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\begin{document}

\section*{Stabilisierungsschaltung mit Längstransistor}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.3)(7.3,7)
   \pnode(0,6){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(1,6){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(1,4){D}
   \pnode(3,6){E}
   \pnode(4,4){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(4,0){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(5.5,6){H}
   \pnode(7,6){I}
   \pnode(7,0){J}
   \pnode(4,4.79){K}
   \pnode(4,1.5){L}
   \pnode(4,2.5){M}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth](D)(F){$R_1$}
   \rput{90}(K){\transistor[basesep=5mm,transistorcircle=false,
     transistortype=NPN](K)(H)(E)}
   \Zener[labeloffset=-0.7,directconvention=false,
     intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_Z$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.35,tensionlabel=$U_Z$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth](G)(F){$V_1$}
   \wire(L)(M)
   \wire(A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabelcolor=red,
     intensitylabeloffset=-0.5,intensitywidth=2\pslinewidth,
     intensitylabel=$I_C$](C)(E)
   \wire(C)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabelcolor=red,
     intensitylabeloffset=-0.5,intensitywidth=2\pslinewidth,
     intensitylabel=$I_B$](F)(K)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabelcolor=red,
     intensitylabeloffset=-0.5,intensitywidth=2\pslinewidth,
     intensitylabel=$I_A$](H)(I)
   \wire(B)(J)
   \pscircle(-0.1,6){2pt}
   \pscircle(-0.1,0){2pt}
   \pscircle(7.1,6){2pt}
   \pscircle(7.1,0){2pt}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3,6.2)(5,6.2)
   \uput{0.2}[90](4,6.2){\textcolor{blue}{$U_{CE}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(7.1,5.6)(7.1,0.4)
   \uput{0.2}[180](6.9,3){\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(-0.1,5.5)(-0.1,0.5)
   \uput{0.2}[180](0,3){\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \uput{0.2}[0](4.5,5.3){$V_2$}
 \end{pspicture}
\caption{{\small \emph{Stabilisierung mit Längstransistor}}}
\end{wrapfigure}

Eine Stabilisierung für ein Netzteil entsprechend nebenstehender Schaltung soll
aufgebaut und dimensioniert werden.\\

Bestimmen Sie:\\
1. die erforderliche Z-Dioden-Spannung $U_{Z}$\\
2. den Widerstand $R_{1}$ (aus der E12-Reihe) \\
3. die erforderliche Belastbarkeit von  $V_{1}$\\
4. die erforderliche Belastbarkeit von $R_{1}$\\
5. die erforderliche Belastbarkeit von $V_{2}$\\

Treffen Sie zur Lösung geeignete Annahmen und verwenden Sie geeignete
Näherungen, wo es sinnvoll ist und begründen Sie deren Verwendung.\\

Folgene Daten sind bekannt:
\begin{itemize}
\item Die Eingangsspannung $U_{E}$ liegt zwischen 16 und 20 V.
\item Die Ausgangsspannung $U_{A}$ beträgt 12 V.
\item Der Ausgangsstrom $I_{A}$ bewegt sich zwischen 0 und 2 A.
\item Der Transistor hat eine Stromverstärkung von $B=120$.
\item Der Transistor hat im Arbeitspunkt eine Eingangsspannung von
$U_{BE}=\unit[0{,}7]{V}$
\end{itemize}

