\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
%\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
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%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Quadratic funktions}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\enlargethispage{15mm}
\tableofcontents

\newpage
%\section{Vorwort}
\section{Preface}
%Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
%Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
%diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
%beschriebenen "`Generationenvertrages"':
To create instructions like this it takes a lot of time and effort.
Nevertheless, I provide this to the community free of charge. If you find this
script helpful, I request you to fulfill the inter-generation contract,
describes as below:

\begin{quote}
%\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf
%stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form
%an die nachfolgende Generation weiter}.
\emph{When you some time later will have finished your education and
you have started your career (or later), please transmit your
knowledge in a fitting way to the following generation}.
\end{quote}

%Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
%kleine Email an die folgende Adresse:
If you want to make me happy, please send a small email to the following
address: \includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

%Vielen Dank!
Many thanks!
\newpage

%\section{Zusammenstellung der Grundlagen}
\section{Compilation of fundamental facts}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=7.8mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[135](4,3){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,-1){2.5pt}
   \uput[-45](2,-1){\textcolor{red}{V}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

%Nebenstehend ist eine typische Quadratische Funktion dargestellt. Das Beispiel
%stellt diese Funktion dar:
On the right you will find a diagramm of a typical quadratic funktion. The
example represents this function:
\[f(x)=x^2-4x+3\]
%Diese Kurvenform nennt man \textbf{Parabel}.
This curve shape is called \textbf{parabola}.
%Der tiefste Punkt\footnote{Wenn die Parabel nach unten geöffnet
%ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt.} der Parabel heißt
%\textbf{\emph{Scheitelpunkt}} der Parabel.
The lowest point\footnote{If the parabola is opened downwards, the vertex is
the highest point.} is called \textbf{vertex of the parabola}.
%Er wird meist mit dem Buchstaben $\mathbf S$ bezeichnet.\\
This point is usually indicated with the letter $\mathbf{V}$.\\

%Eine Quadratische Funktion ist jede Funktion, die sich in der Normalform
%schreiben lässt:
A quadratic function is any function, that fits in the normal form:
\begin{center}
\textbf{normal form:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^2+bx+c$}
\end{center}

%Um zu untersuchen, welche Auswirkungen der Parameter $a$ auf den
%Funktionsgraphen hat, sind nebenstehend 8 Funktionen mit unterschiedlichem
%Parameter $a$ dargestellt. Bei allen ist \mbox{$b=0$} und \mbox{$c=0$}. Die
%Funktionsgleichungen lauten:\\
In order to analyse, what kind of effect the parameter $a$ has to the shape of
the parabola, you can see below 8 different functions with a different
value of the parameter $a$. In all functions is \mbox{$b=0$} and \mbox{$c=0$}.
The functional equations are:\\

\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul 2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul 0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{x x mul -0.2 mul}
   \uput[-45](2,1){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[40](2,2){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-60](2,4.2){\textcolor{red}{$f_3$}}
   \uput[130](1.5,4){\textcolor{red}{$f_4$}}
   \uput[45](3,-2){\textcolor{blue}{$f_5$}}
   \uput[-40](2.2,-2){\textcolor{blue}{$f_6$}}
   \uput[60](2,-4.2){\textcolor{blue}{$f_7$}}
   \uput[-130](1.5,-4){\textcolor{blue}{$f_8$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

$f_1(x)=0{,}2x^2$\\
$f_2(x)=0{,}5x^2$\\
$f_3(x)=1x^2$\\
$f_4(x)=2x^2$\\
$f_5(x)=-0{,}2x^2$\\
$f_6(x)=-0{,}5x^2$\\
$f_7(x)=-1x^2$\\
$f_8(x)=-2x^2$\\

%Man kann gut erkennen, dass alle Parabeln eine unterschiedliche Form haben.
%Der Parameter \textbf{\emph{a}} wird deshalb \textbf{Formfaktor} genannt, weil
%er die Form der Parabel bestimmt. Ist \textbf{\emph{a}} groß, ist die Parabel
%schmal, ist \textbf{\emph{a}} negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.\\
It is easy to see, that all parabolas have a different shape.
As the parameter \textbf{\emph{a}} is determining the shape of the parabola, it
is called \textbf{factor of shape}. If the absolute value of \textbf{\emph{a}}
is \textbf{large} ($f_3$, $f_4$, $f_7$, $f_8$), the parabola is
\textbf{narrow}, if \textbf{\emph{a}} is \textbf{negative} ($f_5$ to $f_8$),
the parabola is \textbf{opened downwards}. \\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.8}{4.8}{x x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=magenta!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 1 add}
   \uput[-60](2,4.2){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[135](2.8,2){\textcolor{green}{$f_2$}}
   \uput[-60](1,-3){\textcolor{magenta}{$f_3$}}
   \uput[-60](4,-2){\textcolor{cyan}{$f_4$}}
   \uput[-60](4.2,3){\textcolor{blue}{$f_5$}}
   \uput[-90](-1.5,-2.2){\textcolor{orange}{$f_6$}}
   \uput[-130](-3,-2){\textcolor{blue}{$f_7$}}
   \uput[60](-3,1){\textcolor{green}{$f_8$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Um zu zeigen, dass tatsächlich nur der Parameter \textbf{\emph{a}} für die
%Form der Parabel zuständig ist, sind nebenstehend diverse Funktionen
%dargestellt. Für alle ist \mbox{$a=1$}, jedoch haben $b$ und $c$ jeweils
%unterschiedliche Werte. Die Funktionsgleichungen lauten:\\
To demonstrate, that only parameter \textbf{\emph{a}} is responsible for the
shape of the parabola, you see right 8 differert quadratic functions. All
have parameter \mbox{$a=1$}, but different values for parameter $b$ and $c$.
The functional equations are:\\
$f_1(x)=x^2$\\
$f_2(x)=x^2-2x$\\
$f_3(x)=x^2-2x-2$\\
$f_4(x)=x^2-4x-2$\\
$f_5(x)=x^2-4x+2$\\
$f_6(x)=x^2+3x$\\
$f_7(x)=x^2+3x-2$\\
$f_8(x)=x^2+3x+1$\\

%Trotz allem "`Gewusel"' kann man aber doch gut erkennen, dass alle Parabeln die
%gleiche Form haben. Nur die Lage ist jeweils unterschiedlich.\\
Although you see a lot of confused lines, you can recognize, that all parabolas
have the same shape. Only their positions are different.\\

%Kümmern wir uns als nächstes um den Parameter \textbf{\emph{c}}. Hierfür
%können wir ganz gut die selben hier dargestellten Funktionsgraphen der
%Funktionen $f_1$ bis $f_8$ verwenden.\\
Next we want to explore the impact of parameter \textbf{\emph{c}}. We can use
the same functions $f_1$ to $f_8$ shown before for this purpose.\\

%Betrachten wir dazu zunächst die Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_6$. Bei allen
%drei Funktionen ist \mbox{$c=0$}. Als Gemeinsamkeit der drei Funktionsgraphen
%sollte auffallen, dass sie alle durch den Koordinatenursprung verlaufen. Hier
%ist \mbox{$y=0$}.\\
Let us look first to the functions $f_1$, $f_2$ and $f_6$. In all of them is
\mbox{$c=0$}. You should notice, that all parabolas pass through the coordinate
origin. Here is \mbox{$y=0$}.\\

%Auch die Funktionen $f_3$, $f_4$ und $f_7$ haben alle den selben Parameter
%$c$, nämlich \mbox{$c=-2$}. Alle zugehörigen Funktionsgraphen schneiden die
%$y$-Achse an der selben Stelle, bei \mbox{$y=-2$}.\\
Also the functions $f_3$, $f_4$ and $f_7$ have the same value for parameter
$c$, namely \mbox{$c=-2$}. All associated parabulas are hitting the $y$-axis at
the same value, namely at \mbox{$y=-2$}.\\

%Offensichtlich gibt der Parameter $\mathbf{c}$ den \textbf{Abschnitt auf der
%$\mathbf{y}$-Achse} an.\\
Obviously the parameter \textbf{\emph{c}} gives us the value for the
\textbf{\emph{y}-intercept}.\\

%Wir können das noch mit $f_5$ und $f_8$ überprüfen. Bei  $f_5$ ist
%\mbox{$c=2$}, die $y$-Achse wird bei \mbox{$y=2$} geschnitten. Bei der
%Funktion $f_8$ ist \mbox{$c=1$}, die $y$-Achse wird bei \mbox{$y=1$}
%geschnitten. Es ist also richtig:
We can verify this finding with $f_5$ und $f_8$. In $f_5$ is \mbox{$c=2$}, the
$y$-axis is hitted at \mbox{$y=2$}. In $f_8$ is \mbox{$c=1$}, the $y$-axis is
hitted at \mbox{$y=1$}. Obviously it is truth:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{
%Der Parameter $\mathbf{c}$ gibt den \textbf{Abschnitt auf der
%$\mathbf{y}$-Achse} an.
Parameter \textbf{\emph{c}} indicates the \textbf{\emph{y}-intercept}.
}\end{center}

%\underline{Anmerkung:}
\underline{Note:}
%Natürlich kann man das auch "`richtig"' beweisen. Wenn
%man den Funktionswert von \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} für \mbox{$x=0$} berechnet,
%dann ist \mbox{$a \cdot 0^2=0$} und \mbox{$b \cdot 0=0$}. Es bleibt also nur
%$c$ übrig.\\
Of course ist is possible to prove this result "correctly". When you
calculate the value of the function \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} with \mbox{$x=0$},
you get \mbox{$a \cdot 0^2=0$} and \mbox{$b \cdot 0=0$}. Then only the value of
$c$ is remaining.\\


%Leider ist die Rolle des Parameters $b$ nicht ganz so offensichtlich, wie die
%von $a$ und $c$. Daher wird hierauf erst später eingegangen.
Unfortunately the meaning of parameter $b$ is not as evident as parameter $a$
or $c$. Therefore I want to inspect this later in this script.

\newpage
%\subsection{Nullstellen}
\subsection{Zero of a function}
%Unter der \textbf{Nullstelle} einer Funktion versteht man die Stelle (den
%$x$-Wert, genannt $x_0$), an der der Funktionswert (der $y$-Wert) Null wird.
%Um mögliche Nullstellen zu bestimmen, wird der Funktionsterm gleich Null
%gesetzt. Am anfangs vorgestellten Beispiel \mbox{$f(x)=x^2-4x+3$} möchte ich
%die Vorgehensweise darstellen. Man benötigt dazu die
%$p$-$q$-Formel.\footnote{Einzelheiten zur $p$-$q$-Formel siehe hier:
%\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
\textbf{Zero} of a function is called the value $x_0$, that causes the value 0
of the function (the value $y=0$). To find possible zeros of a function, we
have to set the formula term to 0. I want to show the procedure with the
example \mbox{$f(x)=x^2-4x+3$} from the beginning. We need the
$p$-$q$-formula\footnote{For details of the $p$-$q$-formula look here:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
as a tool to solve the equation.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^2-4x_0+3&=&0 &| \textnormal{ use $p$-$q$-formula}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\cfrac{-4}{2} \right)^2-3}\\
&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm 1 \\
x_{01}=1 && x_{02}=3 \\
\end{array}\]
%\textbf{Ergebnis:} Die Nullstellen liegen bei $x_{01}=1$ und $x_{02}=3$.\\
%Man kann das auch so ausdrücken: Die $x$-Achse wird bei $x_{01}=1$ und
%$x_{02}=3$ geschnitten.
\textbf{Result:}
Zeros of the function are $x_{01}=1$ and $x_{02}=3$.\\
You can express this result also in an other way:
The parabel cross the $x$-axis at $x_{01}=1$ and $x_{02}=3$.

\ifpdf \hypertarget{K22}{}\fi
%\subsection{Scheitelpunkt}
\subsection{Vertexes}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-1.8,-2.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{2 x x mul mul 8 x mul sub 6 add}
   \pscircle*[linecolor=red](2,-2){2.5pt}
   \uput[-45](2,-2){\textcolor{red}{V}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Was ist ein \textbf{Scheitelpunkt} bei einer Quadratischen Funktion?\\
What is a \textbf{vertex of a parabula}?\\

%Die Definition lautet wie bereits erwähnt: \emph{Der \textbf{Scheitelpunkt}
%einer Quadratischen Funktion ist der tiefste bzw. der höchste Punkt der
%zugehörigen Parabel.}\\
The definition is as told before: \emph{The \textbf{vertex} of a parabula is
its lowest or its highest point.}\\

%Nebenstehend ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
Opposite you find the graph of this function:
\[f(x)=2x^2-8x+6\]
%dargestellt. Der Scheitelpunkt $S$ ist eingetragen.
The vertex is marked with an $V$.
%Da die Parabel nach
%\textbf{oben} geöffnet ist, gibt es nur einen \textbf{tiefsten} Punkt, nach
%oben gibt es keinerlei Begrenzung. Deswegen ist hier der Scheitelpunkt der
%tiefste Punkt.\\
As the parabula is opened upwards, we only find a \textbf{lowest} point. There
is no upward limit. Therefore is the vertex the lowest point.\\

%Schauen wir uns den Funktionsgraphen einmal näher an. Man erkennt, dass
%der Scheitelpunkt wegen der Symmetrie der Parabel genau in der Mitte zwischen
%den Nullstellen liegt. Aus dieser Tatsache lässt sich eine Formel zur einfachen
%Scheitelpunktbestimmung herleiten. Bestimmen wir dazu zunächst bei diesem
%Beispiel die Nullstellen.
Let us look to the details of the function graph. You see the vertex by reason
of the symmetrie of the parabula exactly in the centre between the zeros.
Because of this fact we can deduce a formula for finding the vertex. Let us
first calculate the zeros of this example.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
2x_0^2-8x_0+6&=&0 &|:2 \\
x_0^2-4x_0+3&=&0 \\
p&=&-4 \\
q&=&3 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm \sqrt{2^2-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm 1 \\
\end{array}\]

