\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Transformationen von Funktionen}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!

\section{Einführung}
Man kann an Funktionen diverse \textbf{Transformationen} durchführen. Hierbei
beziehe ich mich auf den \textbf{Funktionsgraphen}. Man kann ihn verschieben,
man kann ihn stauchen oder dehnen und man kann ihn auf unterschiedliche Art
spiegeln. Diese unterschiedlichen Transformationen solen hier dargestellt
werden.

\newpage
\section{Verschiebungen}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-1.8}{5.8}{x x mul}
  \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(3,-2.8)(3,9.6)
  \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(-1.8,2)(5.8,2)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \uput[-90](5.6,2){\textcolor{red}{$x^*$}}
  \uput[180](3,9.2){\textcolor{red}{$y^*$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}{x 3 sub 2 exp 2 add}
  \uput[135](2.5,6){$f$}
  \uput[135](5,6){\textcolor{red}{$f^*$}}
  \uput[-90](3,-1.2){$x_v$}  \uput[180](-0.6,2){$y_v$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Verschiebung möchte ich am Beispiel der Normalparabel darstellen. Das ist
die Funktion mit der Gleichung:
\[f(x)=x^2\]
Die Parabel soll um $x_v$ Einheiten nach \textbf{rechts} und um $y_v$
Einheiten nach \textbf{oben} verschoben werden. Im nebenstehenden Beispiel ist
$x_v=3$ und $y_v=2$.\\

Zur Lösung des Problems zeichne ich ein (hier \textcolor{red}{rot}
dargestelltes) Hilfs-Koordinatensystem ein. Dieses Hilfs-Koordinatensystem ist
gegenüber dem eigentlichen Koordinatensystem um $x_v$ Einheiten nach
\textbf{rechts} und um $y_v$ Einheiten nach \textbf{oben} verschoben. Im
Original-Koordinatensystem gilt für die vorgegebenen Funktion:
\[y=f(x)\]

Für das verschobene Koordinatensystem gilt entsprechend für die verschobene
Funktion:
\[y^*=f(x^*)\]

Um nun die verschobene Funktion $f^*$ mit den Original-Koordinaten $x$ und $y$
beschreiben zu können, müssen die Stern-Koordinaten in die
Original-Koordinaten umgerechnet werden. Wie man leicht erkennen kann, gilt:
\[\begin{array}{rcll}
x^*&=&x-x_v \\
y^*&=&y-y_v \\
\end{array}\]

Damit kann die verschobene Funktion $f^*$ mit Hilfe von $f$, $x_v$ und $y_v$
dargestellt werden.
\[\begin{array}{rcll}
y^*&=&f(x^*) &| \textnormal{ Koordinaten ersetzen}\\
y-y_y&=&f(x-x_v) &|+y_v \\
y&=&f(x-x_v)+y_v &| \textnormal{ ersetzen: }y=f^*(x) \\
f^*(x)&=&f(x-x_v)+y_v \\
\end{array}\]

Damit gilt für eine um $x_v$ nach rechts und $y_v$ nach oben verschobene
Funktion $f$ diese Verschiebeformel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*(x)=f(x-x_v)+y_v$}\end{center}

In Worten ausgedrückt:\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{Man ersetzt in der gegebenen Funktion überall das $x$ durch $(x-x_v)$}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{und addiert am Schluss noch $y_v$.}\end{center}

Wenden wir das auf unser Beispiel \mbox{$f(x)=x^2$} an.
\[\begin{array}{rcll}
f^*(x)&=&f(x-x_v)+y_v \\
f^*(x)&=&(x-3)^2+2 \\
\end{array}\]

\paragraph{Ein Beispiel:}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=2x^2-3x+1\]
Der Funktionsgraph soll um 5 Einheiten nach \textbf{links} und um 3 Eingeiten
nach \textbf{oben} verschoben werden.\\

Da die $x$-Verschiebung nach \textbf{rechts} als \textbf{positiv} definiert
ist, jetzt aber nach \textbf{links} verschoben wird, ist das Vorzeichen des
Verschiebewertes \textbf{negativ}. Wir erhalten folgende Werte:
\[\begin{array}{rcll}
x_v&=&-5 \\
y_v&=&3 \\
\end{array}\]

Wir erhalten:
\[\begin{array}{rcll}
f^*(x)&=&2 \cdot (x+5)^2-3 \cdot (x+5)+1+3 \\
&=&2 \cdot (x^2+10x+25)-3x-15+1+3 \\
&=&2x^2+20x+50-3x-15+1+4 \\
f^*(x)&=&2x^2+17x+40 \\
\end{array}\]

%---------------------------------
\newpage
\section{Stauchungen und Dehnungen}
Funktionsgraphen kann man sowohl horizontal als auch vertikal stauchen oder
dehnen. Dies wird in den nachfolgenden Kapiteln untersucht.

