\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Symmetrie von Funktionen}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!

\section{Grundlagen zur Symmetrie}
Man kann an Funktionen diverse Transformationen durchführen. Hierbei
beziehe ich mich auf den \textbf{Funktionsgraphen}. Unter anderem kann man ihn
auf unterschiedliche Art spiegeln.\\

Manchmal kommt es vor, dass bei der Spiegelung eines Funktionsgraphen an der
Ordinate ($y$-Achse) oder am Koordinatenursprung eine Funktion entsteht, die
mit der Originalfunktion übereinstimmt. In diesen Fällen spricht man von
\textbf{symmetrischen} Funktionen.

\subsection{Spiegelsymmetrie}
Beginnen wir mit der Spiegelsymmetrie. Sie wird immer auf die Ordinate
bezogen. Funktionen, die spiegelsymmetrisch zur Abszisse ($x$-Achse) sind,
gibt es nicht.\footnote{Einzige Ausnahme: $f(x)=0$.}
Im Kapitel 5.1.1 (Spiegelung an der Abszisse) in diesem Artikel
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/transformation.pdf}\fi
\end{center}

 steht die Formel:
\[f^*(x)=f(-x)\]
Da $f^*$ mit $f$ bei einer spiegelsymmetrischen Funktion übereinstimmen soll,
erhalten wir damit die Definition für Spiegelsymmetrie:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Spiegelsymmetrie$\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=f(-x)$}
\end{center}

\subsection{Punktsymmetrie}
Von "`punktsymmetrischen"' Funktionen spricht man, wenn sie zum
Koordinatenursprung punktsymmetrisch sind. Im Kapitel 5.2 (Punktspiegelungen)
im eben erwähnten Artikel haben wir für eine Spiegelung am Koordinatenursprung
diese Formel kennengelernt:
\[f^*(x)=-f(-x)\]
Da $f^*$ mit $f$ bei einer punktsymmetrischen Funktion übereinstimmen soll,
erhalten wir damit die Definition für Punktsymmetrie:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Punktsymmetrie$\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=-f(-x)$}\end{center}

\subsection{Symmetrische Funktionen}
Die Frage, die sich stellt, lautet:
\begin{quote}
\textbf{\emph{Woran kann ich möglichst einfach
erkennen, ob eine gegebene Funktion symmetrisch ist?}}
\end{quote}
Die Antwort auf diese Frage ähnelt der Methode, wie man einfach
Ableitungen\footnote{Details zur Ableitungsbestimmung siehe hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}\fi
} findet. Man benötigt:
\begin{enumerate}
\item einige grundlegende symmetrische Funktionen
\item einige Regeln zur Verknüpfung symmetrischer Funktionen
\end{enumerate}

\subsubsection{Grundlegende symmetrische Funktionen}
Ohne Herleitung\footnote{Zur Herleitung muss lediglich die jeweilige
Symmetriedefinition durch Einsetzen der jeweiligen Funktion überprüft werden.}
möchte ich hier einige Funktionen angeben.\\

Beginnen wir mit der Potenzfunktion:
\[f(x)=x^z \textnormal{ mit } z \in \mathbb{Z}\]

Wenn $z$ eine \textbf{gerade Zahl} (also eine durch 2 teilbare Zahl) ist, dann
ist die Potenz auf jeden Fall positiv. Dann ist $f(-x)=f(x)$. Es liegt dann
also \textbf{Spiegelsymmetrie} vor. Ist dagegen $z$ eine \textbf{ungerade}
Zahl, dann gilt: $f(-x)=-f(x)$, wir haben \textbf{Punktsymmetrie}. Das kann
man so schreiben:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^{2z} \ \wedge \ z \in \mathbb{Z}\ \Rightarrow $ Spiegelsymmetrie}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^{2z-1} \ \wedge \ z \in \mathbb{Z}\ \Rightarrow $ Punktsymmetrie}\\
\end{center}
Die nächsten Standard-Funktionen $f(x)=e^x$ und $f(x)= \ln x$ zeigen keinerlei
Symmetrie. Anders bei den Winkelfunktionen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)= \sin x \ \Rightarrow $ Punktsymmetrie}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)= \cos x \ \Rightarrow $ Spiegelsymmetrie}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)= \tan x \ \Rightarrow $ Punktsymmetrie}\\
\end{center}