%Ohne, dass man die beiden Nullstellen konkret ausrechnen muss, kann man an
%dieser Formel sofort erkennen, dass die Nullstellen symmetrisch zu \emph{$x=2$}
%liegen, die eine 1 darüber und die andere 1 darunter. Das bedeutet im
%Umkehrschluss, dass die Zahl \textbf{vor} dem Zeichen $\pm$ den $x$-Wert des
%Scheitelpunktes $x_S$ darstellen muss. Sie liegt ja in der Mitte zwischen den
%Nullstellen.\\
Without calculating the values in detail we can see by this formula, that the
zeros are positioned symmetric to \emph{$x=2$}, one 1 below and one 1 above.
That means, that the number \textbf{before} the sign $\pm$ must be the
$x$-value $x_V$ of the vertex. The vertex is positioned as we know in the
center between the zeros.\\


%\underline{Ergebnis:} \fcolorbox{red}{white}{$x_S=2$} \\
\underline{Result:} \fcolorbox{red}{white}{$x_V=2$} \\

%Diese Erkenntnis möchte ich jetzt ausnutzen, um allgemein eine einfache Formel
%zur Bestimmung des $x$-Wertes $x_S$ des Scheitelpunktes $S(x_S|y_S)$ einer
%Quadratischen Funktion herzuleiten.\\
I want to use this realization, to deduce a simple formula, that shows us the
$x$-value of the vertex $V(x_V|y_V)$ of a quadratic function.\\


%Ich gehe dazu von der Normalform aus und bestimme zunächst die Nullstellen.
I start with the normal form and calculate the zeros.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^2+bx+c &| \textnormal{ set the formula term to 0}\\
0&=&ax^2+bx+c  &|:a \\
0&=&x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a} &| \textnormal{ use $p$-$q$-formula}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
x_{01}&=&-\cfrac{b}{2a}+\sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
x_{02}&=&-\cfrac{b}{2a}-\sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
\end{array}\]
%Ich bilde den Mittelwert, um den $x$-Wert $x_S$ des Scheitelpunktes zu
%erhalten.
I calculate the mean value, to get the $x$-value $x_V$ of the vertex.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&\cfrac{x_{01}+x_{02}}{2}\\
x_V&=&\cfrac{\left(-\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\right)
 +\left( -\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\right)}
 {2}\\
&=&\cfrac{-2 \cdot \frac{b}{2a}}{2}\\
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
\end{array}\]

%\textbf{Ergebnis:}
%Wenn die Funktionsgleichung in der Normalform
\textbf{Result:}
If the equation of the function is given in  the normal form
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^2+bx+c$}\end{center}
%bekannt ist, dann kann die $x$-Koordinate $\mathbf{x_S}$ des Scheitelpunktes
%mit Hilfe dieser Formel bestimmt werden:
we get the $x$-value $\mathbf{x_V}$ of the vertex by using this formula:

\begin{center}
%\textbf{Scheitelpunktformel:}\\
\textbf{vertex formula:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_V=-\cfrac{b}{2a}$}
\end{center}
%Kommen wir zu unserem Beispiel zurück.
Let us go back to our example.
\[f(x)=2x^2-8x+6\]
%Wir bestimmen $x_S$ mit der oben hergeleiteten Formel:
We calculate $x_V$ by using the formula, we just have deduced:
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-8}{2 \cdot 2}\\
x_V&=&2 \\
\end{array}\]

%Der zugehörige $y$-Wert $y_S$ kann dadurch bestimmt werden, dass der gefundene
%Wert für $x_S$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird. In unserem Beispiel
%sieht das so aus:
The corresponding $y$-value $y_V$ can be calculated by putting $x_V$ into the
function formula. Our example looks like that:
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&2x_V^2-8x_V+6 \\
&=&2 \cdot 2^2-8 \cdot 2+6 \\
y_V&=&-2 \\
\end{array}\]
%Der Scheitelpunkt in unserem Beispiel ist damit:
We got the vertex of our example like this:
\fcolorbox{red}{white}{$V(2|-2)$}\\

\newpage
%\subsection{Scheitelpunktform}
\subsection{vertex form}
%Die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion kann nicht nur in der
%Normalform, sondern auch in der Scheitelpunktform angegeben werden. Zur
%Erinnerung -- die Normalform lautet:
The functional equation of a quadratic function can not only be written in
\textbf{normal form}, possible ist also the so called \textbf{vertex form}. We
remember the normal form:

\[f(x)=ax^2+bx+c\]

%Gibt man die Funktionsgleichung in der \textbf{Scheitelpunktform} an, dann
%sieht das so aus:
When we write the functional equation in \textbf{vertex form}, it will look
like this:
\begin{center}
%\textbf{Scheitelpunktform:}\\
\textbf{vertex form:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=a \cdot (x-x_V)^2+y_V$}
\end{center}
%Hierin sind $\mathbf{x_S}$ und $\mathbf{y_S}$ die Koordinaten des
%Scheitelpunktes $S(x_S|y_S)$ und $\mathbf{a}$ der bereits aus der Normalform
%bekannte Formfaktor. \\
In this formula are $\mathbf{x_V}$ and $\mathbf{y_V}$ the coordinates of the
vertex $V(x_V|y_V)$, parameter \textbf{\emph{a}} is the same, that we know from
the normal form as \textbf{factor of shape}.\\

%Diese Formel möchte ich an dieser Stelle nicht herleiten. Das wäre recht
%einfach mit der nachfolgenden Formel für eine Verschiebung.
%Verschiebt man den Graphen einer beliebige Funktion $f(x)$ (nicht nur einer
%Quadratischen Funktion) um den Wert $x_v$ nach rechts und $y_v$ nach oben, so
%hat die verschobene Funktion $f_v(x)$ die Funktionsgleichung:
At this point I do not want to deduce this formula. It would be possible very
easy by using the following formula for shifting a function graph. If we want
to shift a function graph of a arbitrary function (not only a quadratic
function) by the value $x_s$ to the right and $y_s$ upwards, we get the
functional equation of the shifted function $f_s(x)$ by using this formula:
\begin{center}
%\textbf{Verschobene Funktion:} \\
\ifpdf \hypertarget{verschiebeformel}{}\fi
\textbf{Shifted funktion:} \\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_s(x)=f(x-x_s)+y_s$}
\end{center}
%Auch zu dieser Formel möchte ich mir den Beweis an dieser Stelle
%ersparen.\footnote{Die Einzelheiten zum Verschieben eines Funktionsgraphen habe
%ich hier beschrieben:\\
I also do not want to prove this formula at this point.\footnote{I wrote down
details of shifting function graphs here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/transfo.pdf}\fi}
\\

%\underline{Wichtig:}
%Die Scheitelpunktform bietet gegenüber der Normalform zwei Vorteile.
\underline{Important:}
The vertex form provides two benefits compared to the normal form.
\begin{enumerate}
\item
%  Ist die Funktionsgleichung einer Quadratischen
%  Funktion in der Scheitelpunktform angegeben, dann kann man sofort die
%  \textbf{Koordinaten des Scheitelpunktes darin ablesen}.
  If the functional equation of a quadratic function is given in vertex form,
  we immediate can read in it the \textbf{coordinates of the vertex}.
\item
%  Sucht man die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion und kennt
%  man den Formfaktor und die Koordinaten des Scheitelpunktes, dass kann die
%  Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform \textbf{ohne weitere Rechnung}
%  direkt angegeben werden.
  When we have to find out the functional equation of a quadratic function, and
  we know the factor of shape \emph{a} and the coordinates of the vertex, we
  immediately can write down the functional equation.
\end{enumerate}

\newpage
%\subsection{Schnittpunktbestimmung}
\subsection{Determining crossing points}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-7.8)(4.8,1.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.8,-7.8)(4.8,1.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,1.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{0}{5.8}
{x x mul 6 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.8}{3.5}
{2 x mul x x mul sub 3 sub}
   \uput[-135](2,-5){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[45](2,-3){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](1,-2){2.5pt}
   \uput[150](1,-2){$C_1$}
   \pscircle*[linecolor=black](3,-6){2.5pt}
   \uput[-135](3,-6){$C_2$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Auch Parabeln von Quadratischen Funktionen können Schnittpunkte miteinander
%haben. Nebenstehend sind die beiden Funktionsgraphen von
Also parabulas can have crossing points with each other. Opposite you see the
function graphs of these functions:
\[f_1(x)=x^2-6x+3 \quad \textnormal{and}\quad f_2(x)=-x^2+2x-3\]
%dargestellt.\\

%In diesem Fall gibt es zwei Schnittpunkte, $S_1$ und $S_2$. Es ist aber auch
%möglich, dass die beiden Parabeln so liegen, dass sie sich garnicht treffen.
%Läge beispielsweise der Funktionsgraph von $f_1$ um 5 Einheiten höher, dann
%liefen die beiden Funktionsgraphen aneinander vorbei, es gäbe keine
%Schnittpunkte. Möglich ist es auch, dass die Funktionsgraphen sich
%"`streifen"', also nur in einem einzigen Punkt gerade noch berühren.\\
In this case we have \textbf{two crossing points}, $C_1$ and $C_2$. It is also
possible, that the parabolas have a position, that they do not hit each other.
For example we imagin, that the function graph of $f_1$ would have a position 5
units higher. In this case the function graphs would run past \textbf{without
any hit}. It is also possible, that the function graphs just touch each other
with only \textbf{one common point}.\\


%Wie bei Linearen Funktionen auch können die Schnittpunkte durch
%Gleichsetzen der Funktionsterme berechnet werden. Das möchte ich an den
%gegebenen Beispiel einmal vorrechnen.
As we did it with linear functions\footnote{See also here:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lin.pdf} \fi}
we can find out crossing points by equating
the formula terms. I want to show, how it can be done by using this example.

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_V)&=&f_2(x_V) \\
x_V^2-6x_V+3&=&-x_V^2+2x_V-3 &|+x_V^2-2x_V+3 \\
2x_V^2-8x_V+6&=&0 &|:2 \\
x_V^2-4x_V+3&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-formula}\\
x_{C1/2}&=&-\cfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2} \right)^2-3}\\
&=&2 \pm \sqrt{2^2-3}\\
&=&2 \pm 1 \\
x_{C1}=2-1=1 && x_{C2}=2+1=3 \\
\end{array}\]

%Die zugehörigen $y$-Werte erhält man durch Einsetzen der gefundene $x$-Werte
%in eine (beliebige) der beiden Funktionsgleichungen. Willkürlich wähle ich
%hier $f_1$.
We get the corresponding $y$-values by putting the $x$-values into any desired
functional equation, $f_1$ or $f_2$. My arbitrary choice is $f_1$.
\[y_{C1}=f_1(x_{C1})=x_{C1}^2-6x_{C1}+3=1^2-6 \cdot 1+3=-2\]
\[y_{C2}=f_1(x_{C2})=x_{C2}^2-6x_{C2}+3=3^2-6 \cdot 3+3=-6\]

%Damit erhalten wir die beiden Schnittpunkte:
We have got these both crossing points:
\fcolorbox{red}{yellow}{$C_1(1|-2)$} and
\fcolorbox{red}{yellow}{$C_2(3|-6)$}

\newpage %----------------------------------------
\section{Examples}
\subsection{Example 1}
%Eine Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(-1|12)$ und eine Nullstelle
%bei \mbox{$x_0=-3$}. Wie lautet die zugehörige Funktionsgleichung in
%\textbf{Normalform}?
A quadratic function has the vertex $V(-1|12)$ and a zero at \mbox{$x_0=-3$}.
What is the functional equation?

\paragraph{Solution:}
%Weil ein Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich zum Aufstellen zunächst die
%Scheitelpunktform der Funktionsgleichung an.
As we know the vertex, we should use the vertex form as a method of resolution.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_V)^2+y_V \\
&=&a \cdot \bigl(x-(-1) \bigr)^2+12 \\
f(x)&=&a \cdot (x+1)^2+12 \\
\end{array}\]

%Jetzt fehlt nur noch der Parameter $a$. Zur Berechnung von $a$ können wir die
%Angabe zur Nullstelle benutzen. An einer Nullstelle ist immer der $y$-Wert
%Null. Wenn wir also den Funktionswert an der Nullstelle berechnen, erhalten wir
%den Wert Null.
Now only the parameter \textbf{\emph{a}} is missing. For the calculation we can
use the known zero \mbox{$x_0=-3$}. If we calculate the value of the function
at \mbox{$x_0=-3$}, we will get the value 0.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
a \cdot (x_0+1)^2+12&=&0 \\
a \cdot (-3+1)^2+12&=&0 \\
a \cdot (-2)^2+12&=&0 \\
4a+12&=&0 &|-12 \\
4a&=&-12 &|:4 \\
a&=&-3 \\
\end{array}\]

%Mit diesem Wert kann nun die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform angegeben
%werden.
Using this value we can show the funtional equation in vertex form.
\[f(x)=-3 \cdot (x+1)^2+12\]
%Jetzt muss die Scheitelpunktform nur noch in die Normalform umgeformt werden.
%Dazu wird die Klammer mit der ersten Binomischen
%Formel\footnote{Einzelheiten zum den Binomischen Formeln siehe hier:\\
Now we have to transform the vertex form into the normal form. For that we
transform the term in the brackets by using the first binomial
formula.\footnote{For details of the first binomial formula look here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/binom.pdf}\fi}
%umgeformt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-3 \cdot (x+1)^2+12 \\
&=&-3 \cdot (x^2+2x+1)+12 \\
&=&-3x^2-6x-3+12 \\
f(x)&=&-3x^2-6x+9
\end{array}\]
%Die gesuchte Funktion lautet:
We get the searched funktion:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-3x^2-6x+9$}

\newpage
\subsection{Example 2}
%Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(3|9)$ und $P_2(4|19)$. Sie
%schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Wo liegt ihr Scheitelpunkt?
A parabula passes through the points $P_1(3|9)$ and $P_2(4|19)$. She hits the
$y$-axis at \mbox{$y_0=3$}. Where do we find her vertex?