\subsection{Vertikale Stauchungen und Dehnungen}
\begin{wrapfigure}{r}{4.7cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.6,-1.8)(4.8,4.8)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add 3 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-0.4}{4.2}
    {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add}
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.6){$y$}
  \uput[-90](1.57,1){$f$}
  \uput[35](2,2){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Als Beispielfunktion möchte ich die Kubische Funktion
\[f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
verwenden. Der zugehörige Funktionsgraph
ist nebenstehend dargestellt.\\

Dieser Funktionsgaph soll \textbf{vertikal} um den Faktor 3 gedehnt werden, so
dass dabei die in \textcolor{red}{rot} dargestellte Funktion $f^*(x)$ entsteht.
Da jeder Funktionswert das Dreifache des Funktionswertes von $f(x)$ darstellt,
liegt es nahe, die ganze Funktion mit diesem Faktor zu multiplizieren. Das
dies tatsächlich so ist, kann man leicht mit einem grafikfähigen
Taschenrechner überprüfen. Wir erhalten diese Transformationsformel für die
\textbf{vertikale Dehnung}:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*(x)=k \cdot f(x)$}
\end{center}
Dabei bedeutet:
\[\begin{array}{ll}
f^*: & \textnormal{die neue Funktion}\\
k: & \textnormal{der vertikale Dehnungsfaktor}\\
\end{array}\]

\ifpdf \hypertarget{vertikal}{Ist}\fi{} $k$ ein sehr großer Wert, dann haben
wir eine große Dehnung. Bei $k=1$ verändert sich nichts. Wird $k$ kleiner als
1, bleibt aber positiv, dann wird der Funktionsgraph vertikal
\textbf{gestaucht}. Bei einem negativen $k$
dreht sich der Funktionsgraph um, wird also an der $x$-Achse gespiegelt.
Darauf wird in einem
\ifpdf \hyperlink{spiegelx}{\textcolor{blue}{besonderen Kapitel}}\fi{}
eingegangen.\\

Die Wirkung von $k$ kann man so zusammenfassen:
\[\begin{array}{lcl}
k>1 &\Leftrightarrow& \textnormal{Dehnung}\\
0<k<1 &\Leftrightarrow& \textnormal{Stauchung}\\
\end{array}\]

Führen wir das für unsere Beispielfunktion mit dem Dehnungsfaktor 3 durch.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x \\
f^*(x)&=&3 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x \right) \\
f^*(x)&=&x^3-6x^2+9x \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Horizontale Stauchungen und Dehnungen}
\begin{wrapfigure}{r}{4.7cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-1.8)(4.8,4.8)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add 3 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-0.4}{4.2}
   {x 2 mul 3 exp 6 x 2 mul 2 exp mul sub 9 x 2 mul mul add 3 div}
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.6){$y$}
  \uput[135](4,1){$f$}
  \uput[35](2,2){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Etwas komplizierter stellt sich eine horizontale Stauchung oder Dehnung dar.
Nebenstehend ist wieder die aus dem vorangehenden Kapitel bekannte Funktion
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
dargestellt. Es liegt nahe, für eine horizontale -- also in $x$-Richtung
wirkende -- Dehnung nicht den $y$-Wert (wie bei der vertikalen Dehnung) mit
einem Faktor zu multiplizieren, sondern den $x$-Wert. Die nebenstehend in
\textcolor{red}{rot} dargestellte Kurve zeigt den Funktionsgraphen von
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{3} \cdot (2x)^3-2 \cdot (2x)^2+3 \cdot (2x) \\
f^*(x)&=&\cfrac{8}{3}x^3-8x^2+6x \\
\end{array}\]
Es wurde also jedes $x$ durch $2x$ ersetzt. Interessanterweise haben wir jetzt
aber keine \textbf{Dehnung}, sondern eine \textbf{Stauchung} mit dem Faktor 2
erreicht. Wieso ist das so?\\

Multipliziert man (bei der vertikalen Dehnung) den Funktionswert mit einem
Faktor $k$, so wird der $y$-Wert mit $k$ multipliziert, denn der $y$-Wert
einer Funktion ist immer der Funktionswert. Daher ist der $y$-Wert $k$ mal so
groß wie vorher. Multipliziert man aber den $x$-Wert mit einem Faktor $k$, so
verhält sich dann die Funktion an der Stelle $x$ so, wie die Ursprungsfunktion
an der Stelle $k \cdot x$. Der Tiefpunkt der Originalfunktion $f$ bei $x_T=3$
unseres Beispiels liegt in der transformierten Funktion $f^*$ dann schon bei
$x_T^*=1{,}5$, denn es ist $2 \cdot 1{,}5=3$. Die Wirkung von $k$ kann man
daher hier so zusammenfassen:
\[\begin{array}{lcl}
k>1 &\Leftrightarrow& \textnormal{Stauchung}\\
0<k<1 &\Leftrightarrow& \textnormal{Dehnung}\\
\end{array}\]
Ähnlich wie bei der vertikalen Dehnung bewirkt ein \textbf{negativer} Wert für
$k$ hier eine \textbf{horizontale} Spiegelung, auf die aber erst in einem
\ifpdf \hyperlink{spiegely}{\textcolor{blue}{späteren Kapitel}}\fi{}
eingegangen wird.\\

Wir können das Ergebnis als \textbf{Stauchungsformel} für die horizontale
Stauchung aufschreiben:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*(x)=f(k \cdot x)$}
\end{center}
Dabei bedeutet:
\[\begin{array}{ll}
f^*: & \textnormal{die neue Funktion}\\
k: & \textnormal{der horizontale Stauchungsfaktor}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Spiegelungen}
Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Arten von Spiegelungen. Man spricht
von "`Achsenspiegelungen"' und von "`Punktspiegelungen"'. Diese beiden
verschiedenen Spiegelungen werden in den beiden nachfolgenden Unterkapiteln
abgehandelt.