\subsubsection{Verknüpfungsregeln symmetrischer Funktionen}
Mit den nachfolgenden Regeln können viele Funktionen auf Kombinationen von
Grundfunktionen zurückgeführt werden.
\paragraph{Konstantenregel}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Wird eine symmetrische Funktion mit einer Konstanten k
multipliziert, dann bleibt die Symmetrie erhalten.}}
\end{quote}
Wenn also $g(x)$ \textbf{spiegelsymmetrisch} ist, dann ist auch
\mbox{$f(x)=k \cdot g(x)$} eine \textbf{spiegelsymmetrische} Funktion.
Ist $f(x)$ \textbf{punktsymmetrisch} ist, dann ist auch
\mbox{$f(x)=k \cdot g(x)$} eine \textbf{punktsymmetrische} Funktion.\\

Zwei Beispiele sollen das vertiefen.

\subparagraph{Beispiel 1:} Gegeben ist diese Funktion:
\[f(x)=3 \cdot x^4\]
Die Unterfunktion $g(x)=x^4$ ist \textbf{spiegelsymmetrisch}, weil der
Exponent \textbf{4} eine gerade Zahl ist. Deshalb ist auch die Funktion
\mbox{$f(x)=3 \cdot x^4$} \textbf{spiegelsymmetrisch}.

\subparagraph{Beispiel 2:}  Gegeben ist diese Funktion:
\[f(x)=\cfrac{3}{x}\]
Diese Funktion lässt sich schreiben als $f(x)=3 \cdot x^{-1}$.
Die Unterfunktion $g(x)=x^{-1}$ ist eine Potenzfunktion mit \textbf{ungeradem}
Exponenten, sie ist also \textbf{punktsymmetrisch}. Darum ist auch
\mbox{$f(x)=\frac{3}{x}$} \textbf{punktsymmetrisch}.

\paragraph{Summenregel}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Die Summe zweier spiegelsymmetrischen (punktsymmetrischen)
Funktionen stellt ebenfalls eine spiegelsymmetrische (punktsymmetrische)
Funktion dar.}}
\end{quote}
Wichtig ist hierbei, dass \textbf{beide} Teilfunktionen die \textbf{gleiche}
Art von Symmetrie haben, also entweder \textbf{beide Spiegelsymmetrie} oder
\textbf{beide Punktsymmetrie}. Die Summenfunktion hat dann die gleiche Art der
Symmetrie wie die beiden Teilfunktionen.\\

Auch hier sollen ein paar Beispiele das verdeutlichen.

\subparagraph{Beispiel 1:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-4.8)(3.8,7.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-4.8)(3.8,7.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,7.0){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.5}{2.5}
   {x 4 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2.5}{2.5}
   {-2 x 2 exp mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.5}{2.5}
   {x 4 exp -2 x 2 exp mul add}
  \uput[120](1.4,4){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[60](1.4,-4){$\textcolor{green}{v}$}
  \uput[-45](1.8,6){$\textcolor{red}{f}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=x^4-2x^2\]

Die Teilfunktionen $u(x)=x^4$ und $v(x)=-2x^2$ sind beide
\textbf{spiegelsymmetrisch}. Bei der Funktion $u$ folgt das direkt aus dem
gradzahligen Exponenten 4, bei der Funktion $v$ muss zusätzlich noch die
Konstantenregel mit herangezogen werden. Die Funktion \mbox{$f(x)=x^4-2x^2$}
ist daher ebenfalls \textbf{spiegelsymmetrisch}.

\subparagraph{Beispiel 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(-8.5,-15)(9,15)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=10,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-8.5,-15)(9,15)
  \uput[-90](8.5,0){$x$}  \uput[180](0,12){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-8.5}{9}
   {1.5 x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-8.5}{9}
   {57.3 x mul sin 3 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-8.5}{9}
   {1.5 x mul 57.3 x mul sin 3 mul add}
  \uput[45](2,6){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[135](-6,0){$\textcolor{green}{v}$}
  \uput[45](2,6){$\textcolor{red}{f}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=1{,}5x+ 3 \sin x \]
Hier sind beide Teilfunktionen \mbox{$u(x)=1{,}5x$} und \mbox{$v(x)= 3 \sin x$}
\textbf{punktsymmetrisch}. Daher ist auch die Summenfunktion \\ % \linebreak[3]
\mbox{$f(x)=1{,}5x+3 \sin x$}
 \textbf{punktsymmetrisch}.\\