\subsection*{Hinweis:}
Die E12-Reihe finden Sie beispielsweise hier:
\ifpdf \url{http://de.wikipedia.org/wiki/E-Reihe}\fi
\newpage
\subsection*{Lösungshinweise:}
Gegen Sie der Reihe nach folgende Fragen durch und versuchen Sie, diese zu
beantworten.
\begin{enumerate}
\item Zunächst müssen Sie bestimmen, wie groß die Nennspannung der Z-Diode sein
  muss. Wenn Sie das nicht überblicken, beantworten Sie folgende Fragen der
  Reihe nach:
\begin{enumerate}
  \item Wie groß ist die Ausgangsspannung $U_A$?
  \item Wie groß ist die Spannung $U_{BE}$ zwischen Basis und Emitter des
        Transistors?
  \item Wie groß muss damit die Spannung $U_Z$ an der Z-Diode sein?
  \end{enumerate}
\item Die beiden Bauelemente $R_1$ und $V_1$ erzeugen nach bekanntem Muster
  eine stabile Spannung. Mit welchem Laststrom muss man für diese
  Spannungsstabilisierung rechnen? Wenn Sie das nicht überblicken, beantworten
  Sie folgende Fragen der Reihe nach:
\item \begin{enumerate}
  \item Wie groß kann der Ausgangsstrom $I_A$ maximal werden?
  \item Wie groß kann damit der Basisstrom $I_B$ maximal werden?
  \item Für welchen \textbf{Laststrom} muss die Spannungsstabilisierung aus
        $R_1$  und $V_1$ ausgelegt werden? (Laststrom bezogen auf die
        Stabilisierung aus $R_1$ und $V_1$)
  \end{enumerate}
\item Welches sind die \textbf{ungünstigsten} Bedingungen für die Berechnung
  des Widerstandes $R_1$ bezogen auf die Eingangsspannung $U_E$ und den
  Laststrom $I_A$? Beachten Sie, dass zur Erhaltung der Stabilität ein von
  Ihnen festzulegender Mindeststrom $I_Z$ in der Z-Diode nicht unterschritten
  werden soll.
\item Legen Sie unter diesen Bedingungen den Widerstand $R_1$ aus der
  E12-Reihe fest.
\item Welches sind die \textbf{ungünstigsten} Bedingungen für die Berechnung
  der Belastbarkeit des Widerstandes $R_1$ bezogen auf die Eingangsspannung
  $U_E$ und den Laststrom $I_A$?
\item Berechnen Sie die Leistung, für die der Widerstand mindestens ausgelegt
  sein muss.
\item Berechnen Sie nach gleichem Muster die notwendige Belastbarkeit der
  Z-Diode.
\item Überlegen Sie nun, unter welchen Bedingungen bezogen auf die
  Eingangsspannung $U_E$ und den Laststrom $I_A$ die größte Belastung
  \textbf{am Transistor} auftritt.
  Dazu ein Tip: In aller Regel ist die Belastung des Transistors gleichzusetzen
  mit der Belastung seiner Kollektor-Emitter-Strecke. Die Leistung, die in der
  Basis-Emitter-Strecke umgesetzt wird, kann meist vernachlässigt werden.
  (Warum?) \\
  Berechnen Sie anschließend die notwendige Belastbarkeit.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{Lösung:}
\subsubsection*{Z-Diodenspannung}
Die Z-Diodenspannung ergibt sich aus der Ausgangsspannung $U_A$ der Schaltung
und der Basis-Emitter-Spannung $B_{BE}$ des Transistors mit Hilfe der
Kirchhoffsche Maschenregel.
\[U_Z=U_A+U_{BE}=\unit[12]{V}+\unit[0{,}7]{V}=\unit[12{,}7]{V}\]

\subsubsection*{Widerstandswert}
Zur \textbf{Bestimmung des Widerstandes} $\mathbf{R_1}$ überlegen wir, welches
der \textbf{ungünstigste Fall} ist. Da der Z-Diodenstrom $I_Z$ einen
bestimmten Mindestwert nicht unterschreiten soll, gehört zum
\textbf{ungüntigsten Fall} alles, wodurch der Z-Diodenstrom $I_Z$
\textbf{besonders klein} wird. Das ist der Fall für:
\begin{itemize}
\item $\mathbf{U_E=U_{Emin}=\unit[16]{V}}$ \quad Bei kleiner Eingangsspannung fällt auch
  weniger Spannung an $R_1$ ab.
\item $\mathbf{I_A=I_{Amax}=\unit[2]{A}}$ \quad Bei großem Ausgangsstrom fließt auch ein
  großer Basisstrom. Dieser Strom wird der Z-Diode "`weggenommen"', es bleibt
  also weniger für den Z-Diodenstrom $I_Z$ übrig.
\end{itemize}
Wir können die Näherung $\mathbf{I_A \approx I_C}$ machen, da der Basisstrom
bei einer Stromverstärkung von $B=120$ vergleichsweise klein ist.
Damit können wir den \textbf{Basisstrom} $\mathbf{I_B}$ berechnen.
\[I_B=\frac{I_C}{B}=\frac{\unit[2]{A}}{120}\approx \unit[16{,}7]{mA}\]

Dieser Basisstrom stellt für die Stabilisierung aus $R_1$ und $V_1$ den
maximalen "`Laststrom"' dar. Nach einer Faustregel sollte der Z-Diodenstrom
$I_Z$ mindestens 10\% davon sein.
\[I_{Zmin}=0,1 \cdot I_{Bmax}=0,1 \cdot \unit[16{,}7]{mA}=\unit[1{,}67]{mA}\]

In $R_1$ fließt die Summe dieser beiden Ströme:
\[I_R=I_B+I_Z=\unit[16{,}7]{mA}+\unit[1{,}67]{mA} \approx \unit[18{,}4]{mA}\]

Zur Berechnung von $R_1$ benötigen wir noch die zugehörige Spannung $U_1$. Die
bekommen wir über die Kirchhoffsche Maschenregel:
\[U_R=U_E-U_Z=\unit[16]{V}-\unit[12{,}7]{V}=\unit[3{,}3]{V}\]

Damit können wir $R_1$ berechnen:
\[R_1=\frac{U_R}{I_R}=\frac{\unit[3{,}3]{V}}{\unit[18{,}4]{mA}}\approx
 \unit[179]{\Omega} \]

Der nächstgelegene Normwert aus der E12-Reihe wäre $\unit[180]{\Omega}$. Wir
haben hier aber einen \textbf{Höchstwert} für $R_1$ bestimmt, wir müssen also
den \textbf{nächst kleineren} Normwert nehmen. Damit erhalten wir:
\begin{center} \fcolorbox{red}{yellow}{$R_1=\unit[150]{\Omega}$} \end{center}

