessere Übersicht zu
bekommen.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1) & -u &+3v &    &=&-1 \\
(2) &-3u &    & +w &=&-6 \\
(3) &    & 2v & +w &=&-3 \\
\hline
\end{array}\]

Im Prinzip kann das Gleichungssystem mit jedem beliebigen Verfahren\footnote
{Allgemeine Lösungsverfahren siehe z.B. hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}
\fi}
gelöst werden. Es bietet sich hier jedoch besonders das
Additions-/Subtraktionsverfahren\footnote
{Details zum Additionsverfahren siehe hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf} \fi}
an. Man kann nämlich Gleichung (2) und (3) so miteinander kombinieren,
dass sofort die Variable $w$ wegfällt.
\[\begin{array}{crrrcll}
(2) &-3u &    & +w &=&-6 &|\\
(3) &    & 2v & +w &=&-3 &|-\\
\hline
(4) &-3u &-2v &    &=&-3 \\
\end{array}\]

Mit Gleichung (1) und (4) bleibt nun ein Gleichungssystem nur noch 2. Grades
übrig.
\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(1) & -u &+3v &=&-1 \\
(4) &-3u &-2v &=&-3 \\
\hline
\end{array}\]

Für den nächsten Reduktionsschritt kommt im Prinzip wieder jedes beliebige
Lösungsverfahren in Betracht. Zur Abwechslung verwende ich jetzt das
Einsetzungsverfahren\footnote
{Details zum Einsetzungsverfahren siehe hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}.
Gleichung (1) lässt sich gut nach $u$ umstellen.
\[\begin{array}{rcll}
-u+3v&=&-1 &|-3v \\
-u&=&-1-3v &| \cdot (-1) \\
u&=&1+3v \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
-3u-2v &=&-3 \\
-3 \cdot (1+3v)-2v &=&-3 \\
-3-9v-2v&=&-3 &|+3 \\
-11v&=&0 &|:(-11) \\
v&=&0 \\
\end{array}\]

Die Variable $u$ erhalten wir, indem wir dieses Ergebnis in die umgestellte
Gleichung (1) einsetzen.
\[u=1+3v=1+3 \cdot 0=1\]

\enlargethispage{10mm}
Jetzt fehlt nur noch die Variable $w$. Mit Gleichung (2) oder (3) kann sie
bestimmt werden. Ich wähle willkürlich Gleichung (3) dafür aus.
\[\begin{array}{rcll}
2v+w &=&-3 &| \textnormal{ bekannten Wert $v=0$ einsetzen}\\
2 \cdot 0+w &=&-3 \\
w &=&-3 \\
\end{array}\]

Zusammenfassung der gesuchten Parameter:\qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$u=1$}\qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$v=0$}\qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$w=-3$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
\paragraph{zu a)}
Zweckmäßigerweise definiert man zu jedem Punkt \mbox{$P_n=(n_1|n_2|n_3)$} einen
"`Aufvektor"'
\mbox{$\vec P_n=\left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array} \right)$},
der vom Koordinatenursprung zum jeweiligen Punkt $P_n$ verläuft.
Damit können die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ wie folgt aufgestellt werden.
\[\begin{array}{rclclclcl}
\vec a&=&\vec P_2-\vec P_1&=&
 \left( \begin{array}{c} 7-2 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{array} \right)
 &=&\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\
\vec b&=&\vec P_3-\vec P_1&=&
 \left( \begin{array}{c} x-2 \\ 5-1 \\ 6-3 \end{array} \right)
 &=&\left( \begin{array}{c} x-2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \\
\end{array}\]

\[\vec a \perp \vec b \quad \Leftrightarrow \quad \vec a \cdot \vec b=0
 \quad \Leftrightarrow \quad
 \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \cdot
  \left( \begin{array}{c} x-2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)=0 \]

Diese Gleichung kann nach $x$ aufgelöst werden.
\[\begin{array}{rcll}
\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \cdot
 \left( \begin{array}{c} x-2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)&=&0 \\
5 \cdot (x-2)+0 \cdot 4+0 \cdot 3&=&0 \\
5x-10&=&0 &|+10 \\
5x&=&10 &|:5 \\
x&=&2 \\
\end{array}\]

\paragraph{zu b)}
Zunächst muss $\vec b$ bestimmt werden:
\[ \vec b=\left( \begin{array}{c} x-2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 2-2 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)\]

Gleiche Länge von Vektoren bedeutet gleiche Beträge. Daher werden die Beträge
von $\vec a$ und $\vec b$ bestimmt.
\[ \left|\vec a \right|= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^3}
 = \sqrt{5^2+0^2+0^2}=5 \]
\[ \left|\vec b \right|= \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^3}
 = \sqrt{0^2+4^2+3^2}=5 \]
Damit ist der Nachweis erbracht, die Längen von $\vec a$ und $\vec b$ sind
gleich.