\subparagraph{Beispiel 3:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-7.8,-4.8)(3.8,14.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=5,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-7.8,-4.8)(3.8,14.8)
  \uput[-90](3.5,0){$x$}  \uput[180](0,12.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-8.5}{9}
   {x 2 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-8.5}{9}
   {3 x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-8.5}{9}
   {x 2 exp 3 x mul add}
  \uput[60](-3.2,10){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[-150](0,-3){$\textcolor{green}{v}$}
  \uput[-135](-4,4){$\textcolor{red}{f}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=x^2+3x\]
Hier ist die erste Teilfuntion \mbox{$u(x)=x^2$} \textbf{spiegelsymmetrisch},
die zweite Teilfunktion \mbox{$v(x)=3x$} aber \textbf{punktsymmetrisch}. Daher
liegt bei der Summenfunktion \mbox{$f(x)=x^2+3x$} \textbf{keine} Symmetrie
vor.

\paragraph{Produktregel}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Das Produkt zweier symmetrischen Funktionen stellt ebenfalls
eine symmetrische Funktion dar. Haben die Teilfunktionen die \emph{gleiche}
Art von Symmetrie, dann erhalten wir eine \emph{spiegelsymmetrische} Funktion,
haben die Teilfunktionen \emph{verschiedenartige} Symmetrie, dann ist die
Produktfunktion \mbox{$\mathbf{f(x)=u(x) \cdot v(x)}$} \emph{punktsymmetrisch}.}}
\end{quote}

Dieses Ergebnis lässt sich als Tabelle darstellen.
\[f(x)=u(x) \cdot v(x)\]
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
u(x) & v(x) & f(x) \\
\hline
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{punktsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{punktsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\end{array}\]

Auch hierzu möchte ich ein paar Beispiele vorstellen.
\subparagraph{Beispiel 1:}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-7.8,-8.8)(7.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=5,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-7.8,-8.8)(7.8,8.8)
  \uput[-90](7.5,0){$x$}  \uput[180](0,7.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.8}{7.8}
   {x}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-7.8}{7.8}
   {x 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.8}{7.8}
   {x x 57.3 mul sin mul}
  \uput[45](-7,5){$\textcolor{red}{f}$}
  \uput[90](5,5){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[90](-5,1){$\textcolor{green}{v}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=x \cdot \sin x\]

Beide Teilfunktionen sind \textbf{punktsymmetrisch}, daher ist die
Ergebnisfunktion \textbf{spiegelsymmetrisch}. Dargestellt sind nebenstehend
neben der Ergebnisfunktion $f$ auch die Teilfunktionen $u$ und $v$.\\

\subparagraph{Beispiel 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{5.9cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-7.8)(2.8,7.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-7.8)(2.8,7.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,7.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.3}{2.3}
   {x 3 exp x 2 exp 4 sub mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.3}{2.3}
   {x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2.8}{2.8}
   {x 2 exp -4 add}
  \uput[45](2.1,4){$\textcolor{red}{f}$}
  \uput[0](1.2,1.5){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[-135](0,-4){$\textcolor{green}{v}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=x^3 \cdot (x^2-4)\]
Die Teilfunktion \mbox{$u(x)=x^3$} ist \textbf{punktsymmetrisch}, denn sie
stellt eine Potenzfunktion mit \textbf{ungeradem} Exponenten dar. Die andere
Teilfunktion \mbox{$v(x)=x^2-4$} lässt sich mit der Summenregel analysieren.
Sie besteht aus zwei Summenden. Der erste Summand \mbox{$x^2$} ist eine
Potenzfunktion mit geradem Exponenten. Der zweite Summand \mbox{$-4$} kann als
Produkt aus Konstante und Potenzfunktion aufgefasst werden:
\mbox{$-4 \cdot x^0$}. Die Potenzfunktion $x^0$ hat einen geraden Exponenten,
ist also spiegelsymmetrisch, und wird mit einer Konstanten (nämlich $-4$)
multipiziert. Nach der Konstantenregel ist sie damit ebenfalls
spiegelsymmetrisch. Somit ist auch \mbox{$v(x)=x^2-4$} spiegelsymmetrisch.
Beim Produkt \mbox{$f(x)=u(x) \cdot v(x)$} wird eine punktsymmetrische
Teilfunktion mit spiegelsymmetrischen multipliziert. Damit ist
\mbox{$f(x)=x^3 \cdot (x^2-4)$} punktsymmetrisch.\\

Das lässt sich leicht nachprüfen, indem man die Funktionsgleichung
ausmultipliziert.
\[f(x)=x^3 \cdot (x^2-4)=x^5-4x^3\]
Hier tauchen nun ausschließlich \textbf{ungerade} Exponenten auf, was ein
Merkmal für punktsymmetrische Polynome ist.