\subsection{Achsenspiegelungen}
Die bekannteste Spiegelung ist eine Achsenspiegelung. Dabei stellt sich eine
Gerade als Spiegelachse dar. Die Spiegelung erfolgt dann sehr ähnlich einem
Spiegel, den man in jedem Badezimmer findet. Hier soll aber nicht eine
beliebige Gerade als Spiegelachse dienen,
sondern zunächst nur eine der beiden Koordinatenachsen. Andere Spiegelungen
werden als Kombination mehrerer Transformationen
\ifpdf \hyperlink{gemischta}{\textcolor{blue}{später}}\fi{}
beschrieben. Hier muss
daher nur zwischen der Spiegelung an der Abszisse\footnote{Die
\textbf{Abszisse} ist die waagerechte Achse. Meist wird sie als $x$-Achse
bezeichnet.} und der Ordinate\footnote{Die \textbf{Ordinate} ist die vertikale
Achse. Meist wird sie als $y$-Achse bezeichnet.} unterschieden werden.

\ifpdf \hypertarget{spiegelx}{}\fi
\subsubsection{Spiegelung an der Abszisse}
\begin{wrapfigure}{r}{4.7cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add 3 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-0.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add -3 div}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \uput[135](4,1){$f$}
  \uput[-135](4,-1){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Soll ein Funktionsgraph an der Abszisse (der $x$-Achse) gespiegelt werden,
muss nur das Vorzeichen des $y$-Wertes umgekehrt werden. Nebenstehend ist
wieder das Standardbeispiel
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
dargestellt. Vorzeichenumkehr ist identisch mit einer Multiplikation mit
$(-1)$. Dem entspricht eine "`Dehnung"' wie
\ifpdf \hyperlink{vertikal}{\textcolor{blue}{hier}}\fi{} im Kapitel
\emph{Vertikale Stauchungen und Dehnungen}
beschrieben mit dem Faktor $k=-1$.
Wird die Funktionsgleichung von $f$ mit $(-1)$ multipliziert, erhält man
diese Funktion.
\[f^*(x)=-\cfrac{1}{3}x^3+2x^2-3x \]

Wir können damit diese Formel für die \textbf{vertikalen Spiegelung} angeben:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*(x)=-f(x)$}
\end{center}

\newpage
\ifpdf \hypertarget{spiegely}{}\fi
\subsubsection{Spiegelung an der Ordinate}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-4.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add 3 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.8}{4.8}
   {x -1 mul 3 exp 6 x -1 mul 2 exp mul sub 9 x -1 mul mul add 3 div}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \uput[135](4,1){$f$}
  \uput[45](-4,1){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wenn wir an der Ordinate (der $y$-Achse) spiegeln wollen, müssen wir
gewissermaßen die $x$-Achse "`umdrehen"'. Das geschieht einfach dadurch, dass
man überall das $x$ durch ein $-x$ ersetzt. Man kann das auch auffassen als
horizontale Stauchung (siehe weiter vorn in diesem Skript) mit dem Faktor
$(-1)$. \\

Dargestellt ist wieder unser Standardbeispiel:
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
Ersetzt man $x$ durch $-x$ erhält man die horizontal gespiegelte Funktion:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{3} \cdot (-x)^3-2 \cdot (-x)^2+3 \cdot (-x) \\
f^*(x)&=&-\cfrac{1}{3}x^3-2 \cdot x^2-3x \\
\end{array}\]

Diese ist wieder in \textcolor{red}{rot} dargestellt.\\

Wir können damit diese Formel für die \textbf{horizontale Spiegelung} angeben:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*(x)=f(-x)$}
\end{center}


\newpage
\subsection{Punktspiegelungen}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-4.8}{4.8}
   {x 3 exp 6 x 2 exp mul sub 9 x mul add 3 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.8}{4.8}
   {x -1 mul 3 exp 6 x -1 mul 2 exp mul sub 9 x -1 mul mul add -3 div}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-2.8)(4.8,2.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \uput[45](4.2,2){$f$}
  \uput[-135](-4.2,-2){\textcolor{red}{$f^*$}}
  \qdisk(4,1.33){2pt} \uput[135](4,1.33){$P$}
  \qdisk(-4,-1.33){2pt} \uput[-45](-4,-1.33){\textcolor{red}{$P^*$}}
  \psline[linestyle=dashed](4,1.33)(-4,-1.33)
  \qdisk(1.63,1){2pt} \uput[55](1.63,1){$Q$}
  \qdisk(-1.63,-1){2pt} \uput[-125](-1.63,-1){\textcolor{red}{$Q^*$}}
  \psline[linestyle=dashed](1.63,1)(-1.63,-1)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Punktspiegelung ist nicht sofort einsichtig als Spiegelung im klassischen
Sinne erkennbar. Im Prinzip kann man an jedem beliebigen Punkt spiegeln. In
diesem Skript stelle ich aber zunächst nur die Spiegelung am
Koordinatenursprung dar. Wie das mit anderen Punkten möglich ist, wird etwas
\ifpdf \hyperlink{gemischtp}{\textcolor{blue}{später}}\fi{}
beschrieben. Wie ist die Punktspiegelung definiert?\\

Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen muss ein Spiegelpunkt erzeugt werden. Das
geschieht dadurch, dass man von dem fraglichen Punkt aus eine Gerade zum
Spiegelpunkt (hier dem Koordinatenursprung) zeichnet und diese um den Abstand
des fraglichen Punktes zum Spiegelpunkt verlängert. In der Skizze ist dies
an unserer bekannten Beispielfunktion
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
beispielhaft für zwei Punkte $P$ und $Q$ angedeutet. Anschaulich bewirkt
diese Konstruktion eine Drehung des Funktionsgraphen um $180^\circ$ um den
Spiegelpunkt herum. Man kann die Punktspiegelung auch als Ausführung einer
vertikalen und einer horizontalen Achsenspiegelung nacheinander betrachten.\\

Schaut man sich die Spiegelung am Punktepaar $P-P^*$ oder $Q-Q^*$ an, so
erkennt man, dass sich bei der Spiegelung die Vorzeichen beider Kordinaten
umdrehen. Das führt uns zu der Formel für die \textbf{Punktspiegelung am
Koordinatenursprung}:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f^*=-f(-x)$}
\end{center}

Rechnen wir das für unser Standard-Beispiel durch:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \\
f^*(x)&=&- \left(\cfrac{1}{3} \cdot (-x)^3-2 \cdot (-x)^2+3 \cdot (-x) \right) \\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3+2 \cdot x^2+3x \\
\end{array}\]


\newpage
\section{Kombinierte Transormationen}
Möchte man eine Spiegelung
%oder Dehnung
nicht an einer Koordinatenachse bzw.
dem Koordinatenursprung durchführen, dann kann man mehrere Transformationen
nacheinander durchführen, um das Ziel zu erreichen. Dies wird in den folgenden
Kapiteln im einzelnen beschrieben.

%\ifpdf \hypertarget{gemischtd}{}\fi
%\subsection{Dehnung an beliebigen Achsen}

\ifpdf \hypertarget{gemischta}{}\fi
\subsection{Spiegelungen an beliebigen Achsen}
Bisher konnten wir Achsenspiegelungen nur an Ordinate und Abszisse
durchführen. Wie bereits erwähnt, sind aber auch andere Achsen möglich. Damit
das Ganze überschaubar bleibt, beschränke ich mich hier nur auf waagerechte
und senkrechte Achsen. Spiegelungen an "`schrägen"' Achsen sind zwar möglich,
ergeben aber in der Regel keine Funktion, sondern nur eine Relation. Daher soll
hier nicht weiter darauf eingegangen werden, zumal diese Spiegelungen deutlich
komplizierter zu berechnen sind.

\subsubsection{Spiegelung an waagerechter Achse}
Ein Beispiel soll das Verfahren erläutern. Unsere bekannte Standardfunktion
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
soll an der Achse $y=2$, also an einer waagerechten Achse auf der Höhe 2,
gespiegelt werden. Das geht dann in drei Schritten:
\begin{enumerate}
\item Verschiebung um 2 Einheiten nach unten
\item Spiegelung an der Abszisse ($x$-Achse)
\item Verschiebung zurück um 2 Einheiten nach oben
\end{enumerate}

Rechentechnisch sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x &| 2 \downarrow \\
f_1(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x-2 &|\textnormal{ spiegeln}\\
f_2(x)&=&-\left(\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x-2 \right) \\
&=&-\cfrac{1}{3}x^3+2x^2-3x+2 &| 2 \uparrow \\
f^*(x)&=&-\cfrac{1}{3}x^3+2x^2-3x+2+2 \\
f^*(x)&=&-\cfrac{1}{3}x^3+2x^2-3x+4 \\
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Spiegelung an senkrechter Achse}
Auch hier soll ein Beispiel das Verfahren erläutern. Unsere bekannte
Standardfunktion
\[f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x \]
soll an der Achse $x=2$, also an einer senkrechten Achse an der Stelle $x=2$
gespiegelt werden. Das geht auch hier in drei Schritten:
\begin{enumerate}
\item Verschiebung um 2 Einheiten nach links
\item Spiegelung an der Ordinate ($y$-Achse)
\item Verschiebung zurück um 2 Einheiten nach rechts
\end{enumerate}

Rechentechnisch sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x &| 2 \leftarrow \\
f_1(x)&=&\cfrac{1}{3} \cdot (x+2)^3-2 \cdot (x+2)^2+3 \cdot (x+2) \\
&=&\cfrac{1}{3} \cdot \left( x^3+6x^2+12x+8 \right)-2 \cdot (x^2+4x+4)+3x+6 \\
&=&\cfrac{1}{3}x^3+2x^2+4x+\cfrac{8}{3}-2x^2-8x-8+3x+6 \\
&=&\cfrac{1}{3}x^3-x+\cfrac{26}{3} &|\textnormal{ spiegeln}\\
f_2(x)&=&\cfrac{1}{3}(-x)^3-(-x)+\cfrac{26}{3}\\
&=&-\cfrac{1}{3}x^3+x+\cfrac{26}{3} &| 2 \rightarrow \\
f^*(x)&=&-\cfrac{1}{3} \cdot (x-2)^3+(x-2)+\cfrac{26}{3}\\
&=&-\cfrac{1}{3} \cdot \left( x^3-6x^2+12x-8 \right)+x^2-4x+4+\cfrac{26}{3}\\
&=&-\cfrac{1}{3}x^3+2x^2-4x+\cfrac{8}{3}+x^2-4x+4+\cfrac{26}{3}\\
f^*(x)&=&-\cfrac{1}{3}x^3+3x^2-8x+\cfrac{34}{3}\\
\end{array}\]