\paragraph{Solution:}
%Eine Parabel ist eine Quadratische Funktion. Wir können von der Normalform
%ausgehen:
A parabula is a quadratic function. So we can start with the normal form of a
quadratic function:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
%Da der $y$-Achsenabschnitt mit \mbox{$y_0=3$} bekannt ist, kennen wir auch
%schon den Parameter $c$.
As the $y$-axis intercept is known as \mbox{$y_0=3$}, we also know the
parameter $c$.
\[c=y_0=3\]

%Damit lässt sich die Funktionsgleichung schon wie folgt konkretisieren:
With this information we can concrete our functional equation:
\[f(x)=ax^2+bx+3\]

%Wir können die Koordinaten der bekannten Punkte in die Funktionsgleichung
%einsetzen:
Now we can put the coordinates of the known points into the functional
equation:
\[\begin{array}{llcrcll}
P_1(3|9): & f(3)=9 &\Rightarrow& a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=& 9 \\
P_2(4|19): & f(4)=19 &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+3&=& 19 \\
\end{array}\]

%Die beiden Gleichungen werden zunächst vereinfacht:
At first we simplify the two equations:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=& 9 \\
(2)& a \cdot 4^2+b \cdot 4+3&=& 19 \\
\hline
(1)& 9a+3b+3&=&9  &|-3 \\
(2)& 16a+4b+3&=&19 &|-3 \\
\hline
(1)& 9a+3b&=&6 \\
(2)& 16a+4b&=&16 \\
\end{array}\]
%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden.\footnote{Einzelheiten zu Lösungsverfahren von Lineargleichungssystemen
%siehe hier:\\
This system of equations can be solved with any desired method.\footnote{See
for details of methods to solve a system of equations here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
%Willkürlich verwende ich das \textbf{Einsetzungsverfahren}. Dazu löse ich
%Gleichung (1) nach $b$ auf und setze das Ergebnis in (2) ein.
Arbitrary I choose the method of insertion. I dissolve equation (1) to $b$ and
insert the result into equation (2).

\[\begin{array}{rcll}
9a+3b&=&6 &|-9a \\
3b&=&6-9a &|:3 \\
b&=&2-3a \\
\end{array}\]

%Einsetzen in (2):
Insertion in (2):
\[\begin{array}{rcll}
16a+4b&=&16 \\
16a+4 \cdot (2-3a)&=&16 \\
16a+8-12a&=&16 &|-8 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

%Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt, um $b$ zu
%erhalten.
We insert this result into the converted equation (1) to get $b$.
\[b=2-3a=2-3 \cdot 2=2-6=-4\]

%Mit diesen Ergebnissen kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
With theese results we can concrete the functional equation:
\[f(x)=2x^2-4x+3\]

%Jetzt muss nur noch der Scheitelpunkt berechnet werden. Die Scheitelpunktformel
%hilft dabei.
Now we have to calculate the coordinates of the vertex. The vertex formula will
help us, to get them.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{-4}{2 \cdot 2}\\
x_V&=&1 \\
\end{array}\]

%Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
The corresponding $y$-value $y_V$ we get from the functional equation.
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&2x_V^2-4x_V+3 \\
&=&2 \cdot 1^2-4 \cdot 1+3 \\
&=&2-4+3 \\
y_V&=&1 \\
\end{array}\]

%Der gesuchte Scheitelpunkt lautet:
The vertex we looked for is:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V(1|1)$}

\newpage
\subsection{Example 3}
%Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=-1$} verläuft durch die Punkte
%$P_1(1|4)$ und $P_2(4|1)$. Berechnen Sie ihren Scheitelpunkt.
A parabula with the shape factor \mbox{$a=-1$} runs through the points
$P_1(1|4)$ and $P_2(4|1)$. Calculate the vertex!

\paragraph{Solution:}
%Die \textbf{Normalform} der Funktionsgleichung lautet:
The normal form of the functional equation is:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
%Da der Formfaktor mit \mbox{$a=-1$} bekannt ist, lautet die Funktionsgleichung:
As the shape factor is nown as \mbox{$a=-1$}, we can concrete the functional
equation:
\[f(x)=-x^2+bx+c\]

%Die Koordinaten beider Punkte können eingesetzt werden.
The coordinates of both points can be inserted.
\[\begin{array}{llcrcll}
P_1(1|4): & f(1)=4 &\Rightarrow& -1^2+b \cdot 1+c&=& 4 \\
P_2(4|1): & f(4)=1 &\Rightarrow& -4^2+b \cdot 4+c&=& 1 \\
\end{array}\]

%Die beiden Gleichungen werden zunächst vereinfacht:
At first we simplify the two equations:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& -1^2+b \cdot 1+c&=&4 \\
(2)& -4^2+b \cdot 4+c&=&1 \\
\hline
(1)&-1+b+c&=&4 &|+1 \\
(2)&-16+4b+c&=&1 &|+16 \\
\hline
(1)&b+c&=&5 \\
(2)&4b+c&=&17 \\
\end{array}\]
%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden.\footnote{Einzelheiten zu Lösungsverfahren von Lineargleichungssystemen
%siehe hier:\\
This system of equations can be solved with any desired method.\footnote{See
for details of methods to solve a system of equations here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
%Weil hier die Koeffizienten (die Vorzahlen) von $c$ übereinstimmen, bietet sich
%das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Wenn man Gleichung (1) von (2)
%subtrahiert, fällt $c$ sofort weg.
As both equations have the same coefficient of $c$ (it is 1), the method of
subtraction should be beneficial, $c$ immediately will disappear.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&b&+c&=&5 &|- \\
(2)&4b&+c&=&17&| \\
\hline
&3b&&=&12 &|:3 \\
&b&&=&4 \\
\end{array}\]

%Zur Bestimmung des Parameters $c$ wird dieses Ergebnis in eine der beiden
%Gleichungen eingesetzt. Weil mir Gleichung (1) einfacher erscheint, nehme ich
%diese.
To get the value of $c$ we put this solution into equation (1) or (2). Because
equation (1) seems simpler to me, I use this one.
\[\begin{array}{rcll}
b+c&=&5 \\
4+c&=&5 &|-4 \\
c&=&1 \\
\end{array}\]

%Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
With theese solutions we can present the functional equation:
\[f(x)=-x^2+4x+1\]

%Jetzt muss nur noch der Scheitelpunkt berechnet werden. Die Scheitelpunktformel
%hilft dabei.
Now we have to calculate the coordinates of the vertex. The vertex formula will
help us, to get them.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{4}{2 \cdot (-1)}\\
x_V&=&2 \\
\end{array}\]

%Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
The corresponding $y$-value $y_V$ we get from the functional equation.
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&-x_V^2+4x_V+1 \\
&=&-2^2+4 \cdot 2+1 \\
&=&-4+8+1 \\
y_V&=&5 \\
\end{array}\]

%Der gesuchte Scheitelpunkt lautet:
The vertex we looked for is:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V(2|5)$}


\newpage
\subsection{Example 4}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.1)(9.8,11)
  \psline(-1.8,0)(9.8,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-0.5,0.5)(-0.5,1.2)  % Der
  \psline[linecolor=red](-0.7,0)(-0.5,1)(-0.3,0)            % Feuer-
  \psline[linecolor=red](-1,1)(-0.5,1.25)(0,1)              % wehr-
  \pscircle[linecolor=red](-0.5,1.4){1.5pt}                 % mann
  \psline*[linecolor=lightgray](8,0)(8,9)(10,11)(10,0)(8,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{8}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add 1 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Ein Feuerwehrmann will mit dem Wasserstrahl aus seiner Löschspritze ein Gebäude
%löschen, das 8 Meter entfernt von ihm steht. Der Wasserstrahl trifft auf ein
%Fenster in 7,40 Meter Höhe. Der Feuerwehrmann hält die Löschspritze einen Meter
%über dem Boden fest. In einer waagerecht gemessenen Entfernung von 5 Metern vom
%Feuerwehrmann hat der Bogen des Wasserstrahls seine größte Höhe. Wie hoch kommt
%der Wasserstrahl dort? Der Wasserstrahl hat die Form einer Parabel.\\
A firefighter wants to extinguish a fire in a building
with the water jet comming out of his hose. The building has
a distance of 8 meter to him. The water jet hits a window, 7,40
meter above the ground. The firefighter has the nozzle of the hose one meter
above the ground in his hands. In a horizontal ditance of 5 meter the water jet
has its maximum height. What is the value of the maximum height? The water jet
has the shape of a parabula.\\

\paragraph{Solution:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.8)(9.8,11.8)
  \psline(-1.8,0)(9.8,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-0.5,0.5)(-0.5,1.2)  % Der
  \psline[linecolor=red](-0.7,0)(-0.5,1)(-0.3,0)            % Feuer-
  \psline[linecolor=red](-1,1)(-0.5,1.25)(0,1)              % wehr-
  \pscircle[linecolor=red](-0.5,1.4){1.5pt}                 % mann
  \psline*[linecolor=lightgray](8,0)(8,9)(10,11)(10,0)(8,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{8}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add 1 add}
%-----
  \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.8,-0.8)(9.8,11.8)
  \uput[-90](9.2,0){$x$}  \uput[180](0,11.2){$y$}
  \pscircle*[linecolor=blue](0,1){2.5pt} \uput[-10](0,1){\textcolor{blue}{$N$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](5,11){2.5pt} \uput[-70](5,11){\textcolor{blue}{$V$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](8,7.4){2.5pt}
  \uput[-150](8,7.4){\textcolor{blue}{$W$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Zur Lösung legt man zunächst sinnvollerweise ein geeignetes Koordinatensystem
%in die Planskkizze. Hier gibt es natürlich nicht nur eine einzige Möglichkeit.
%Hat man es aber festgelegt, dann orientiert sich die Funktionsgleichung
%natürlich an diesem Koordinatensystem.\\
To solve this problem it is useful to place a coordinate system into the sketch
plan. There are of course several positions to place it. But when we have
decided a position, the functional equation will depend on this coordinate
system.\\

%Ich lege mein Koordinatensystem mit der $x$-Achse auf den Erdboden und der
%$y$-Achse durch die Austrittsöffnung der Löschspritze bei $L$. Außerdem benenne
%ich den Scheitelpunkt des Wasserstrahls mit $S$ und den Eintrittspunkt des
%Wasserstrahles ins Fenster mit $F$.\\
In my example of solution I place the $x$-axis to the bottom of the earth. The
$y$-axis I place through the nozzle of the hose in the firefighters hand. The
point of the nozzle I mark with the letter $N$. The point, where the water jet
hits the window, I mark with the letter $W$. $V$ is the vertex.\\

%Für die weitere Rechnung werden alle Maße in der Einheit \emph{Meter}
%angegeben. Dann kann man sie der Einfachheit halber in der Rechnung weglassen.
%Mit den angegebenen Daten können die Punkte mit ihren Koordinaten in dieser
%Form angegeben werden:
For all furter calculations I use the unit \emph{meter} for all dimensions. So
it is possible to omit all dimensions during the calculations.
Using the known data we can write down all points in this way:
\[N(0|1) \qquad W(8|7{,}4) \qquad V(5|y_V)\]
%Hierbei ist der Parameter $y_S$ gesucht.\\
We have to find out the value of parameter $y_V$.\\

%Da der Wasserstrahl die Form einer \textbf{Parabel} hat, stellt die zugehörige
%Funktion eine Quadratische Funktion dar. Daher gibt es für die Lösung zwei
%unterschiedliche mögliche Ansätze:
As the water jet has the shape of a \textbf{parabula}, the corrseponding
function is a quadratic function. Therefore we get thwo different concepts for
the solution:
\begin{enumerate}
%\item Die Scheitelpunktform
%\item Die Normalform
\item Vertex form
\item Normal form
\end{enumerate}

\newpage
%\subparagraph{Lösungsvariante 1:}
\subparagraph{Variant 1 of solution:}
%Beginnen wir mit der \textbf{Scheitelpunktform} der Quadratischen Funktion.
Let us start with the \textbf{vertex form} of the quadratic function.
\[f(x)=a \cdot (x-x_V)^2+y_V\]
%Der bereits bekannte Wert \mbox{$x_S=5$} kann eingesetzt werden.
The already known value \mbox{$x_V=5$} will be insertet.
\[f(x)=a \cdot (x-5)^2+y_V\]
%In diese Funktionsgleichung werden nun die Parameter der beiden Punkte $L(0|1)$
%und $F(8|7{,}4)$ eingesetzt.
Now we can insert the parameters of the known points $L(0|1)$ and $F(8|7{,}4)$
into the functional equation.

\[\begin{array}{rlcrcll}
L(0|1): & f(0)=1 &\Rightarrow& a \cdot (0-5)^2+y_V&=&1 \\
F(8|7{,}4): & f(8)=7{,}4 &\Rightarrow& a \cdot (8-5)^2+y_V&=&7{,}4 \\
\end{array}\]

%Die beiden Gleichungen -- ich nennen sie Gleichung (1) und (2) -- werden nun
%vereinfacht.
Both equations -- I name them equation (1) and (2) -- will now be simplified.
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a \cdot (0-5)^2+y_V&=&1 \\
(2)&a \cdot (8-5)^2+y_V&=&7{,}4 \\
\hline
(1)&a \cdot 5^2+y_V&=&1 \\
(2)&a \cdot 3^2+y_V&=&7{,}4 \\
\hline
(1)&25a+y_V&=&1 \\
(2)&9a+y_V&=&7{,}4 \\
\end{array}\]