\newpage
\paragraph{Quotientenregel}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Der Quotient zweier symmetrischen Funktionen stellt ebenfalls
eine symmetrische Funktion dar. Haben die Teilfunktionen die \emph{gleiche}
Art von Symmetrie, dann erhalten wir eine \emph{spiegelsymmetrische} Funktion,
haben die Teilfunktionen \emph{verschiedenartige} Symmetrie, dann ist die
Bruchfunktion \mbox{$\mathbf{f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}}$}
\emph{punktsymmetrisch}.}}
\end{quote}

Auch dieses Ergebnis lässt sich als Tabelle darstellen. Die Tabelle entspricht
genau der Tabelle für die Produktregel.
\[f(x)=\cfrac{u(x)}{v(x)}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
u(x) & v(x) & f(x) \\
\hline
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{punktsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{punktsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\end{array}\]

Auch hier möchte ich ein paar Beispiele vorstellen.
\subparagraph{Beispiel 1:}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.8)(2.8,3.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-1.8)(2.8,3.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{2.8}
   {x}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2.8}{2.8}
   {x 2 exp 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{2.8}
   {x x 2 exp 1 add div}
  \uput[45](2,0.4){$\textcolor{red}{f}$}
  \uput[-45](2,2){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[-135](-1,2){$\textcolor{green}{v}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=\cfrac{x}{x^2+1}\]

Im Zähler steht eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 1, also einer ungeraden
Zahl. Damit stellt die Zählerfunktion \mbox{$u(x)=x$} eine
\textbf{punktsymmetrische} Funktion dar. Im Nenner \mbox{$v(x)=x^2+1$} haben
wir die Summe aus zwei \textbf{spiegelsymmetrischen} Teilfunktionen, alle
Exponenten sind gerade. Daher ist die Quotientenfunktion
\mbox{$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$} eine \textbf{punktsymmetrische} Funktion.\\ \\

\newpage
\subparagraph{Beispiel 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=16mm}
\begin{pspicture}(-8.8,-1.6)(8.8,1.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=4]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=1]{->}(0,0)(-8.8,-1.8)(8.8,1.8)
  \uput[-90](8.4,0){$x$}  \uput[180](0,1.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-8.8}{0}
   {x 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{0}{8.8}
   {x 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-8.8}{8.8}
   {x}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-8.8}{8.8}
   {57.3 x mul sin x div}
  \uput[120](-1.8,0.5){$\textcolor{red}{f}$}
  \uput[120](-6,0.5){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[-135](1.5,1.5){$\textcolor{green}{v}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=\cfrac{\sin x}{x}\]

Die Zählerfunktion \mbox{$u(x)= \sin x$} ist \textbf{punktsymmetrisch} zum
Koordinatenursprung, die Nennerfunktion \mbox{$v(x)=x$} ebenfalls, wie rechts
dargestellt. Die Quotientenfunktion \mbox{$f(x)=\frac{\sin x}{x}$} ist deshalb
\textbf{spiegelsymmetrisch} zur Ordinate. In den nebenstehend dargestellten
Funktionsgraphen wird das deutlich. \\

\subparagraph{Beispiel 3:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-8.6)(3.8,18.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=5,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-3.8,-8.6)(3.8,18.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,18){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}
   {x 4 exp -3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-3.8}{3.8}
   {x 2 exp 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{-1.42}
   {x 4 exp -3 add x 2 exp -2 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.41}{1.41}
   {x 4 exp -3 add x 2 exp -2 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1.42}{3.8}
   {x 4 exp -3 add x 2 exp -2 add div}
  \uput[180](1.4,12){$\textcolor{red}{f}$}
  \uput[45](2.2,15){$\textcolor{blue}{u}$}
  \uput[-60](2.6,5){$\textcolor{green}{v}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion:
\[f(x)=\cfrac{x^4-3}{x^2-2}\]

Die nebenstehende Darstellung der Funktionsgraphen ist etwas verworren.
Trotzdem ist erkennbar, dass sowohl die Zählerfunktion \mbox{$u(x)=x^4-3$} als
auch die Nennerfunktion \mbox{$v(x)=x^2-2$} spiegelsymmetrisch zur Ordinate
sind. Beide stellen Polynome dar, die ausschließlich \textbf{gradzahlige}
Exponenten enthält. Derhalb ist auch die Quotientenfunktion
\mbox{$f(x)=\frac{x^4-3}{x^2-2}$} zur Ordinate \textbf{spiegelsymmetrisch}.