\newpage
\ifpdf \hypertarget{gemischtp}{}\fi
\subsection{Spiegelungen an beliebigen Punkten}
Auch wenn wir eine Punktspiegelung an einem beliebigen Spiegelpunkt
\mbox{$S(x_s|y_s)$} durch\-füh\-ren wollen, gehen wir dreistufig vor. Die Kurve
wird zuerst so verschoben, dass der Spiegelpunkt auf dem Koordinatenursprung
liegt. Konkret sieht das so aus:
\begin{enumerate}
\item Verschiebung um $x_s$ Einheiten nach links und $y_s$ nach unten
\item Spiegelung am Koordinatenursprung
\item Verschiebung zurück um $x_s$ Einheiten nach rechts und $y_s$ nach oben
\end{enumerate}

An unserem Standardbeispiel führen wir eine Punktspiegelung am Spiegelpunkt
\mbox{$S(1|2)$} durch. Damit sollte die Vorgehensweise deutlich sein.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x &| 1 \leftarrow \ 2 \downarrow \\
f_1(x)&=&\cfrac{1}{3} \cdot (x+1)^3-2 \cdot (x+1)^2+3 \cdot (x+1)-2 \\
&=&\cfrac{1}{3} \cdot \left( x^3+3x^2+3x+1 \right)-2 \cdot (x^2+2x+1)+3x+3-2 \\
&=&\cfrac{1}{3}x^3+x^2+x+\cfrac{1}{3}-2x^2-4x-2+3x+1 \\
&=&\cfrac{1}{3}x^3-x^2-\cfrac{2}{3} &|\textnormal{ spiegeln}\\
f_2(x)&=&-\left(\cfrac{1}{3} \cdot (-x)^3-(-x)^2-\cfrac{2}{3}\right) \\
&=&\cfrac{1}{3}x^3+x^2+\cfrac{2}{3} &| 1 \rightarrow \ 2 \uparrow \\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{3} \cdot (x-1)^3+(x-1)^2+\cfrac{2}{3}+2 \\
&=&\cfrac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2+3x-1)+x^2-2x+1+\cfrac{8}{3}\\
&=&\cfrac{1}{3}x^3-x^2+x-\cfrac{1}{3}+x^2-2x+\cfrac{11}{3}\\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{3}x^3-x+\cfrac{10}{3}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
Es folgen einige Übungsaufgaben zu allen Themen.
Die zugehörigen Lösungen befinden sich im nächsten Kapitel.

\subsection{Aufgabe 1}
Die nachfolgende Funktion soll um den Faktor 3 vertikal gedehnt werden.
\[f(x)=x^3-2x^2-3x+1\]

\subsection{Aufgabe 2}
Die nachfolgende Funktion soll um den Faktor 3 horizontal gedehnt werden.
\[f(x)=x^3-2x^2-3x+1\]

\subsection{Aufgabe 3}
Die nachfolgende Funktion soll um eine Einheit nach oben und um zwei Einheiten
nach rechts verschoben werden.
\[f(x)=-2x^3+x^2-4x+1\]

\subsection{Aufgabe 4}
Die nachfolgende Funktion soll so verschoben werden, dass ihr
\textbf{Hochpunkt} bei $H(2|3)$ liegt.
\[f(x)=x^3-12x^2+45x-9\]

\subsection{Aufgabe 5}
Die nachfolgende Funktion soll an der $x$-Achse gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\subsection{Aufgabe 6}
Die nachfolgende Funktion soll an der $y$-Achse gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\subsection{Aufgabe 7}
Die nachfolgende Funktion soll am Koordinatenursprung gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\subsection{Aufgabe 8}
Die nachfolgende Funktion soll an der Achse $y=-1$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-2x^3-3x^2+x-9\]

\subsection{Aufgabe 9}
Die nachfolgende Funktion soll an der Achse $x=1$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-8x^3+19x^2-12x+1\]

\subsection{Aufgabe 10}
Die nachfolgende Funktion soll am Spiegel-Punkt $S(-2|-4)$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-3x^2+x-9\]

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
Die aufgezeigten Lösungswege in der nachfolgenden Musterlösung sind nicht die
einzig möglichen.