\newpage
\paragraph{zu c)}
Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Lösungswege. Zum einen kann mit dem
Kreuzprodukt, zum anderen mit dem Skalarprodukt gearbeitet werden.
\subparagraph{Lösungsvariante 1:}
Mit Hilfe des Kreuzproduktes wird ein Hilfs-Vektor $\vec h$ senkrecht zu
$\vec a$ und $\vec b$ erzeugt. Dieser muss anschließend durch Multiplikation
mit einem Skalar auf die richtige Länge gebracht werden.
\[ \vec h= \vec a \times \vec b=
 \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
 \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)
 = \left( \begin{array}{c} 0 \cdot 3-0 \cdot 4 \\
 0 \cdot 0-5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 4-0 \cdot 0 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 0 \\ -15 \\ 20 \end{array} \right)\]

Die Länge dieses Hilfsvektors wird bestimmt:
\[ \left| \vec h \right|= \sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}
 = \sqrt{0^2+(-15)^2+20^2}=25\]

Damit kann der Verkürzungsfaktor $\lambda$ bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\vec c&=&\lambda \cdot \vec h \\
\left| \vec c \right|&=&\left| \lambda \right| \cdot \left| \vec h \right| \\
5&=&\left| \lambda \right| \cdot 25 &|:25 \\
\cfrac{1}{5}&=&\left| \lambda \right| \\
\lambda_{1,2}&=&\pm \cfrac{1}{5}\\
\end{array}\]

Jetzt kann $\vec c$ bestimmt werden. Ich beginne mit $\lambda_1=\frac{1}{5}$.
\[\begin{array}{rcll}
\vec c&=&\lambda_1 \cdot \vec h \\
\vec c&=&\cfrac{1}{5} \cdot
 \left( \begin{array}{c} 0 \\ -15 \\ 20 \end{array} \right) \\
&=&\left( \begin{array}{c}
 \frac{1}{5} \cdot 0 \\ \frac{1}{5} \cdot (-15) \\
  \frac{1}{5} \cdot 20 \end{array} \right)\\
\vec c_1&=&\left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right)
\end{array}\]

Mit $\lambda_2=-\frac{1}{5}$ ergibt sich der Gegenvektor von $\vec c_1$, also:
\[\vec c_2=-\vec c_1
=-\left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right)
=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right)\]

Beide Lösungen für $\vec c$ sind möglich und auch gleich richtig.

\newpage
\subparagraph{Lösungsvariante 2:}
Zunächst wird der gesuchte Vektor $\vec c$ mit seinen Komponenten festgelegt:
\[\vec c=\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right)\]

Drei Bedingungen müssen erfüllt werden:
\[\begin{array}{crcll}
(1)&\vec c&\perp&\vec a \\
(2)&\vec c&\perp&\vec b \\
(3)&\left| \vec c \right|&=&\left| \vec a \right| \\
\end{array}\]

Diese Bedingungen führen zu drei Gleichungen:
\[\begin{array}{crcl}
(1)&\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \cdot
    \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \cdot
    \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)&=&0 \\
(3)&\sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}&=&5 \\
\hline
(1)&5 \cdot c_1+0 \cdot c_2+0 \cdot c_3&=&0 \\
(2)&0 \cdot c_1+4 \cdot c_2+3 \cdot c_3&=&0 \\
(3)&c_1^2+c_2^2+c_3^2&=&25 \\
\end{array}\]

Aus (1) folgt sofort:
\[\begin{array}{rcll}
5c_1&=&0 &|:5 \\
c_1&=&0 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis kann in beide anderen Gleichungen eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
(2)&4c_2+3c_3&=&0 \\
(3)&c_2^2+c_3^2&=&25 \\
\end{array}\]

Das Gleichungssystem ist \textbf{nicht linear}, daher kommt zur Lösung nur das
\textbf{Einsetzungsverfahren} in Frage. Ich löse Gleichung (2) nach $c_2$ auf.
\[\begin{array}{rcll}
4c_2+3c_3&=&0 &|-3c_3 \\
4c_2&=&-3c_3 &|:4 \\
c_2&=&-\cfrac{3}{4} \cdot c_3 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
c_2^2+c_3^2&=&25 \\
\left( -\frac{3}{4} \cdot c_3 \right)^2+c_3^2&=&25 \\
\cfrac{9}{16} \cdot c_3^2+c_3^2&=&25 &| \cdot 16 \\
9c_3^2+16c_3^2&=&400 \\
25c_3^2&=&400 &|:25 \\
c_3^2&=&16 &| \sqrt{\ }\\
c_{31/32}&=&\pm 4 \\
c_{31}=4 && c_{32}=-4 \\
\end{array}\]

Mit zwei Lösungen für $c_3$ erhält man auch zwei Lösungen für $c_2$, wenn man
die Ergebnisse in die umgestellte Gleichung (2) einsetzt.
\[ c_{21}=-\cfrac{3}{4} \cdot c_{31}=-\cfrac{3}{4} \cdot 4=-3\]
\[ c_{22}=-\cfrac{3}{4} \cdot c_{32}=-\cfrac{3}{4} \cdot (-4)=3\]

Hiermit lauten die beiden Lösungen für $\vec c$:
\[\vec c_1=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right)
 \textnormal{ oder: }
 \vec c_2=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right)\]

\paragraph{d)}
\[\vec P_4=\vec P_2+\vec b
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right) \]

Alternativ kann auch mit \mbox{$\vec P_4=\vec P_3+\vec a$}  oder mit
\mbox{$\vec P_4=\vec P_1+\vec a+\vec b$} o. ä. gerechnet werden.