%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden. Das \textbf{Subtraktionsverfahren}\footnote{Einzelheiten zum
%Additions-/Subtraktionsverfahren siehe hier:\\
This system of equations can be solved with any desired method.
As both equations have the same coefficient of $c$ (it is 1), the method of
subtraction\footnote{See for details of method of subtraction here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}
%bietet sich an, denn wenn man Gleichung (2) von Gleichung (1) subtrahiert,
%fällt sofort $y_S$ weg, weil die Koeffizienten von $y_S$ (die Vorzahlen) gleich
%sind. (Beide sind 1, weshalb man sie auch weglassen darf.)
should be beneficial. $y_V$ immediately will disappear, if equation (2) is
subtracted from equation (1), as in both equations its coefficient is equal.

\[\begin{array}{crrcll}
(1)&25a&+y_V&=&1 &| \\
(2)&9a&+y_V&=&7{,}4 &|- \\
\hline
&16a&&=&-6{,}4 &|:16 \\
&a&&=&-0{,}4 \\
\end{array}\]

%Zur Bestimmung von $y_S$ wird der gefundene Wert für den Parameter $a$ in eine
%der beiden Gleichungen eingesetzt. Ich wähle willkürlich dafür Gleichung (1).
To get the value of $y_V$ we insert this value \mbox{$a=-0{,}4$} into equation
(1) or (2). I have choosen equation (1).
\[\begin{array}{rcll}
25a+y_V&=&1 \\
25 \cdot (-0{,}4)+y_V&=&1 \\
-10+y_V&=&1 &|+10 \\
y_V&=&11 \\
\end{array}\]

\newpage
%\subparagraph{Lösungsvariante 2:}
\subparagraph{Variant 2 of solution:}
%Führen wir nur die Lösung mit der \textbf{Normalform} der Quadratischen
%Funktion durch.
Now we use the \textbf{normal form} to solve the problem.
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
%Im Gegensatz zur Lösungsvariante 1 gibt es hier nicht nur zwei ($a$ und $y_S$)
%sondern \textbf{drei} Parameter ($a$, $b$ und $c$), die bestimmt werden müssen,
%um die Funktionsgleichung zu erhalten.\\
In this variant of solution we have do get not only two parameters ($a$ and
$y_V$), we need \textbf{tree} of them ($a$, $b$ and $c$) to get the functional
equation.\\

%Zunächst können -- ähnlich, wie bei Lösungsvariante 1 -- die Koordinaten der
%beiden Punkte $L(0|1)$ und $F(8|7{,}4)$ in die Normalform eingesetzt werden.
At first we can -- similar to variant of solution 1 -- insert the coordinates
of the points $L(0|1)$ and $F(8|7{,}4)$ into the normal form.
\[\begin{array}{rlcrcll}
L(0|1): & f(0)=1 &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&1 \\
F(8|7{,}4): & f(8)=7{,}4 &\Rightarrow& a \cdot 8^2+b \cdot 8+c&=&7{,}4 \\
\end{array}\]
%Zunächst vereinfacht man die beiden Gleichungen.
Now we simplify both equations.
\[\begin{array}{crclcl}
(1)& 0a+0b+c&=&1 &\Rightarrow& c=1\\
(2)& 64a+8b+c&=&7{,}4 \\
\end{array}\]
%Aus Gleichung (1) haben wir sofort den Parameter \mbox{$c=1$} erhalten.
We got immediately parameter \mbox{$c=1$} out of equation (1).
%Den können wir in Gleichung (2) einsetzen und diese weiter zusammenfassen.
This value we can insert into equation (2). Afterwards we simplify the
equation.
\[\begin{array}{crcll}
(2)&64a+8b+c&=&7{,}4 \\
(2)&64a+8b+1&=&7{,}4 &|-1 \\
(2)&64a+8b&=&6{,}4 \\
\end{array}\]
%Wir haben noch nicht ausgenutzt, dass der $x$-Wert des Scheitelpunktes mit
%\mbox{$x_S=5$} bekannt ist. Er kann in die Scheitelpunktformel eingesetzt
%werden.
We did not use the fact, that we know the $x$-value of the vertex with
\mbox{$x_V=5$}. This value can be inserted into the vertex formula.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
5&=&-\cfrac{b}{2a}
\end{array}\]
%Diese Gleichung kann leicht nach $b$ umgestellt werden, damit das Ergebnis in
%die umgestellte Gleichung 2 eingesetzt werden kann. Man spricht dann vom
%\textbf{Einsetzungsverfahren}.\footnote{Einzelheiten zum
%Einsetzungsverfahren siehe hier:\\
It is simple to rearrange this equation to $b$. We insert the result into the
tranformed equation (2). This work is called \textbf{method of
insertion}.\footnote{For details of the method of insertion look here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}
\[\begin{array}{rcll}
5&=&-\cfrac{b}{2a} &| \cdot (-2a) \\
-10a&=&b \\
\end{array}\]

%In (2) einsetzen:
Insert into equation (2):
\[\begin{array}{rcll}
64a+8b&=&6{,}4 \\
64a+8 \cdot (-10a)&=&6{,}4 \\
64a-80a&=&6{,}4 \\
-16a&=&6{,}4 &|:(-16) \\
a&=&-0{,}4 \\
\end{array}\]
%Das Ergebnis wird in die umgeformte Scheitelpunktformel eingesetzt.
We insert this result into the tranformed vertex formula.
\[\begin{array}{rcll}
b&=&-10a \\
&=&-10 \cdot (-0{,}4) \\
b&=&4 \\
\end{array}\]

%Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
With this result we can write down the functional equation.
\[f(x)=-0{,}4x^2+4x+1\]

%Setzt man für $x$ den Wert \mbox{$x_S=5$} ein, erhält man den $y$-Wert des
%Scheitelpunktes $S(x_S|y_S$).
We insert the known value \mbox{$x_V=5$} as $x$ in the functional equation to
get the $y$-value \mbox{$y_V$} of the vertex.
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&-0{,}4x_V^2+4x_V+1 \\
&=&-0{,}4 \cdot 5^2+4 \cdot 5+1 \\
&=&-10+20+1 \\
y_V&=&11 \\
\end{array}\]

%Vergleicht man beide Lösungswege, dann fällt vermutlich auf, dass der erste
%etwas kürzer ist. Aber unabhängig vom Lösungsweg kommt man zum selben Ergebnis:
%\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Der Wasserstrahl kommt bis auf 11 Meter
%hoch.}\end{center}
Comparing both methods of solution we probably notice, that the first variant
of solution is a little bit shorter. In any case we get the result:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{The water jet reaches a maximum height of
11 meter.}\end{center}

\newpage
\subsection{Example 5}
%Ein Kind springt auf die Straße. Ein Autofahrer, der mit der innerorts
%erlaubten Geschwindigkeit von $\unit[50]{\frac{km}{h}}$ fährt, kann gerade noch
%unmittelbar vor dem Kind anhalten. Mit welcher Geschwindigkeit würde er das
%Kind anfahren, wenn er unzulässigerweise "ein bischen" zu schnell, nämlich
%mit $\unit[70]{\frac{km}{h}}$ gefahren wäre?
A child is suddenly running in the street. A car driver, that drives with the
allowed speed in built-up aereas of $\unit[50]{\frac{km}{h}}$, just in time can
stop in front of the child. What would bee the speed by hitting the child, if
he is "a little bit" too fast with a speed of $\unit[70]{\frac{km}{h}}$?

\paragraph{Solution:}
%Hier brauchen wir zunächst ein paar physikalische Grundlagen. Der in der Zeit
%$t$ zurückgelegte Weg $s$ eines bremsenden Fahrzeuges stellt eine Quadratische
%Funktion dar. Sie lautet:
At first we need some basical principles. The way $s$, that a car moves in the
time $t$ while braking, is a quadratic function. Here it is:
\[s(t)=-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+v_0 \cdot t\]

%\underline{Achtung!} Der Parameter $a$ in dieser Formel ist nicht identisch mit
%dem Parameter $a$ aus der Normalform der Quadratischen Funktion.
%Hier ist $a$ die Bremsverzögerung und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des
%Fahrzeuges. Dabei verringert sich die Geschwindigkeit nach der Linearen
%Funktion:
\underline{Attention!} Parameter $a$ in this formula is not identical with
parameter $a$ in the normal form of the quadratic function. In this context $a$
is the value of the brake retardation and $v_0$ is the start value of the
speed of the car. The speed lowers as a linear function:
\[v(t)=v_0-a \cdot t\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1.4)(10.8,11)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{0}{5}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{5}{10}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add}
  \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.4,-0.8)(10.8,11)
  \uput[-90](10.2,0){$t$}  \uput[180](0,10.2){$s$}
  \pscircle*[linecolor=blue](5,10){2.5pt} \uput[-70](5,10){\textcolor{blue}{$V$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Nebenstehend ist der Verlauf der Weg-Zeit-Funktion des Bremsvorgangs
%dargestellt. Am Koordinatenursprung beim Zeitpunkt \mbox{$t=0$} beginnt der
%Bremsvorgang.
On the right you see the course of the way-time-function of the braking
process. In the coordinate origin at the time \mbox{$t=0$} the braking process
is starting.
%Das Fahrzeug bewegt sich zunächst weiter vorwärts. Der steile
%Kurvenverlauf ganz links kurz nach dem Beginn des Bremsvorgangs lässt
%auf eine hohe Geschwindigkeit schließen. Dann wird die Kurve immer flacher, das
%Fahrzeug wird langsamer. Im Scheitelpunkt $S$ kommt das Fahrzeug zum Stehen.
%Weil hier der Bremsvorgang endet, endet hier auch der Definitionsbereich der
%Quadratischen Funktion für den Bremsvorgang.
The vehicle at first is movong forwards. The steep curve progression at the
beginning on the left implifys a high speed. The curve progression changes more
and more to flat, the speed decreases. At the vertex marked with $C$ the vehicle
stops. As the brake process is ending at this point, the definition aerea of
the quadratic function ends here.
%Würde weiterhin eine Kraft wie die
%Bremskraft am Fahrzeug nach hinten ziehen, dann würde sich das Fahrzeug
%rückwärts beschleunigen und dem gestrichelten Kurvenverlauf folgen. Da das aber
%nicht passiert, ist der Kurvenverlauf hier nur gestrichelt eingezeichnet.\\
If a force like the braking force would pull furthermore the car backwards, the
car would be ascelerated backwards, as the dashed part of the function graph
shows. As this does not happen, the graph ist plotted dashed.\\

%Man kann unter normalen Bedingungen von einer Bremsverzögerung von
%etwa \mbox{$\unit[4]{\frac{m}{s^2}}$} ausgehen.\\
Under normal conditions we can calculate with a brake retardation of
appproximate \mbox{$\unit[4]{\frac{m}{s^2}}$}.\\

%Zum bequemen Rechnen möchte ich die Einheiten weglassen. Da alle Zeiten in
%Sekunden und alle Wege im Metern angegeben werden sollen, müssten die
%Geschwindigkeiten eigentlich in Meter pro Sekunde umgerechnet werden. Man kann
%das aber auch in die Formeln hineinnehmen. Da
To get a more comfortable calculation I want to omit the units. As all times
should be given in seconds and all distances in meters, we have to use the unit
"meters per second" for all speeds. It in not necessary to transform the
units, when we remember:
\mbox{$\unit[1]{\frac{m}{s}}=\unit[3{,}6]{\frac{km}{h}}$}
%sind, muss nur der
%Faktor 3,6 in die Formeln eingebaut werden. Damit erhalten wir die
%nachfolgenden Formen der Formeln. Zunächst die Weg-Zeit-Funktion:
We only have to place the factor 3,6 into our formulas. We will get the
following forms of the formulas. We begin with the way-time-function:
\[s(t)=-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t\]

%Und hier die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion:
And tis is the speed-time-function:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{v(t)}{3{,}6}&=&\cfrac{v_0}{3{,}6}-a \cdot t &| \cdot 3{,}6 \\
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot a \cdot t \\
\end{array}\]

%Zur Erinnerung: Verwendet man diese Form der Formeln, dann wird $s$ in Metern,
%$t$ in Sekunden, $a$ in $\unit[]{\frac{m}{s^2}}$ und $v$ in
%$\unit[]{\frac{km}{h}}$ eingesetzt.\\
We remember: When we use this form of the formulas, we put $s$ in meters, $t$
in seconds, $a$ in $\unit[]{\frac{m}{s^2}}$ and $v$ in $\unit[]{\frac{km}{h}}$
into the formulas.\\

%Hiermit ergibt sich folgender Lösungsweg:
So we get this method of solution:
\begin{enumerate}
\item
%  Man berechnet für die erlaubte Geschwindigkeit die Zeit bis zum
%  Stillstand des Fahrzeuges, indem man den $t_S$-Wert ($x_S$-Wert) des
%  Scheitelpunktes der Quadratischen Weg-Zeit-Funktion mit Hilfe der
%  Scheitelpunktformel berechnet.
We calculate the time until the car stops for the maximum allowed speed by
calculating the $t_S$-value ($x_S$-value) of the vertex with the use of the
vertex formula.
\item
% Mit dieser Zeit kann der Bremsweg als $s_S$-Wert ($y_S$-Wert) der
%  Quadratische Weg-Zeit-Funktion ermittelt werden.
By using this time as $t$-value ($x$-value) we can calculate the braking
distance $s_S$ ($y_S$) with the way-time-function of the maximum allowed speed.
\item
%  Mit diesem errechneten Bremsweg wir die Zeit ausgerechnet, nach der das
%  zu schnelle Fahrzeug auf das Kind trifft.
Now we take this braking distance $s_S$ and the way-time-function of the fast
speed to calculate the time $t_c$ up to the crash.
\item
%  Mit dieser Zeit und der schnelleren Anfangsgeschwindigkeit kann über die
%  Lineare Geschwindigkeits-Zeit-Funktion die Geschwindigkeit berechnet werden,
%  mit der das Kind angefahren wird.
By the use of this time in the speed-time-function we can calculate the speed,
with that the car will hit the child.
\end{enumerate}