\newpage
\paragraph{Kettenregeln:}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Ist die Funktion f(x) die Funktion einer Unterfunktion g(x),
dann ist f(x) spiegelsymmetrisch, wenn auch g(x) spiegelsymmetrisch ist. Die
Eigenschaften von f(g) spielen dabei keine Rolle.}}
\end{quote}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Ist die Funktion f(x) die Funktion einer Unterfunktion g(x),
dann ist f(x) nicht symmetrisch, wenn g(x) nicht symmetrisch ist. Die
Eigenschaften von f(g) spielen dabei keine Rolle}}
\end{quote}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Ist die Funktion f(x) die Funktion einer Unterfunktion g(x),
dann ist f(x) punktsymmetrisch, wenn sowohl g(x) als auch f(g)
punktsymmetrisch ist.}}
\end{quote}
\begin{quote}
\emph{\textbf{Ist die Funktion f(x) die Funktion einer Unterfunktion g(x),
dann ist f(x) spiegelsymmetrisch, wenn g(x) punktsymmetrisch und f(g)
spiegelsymmetrisch ist.}}
\end{quote}

Möglicherweise ist dem einen oder anderen nicht ganz klar, was "`eine Funktion
von einer Funktion"' denn sein soll. Das habe ich etwas ausführlicher hier im
Kapitel 5.5 (Kettenregel)
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}\fi
\end{center}
oder hier im Kapitel 3.2.5 (Beispiele zur Kettenregel) beschrieben:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf}\fi
\end{center}
Die weiter unten nachfolgenden Beispiele sollten das aber ebenfalls deutlich
machen.\\

Da das Ganze etwas unübersichtlich ist, möchte ich die Zusammenhänge in einer
Tabelle zusammenfassen.

\[f(x)=f \big( g(x) \big) \]
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
f(g) & g(x) & f(x) \\
\hline
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{nicht symmetrisch} & \textnormal{spiegelsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{spiegelsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{punktsymmetrisch} \\
\hline
\textnormal{nicht symmetrisch} & \textnormal{punktsymmetrisch}
  & \textnormal{nicht symmetrisch} \\
\hline
\textnormal{spiegelsymmetrisch} & \textnormal{nicht symmetrisch}
  & \textnormal{nicht symmetrisch} \\
\hline
\textnormal{punktsymmetrisch} & \textnormal{nicht symmetrisch}
  & \textnormal{nicht symmetrisch} \\
\hline
\textnormal{nicht symmetrisch} & \textnormal{nicht symmetrisch}
  & \textnormal{nicht symmetrisch} \\
\hline
\end{array}\]

\newpage
Ein paar Beispiele sollen das verdeutlichen.

\subparagraph{Beispiel 1:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-1.8)(3.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-1.8)(3.8,4.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}
   {x 2 exp -1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-3.8}{3.8}
   {x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}
   {x 2 exp -1 add 3 exp}
  \uput[45](-1.6,3){$\textcolor{red}{f(x)}$}
  \uput[-120](-2,3){$\textcolor{blue}{g(x)}$}
  \uput[120](1,1){$\textcolor{green}{f(g)}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion
\[f(x)=(x^2-1)^3\]
Wir können den Klammerinhalt \mbox{$x^2-1$} mit $g$ bezeichnen. Unsere
\textbf{innere Funktion} lautet dann \mbox{$g(x)=x^2-1$}. Die innere Funktion
stellt ein Polynom mit ausschließlich gradzahligen Exponenten dar, ist also
spiegelsymmetrisch. Die äußere Funktion lauten dann \mbox{$f(g)=g^3$}. Diese
ist punktsymmetrisch, der Exponent ist ungerade. Das spielt aber keine Rolle,
es genügt, dass \mbox{$g(x)$} spiegelsymmetrisch ist, daher ist sofort
\mbox{$f(x)$} ebenfalls spiegelsymmetrisch.