\subsubsection*{Belastbarkeit des Widerstandes}
Um die notwendige Belastbarkeit zu bestimmen, müssen wir erst überlegen unter
welchen \textbf{ungünstigsten Bedingungen} der Widerstand am stärksten belastet
wird.
\begin{itemize}
\item $\mathbf{U_E=U_{Emax}=\unit[20]{V}}$ Bei einer großen Eingangsspannung
  fällt auch eine große Spannung am Widerstand ab.
\item $\mathbf{I_A}$ hat keinen Einfluß auf die Leistung im Widerstand, da sich
  dadurch nicht die Spannung am Widerstand verändert.
\end{itemize}
Die Spannung $U_1$ am Widerstand $R_1$ bekommen wir über die Kirchhoffsche
Maschenregel:
\[U_R=U_E-U_Z=\unit[20]{V}-\unit[12{,}7]{V}=\unit[7{,}3]{V}\]

Kennt man die Spannung an einem Widerstand, dann kann die Leistung sofort
berechnet werden:
\[P_R=\frac{U_1^2}{R_1}=\frac{(\unit[7{,}3]{V})^2}{\unit[150]{\Omega}}
 \approx \unit[355]{mW}\]

\subsubsection*{Belastbarkeit der Z-Diode}
Auch hierfür müssen wir zunächst den \textbf{ungünstigsten Fall} für $U_E$ und
$I_A$ kennen, bevor wir rechnen können.
\begin{itemize}
\item $\mathbf{U_E=U_{Emax}=\unit[20]{V}}$ Bei einer großen Eingangsspannung
  fällt auch eine große Spannung am Widerstand ab. Dadurch fließt auch ein
  besonders großer Strom hindurch. Dieser Strom fließt zumindest teilweise zur
  Z-Diode.
\item $\mathbf{I_A=I_{Amin}=\unit[0]{A}}$ Bei Leerlauf fließt auch kein
  Basisstrom $I_B$. Da dieser Basisstrom über den Widerstand zur Basis fließt,
  muss unter dieser Bedingung der gesamte Strom $I_R$ zur Z-Diode
  weiterfließen. Der Strom $I_Z$ wird also besonders groß.
\end{itemize}
Zunächst bestimmen wir den Strom $I_R$. Die Spannung $U_1$ für
$U_E=U_{Emax}=\unit[20]{V}$ ist ja schon bekannt.
\[I_R=\frac{U_1}{R_1}=\frac{\unit[7{,}3]{V}}{150}\approx \unit[48{,}7]{mA}\]
Bei Leerlauf ist $I_Z=I_R$. Wir können damit die maximale Leistung bestimmen,
die in der Z-Diode auftreten kann.
\[P_Z=U_Z \cdot I_Z=\unit[12{,}7]{V} \cdot \unit[48{,}7]{mA}
 \approx \unit[618]{mW}\]

\newpage
\subsubsection*{Belastbarkeit des Transistors}
Zunächst muss wieder überlegt werden, unter welchen Bedingungen der Transistor
besonders stark belastet wird. Der wesentliche Strom, der den Transistor
belastet, ist der Kollektorstrom $I_C$. Wir müssen also die
Kollektor-Emitter-Strecke (Spannung $U_{CE}$) betrachten. Was ist damit der
\textbf{ungünstigste Fall}?
\begin{itemize}
\item $\mathbf{U_E=U_{Emax}=\unit[20]{V}}$ Je größer die Eingangsspannung $U_E$
  ist, desto größer wird auch die Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE}$, da die
  Ausgangsspannung $U_A$ annähernd konstant ist.
\item $\mathbf{I_A=I_{Amax}=\unit[2]{A}}$ Dieser Strom fließt durch den
  Transistor und erwärmt ihn entsprechend.
\end{itemize}
Durch den Transistor fließen zwei Ströme -- der Kollektorstrom $I_C$ und der
Basisstrom $I_B$. Die Summe dieser Ströme fließt dabei am Emitter aus dem
Transistor hinaus. Dabei ist wegen der Stromverstärkung der Basisstrom
wesentlich kleiner. Die Näherung $\mathbf{I_C \approx I_A}$ ist also möglich.
Zudem ist $I_C$ sogar etwas kleiner als $I_A$. Zwar erwärmt auch der Basisstrom
den Transistor etwas, aber da nicht nur $I_B$ im Vergleich zu $I_C$ sehr klein
ist, sondern auch $U_{BE}$ nur 0,7 Volt beträgt, ist diese Erwärmung
vernachlässigbar klein.\\

Zunächst berechnen wir $U_{CE}$ mit Hilfe der Kirchhoffschen Maschenregel.
\[U_{CE}=U_E-U_A=\unit[20]{V}-\unit[12]{V}=\unit[8]{V}\]

Damit kann die Verlustleistung $P_{V2}$ des Transistors über die
Leistungsformel berechnet werden:
\[P_{V2}=I_C \cdot U_{CE}\approx I_A \cdot U_{CE}=\unit[2]{A} \cdot \unit[8]{V}
 =\unit[16]{W}\]

\end{document}

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