%Zunächst setzen wir den angenommenen Wert der Bremsverzögerung von
At first we put the suggested value of the  brake retardation with
\mbox{$\unit[4]{\frac{m}{s^2}}$}
%in die Formeln ein und vereinfachen diese.
into the formulas and simplify them.
\[\begin{array}{rcll}
s(t)&=&-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
s(t)&=&-\cfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
s(t)&=&-2 \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot a \cdot t \\
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot 4 \cdot t \\
v(t)&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
\end{array}\]

%Dann wird die Zeit für die Bremsung bei erlaubter Geschwindigkeit berechnet.
Now we calculate the brake time with the allowed speed.
%Das ist der $t$-Wert $t_S$ des Scheitelpunktes.
This time is the $t$-value $t_S$ of the vertex.
\[\begin{array}{rcll}
t_S&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{\frac{50}{3{,}6}}{2 \cdot (-2)} \\
t_S&=&3{,}472 \\
\end{array}\]

%Nach 3,472 Sekunden kommt das Fahrzeug zu Stehen. Der Bremsweg $s_S$ wird
%berechnet.
After a time of 3,472 seconds the car stops. We calculate the braking distance
$s_S$.
\[\begin{array}{rcll}
s_S&=&-2 \cdot t_S^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t_S \\
&=&-2 \cdot (3{,}472)^2+\cfrac{50}{3{,}6} \cdot 3{,}472 \\
s_S&=&24{,}11 \\
\end{array}\]
%Der Bremsweg bei den erlaubten $\unit[50]{\frac{km}{h}}$ beträgt
When driving with the allowed speed of $\unit[50]{\frac{km}{h}}$ the braking
distance is
$\unit[24{,}11]{m}$.\\

%Jetzt wird berechnet, wie lange es bei einer Anfangsgeschwindigkeit von
%$\unit[70]{\frac{km}{h}}$ dauert, bis $\unit[24{,}11]{m}$ zurückgelegt sind.
%Die dabei entstehende Quadratische Gleichung wird mit der
%$p$-$q$-Formel\footnote{Einzelheiten zur
%$p$-$q$-Formel siehe hier:
%\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
%gelöst.
Now we calculate the time while breaking at the initial speed of
$\unit[70]{\frac{km}{h}}$, until the car covers the distance of
$\unit[24{,}11]{m}$. The quadratic equation, that occures during solution, we
can solve with the $p$-$q$-formula\footnote{For details of the $p$-$q$-formula
look here:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}.

\[\begin{array}{rcll}
s&=&-2 \cdot t^2+\frac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
24{,}11&=&-2 \cdot t^2+\frac{70}{3{,}6} \cdot t
   &|+2 \cdot t^2-\frac{70}{3{,}6}\\
2 \cdot t^2-\frac{70}{3{,}6} \cdot t+24{,}11&=&0 &|:2 \\
t^2-9{,}72 \cdot t+12{,}055&=&0 \\
t_{1/2}&=&-\frac{-9{,}72}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-9{,}72}{2} \right)^2
 -12{,}055}\\
t_{1/2}&=&4{,}86 \pm 3{,}40 \\
t_1=1{,}46 && t_2=8{,}26 \\
\end{array}\]

%Jetzt stellt sich vermutlich die Frage, wieso wir denn zwei Ergebnisse erhalten
%haben. Der Grund ist folgender:\\
Now probably the question appears, why we have got \textbf{two} solutions.
The reason is as following:\\

%Wie bereits weiter vorne erwähnt, bedeutet
%"`Bremsen"' für das Fahrzeug eine Kraft, die es nach hinten zieht.
As in the previous text already described, the meaning of "braking" is a force,
that pulls on the car backwards.
%Dadurch wird es langsamer, bis zum Stillstand.
Hereby the car slows down, until it stops.
%Würde jetzt immer noch eine
%Kraft wirken, die nach hinten zieht, dann würde das Fahrzeug rückwärts
%beschleunigt und irgendwann wieder an der Wegmarke bei 24,11\,m
%vorbeikommen.
If now still a force would work pulling from behind, the car would be
ascelerated backwards and would cross some time later the milestone at
24,11\,m.
%Deswegen verliert die Formel zum Zeitpunkt des Stillstandes ihre Gültigkeit,
%die größere Zeit liegt \textbf{außerhalb} des Gültigkeitsbereiches der
%Formel. Deshalb müssen wir mit der kleineren Zeit von
%\mbox{$t_1=\unit[1{,}46]{s}$} rechnen.\\
Therefore the formula looses its validity at the point of stopping, all greater
times are \textbf{beyond} the validity of the formula. Therefore we have to
calculate with the smaller time \mbox{$t_1=\unit[1{,}46]{s}$}.\\

\[\begin{array}{rcll}
v&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
&=&70-14{,}4 \cdot 1{,}46 \\
v&=&48{,}98 \\
\end{array}\]

%Das Kind wird demnach mit einer Geschwindigkeit von
%$\unit[48{,}98]{\frac{km}{h}}$. Das ist ungefähr die erlaubte Geschwindigkeit.
%Ein "`bischen"' schneller hat also sehr gravierende Folgen für das Kind.\\
The child would be hit with a speed of $\unit[48{,}98]{\frac{km}{h}}$. This is
rounabout the allowed speed. So a "little bit" faster has very severe
consequences for the child.\\

%\paragraph{Nachtrag:}
%Was wäre gewesen, wenn wir mit der größeren Zeit von
%\mbox{$t_2=\unit[8{,}26]{s}$} gerechnet hätten? Probieren wir es aus.
\paragraph{Appendix:}
What would have happened, if we had calculated with the greater time
\mbox{$t_2=\unit[8{,}26]{s}$}? We just try it out.

\[\begin{array}{rcll}
v&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
&=&70-14{,}4 \cdot 8{,}26 \\
v&=&-48{,}94 \\
\end{array}\]

%Das ist (von Rundungsfehlern abgesehen) der gleiche Betrag, wie bei der
%kleineren Zeit, nur mit negativem Vorzeichen. Mit dieser Geschwindigkeit käme
%das Fahrzeug also \textbf{rückwärts} wieder an der Wegmarke bei 24,11\,m
%vorbei, wenn die rückwärtsgerichtete bremsende Kraft auch nach dem Stillstand
%weiter wirken würde. Aber das tut sie bekanntlich ja nicht.
The result is (apart from rounding errors) almost the same as calculating with
the smaller time, only the algebraic sign is negative. With this speed the car
would cross \textbf{backwards} the milestone at 24,11\,m, if the backwards
directed braking force would still work after the stop. But we know, it does
\textbf{not} work afterwards.

\newpage
\section{Exercises}
\subsection{Exercise 1:}
%Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem Formfaktor 1 an, deren
%Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!
Specify a quadratic function $f(x)$ with the shape factor 1 and a vertex
$S(4|-7)$!

\subsection{Exercise 2:}
%Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
%an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
%Einheiten nach unten verschoben ist!
You have got the function \mbox{$f_1(x)=2x^2-4x+3$}. Specify the function
$f_2(x)$, that is shifted comparing to $f_1(x)$ 3 units to the right and 2
units downwards!

\subsection{Exercise 3:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
%schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung $f(x)$?
The quadratic function $f(x)$ has the vertex $V(4|1)$. The functional graph
hits the $y$-axis at $y_0=-7$. Calculate the functional equation $f(x)$.

\subsection{Exercise 4:}
%Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
%Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!
Calculate the vertex, the zeros and the range of values of the quadratic
function: \[f(x)=3x^2-12x+15\]

\subsection{Exercise 5:}
%Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
%Quadratischen Funktion \mbox{$f(x)=-16x^2-16x+5$}!
Find out the vertex, the zeros and the range of values of the quadratic
function: \[f(x)=-16x^2-16x+5\]

\subsection{Exercise 6:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!
Find out the crossing points of the parabula of the function
\mbox{$f_1(x)=4x^2-9x+1$} with the straight line of the function
\mbox{$f_2(x)=3x+17$}!

\subsection{Exercise 7:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!
Find out the crossing points of the parabula of the function
\mbox{$f_1(x)=9x^2+12x-4$} with the straight line of the function
\mbox{$f_2(x)=-12x+5$}!

\subsection{Exercise 8:}
%Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
%Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
%Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?
You have the quadratic function \mbox{$f(x)=-2x^2+5x-3$}. Specify the vertex
and find out inverse function $f^{-1}(x)$. What is the the definition range  of
this inverse function?

\subsection{Exercise 9:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
%Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.
Find out the crossing points between the parabulas with the functional
equations $f_1(x)=4x^2+3x-8$ and $f_2(x)=7x^2+9x+7$.

\subsection{Exercise 10:}
%Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
%durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
$P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$

\subsection{Exercise 11:}
%Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
%Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
%Tangente berührt.
Find out the functional equation of the linear function $f_1(x)$, whose
straight line touches the parabula with the functional equation
\mbox{$f_1(x)=x^2-4x+4$} at $x_b=4$ as a tangent.

\subsection{Exercise 12:}
%Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
%verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
%$f(x)$!
A parabula has the vertex $V(3|2)$ and runs through the point $P(5|10)$. Find
out its funktional equation $f(x)$!

\subsection{Exercise 13:}
%Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Quadratischen Funktion
%(soweit vorhanden):
Calculate the zeros and the vertex of the quadratic function (as far they
exist):
\[f(x)=-16x^2+24x-25\]

\subsection{Exercise 14:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(4|3)$} und
%verläuft durch den Punkt \mbox{$P(6|11)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
%von $f(x)$!
The quadratic function $f(x)$ has the vertex \mbox{$S(4|3)$} and runs through
the point \mbox{$P(6|11)$}. Find out the functional equation of $f(c)$!

\subsection{Exercise 15:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ verläuft durch die drei Punkte
%\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} und \mbox{$P_3(2|7)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung an!
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} and \mbox{$P_3(2|7)$}

\subsection{Exercise 16:}
%Eine verschobene Normalparabel (Formfaktor $a=1$) verläuft durch die Punkte
%\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. Geben Sie die Funktionsgleichung
%$f(x)$ an!
A shifted normal parabula (factor of shape $a=1$) runs through the points
\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. What is the associated functional
equation $f(x)$?

\subsection{Exercise 17:}
%Eine Parabel (Quadratische Funktion) verläuft durch die drei Punkte
%\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} und \mbox{$P_3(2|0)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f(x)$ an!
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} and \mbox{$P_3(2|0)$}

\subsection{Exercise 18:}
%Eine Parabel (Quadratische Funktion) hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(-2|0)$}
%und verläuft durch den Punkt \mbox{$P(-1|-2)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f(x)$ an!
A parabula (quadratic function) has the vertex \mbox{$S(-2|0)$} and runs
through the point \mbox{$P(-1|-2)$}. Specify the functional equation $f(x)$!

\subsection{Exercise 19:}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} so nach \textbf{oben}, dass die neue
%Parabel durch den Punkt $P(2|3)$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
%Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!
Take the parabula of the function \mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} and
shift her so far \textbf{upwards}, that she will hit the point $P(2|3)$. What
ist the functional equation $f_2(x)$ of the new function?

\subsection{Exercise 20:}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so nach \textbf{links}, dass die neue
%Parabel durch den Punkt $P(0|\frac{7}{2})$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
%Funktionsgleichung $f_2(x)$ an! (Geben Sie \textbf{alle} Lösungen an!)
You should shift the parabula of the quadratic equation
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so far to the \textbf{left}, that the new
parabula hits the point $P(0|\frac{7}{2})$. Specify the corresponding
functional equation $f_2(x)$. Show \textbf{all} possible solutions!

\subsection{Exercise 21:}
%Wie ist die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} zu verändern, damit bei \textbf{gleichem
%Scheitelpunkt} der Punkt $P(3|-6)$ zur neuen Parabel gehört. Geben Sie die
%zugehörige Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!
How has the parabula with the functional equation
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} to be changed, that the point $P(3|-6)$
belongs to the new parabula? The new parabula should have the \textbf{same
vertex} als the old one. Secify the functional equation $f_2(x)$ of the new
parabula!

\subsection{Exercise 22:}
%Die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)$ schneidet die Gerade mit der
%Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=x-2$} bei \mbox{$x_1=-4$} und \mbox{$x_2=1$}.
%Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=2$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f_1(x)$ an!
The parabula of the quadratic function $f_1(x)$ crosses the straight line of
the function \mbox{$f_2(x)=x-2$} at \mbox{$x_1=-4$} and \mbox{$x_2=1$}. The
parabula crosses the $y$-axis at $y_0=2$. Specify the functional equation
$f_1(x)$!

\subsection{Exercise 23:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte -- falls vorhanden -- der beiden Parabeln mit
%den Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} und
%\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.
Calculate the crossing points -- if they exist -- of the two parabulas with
the functional equations \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} and
\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.