\subparagraph{Beispiel 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-0.8)(3.8,5.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-0.8)(3.8,5.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,5.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}
   {x 2 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-3.8}{3.8}
   {2.71828 x exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}
   {2.71828 x 2 exp exp}
  \uput[120](1,3){$\textcolor{red}{f(x)}$}
  \uput[-60](1,1){$\textcolor{blue}{g(x)}$}
  \uput[135](-1,0.2){$\textcolor{green}{f(g)}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion
\[f(x)=e^{x^2}\]

Die "`innere Funktion"' (also die, die zuerst ausrechnet werden muss) lautet
hier \mbox{$g(x)=x^2$}. Das ist eine spiegelsymmetrische Funktion, weil es
eine Potenz mit gradzahligem Exponenten ist. Da spielt es keine Rolle, dass
die "`äußere Funktion"' \mbox{$f(g)=e^g$} keinerlei Symmetrie hat. Allein
wegen Spiegelsymmetrie von \mbox{$g(x)=x^2$} ist auch \mbox{$f(x)=e^{x^2}$}
spiegelsymmetrisch.

\subparagraph{Beispiel 3:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}
   {x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-3.8}{3.8}
   {57.3 x mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{-3.5}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.5}{-3}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{-1.5}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.5}{1.5}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1.5}{3.8}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1.5}{3}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3}{3.5}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.5}{3.8}
   {57.3 x 3 exp mul cos}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.6){$y$}
  \uput[-90](1.4,-1){$\textcolor{red}{f(x)}$}
  \uput[40](1.2,2){$\textcolor{blue}{g(x)}$}
  \uput[60](0,1){$\textcolor{green}{f(g)}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion
\[f(x)= \cos x^3\]

Hier ist die innere Funktion mit \mbox{$g(x)=x^3$} eine Punktsymmetrische
Funktion zum Koordinatenursprung, weil sie eine Potenz mit ungeradem
Exponenten darstellt. Die äüßere Funktion mit \mbox{$f(g)= \cos g$} stellt
eine spiegelsymmetrische Funktion dar. Aus obenstehender Tabelle ergibt sich,
dass daher die Gesamtfunktion \mbox{$f(x)= \cos x^3$} spiegelsymmetrisch sein
muss. Im nebenstehenden Diagramm kann man das erkennen.

\subparagraph{Beispiel 4:}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}
   {x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-3.8}{3.8}
   {x 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{-3.5}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.5}{-3}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{-1.5}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.5}{1.5}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1.5}{3}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3}{3.5}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.5}{3.8}
   {x 3 exp 57.3 mul sin}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.6){$y$}
  \uput[90](-2.5,1){$\textcolor{red}{f(x)}$}
  \uput[35](1.2,2){$\textcolor{blue}{g(x)}$}
  \uput[-135](-1.8,-1){$\textcolor{green}{f(g)}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion
\[f(x)= \sin x^3\]

Als letztes Beispiel haben wir hier eine zusammengesetzte Funktion, bei der
sowohl die innere Funktion mit \mbox{$g(x)=x^3$} als auch die äußere Funktion
mit \mbox{$f(g)= \sin g$} punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Aus obenstehender Tabelle ergibt sich, dass daraus folgt, dass auch die
Gesamtfunktion \mbox{$f(x)= \sin x^3$} punktsymmetrisch zum
Koordinatenursprung sein muss. In nebenstehenden Diagramm wird das deutlich.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
Sind die nachfolgenden Funktionen symmetrisch oder nicht? Falls Symmetrie
vorliegt, handelt es sich um Spiegelsymmetrie zur Ordinate ($y$-Achse) oder um
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung?
\subsection{Aufgabe 1:}
\[f(x)=2x^4-3x^2+1\]
\subsection{Aufgabe 2:}
\[f(x)=2x^2-5x+1\]
\subsection{Aufgabe 3:}
\[f(x)=2x^3-6x\]
\subsection{Aufgabe 4:}
\[f(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}\]
\subsection{Aufgabe 5:}
\[f(x)=\cfrac{1}{x}\]
\subsection{Aufgabe 6:}
\[f(x)=\sin x+1\]
\subsection{Aufgabe 7:}
\[f(x)= \cos x+1\]
\subsection{Aufgabe 8:}
\[f(x)= \cfrac{\sin x}{\cos x}\]
\subsection{Aufgabe 9:}
\[f(x)=e^x+e^{-x}\]
\subsection{Aufgabe 10:}
\[f(x)=(x^2-3x+1)^2\]
\subsection{Aufgabe 11:}
\[f(x)=e^{\cos x}\]
\subsection{Aufgabe 12:}
\[f(x)=\cfrac{x^3-x}{x^2+1}\]