\subsection{Aufgabe 1}
Die nachfolgende Funktion soll um den Faktor 3 vertikal gedehnt werden.
\[f(x)=x^3-2x^2-3x+1\]

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^3-2x^2-3x+1 \\
f^*(x)&=&3 \cdot f(x) \\
f^*(x)&=&3 \cdot \left( x^3-2x^2-3x+1 \right) \\
f^*(x)&=&3x^3-6x^2-9x+3 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-16.8)(5.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-16.8)(5.8,9.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{3.8}
    {x 3 exp -2 x 2 exp mul add -3 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{3.8}
    {x 3 exp -2 x 2 exp mul add -3 x mul add 1 add 3 mul}
  \uput[-135](2,-5){$f$}
  \uput[-45](2.5,-10){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
Die nachfolgende Funktion soll um den Faktor 3 horizontal gedehnt werden.
\[f(x)=x^3-2x^2-3x+1\]

\paragraph{Lösung:}
Hier muss man aufpassen! Ein Faktor 3 wäre keine Dehnung, sondern eine
Stauchung! Der Faktor muss daher $\frac{1}{3}$ lauten.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^3-2x^2-3x+1 \\
f^*(x)&=&f\left(\frac{1}{3} \cdot x \right) \\
f^*(x)&=&\left(\cfrac{x}{3}\right)^3-2 \cdot \left(\cfrac{x}{3}\right)^2-3
\cdot \cfrac{x}{3}+1 \\
f^*(x)&=&\cfrac{1}{27}x^3-\cfrac{2}{9}x^2-x+1 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-16.8)(11.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=2,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-5.8,-16.8)(11.8,9.6)
  \uput[-90](11.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{3.8}
    {x 3 exp -2 x 2 exp mul add -3 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{11.8}
    {x 3 exp 27 div -2 9 div x 2 exp mul add x sub 1 add}
  \uput[-135](2,-5){$f$}
  \uput[-90](5.6,-5){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Die nachfolgende Funktion soll um eine Einheit nach oben und um zwei Einheiten
nach rechts verschoben werden.
\[f(x)=-2x^3+x^2-4x+1\]

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-2x^3+x^2-4x+1 \\
f^*(x)&=&f(x-2)+1 \\
f^*(x)&=&-2 \cdot (x-2)^3+(x-2)^2-4 \cdot (x-2)+1+1 \\
&=&-2 \cdot (x^3-6x^2+12x-8)+x^2-4x+4-4x+8+1+1 \\
&=&-2x^3+12x^2-24x+16+x^2-4x+4-4x+8+1+1 \\
f^*(x)&=&-2x^3+13x^2-32x+30 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-16.8)(11.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=2,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-5.8,-16.8)(11.8,9.6)
  \uput[-90](11.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{3.8}
    {-2 x 3 exp mul x 2 exp add -4 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{11.8}
    {-2 x 3 exp mul 13 x 2 exp mul add -32 x mul add 30 add}
  \uput[-135](1.1,-5){$f$}
  \uput[45](2,2){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Die nachfolgende Funktion soll so verschoben werden, dass ihr
\textbf{Hochpunkt} bei $H(2|3)$ liegt.
\[f(x)=x^3-12x^2+45x-9\]

\paragraph{Lösung:}
Hier muss zuerst der Hochpunkt ermittelt werden. Dazu muss die erste Ableitung
gleich Null gesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&3x^2-24x+45 \\
0&=&3x_E^2-24x_E+45 &|:3 \\
0&=&x_E^2-8x_E+15 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{E1/2}&=&4\pm \sqrt{16-15}\\
&=&4 \pm 1 \\
x_{E1}=3 && x_{E2}=5 \\
\end{array}\]

Jetzt muss geprüft werden, ob bei $x_1$ oder bei $x_2$ ein Hochpunkt vorliegt.
Das kann mit dem Vorzeichenkriterium geschehen.\\

\begin{center}\underline{\textbf{Untersuchung für }
$\mathbf{x_{E1}=3:}$}\end{center}
\[\begin{array}{rcll}
f'(2)&=&3 \cdot 2^2-24 \cdot 2+45=9>0 \\
f'(4)&=&3 \cdot 4^2-24 \cdot 4+45=-3<0 \\
\end{array}\]
Vorzeichenwechsel von $+$ nach $- \quad \Rightarrow \quad$
Hochpunkt bei $x_{E1}=3$\\

Der zugehörige $y$-Wert ist der Funktionswert an der Stelle $x_{E1}=2$. Dieser
wird berechnet:
\[y_{E1}=f(x_{E1})=f(3)=3^3-12 \cdot 3^2+45 \cdot 3-9=45\]
Ergebnis: Hochpunkt $H^*(3|45)$

\begin{center}\underline{\textbf{Untersuchung für }
$\mathbf{x_{E2}=5:}$}\end{center}
\[\begin{array}{rcll}
f'(4)&=&3 \cdot 4^2-24 \cdot 4+45=-3<0 \\
f'(6)&=&3 \cdot 6^2-24 \cdot 6+45=9>0 \\
\end{array}\]
Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+ \quad \Rightarrow \quad$
Tiefpunkt bei $x_{E2}=5$\\

Da kein Tiefpunkt gesucht ist, erübrigt es sich, den zugehörigen Funktionswert
zu berechnen.\\

Der Hochpunkt liegt bei $H^*(3|45)$, er soll nach $H(2|3)$ verschoben werden.
Das bedeutet diese Verschiebewerte:
\[\begin{array}{rcll}
x_v&=&-2 \\
y_v&=&-42 \\
\end{array}\]