\subsection{Exercise 24:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(3.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(3.8,6.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{3.8}
{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
   \pscircle*[linecolor=red](1,-1){2.5pt}
   \uput[-20](1,-1){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,1){2.5pt}
   \uput[135](2,1){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=2$} verläuft durch die Punkte
%\mbox{$P_1(1|-1)$} und \mbox{$P_2(2|1)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
A parabula with the shape factor \mbox{$a=2$} runs through the points
\mbox{$P_1(1|-1)$} and \mbox{$P_2(2|1)$}. Specify the functional equation
$f(x)$!\\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Exercise 25:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.2cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.8)(3.8,8.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-1.8)(3.8,8.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,8.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.8}{3.8}
{-1 x x mul mul 4 x mul add 3 add}
   \pscircle*[linecolor=red](2,7){2.5pt}
   \uput[-120](2,7){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,6){2.5pt}
   \uput[45](3,6){\textcolor{red}{$P_2$}}
   \pscircle*[linecolor=red](0,3){2.5pt}
   \uput[180](0,3){\textcolor{red}{$y_0$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Eine Parabel verläuft durch die Punkte \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$}
%und schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Bestimmen Sie die
%Funktionsgleichung
A parabula crosses the points \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$} and cuts
the $y$-axis at \mbox{$y_0=3$}. Find out the functional equation
$f(x)$!\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Exercise 26:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.2cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=0.6mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-19)(7.8,79)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=10]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-19)(7.8,79)
  \uput[-90](7.5,0){$x$}  \uput[180](0,74){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.5}
{3 x x mul mul 4 sub}
   \uput[-30](5,70){\textcolor{blue}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.5}{7.8}
{3 x x mul mul 30 x mul sub 65 add}
   \uput[30](1,38){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,2){2.5pt}
   \uput[45](3,2){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](6,-7){2.5pt}
   \uput[-30](6,-7){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$}
%so, dass sie durch die Punkte \mbox{$P_1(3|2)$} und \mbox{$P_2(6|-7)$}
%verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)$} der so
%entstandenen Funktion.\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
Shift the parabula with the functional equation \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$} in a
way, that the new parabula crosses the points \mbox{$P_1(3|2)$} und
\mbox{$P_2(6|-7)$}. Specify the functional equation \mbox{$f_2(x)$}, that
occured by this shifting.\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Exercise 27:}
%Eine Quadratische Funktion hat den Formfaktor \mbox{$a=-1$} und den
%Scheitelpunkt $S(2|3)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
%und in Normalform an!
A quadratic function has the shape factor \mbox{$a=-1$} and the vertex
$V(2|3)$. Specify the functional equation $f(x)$ in \textbf{vertex form and in
normal form}!

\subsection{Exercise 28:}
%Der Funktionsgraph einer Quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt $S(3|-1)$
%verläuft durch den Punkt $P(1|7)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in
%Scheitelpunktform und in Normalform an!
The functional graph of a quadratic function has the vertex $V(3|-1)$ and runs
through the point $P(1|7)$. Specify the functional equation $f(x)$ in
\textbf{vertex form and in normal form}!

%\newpage
\subsection{Exercise 29:}
%Gegeben ist eine Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
We have a quadratic function with the functional equation
\mbox{$f(x)=-2x^2-4x+6$}.
%Berechnen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen.
Calculate the vertex and the zeros!

\subsection{Exercise 30:}
%Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(4|7)$ schneidet die $y$-Achse bei
%$y_0=3$. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung!
A parabula with the vertex $V(4|7)$ crosses the $y$-axis at $y_0=4$. Specify
the associated functional equation!

\subsection{Exercise 31:}
%Gegeben ist die Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
We have a quadratic function with the functional equation:
\[f_1(x)=3x^2+24x+53\]
%Gesucht ist die Funktion $f_2$, deren Funktionsgraph den selben
%Scheitelpunkt hat wie $f_1$. Der Funktionsgraph von $f_2$ verläuft außerdem
%durch den Punkt $P(-2|-3)$.
We are looking for the function $f_2$ with the same vertex as $f_1$. The
related parabula of $f_2$ should cross the point $P(-2|-3)$.

\subsection{Exercise 32:}
%Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(0|14)$ und $P_2(2|-2)$. Der
%Scheitelpunkt liegt an der Stelle \mbox{$x_S=3$}. Wie lautet die
%zugehörige Funktionsgleichung?
A parabula crosses the points $P_1(0|14)$ and $P_2(2|-2)$. The vertex can be
found at \mbox{$x_V=3$}. Specify the related functional equation $f(x)$!

\subsection{Exercise 33:}
%Welche dieser fünf Funktionen haben den selben Scheitelpunkt?
Which of these five functions have the same vertex?

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^2-10x+21 \\
f_2(x)&=&3x^2-30x+71 \\
f_3(x)&=&-2x^2+20x-48 \\
f_4(x)&=&0{,}5x^2+5x+8{,}5 \\
f_5(x)&=&4 \cdot (x-5)^2-4 \\
\end{array}\]

\subsection{Exercise 34:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 5 add}
   \uput[135](3.9,4){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul -1 mul 4 x mul add 3 sub}
   \uput[-135](3.9,-2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*(2,1){2.5pt}
   \uput[90](2,1){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Funktionsgleichung
We have given the function $f_1$ with the functional equation
\[f_1(x)=4x^2-24x+37\]
%Gesucht ist die Funktion $f_2$, die aus $f_1$ dadurch entstanden ist, dass man
%die Parabel von $f_1$ um $180^\circ$ um deren Scheitelpunkt $S$ gedreht hat,
%wie nebenstehend dargestellt.\\
We want to find out the functional equation $f_2$ of a parabula, that is
produced by turning the parabula of $f_1$ with an angle of $180^\circ$ around
the vertex, as shown in the graphic on the right side.\\

\subsection{Exercise 35:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=10x^2+12x-4$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=9x-3$.
Find out the crossing points of the parabula with \mbox{$f_1(x)=10x^2+12x-4$}
and the stright line with \mbox{$f_2(x)=9x-3$}.


\newpage  %-----------------------------------------
\section{Solutions}
\subsection{Exercise 1:}
%Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem Formfaktor 1 an, deren
%Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!
Specify a quadratic function $f(x)$ with the shape factor 1 and a vertex
$S(4|-7)$!

\paragraph{Solution:}
%Es bietet sich an, die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung zu verwenden.
It is appropriate to use the vertex formula.
\[f(x)=a \cdot (x-x_V)^2+y_V\]

%Setzt man die bekannten Koordinaten und den ebenfalls bekannten Formfaktor ein,
%ist man schon fertig.
Now we can insert the known coordinates of the vertex and the also known shape
factor, and we are already completed.
\[f(x)=1 \cdot (x-4)^2-7\]

%Wenn man möchte, kann man die Klammer noch auflösen, um die Gleichung in die
%Normalform zu bringen.
If you want, you can dissolve the brackets, to transform the functional
equation into the normal form.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&1 \cdot (x-4)^2-7 \\
&=&x^2-8x+16-7 \\
f(x)&=&x^2-8x+9
\end{array}\]

%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
Subsequent you see the associated functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{x x mul 8 x mul sub 9 add}
   \uput[45](1,2){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
   \uput[-45](4,-7){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 2:}
%Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
%an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
%Einheiten nach unten verschoben ist!
You have got the function \mbox{$f_1(x)=2x^2-4x+3$}. Specify the function
$f_2(x)$, that is shifted comparing to $f_1(x)$ 3 units to the right and 2
units downwards!

\paragraph{Solution:}
%Für dieses Problem bietet sich die \ifpdf
%\hyperlink{verschiebeformel}{Verschiebeformel}\fi{} an.
%2 Einheiten nach unten entsprechen dabei $-2$ Einheiten nach oben.
To solve this problem it is appropriate to use the
\ifpdf \hyperlink{verschiebeformel}{formula of shifted function}\fi.
2 units downwards correspond to $-2$ units upwards.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&f_1(x-x_s)+y_s \\
&=&f_1(x-3)+(-2) \\
&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \cdot (x-3)+3-2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4x+12+1 \\
&=&2x^2-12x+18-4x+13 \\
f_2(x)&=&2x^2-16x+31
\end{array}\]

%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
Subsequent you see the associated functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,17.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}
{2 x x mul mul 4 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 16 x mul sub 31 add}
   \uput[45](3,1){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-45](3,9){\textcolor{blue}{$f_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %------------------------------------
\subsection{Exercise 3:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
%schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung $f(x)$?
The quadratic function $f(x)$ has the vertex $V(4|1)$. The functional graph
hits the $y$-axis at $y_0=-7$. Calculate the functional equation $f(x)$.

\paragraph{Solution:}
%Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
%Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.
As we know the vertex, it is appropriate, to use the vertex form. We only have
to calculate then the shape factor $a$.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_V)^2+y_V \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+1
\end{array}\]
%Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bedeutet: $f(0)=y_S$. Das setzen wir ein.
The crossing point with the $y$-axis means: $f(0)=y_S$. We insert this into the
equation.

\[\begin{array}{rcll}
-7&=&a \cdot (0-4)^2+1 \\
-7&=&a \cdot 16+1 &|-1 \\
-8&=&16a &|:16 \\
a&=&-\cfrac{8}{16} \\
a&=&-\cfrac{1}{2}
\end{array}\]
%Mit diesem Wert für $a$ erhalten wir die gesuchte Funktion:
By using this value for $a$ we get the wanted functional equation:
\[f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-4)^2+1=-\frac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1=-\frac{1}{2}x^2+4x-7\]

%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the course of the functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,5.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{-0.5 x x mul mul 4 x mul add 7 sub}
   \uput[45](5,0.5){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,1){2.5pt}
   \uput[45](4,1){\textcolor{red}{V}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 4:}
%Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
%Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!
Calculate the vertex, the zeros and the range of values of the quadratic
function: \[f(x)=3x^2-12x+15\]

\paragraph{Solution:}
%An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
%lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
At a zero the value of the function is 0. Therefore the beginning of a
calculation of zeros is: $f(x_0)=0$.
\[\begin{array}{rcll}
3x_0^2-12x_0+15&=&0 &|:3 \\
x_0^2-4x_0+5&=&0 \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{4-5} \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{-1}
\end{array}\]

%Da es für die Wurzel keine reelle Lösung gibt, gibt es keine Nullstellen.
%Andererseits kann man an dieser Gleichung schon den $x$-Wert des
%Scheitelpunktes ablesen. Es ist immer die Zahl, die vor der Wurzel steht, also
%$x_S=2$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ bekommt man durch Einsetzen von $x_S$
%in die Funktionsgleichung.
As there is no real solution for the sqare root, we have \textbf{no zeros}.
On the other hand we can read the $x$-value of the vertex in this formula. It
is always the value before $\pm$ and the root, here $x_V=2$. We get the
corresponding $y$-value $y_V$ by inserting the value of $x_V$ into the
functional equation.

\[\begin{array}{rclll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&3 \cdot 2^2-12 \cdot 2+15 \\
y_V&=&3 &\Rightarrow & V(2|3) \\
\end{array}\]

%Der Formfaktor ist mit $a=3$ positiv, darum ist die Parabel nach oben geöffnet.
%Das wiederum bedeutet, dass der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Kurve ist.
%Also lautet der Wertebereich:
As the shape factor with the value $a=3$ is positive, the parabula is opened
upwards. Therefore we get the range of values:
\[W=\{y|y \geq 3\}\]

%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the course of the functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,17.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{3 x x mul mul 12 x mul sub 15 add}
   \uput[-45](3,6){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,3){2.5pt}
   \uput[-45](2,3){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 5:}
%Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
%Quadratischen Funktion $f(x)=-16x^2-16x+5$!
Find out the vertex, the zeros and the range of values of the quadratic
function: \[f(x)=-16x^2-16x+5\]

\paragraph{Solution:}
%An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
%lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
At a zero the value of the function is 0. Therefore the beginning of a
calculation of zeros is: $f(x_0)=0$.

\[\begin{array}{rcll}
-16x_0^2-16x_0+5&=&0 &|:(-16) \\
x_0^2+x_0-\cfrac{5}{16}&=&0 \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{4}{16}+\cfrac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{3}{4} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{2}{4} \pm \cfrac{3}{4} \\
x_{01}&=&\cfrac{1}{4} \\
x_{02}&=&-\cfrac{5}{4}
\end{array}\]

%Wie schon bei Aufgabe 4 können wir daraus auch den $x$-Wert des Scheitelpunktes
%als die Zahl vor der Wurzel ablesen, also:
As we did it at exercise 4 we can read from this formula the $x$-value of the
vertex as the value in front of the root. That is:
\[x_V=-\frac{1}{2}\]

%Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ finden wir wieder durch Einsetzen in die
%Funktionsgleichung:
We get the corresponding $y$-value $y_V$ by inserting $x_V$ into the functional
equation:
\[y_V=f(x_V)=-16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2-16 \cdot
\left(-\frac{1}{2}\right)+5=9\]

%Der Scheitelpunkt lautet demnach:
Hereby we got the vertex:
\begin{center}$V\left(-\frac{1}{2}|9\right)$\end{center}

%Da der Formfaktor mit $-16$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
%Der Wertebereich liegt also \textbf{unterhalb} des Scheitelpunktes:
As the shape factor $a=-16$ is \textbf{negative}, the parabula is opened
downwards. The range of values therefore is \textbf{below} the vertex:
\[W=\{x|x \leq 9\}\]

\newpage
%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the course of the functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=20mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \uput[-90](1.7,0){$x$}  \uput[180](0,11.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{1}
{-16 x x mul mul 16 x mul sub 5 add}
   \uput[0](0.2,2.5){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](-0.5,9){2.5pt}
   \uput[135](-0.5,9){\textcolor{red}{V}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %-----------------------------------------
\subsection{Exercise 6:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!
Find out the crossing points of the parabula of the function
\mbox{$f_1(x)=4x^2-9x+1$} with the straight line of the function
\mbox{$f_2(x)=3x+17$}!

\paragraph{Solution:}
%Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
%Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
%Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
The crossing points are exact those points of both curves, where the $x$-
and the $y$-values are identic. Therefore we can equate both functional terms
to get them.

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
4x_S^2-9x_S+1&=&3x_S+17 &|-3x_S-17 \\
4x_S^2-12x_S-16&=&0 &|:4 \\
x_S^2-3x_S-4&=&0 \\
x_{S1/2}&=&\cfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \cfrac{9}{4}+\cfrac{16}{4}} \\
&=&\cfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \cfrac{25}{4}} \\
&=&\cfrac{3}{2} \pm \cfrac{5}{2} \\
x_{S1}&=&\cfrac{3}{2}+\cfrac{5}{2}=4 \\
x_{S2}&=&\cfrac{3}{2}-\cfrac{5}{2}=-1
\end{array}\]

%Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
%Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.
We get the corresponding $y$-values by inserting the $x$-values in any desired
functional equation. I chose $f_2$ for that purpuse, it looks a bit simpler.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_2(x_S) \\
y_{S1}&=&3x_{S1}+17=3 \cdot 4+17=29 \\
y_{S2}&=&3x_{S2}+17=3 \cdot (-1)+17=14
\end{array}\]

%Damit lauten die Schnittpunkte:
We have got the crossing points:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(4|29)$} \quad  and \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2(-1|14)$}\end{center}

\newpage
%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the courses of the functional graphs.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,36.8){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{5}
{4 x x mul mul 9 x mul sub 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}{3 x mul 17 add}
   \uput[-45](3,10){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-45](1,20){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,14){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](4,29){2.5pt}
   \uput[160](-1,14){$S_2$}
   \uput[-35](4,29){$S_1$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 7:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!
Find out the crossing points of the parabula of the function
\mbox{$f_1(x)=9x^2+12x-4$} with the straight line of the function
\mbox{$f_2(x)=-12x+5$}!