\paragraph{e)}
\[\vec P_5=\vec P_1+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 0 \\-3 \\ 4 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 2 \\-2 \\ 7 \end{array} \right) \]

\[\vec P_6=\vec P_2+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 0 \\-3 \\ 4 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\-2 \\ 7 \end{array} \right) \]

\[\vec P_7=\vec P_3+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 0 \\-3 \\ 4 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\10 \end{array} \right) \]

\[\vec P_8=\vec P_4+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 0 \\-3 \\ 4 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 2 \\10 \end{array} \right) \]

\paragraph{f)}
Die Abbildung erfolgt nach der angegebenen Abbildungsvorschrift.
\[\vec P_1=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\3 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_1^*
 =\left( \begin{array}{c} 2+0{,}5 \cdot 3 \\ 1+0{,}5 \cdot 3  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 3{,}5 \\ 2{,}5  \end{array} \right)\]

\[\vec P_2=\left( \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\3 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_2^*
 =\left( \begin{array}{c} 7+0{,}5 \cdot 3 \\ 1+0{,}5 \cdot 3  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 8{,}5 \\ 2{,}5  \end{array} \right)\]

\[\vec P_3=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \\6 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_3^*
 =\left( \begin{array}{c} 2+0{,}5 \cdot 6 \\ 5+0{,}5 \cdot 6  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 8  \end{array} \right)\]

\[\vec P_4=\left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \\6 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_4^*
 =\left( \begin{array}{c} 7+0{,}5 \cdot 6 \\ 5+0{,}5 \cdot 6  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 10 \\ 8  \end{array} \right)\]

\[\vec P_5=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\7 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_5^*
 =\left( \begin{array}{c} 2+0{,}5 \cdot 7 \\ -2+0{,}5 \cdot 7  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 5{,}5 \\ 1{,}5  \end{array} \right)\]

\[\vec P_6=\left( \begin{array}{c} 7 \\ -2 \\7 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_6^*
 =\left( \begin{array}{c} 7+0{,}5 \cdot 7 \\ -2+0{,}5 \cdot 7  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 10{,}5 \\ 1{,}5  \end{array} \right)\]

\[\vec P_7=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\10 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_7^*
 =\left( \begin{array}{c} 2+0{,}5 \cdot 10 \\ 2+0{,}5 \cdot 10  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 7  \end{array} \right)\]

\[\vec P_8=\left( \begin{array}{c} 7 \\ 2 \\10 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec P_8^*
 =\left( \begin{array}{c} 7+0{,}5 \cdot 10 \\ 2+0{,}5 \cdot 10  \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 12 \\ 7  \end{array} \right)\]

\textbf{g)}
Zur Flächenberechnung des Parallelogramms bietet sich das Kreuzprodukt an. Da
es jedoch nur im $\mathbb{R}^3$, nicht aber im $\mathbb{R}^2$ definiert ist,
muss eine dritte Komponente mit jeweils dem Wert 0 hinzugefügt werden. Zuvor
müssen jedoch auch die zweidimensionalen Abbildungen $\vec a^*$ und $\vec b^*$
von $\vec a$ und $\vec b$ bestimmt werden.
\[\vec a=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec a^*
 =\left( \begin{array}{c} 5+0{,}5 \cdot 0 \\ 0+0{,}5 \cdot 0 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0  \end{array} \right)\]

\[\vec b=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)
 \rightarrow \vec b^*
 =\left( \begin{array}{c} 0+0{,}5 \cdot 3 \\ 4+0{,}5 \cdot 3 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{array} \right)\]

Die zugehörigen erweiterten dreidimensionalen Vektoren heißen dann:
\[ \vec a^{**}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
\qquad \textnormal{und} \qquad
\vec b^{**}=\left( \begin{array}{c} 1{,}5 \\ 5{,}5 \\ 0 \end{array} \right)\]

Das Kreuzprodukt kann gebildet werden.
\[ \vec a^{**} \times \vec b^{**}
=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times
\left( \begin{array}{c} 1{,}5 \\ 5{,}5 \\ 0 \end{array} \right)
=\left( \begin{array}{c}
 0 \cdot 0-0 \cdot 5{,}5 \\ 0 \cdot 1{,}5-5 \cdot 0 \\ 5 \cdot 5{,}5-0 \cdot
 1{,}5 \end{array} \right)
=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 27{,}5 \end{array} \right)\]

Die gesuchte Fläche ist hiervon der Betrag.
\[A=\left| \vec a^{**} \times \vec b^{**}\right|
= \sqrt{0^2+0^2+27{,}5^2}=\unit[27{,}5]{FE} \]


\end{document}
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