Die verschobene Funktion kann angegeben werden.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^3-12x^2+45x-9 \\
f^*(x)&=&f(x+2)-42 \\
f^*(x)&=&(x+2)^3-12 \cdot (x+2)^2+45 \cdot (x+2)-9-42 \\
&=&x^3+6x^2+12x+8-12 \cdot (x^2+4x+4)+45x+90-9-42 \\
&=&x^3+6x^2+12x+8-12x^2-48x-48+45x+90-9-42 \\
f^*(x)&=&x^3-6x^2+9x-1 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=15mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-19)(7.8,48)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-19)(7.8,48)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,46.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-1}{7}
    {x 3 exp -12 x 2 exp mul add 45 x mul add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{7.8}
    {x 3 exp -6 x 2 exp mul add 9 x mul add -1 add}
  \uput[135](1.9,40){$f$}
  \uput[45](2,1){\textcolor{red}{$f^*$}}
  \qdisk(3,45){2pt} \uput[45](3,45){$H$}
  \qdisk(1,3){2pt} \uput[45](1,3){\textcolor{red}{$H^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
Die nachfolgende Funktion soll an der $x$-Achse gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2x^4-5x^3+x-9 \\
f^*(x)&=&-f(x) \\
f^*(x)&=&- \left( 2x^4-5x^3+x-9 \right) \\
f^*(x)&=&-2x^4+5x^3-x+9 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=25mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-18)(3.8,18)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-1.8,-18)(3.8,18)
  \uput[-90](3.7,0){$x$}  \uput[180](0,17.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{3}
    {2 x 4 exp mul -5 x 3 exp mul add x add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{3}
    {-2 x 4 exp mul 5 x 3 exp mul add x sub 9 add}
  \uput[45](1,-11){$f$}
  \uput[135](1,11){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\subsection{Aufgabe 6}
Die nachfolgende Funktion soll an der $y$-Achse gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2x^4-5x^3+x-9 \\
f^*(x)&=&f(-x) \\
f^*(x)&=&2 \cdot (-x)^4-5 \cdot (-x)^3+(-x)-9 \\
f^*(x)&=&2x^4+5x^3-x-9 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-18)(3.8,18)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-3.8,-18)(3.8,18)
  \uput[-90](3.7,0){$x$}  \uput[180](0,17.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{3}
    {2 x 4 exp mul -5 x 3 exp mul add x add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{1.6}
    {2 x 4 exp mul 5 x 3 exp mul add x sub -9 add}
  \uput[45](1,-11){$f$}
  \uput[-45](1.4,10){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\subsection{Aufgabe 7}
Die nachfolgende Funktion soll am Koordinatenursprung gespiegelt werden.
\[f(x)=2x^4-5x^3+x-9\]

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2x^4-5x^3+x-9 \\
f^*(x)&=&-f(-x) \\
f^*(x)&=&- \Big(2 \cdot (-x)^4-5 \cdot (-x)^3+(-x)-9 \Big) \\
f^*(x)&=&-2x^4-5x^3+x+9 \\
\end{array}\]

Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-18)(3.8,18)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-3.8,-18)(3.8,18)
  \uput[-90](3.7,0){$x$}  \uput[180](0,17.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{3}
    {2 x 4 exp mul -5 x 3 exp mul add x add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{1.6}
    {-2 x 4 exp mul -5 x 3 exp mul add x add 9 add}
  \uput[180](-1,-3){$f$}
  \uput[0](1,3){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 8}
Die nachfolgende Funktion soll an der Achse $y=-1$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-2x^3-3x^2+x-9\]

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Teil 1:} Verschiebung um 1 Einheiten nach oben:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^4-2x^3-3x^2+x-9 \\
f_1(x)&=&f(x)+1 \\
&=&x^4-2x^3-3x^2+x-9+1 \\
f_1(x)&=&x^4-2x^3-3x^2+x-8 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Teil 2:} Spiegelung an der $x$-Achse:
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^4-2x^3-3x^2+x-8 \\
f_2(x)&=&-f_1(x) \\
&=&-\left(x^4-2x^3-3x^2+x-8 \right) \\
f_2(x)&=&-x^4+2x^3+3x^2-x+8 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Teil 3:} Verschiebung um 1 Einheiten wieder nach unten:
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&-x^4+2x^3+3x^2-x+8 \\
f^*(x)&=&f_2(x)-1 \\
&=&-x^4+2x^3+3x^2-x+8-1 \\
f^*(x)&=&-x^4+2x^3+3x^2-x+7 \\
\end{array}\]

\newpage
Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-19.8)(3.8,17.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-19.8)(3.8,17.8)
  \uput[-90](3.7,0){$x$}  \uput[180](0,17.2){$y$}
  \psline[linestyle=dashed](-3.8,-1)(6.8,-1)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.2}{3.45}
    {x 4 exp -2 x 3 exp mul add -3 x 2 exp mul add x add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.2}{3.45}
    {-1 x 4 exp mul 2 x 3 exp mul add 3 x 2 exp mul add x sub 7 add}
  \uput[45](1,-12){$f$}
  \uput[135](1,10){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 9}
Die nachfolgende Funktion soll an der Achse $x=1$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-8x^3+19x^2-12x+1\]