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
Sind die nachfolgenden Funktionen symmetrisch oder nicht? Falls Symmetrie
vorliegt, handelt es sich um Spiegelsymmetrie zur Ordinate ($y$-Achse) oder um
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung?
\subsection{Aufgabe 1:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.8)(2.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-0.8)(2.8,2.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-1.3}{1.3}
   {2 x 4 exp mul -3 x 2 exp mul add 1 add 3 exp}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=2x^4-3x^2+1$\\

Hier haben wir die Summe aus drei Potenzen mit gradzahligen Exponenten. Die 1
kann aufgefasst werden als $1 \cdot x^0$. Auch die Null ist eine gerade Zahl.
Die Funktion ist also \textbf{spiegelsymmetrisch} zur Ordinate.\\

\subsection{Aufgabe 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-0.8,-2.8)(3.8,3.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.8}{3.8}
   {2 x 2 exp mul -5 x mul add 1 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=2x^2-5x+1$\\

Auch hier haben wir eine Summe aus drei Potenzen. Diese sind allerdings
teilweise gradzahlig, teilweise auch ungradzahlig. Daher liegt hier
\textbf{keine} Symmerie vor.\\ \\

\subsection{Aufgabe 3:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-4.8)(2.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-4.8)(2.8,4.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.1){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{3.8}
   {2 x 3 exp mul -6 x mul add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=2x^3-6x$\\

Diese Funktion besteht aus einer Summe von zwei Potenzen. Beide haben einen
ungeraden Exponenten. Darum ist diese Funktion \textbf{punktsymmetrisch} zum
Koordinatenursprung.\\ \\

\newpage
\subsection{Aufgabe 4:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=16mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.6)(2.8,1.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-0.6)(2.8,1.6)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,1.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{3.8}
   {x 2 exp x 2 exp 1 add div}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$\\

Diese Funktion stellt einen Bruch dar. Der Zähler ist eine Potenzfunktion mit
geradem Exponent und auch im Nennerpolynom kommen nur gerade Exponenten vor.
Beide sind also spiegelsymmetrisch zur Ordinate. Deshalb ist auch die
Quotientenfunktion \textbf{spiegelsymmetrisch} zur Ordinate. \\

\subsection{Aufgabe 5:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-4.8)(2.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-4.8)(2.8,4.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.1){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{-0.1}
   {1 x div}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0.1}{3.8}
   {1 x div}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=\cfrac{1}{x}$\\

Diese Funktion lässt sich umschreiben in \mbox{$f(x)=x^{-1}$}. Das ist eine
Potenz mit einem ungeraden Exponenten. Also ist die Funktion
\textbf{punktsymmetrisch} zum Koordinatenursprung.
Alternativ kann man in der Funktion auch einen Quotienten mit einer Potenz mit
geradem Exponenten im Zähler und einem ungeraden Exponenten im Nenner sehen.
Auch das führt zur Punktsymmetrie, weil eine spiehelsymmetrische Funktion
durch eine punktsymmetrische Funktion dividiert wird.

\subsection{Aufgabe 6:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-1.6)(4.8,2.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-1.6)(4.8,2.6)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-4.8}{4.8}
   {57.3 x mul sin 1 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=\sin x+1$\\

Die Sinusfunktion ist als Grundfunktion spiegelsymmetrisch zur Ordinate.
Hinzuaddiert wird eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten ($x^0$). Daher
haben wir in der Summenfunktion keinerlei Symmetrie.\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 7:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-1.6)(4.8,2.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-1.6)(4.8,2.6)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-4.8}{4.8}
   {57.3 x mul cos 1 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)= \cos x+1$\\

Die Kosinusfunktion ist eine spiegelsymmetrische Grundfunktion. Hinzuaddiert
wird eine Potenzfunktion, die mit geradem Exponenten ($x^0$) ebenfalls
spiegelsymmetrisch ist. Daher haben ist auch die Summenfunktion
\textbf{spiegelsymmetrisch} zur Ordinate.\\

\subsection{Aufgabe 8:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-3.8)(4.8,3.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-3.8)(4.8,3.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-4.7}{-1.58}
   {57.3 x mul tan}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-1.57}{1.57}
   {57.3 x mul tan}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1.58}{4.7}
   {57.3 x mul tan}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)= \cfrac{\sin x}{\cos x}$\\