\paragraph{Solution:}
%Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
%Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
%Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
The crossing points are exact those points of both curves, where the $x$-
and the $y$-values are identic. Therefore we can equate both functional terms
to get them.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
9x_S^2+12x_S-4&=&-12x_S+5 &|+12x_S-5 \\
9x_S^2+24x_S-9&=&0 &|:9 \\
x_S^2+\cfrac{8}{3}x_S-1&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-\cfrac{4}{3} \pm \sqrt{ \cfrac{16}{9}+\cfrac{9}{9}} \\
&=&-\cfrac{4}{3} \pm \sqrt{ \cfrac{25}{9}} \\
&=&-\cfrac{4}{3} \pm \cfrac{5}{3} \\
x_{S1}&=&-\cfrac{4}{3}-\cfrac{5}{3}=-3 \\
x_{S2}&=&-\cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3}=\cfrac{1}{3}
\end{array}\]

%Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
%Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.
We get the corresponding $y$-values by inserting the $x$-values in any desired
functional equation. I chose $f_2$ for that purpuse, it looks a bit simpler.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_2(x_S) \\
y_{S1}&=&-12x_{S1}+5=-12 \cdot (-3)+5=41 \\
y_{S2}&=&-12x_{S2}+5=-12 \cdot \cfrac{1}{3}+5=1
\end{array}\]

%Damit lauten die Schnittpunkte:
We have got the crossing points:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(-3|41)$} \quad and \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2\left(\frac{1}{3}\big|1\right)$}\end{center}

\newpage
%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the courses of the functional graphs.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,47.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.2}{2}
{9 x x mul mul 12 x mul add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4}{2}{-12 x mul 5 add}
   \uput[35](0.5,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[0](-1.8,27){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-3,41){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](0.333,1){2.5pt}
   \uput[35](-3,41){$S_1$}
   \uput[25](0.333,1){$S_2$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 8:}
%Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
%Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
%Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?
You have the quadratic function \mbox{$f(x)=-2x^2+5x-3$}. Specify the vertex
and find out inverse function $f^{-1}(x)$. What is the the definition range  of
this inverse function?

\paragraph{Solution:}
%Den Scheitelpunkt bekommt man zweckmäßigerweise mit der Scheitelpunktformel.
We get the vertex easy by using the vertex formula.
\[x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2 \cdot (-2)}=\frac{5}{4}\]
\[y_S=f(x_S)=-2x_S^2+5x_S-3=-2\left(\frac{5}{4}\right)^2+5 \cdot \frac{5}{4}-3
  =\frac{1}{8}\]
\begin{center}$S\left(\frac{5}{4}\big|\frac{1}{8}\right)$\end{center}
%Die Umkehrfunktion wird bestimmt, indem man die Rollen von $x$ und $y$ tauscht
%und die dadurch entstandene Gleichung wieder nach $y$ auflöst.
To get the inverse function $f^{-1}(x)$ we jut have to change the positions of
$x$ and $y$. Afterwards we dissolve the equation to $y$.

\[\begin{array}{rcll}
y&=&-2x^2+5x-3 &|\textnormal{ change $x$ and $y$} \\
x&=&-2y^2+5y-3 &|+2y^2-5y+3 \\
2y^2-5y+3+x&=&0 &|:2 \\
y^2-\cfrac{5}{2}y+\cfrac{3}{2}+\cfrac{x}{2}&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-formula} \\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{25}{16}-\cfrac{24}{16}-\cfrac{8x}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{1-8x}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{1-8x}}{4} \\
f^{-1}(x)&=&\cfrac{5}{4} \pm \cfrac{1}{4}\sqrt{1-8x}
\end{array}\]

%Der Definitionsbereich wird dadurch eingeschränkt, dass der Wurzelinhalt
%(Radikand) nicht kleiner als Null weden darf.

\[\begin{array}{rcll}
1-8x&\geq&0 &|-1 \\
-8x&\geq&-1 &|:(-8) \\
x&\leq&\cfrac{1}{8} \\
\end{array}\]
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\left\{x\big|x \leq \frac{1}{8}\right\}$}
\end{center}

\newpage
%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the courses of the functional graphs.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,47.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{4}
{-2 x x mul mul 5 x mul add 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-6.8}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{-6.8}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div sub}
   \uput[35](2,-1){\textcolor{red}{$f$}}
   \uput[45](-2,2.3){\textcolor{blue}{$f^{-1}$}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 9:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
%Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.
Find out the crossing points between the parabulas with the functional
equations $f_1(x)=4x^2+3x-8$ and $f_2(x)=7x^2+9x+7$.

\paragraph{Solution:}
%Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
%Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
%Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
The crossing points are exact those points of both curves, where the $x$-
and the $y$-values are identic. Therefore we can equate both functional terms
to get them.

\[\begin{array}{rcll}
4x_S^2+3x_S-8&=&7x_S^2+9x_S+7 &|-7x_S^2-9x_S-7 \\
-3x_S^2-6x_S-15&=&0 &| :(-3) \\
x_S^2+2x_S+5&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1-5} \\
x_{S1/2}&=&-1 \pm \sqrt{-4}
\end{array}\]
%Da diese Wurzel nicht reell zu lösen ist, gibt es \textbf{keine
%Schnittpunkte}.\\
As there is no real solution for the root, we have \textbf{no} crossing
points.\\

%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
You see the course of the funktions underneath.
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,15.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3}{2.2}
{4 x x mul mul 3 x mul add 8 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{1}
{7 x x mul mul 9 x mul add 7 add}
   \uput[-45](0.22,9.8){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-45](1.4,4){\textcolor{blue}{$f_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\enlargethispage{10mm}
\subsection{Exercise 10:}
%Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
%durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
$P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$

\paragraph{Solution:}
%Zur Lösung gehen wir von der Normalform der
%Quadratischen Funktion aus. Wenn wir jeweils die Koordinaten eines Punktes
%einsetzen, dann erhalten wir drei Gleichungen als Lineargleichungssystem, aus
%denen wir die Parameter $a$, $b$ und $c$ berechnen können. Die Normalform
%lautet:
To solve the problem we start with the normal form of the quadratic function.
When we insert in each case the coordinates of all known points, we get three
equations als a system of linear equations. With this we can figure out the
parameters $a$, $b$ and $c$. The normal form is:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
%Wir setzen die Koordinaten der drei Punkte ein.
We insert the coordinates of the three points.
\[\begin{array}{rcrclcrcl}
P_1(-1|8) &\Rightarrow& f(-1)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&8 \\
P_2(2|-1) &\Rightarrow& f(2)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&-1 \\
P_3(4|3) &\Rightarrow& f(4)&=&3  &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+c&=&3
\end{array}\]
%Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
%wir:
On the right side we got the system of linear equations. We simplify it a
little bit:
\[\begin{array}{crrrcl}
(1)&  a& -b &+c &=&8 \\
(2)& 4a&+2b &+c&=&-1 \\
(3)&16a&+4b &+c&=&3
\end{array}\]
%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden, also beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren, dem
%Additions-/Subtraktionsverfah\-ren, der Cramerschen Regel oder dem
%Gauß-Jordan-Verfahren. Ich verwende hier als Beispiel die Cramersche Regel.
%Ich bestimme zunächst $a$:
This system of linear equations can be solved with any known methods, for
example the method of insertion, the method of addition, the rule of Cramer or
the method of Gauß and Jordan. I prefer the rule of Cramer\footnote{For details
look here:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi}.
I start to calculate $a$:
\[a = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 8 &-1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
 3 & 4 & 1
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rrr}
1 & -1& 1 \\
4 & 2 & 1 \\
16& 4 & 1
\end{array} \right| }
= \frac{16-3-4-6-32-1}{2-16+16-32-4+4}=\frac{-30}{-30}=1\]
%Mit der nun bekannten Nennerdeterminante ist auch $b$ schnell bestimmt:
With the now known value of the determinant in the denominator we quickly get
$b$:
\[b = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 1 & 8 & 1 \\
 4 &-1 & 1 \\
16 & 3 & 1
\end{array} \right| }{-30}
=\frac{-1+128+12+16-3-32}{-30}=\frac{120}{-30}=-4\]
%Den Parameter $c$ bestimmt man nun am einfachsten durch
%Einsetzen der bereits bekannten Parameter in eine der drei Gleichungen. Ich
%nehme dazu die erste.
The easyest way to get $c$ is insertion of the known values $a$ and $b$ into
any equation. I take equation (1).

\[\begin{array}{rcll}
a-b+c&=&8 \\
1-(-4)+c&=&8 \\
5+c&=&8 &| -5 \\
c&=&3
\end{array}\]

%Setzen wir die Werte in die Ausgangsform ein, erhalten wir die gesuchte
%Funktionsgleichung.
Inserting the calculates values into the normal form we get the wanted equation.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2-4x+3$}\end{center}

\newpage
%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
You see the course of the funktion underneath.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,19.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[-35](5,8){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,8){2.5pt}
   \uput[-135](-1,8){$P_1$}
   \pscircle*[linecolor=black](2,-1){2.5pt}
   \uput[-135](2,-1){$P_2$}
   \pscircle*[linecolor=black](4,3){2.5pt}
   \uput[-35](4,3){$P_3$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 11:}
%Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
%Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
%Tangente berührt.
Find out the functional equation of the linear function $f_1(x)$, whose
straight line touches the parabula with the functional equation
\mbox{$f_1(x)=x^2-4x+4$} at $x_b=4$ as a tangent.

\paragraph{Solution:}
%Zunächst einmal können wir von der Normalform der Linearen Funktion ausgehen.
%Die gesuchte Funktion hat also diese Form:
Let us start with the normal form of the linear function. It looks li'ke this:
\[f_2(x)=mx+b\]

%Die Lösungsidee ist folgende: Eine Gerade \textbf{berührt} die Parabel genau
%dann, wenn es nur \textbf{einen einzigen} gemeinsamen Punkt gibt, nämlich den
%Berührpunkt und nicht \textbf{zwei Schnittpunkte}.\\
The concept of solving the problem is as follows: A straight line
\textbf{touches} a parabula, if and only if there ist \textbf{only one} common
point. This is the touching point, not two crossing points.\\

%Wir können den Ansatz wie zur Schnittpunktberechnung machen. Der $x$-Wert des
%Schnittpunktes heißt dann $x_B$.
We can start in the same way like looking for crossing points. The $x$-value of
the "crossing point" is called $x_t$ then.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_t)&=&f_2(x_t) \\
x_t^2-4x_t+4&=&m \cdot x_t+b &|-m \cdot x_t-b \\
x_t^2-4x_t-m \cdot x_t+4-b&=&0 \\
x_t^2-(4+m) \cdot x_t+4-b&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-formula}\\
x_{t1/2}&=&\cfrac{4+m}{2}\pm \sqrt{ \left( \cfrac{4+m}{2}\right)^2-4+b}\\
\end{array}\]

%Wie bereits erwähnt, gibt es nur \textbf{nur einen} gemeinsamen Punkt, wenn die
%Gerade die Parabel nicht \textbf{schneidet}, sondern nur \textbf{berührt}. Das
%ist nur erfüllt, wenn die Wurzel Null ergibt. Übrig bleibt dann:
As told before we have a \textbf{touching point}, when we get \textbf{only one}
common point. For this effect the root must have the value zero. In this case
we get:
\[x_B=\cfrac{4+m}{2}\]

%Da wir schon $x_B=4$ kennen, können wir daraus $m$ berechnen.
As we already know the value $x_B=4$, we can calculate $m$ by this.
\[\begin{array}{rcll}
x_B&=&\cfrac{4+m}{2}\\
4&=&\cfrac{4+m}{2} &| \cdot 2 \\
8&=&4+m &|-4 \\
4&=&m \\
\end{array}\]

%Wir wissen, dass der Radikand Null sein muss. Daraus ergibt sich eine
%Gleichung, mit deren Hilfe wir $b$ berechnen können.
We know, the content of the root is zero. Hereby we get an equation to work out
$b$.
\[\begin{array}{rcll}
\left( \cfrac{4+m}{2}\right)^2-4+b&=&0 \\
\left( \cfrac{4+4}{2}\right)^2-4+b&=&0 \\
16-4+b&=&0 \\
12+b&=&0 &|-12 \\
b&=&-12 \\
\end{array}\]

%Die gesuchte Funktionsgleichung lautet damit:
We have got the wanted functional equation:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=4x-12$}\\

%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the courses of the functional graphs.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,19.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 4 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{2}{8}
{4 x mul 12 sub}
   \uput[145](5,9){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-45](6,12){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](4,4){2.5pt}
   \uput[-35](4,4){$T$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Exercise 12:}
%Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
%verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
%$f(x)$!
A parabula has the vertex $V(3|2)$ and runs through the point $P(5|10)$. Find
out its funktional equation $f(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die Scheitelpunktform an. Es muss
%dann nur noch $a$ berechnet werden.
As we know the vertex, it is appropriate, to use the vertex form. We only have
to calculate then the shape factor $a$.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_V)^2+y_V \\
f(x)&=&a \cdot (x-3)^2+2
\end{array}\]