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Teil 1:} Verschiebung um eine Einheit nach links:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^4-8x^3+19x^2-12x+1 \\
f_1(x)&=&f(x+1) \\
&=&(x+1)^4-8 \cdot (x+1)^3+19 \cdot (x+1)^2-12 \cdot (x+1)+1 \\
&=&x^4+4x^3+6x^2+4x+1-8 \cdot (x^3+3x^2+3x+1) \ldots \\
 && \ldots +19 \cdot (x^2+2x+1)-12x-12+1 \\
&=&x^4+4x^3+6x^2+4x+1-8x^3-24x^2-24x-8 \ldots \\
 && \ldots +19x^2+38x+19-12x-12+1 \\
f_1(x)&=&x^4-4x^3+x^2+6x+1 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Teil 2:} Spiegelung an $y$-Achse:
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^4-4x^3+x^2+6x+1 \\
f_2(x)&=&f_1(-x) \\
&=&(-x)^4-4 \cdot (-x)^3+(-x)^2+6 \cdot (-x)+1 \\
f_2(x)&=&x^4+4x^3+x^2-6x+1 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Teil 3:} Verschiebung um eine Einheit zurück nach rechts:
{\small  \[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&x^4+4x^3+x^2-6x+1 \\
f^*(x)&=&f_2(x-1) \\
&=&(x-1)^4+4 \cdot (x-1)^3+(x-1)^2-6 \cdot (x-1)+1 \\
&=&x^4-4x^3+6x^2-4x+1+4 \cdot (x^3-3x^2+3x-1)+x^2-2x+1-6x+6+1 \\
&=&x^4-4x^3+6x^2-4x+1+4x^3-12x^2+12x-4+x^2-2x+1-6x+6+1 \\
f^*(x)&=&x^4-5x^2+5 \\
\end{array}\]  }

\newpage
Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(4.8,9.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-2.8)(4.8,9.8)
  \uput[-90](4.7,0){$x$}  \uput[180](0,9.6){$y$}
  \psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed](1,-2.8)(1,9.8)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.5}{2}
    {x 4 exp -8 x 3 exp mul add 19 x 2 exp mul add -12 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{2}{4.5}
    {x 4 exp -8 x 3 exp mul add 19 x 2 exp mul add -12 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.5}{0}
    {x 4 exp -5 x 2 exp mul add 5 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{0}{2.5}
    {x 4 exp -5 x 2 exp mul add 5 add}
  \uput[180](4.2,6.5){$f$}
  \uput[180](-2.3,6.5){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
Die nachfolgende Funktion soll am Spiegel-Punkt $S(-2|-4)$ gespiegelt werden.
\[f(x)=x^4-3x^2+x-9\]

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Teil 1:} Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 4 nach oben:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^4-3x^2+x-9 \\
f_1(x)&=&f(x-2)+4 \\
&=&(x-2)^4-3 \cdot (x-2)^2+(x-2)-9+4 \\
&=&x^4-8x^3+24x^2-32x+16-3 \cdot (x^2-4x+4)+x-2-9+4 \\
&=&x^4-8x^3+24x^2-32x+16-3x^2+12x-12+x-2-9+4 \\
f_1(x)&=&x^4-8x^3+21x^2-19x-3 \\
\end{array}\]
\subparagraph{Teil 2:} Punktspiegelung am Koordinatenursprung:
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^4-8x^3+21x^2-19x-3 \\
f_2(x)&=&-f_1(-x) \\
&=&- \Bigl( (-x)^4-8 \cdot (-x)^3+21 \cdot (-x)^2-19 \cdot (-x)-3 \Bigr) \\
&=&-(x^4+8x^3+21x^2+19x-3) \\
f_2(x)&=&-x^4-8x^3-21x^2-19x+3 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Teil 3:} Verschiebung zurück um 2 Einheiten nach links und 4
nach unten:
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&-x^4-8x^3-21x^2-19x+3 \\
f^*(x)&=&f_2(x+2)-4 \\
&=&-(x+2)^4-8 \cdot (x+2)^3-21 \cdot (x+2)^2-19 \cdot (x+2)+3-4 \\
&=&-(x^4+8x^3+24x^2+32x+16)-8 \cdot (x^3+6x^2+12x+8) \ldots \\
  &&\ldots -21 \cdot (x^2+4x+4)-19x-38+3-4 \\
&=&-x^4-8x^3-24x^2-32x-16-8x^3-48x^2-96x-64 \ldots \\
  &&\ldots -21x^2-84x-84-19x-38+3-4 \\
f^*(x)&=&-x^4-16x^3-93x^2-231x-203 \\
\end{array}\]

\newpage
Für den besseren Überblick hier die beiden Funktionsgraphen:
\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-18.8)(2.8,9.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,xunit=1,yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-6.8,-18.8)(2.8,9.8)
  \uput[-90](2.7,0){$x$}  \uput[180](0,9.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.6}{4.5}
    {x 4 exp -3 x 2 exp mul add x add -9 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-6.5}{-0.2}
    {-1 x 4 exp mul -16 x 3 exp mul add -93 x 2 exp mul add -231 x mul add
    -203 add}
  \uput[45](1,-12){$f$}
  \uput[455](-5.2,2){\textcolor{red}{$f^*$}}
  \qdisk(-2,-4){2pt} \uput[0](-2,-4){$S$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\end{document}
%------------------------
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \huput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
 \^=                  % "entspricht"


\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(7.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{8.8}{x 57.3 mul sin}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-2.8)(7.8,2.8)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2.8}{8.8}{x 57.3 mul sin 2 mul}
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \uput[-90](1.57,1){$f$}
  \uput[35](2.3,1.3){\textcolor{red}{$f^*$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