Die gegebene Funktion stellt einen Quotienten, also einen Bruch dar. Im Zähler
steht mit der Sinusfunktion eine punktsymmetrische Funtion und im Nenner mit
der Kosinusfunktion eine spiegelsymmetrische Funktion. Nach der
Quotientenregel stellt die Bruchfunktion damit eine zum Koordinatenursprung
\textbf{punktsymmetrische} Funktion dar.\\

\textbf{Anmerkung:} Dem einen oder anderen ist auch dieser Zusammenhang
bekannt:
\[\cfrac{\sin x}{\cos x}= \tan x\]

\subsection{Aufgabe 9:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-3.8)(2.8,11.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=5,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-3.8)(2.8,11.8)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,10.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{2.8}
   {2.71828 x exp 2.71828 x -1 mul exp add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=e^x+e^{-x}$\\

Hier haben wir eine Summe aus zwei Funktionen, die beide \textbf{keine}
Symmetrie haben. An dieser Stelle hilft demnach keine der Regeln weiter.
Daher verwende ich die Definition zum Nachweis. Da ich eine Spiegelsymmetrie
zur Ordinate vermute, bilde ich $f(-x)$ und versuche diese Funktion so
umzuformen, dass ich $f(x)$ erhalte.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&e^x-e^{-x} \\
f(-x)&=&e^{-x}+e^{-(-x)} \\
&=&e^{-x}+e^x \\
&=&e^x+e^{-x}\\
&=&f(x) \\
\end{array}\] \enlargethispage{10mm}
Damit ist der Nachweis erbracht.

\subsection{Aufgabe 10:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.8)(3.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-3.8)(3.8,2.8)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.6){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-0.4}{3.4}
   {x 2 exp -3 x mul add 1 add 2 exp}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=(x^2-3x+1)^2$\\

Die gegebene Funktion stellt sich als eine Funktion von einer Funktion dar.
Daher kommt die Kettenregel zum Einsatz.
Dabei stellt die innere Funktion \mbox{$g(x)=x^2-3x+1$} den Klammerinhalt dar
und die äußere Funktion \mbox{$f(g)=g^2$} das, was mit der Klammer passiert.
Da die innere Funktion ein Polynom mit teils geraden und teils ungeraden
Exponenten ist und damit \textbf{keine} Symmetrie hat, spielt es keine Rolle,
dass die äußere Funktion spiegelsymmetrisch ist. Nach der Kettenregel kann
unabhängig von den Eigenschaften der äußeren Funktion bei der Gesamtfunktion
\textbf{keine} Symmetrie mehr auftreten.

\subsection{Aufgabe 11:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.6)(2.8,3.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-0.6)(2.8,3.6)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{2.8}
   {2.71828 57.3 x mul cos exp}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=e^{\cos x}$\\

Auch bei dieser Funktion kommt die Kettenregel zum Einsatz. Die innere
Funktion ist der Exponent mit \mbox{$g(x)= \cos x$}, die äußere Funktion
\mbox{$f(g)=e^g$}. Die äußere Funktion ist als Grundfunktion ohne jede
Symmetrie bekannt. Auch die innere Funktion ist eine Grundfunktion. Sie ist
spiegelsymmetrisch zur Ordinate. Nach der Kettenregel reicht das aus, damit
auch die Gesamtfunktion \textbf{spiegelsymmetrisch} zur Ordinate ist. Die
fehlende Symmetrie der äußeren Funktion ist dabei ohne Belang.

\subsection{Aufgabe 12:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.6)(2.8,2.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-2.6)(2.8,2.6)
  \uput[-90](2.6,0){$x$}  \uput[180](0,2.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2.8}{2.8}
   {x 3 exp x sub x 2 exp 1 add div}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
$f(x)=\cfrac{x^3-x}{x^2+1}$\\

Diese Funktion stellt einen Bruch, einen Quotienten dar. Daher kommt die
Quotientenregel zur Anwendung. Im Zähler steht ein punktsymmetrisches Polynom,
denn es kommen ausschließlich ungerade Exponenten vor. Die Nennerfunktion ist
ebenfalls ein Polynom. Da dort ausschließlich gerade Exponente auftreten,
haben wir hier Spiegelsymmetrie. Nach der Quotientenregel ist damit die
Gesamtfunktion \textbf{punktsymmetrisch} zum Koordinatenursprung.

\end{document}
%------------------------
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
 \^=                  % "entspricht"