%Neben $S$ ist auch noch der Punkt $P$ auf dem Graphen bekannt. Seine
%Koordinaten müssen auch die Funktionsgleichung erfüllen.
Furthermore we know the coordinates of the point $P$. They must comply the
functional equation.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p-3)^2+2&=&y_p \\
a \cdot (5-3)^2+2&=&10 \\
a \cdot 2^2+2&=&10 &| -2 \\
a \cdot 4&=&8 &| :4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

%Diesen Wert für $a$ setze ich ein und erhalte die gesuchte Funktionsgleichung.
I insert this value as $a$ and I get the wanted functional equation.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2+2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)+2 \\
&=&2x^2-12x+18+2 \\
f(x)&=&2x^2-12x+20
\end{array}\]

%Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
Here we see the course of the functional graph.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,15.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 12 x mul sub 20 add}
   \uput[-135](2,4){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,2){2.5pt}
   \uput[-45](3,2){\textcolor{red}{V}}
   \pscircle*[linecolor=red](5,10){2.5pt}
   \uput[-45](5,10){\textcolor{red}{P}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 13:}
%Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Quadratischen Funktion
%(soweit vorhanden):
Calculate the zeros and the vertex of the quadratic function (as far they
exist):
\[f(x)=-16x^2+24x-25\]

\paragraph{Solution:}
%An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher lautet der Ansatz
%zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
At a zero the value of the function is zero. That leads us to the base of
solving the problem: $f(x_0)=0$.
\[\begin{array}{rcll}
-16x_0^2+24x_0-25&=&0 &|:(-16) \\
x_0^2-\cfrac{3}{2}x_0+\cfrac{25}{16}&=&0 \\
x_{01/02}&=&\cfrac{3}{4}\pm \sqrt{\cfrac{9}{16}-\cfrac{25}{16}}\\
x_{01/02}&=&\cfrac{3}{4}\pm \sqrt{-1}\\
\end{array}\]
%Da es für die Wurzel keine reelle Lösung gibt, gibt es \textbf{keine}
%Nullstellen. Andererseits kann man an dieser Gleichung schon den $x$-Wert des
%Scheitelpunktes ablesen. Es ist immer die Zahl, die vor der Wurzel steht, also
%$x_S=\frac{3}{4}$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ bekommt man durch Einsetzen
%von $x_S$ in die Funktionsgleichung.
As there is no real solution for the root we have \textbf{no zeros}. On the
other hand we can read out from this formula the $x$-value $x_V$ of the vertex.
It is always the value, we find in front of $\pm$ and the root. That is
$x_V=\frac{3}{4}$. The corresponding $y$-value $y_V$ we get by inserting $x_V$
into the functional equation.

\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V)\\
&=&-16x_S^2+24x_S-25 \\
&=&-16 \cdot \left(\cfrac{3}{4}\right)^2+24 \cdot \cfrac{3}{4}-25 \\
&=&-9+18-25 \\
y_V&=&16 \\
\end{array}\]
%Ergebnis:
Result:
\fcolorbox{red}{yellow}{vertex $V\left(\frac{3}{4} \big|16 \right)$}

\newpage
\subsection{Exercise 14:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(4|3)$} und
%verläuft durch den Punkt \mbox{$P(6|11)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
%von $f(x)$!
The quadratic function $f(x)$ has the vertex \mbox{$S(4|3)$} and runs through
the point \mbox{$P(6|11)$}. Find out the functional equation of $f(c)$!

\paragraph{Solution:}
%Zur Lösung bietet sich die \textbf{Scheitelpunktform} der Quadratischen
%Funktion an.
It is appropriate to use the vertex formula of the quadratic function.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+3 \\
\end{array}\]
%Zur Bestimmung des Parameters $a$ werden die Koordinaten des Punktes $P$ in
%die Funktion eingesetzt.
To get the value of the missing parameter $a$ we insert the coordinates of the
point $P$ into this equation.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_P)&=&y_P \\
f(6)&=&11 \\
a \cdot (6-4)^2+3&=&11 \\
a \cdot 4+3&=&11 &|-3 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

%Wer mag, kann die Funktion noch aus der Scheitelpunktform in die Normalform
%umwandeln.
If you want, yo can transform the vertex form into the normal form.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-4)^2+3 \\
&=&2 \cdot (x^2-8x+16)+3 \\
&=&2x^2-16x+32+3 \\
f(x)&=&2x^2-16x+35 \\
\end{array}\]

%Die gesuchte Funktion lautet damit:
The wanted function is:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-4)^2+3$}
\quad or \quad \fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-16x+35$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 15:}
%Die Quadratische Funktion $f(x)$ verläuft durch die drei Punkte
%\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} und \mbox{$P_3(2|7)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung an!
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} and \mbox{$P_3(2|7)$}

\paragraph{Solution:}
We start with the normal form \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} and insert the
coordinates of all points.
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-3)&=&32 &\Rightarrow& a \cdot (-3)^2+b \cdot (-3)+c&=&32 \\
(2)&f(-1)&=&10 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&10 \\
(3)&f(2)&=&7  &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&7 \\
\end{array}\]

%Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
%wir:
On the right side we have got the system of linear equations. We simplify it a
little bit:

\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& 9a& -3b &+c &=&32 \\
(2)&  a& -b &+c&=&10 \\
(3)& 4a&+2b &+c&=&7 \\
\end{array}\]
%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden, also beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren, dem
%Additions-/Subtraktionsverfah\-ren, der Cramerschen Regel oder dem
%Gauß-Jordan-Verfahren. Ich verwende hier als Beispiel die Cramersche Regel.
%Ich bestimme zunächst $a$:
This system of linear equations can be solved with any known methods, for
example the method of insertion, the method of addition, the rule of Cramer or
the method of Gauß and Jordan. I prefer the rule of Cramer.
I start to calculate $a$:
\[a = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
32& -3 & 1 \\
10& -1 & 1 \\
 7&  2 & 1 \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rrr}
9& -3 & 1 \\
1& -1 & 1 \\
4&  2 & 1 \\
\end{array} \right| }
=\cfrac{-32-21+20+7-64+30}{-9-12+2+4-18+3}=\cfrac{-60}{-30}=2 \]

%Mit der mittlerweile bereits bekannten Nennerdeterminante ist auch $b$ schnell
%bestimmt:
With the now known value of the determinant in the denominator we quickly get
$b$:
\[b = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
9& 32 & 1 \\
1& 10 & 1 \\
4&  7 & 1 \\
\end{array} \right| }{-30}
=\frac{90+128+7-40-63-32}{-30}=\frac{90}{-30}=-3\]
%Den Parameter $c$ bestimmt man nun am einfachsten durch
%Einsetzen der bereits bekannten Parameter in eine der drei Gleichungen. Ich
%nehme dazu Gleichung (2).
The easyest way to get $c$ is insertion of the known values $a$ and $b$ into
any equation. I take equation (2).

\[\begin{array}{rcll}
a-b+c&=&10 \\
2+3+c&=&10 &|-5 \\
c&=&5 \\
\end{array}\]

%Die gesuchte Funktion lautet damit:
We get the wanted function:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-3x+5$}

\newpage
\subsection{Exercise 16:}
%Eine verschobene Normalparabel (Formfaktor $a=1$) verläuft durch die Punkte
%\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. Geben Sie die Funktionsgleichung
%$f(x)$ an!
A shifted normal parabula (factor of shape $a=1$) runs through the points
\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. What is the associated functional
equation $f(x)$?

\paragraph{Solution:}
%Mit dem bekannten Formfaktor lautet die Funktionsgleichung in Normalform:
By using the known shape factor $a=1$ we get the normal form:
\[f(x)=x^2+bx+c\]

%Die bekannten Punkte können eingesetzt werden.
The coordinates of the known points are inserted.
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-1)&=&-2 & \Rightarrow & (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&-2 \\
(2)&f(0)&=&1   & \Rightarrow & 0^2+b \cdot 0+c&=&1 \\
\end{array}\]

%Aus Gleichung (2) erhält man sofort:
From equation (2) we directly get:
\[c=1\]

%Das wird in (1) eingesetzt.
We insert this value into equation (1).
\[\begin{array}{rcll}
(-1)^2+b \cdot (-1)+1&=&-2 \\
1-b+1&=&-2 &|-2 \\
-b&=&-4 &| \cdot (-1) \\
b&=&4 \\
\end{array}\]

%Die gesuchte Funktion lautet damit:
So we have got the wanted functional equation:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2+4x+1$}

\newpage
\subsection{Exercise 17:}
%Eine Parabel (Quadratische Funktion) verläuft durch die drei Punkte
%\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} und \mbox{$P_3(2|0)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f(x)$ an!
Find out the functional equation of the parabula, that crosses these points:
\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} and \mbox{$P_3(2|0)$}

\paragraph{Solution:}
%Die Koordinaten werden in die Normalform eingesetzt: \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$}
We start with the normal form \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} and insert the
coordinates of all points.
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(0)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&8 \\
(2)&f(1)&=&3 &\Rightarrow& a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&3 \\
(3)&f(2)&=&0  &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&0 \\
\end{array}\]

%Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
%wir:
On the right side we have got the system of linear equations. We simplify it a
little bit:

\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& & & c &=&8 \\
(2)&  a& +b &+c&=&3 \\
(3)& 4a&+2b &+c&=&0 \\
\end{array}\]
%Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
%werden. Es sollte aber auffallen, dass aus (1) bereits der erste Parameter
$c=8$ bekannt ist. Dieser Wert wird vorab in (2) und (3) eingesetzt, die
Gleichungen werden vereinfacht.
This system of linear equations can be solved with any known methods.
You should notice, that equation (1) directly tells us the value $c=8$. We
insert this value into equations (2) and (3). The generated equations will be
simplified a bit.

\[\begin{array}{crcll}
(2)&a+b+8&=&3 &|-8 \\
(2)&a+b&=&-5 \\
\hline
(3)&4a+2b+8&=&0 &|-8 \\
(3)&4a+2b&=&-8 \\
\end{array}\]

%Zusammengefasst bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig:
In sum we get a system of linear equations of 2\textsuperscript{nd} order.

\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(2)&a&+b&=&-5 \\
(3)&4a&+2b&=&-8 \\
\hline
\end{array}\]
%Gleichung (2) lässt sich bequem für die Anwendung des Einsetzungsverfahrens
%nach $a$ oder $b$ umstellen. Ich stelle sie nach $a$ um.
Equation (2) easily can be equated to $a$ or $b$, to use the method of
insertion\footnote{For details look here:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}.
I equate to $a$.

\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&-5 &|-b \\
a&=&-5-b \\
\end{array}\]

%Einsetzen in (3):
Insert into (3):

\[\begin{array}{rcll}
4a+2b&=&-8 \\
4 \cdot (-5-b)+2b&=&-8 \\
-20-4b+2b&=&-8 &|+20 \\
-2b&=&12 &|:(-2) \\
b&=&-6 \\
\end{array}\]

%Mit der umgestellten Gleichung (2) erhalten wir sofort $a$.
By using the transformed equation (2) we directly get $a$.
\[a=-5-b=-5-(-6)=-5+6=1\]
%Mit diesen Ergebnissen lautet die gesuchte Funktion:
Inserting all results we get the wanted function:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2-6x+8$}

\newpage
\subsection{Exercise 18:}
%Eine Parabel (Quadratische Funktion) hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(-2|0)$}
%und verläuft durch den Punkt \mbox{$P(-1|-2)$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f(x)$ an!
A parabula (quadratic function) has the vertex \mbox{$S(-2|0)$} and runs
through the point \mbox{$P(-1|-2)$}. Specify the functional equation $f(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
%Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.
As we know the vertex, we should use the vertex form as a method of resolution.
Only parameter \textbf{\emph{a}} is missing.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_V)^2+y_V \\
f(x)&=&a \cdot (x+2)^2+0
\end{array}\]

%Neben $S$ ist auch noch der Punkt $P$ auf dem Graphen bekannt. Seine
%Koordinaten müssen auch die Funktionsgleichung erfüllen.
Furthermore we know the coordinates of the point $P$. They must comply the
functional equation.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p+2)^2&=&y_p \\
a \cdot (-1+2)^2&=&-2 \\
a \cdot 1^2&=&-2 \\
a&=&-2
\end{array}\]

%Diesen Wert für $a$ setze ich ein und erhalte die gesuchte Funktionsgleichung.
Using this value we can show the funtional equation in vertex form.
\[ f(x)=-2 \cdot (x+2)^2 \]

%Wer mag, kann die Funktionsgleichung noch in die Normalform umwandeln.
If you want, yo can transform the vertex form into the normal form.
\[f(x)=-2x^2-8x-8\]

%Die gesuchte Funktion lautet:
The wanted function is:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2 \cdot (x+2)^2$}\quad
%oder
or
\quad \fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2x^2-8x-8$}

\newpage
\subsection{Exercise 19:}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} so nach \textbf{oben}, dass die neue
%Parabel durch den Punkt $P(2|3)$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
%Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!
Take the parabula of the function \mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} and
shift her so far \textbf{upwards}, that she will hit the point $P(2|3)$. What
ist the functional equation $f_2(x)$ of the new function?

\paragraph{Solution:}
%Für eine vertikale Verschiebung muss lediglich ein Parameter (ich nenne ihn
%$k$) addiert werden.
To shift a function verticaly, we only have to add a constant value. I name it
$k$.
\[f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1+k\]

%Damit der Punkt $P$ auf der Parabel liegt, müssen seine Koordinaten die
%Funktionsgleichung erfüllen.
In order that point $P$ is expected to be hit by the parabula, the coordinates
of $P$ must fulfil the functional equation.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(x_P)&=&y_P \\
f_2(2)&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot (2-4)^2-1+k&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot (-2)^2-1+k&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot 4-1+k&=&3 \\
2-1+k&=&3 &|-1 \\
k&=&2 \\
\end{array}\]

%Der Wert wird für $k$ eingesetzt.
This value is inserted as $k$ in the functional equation.
\[f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1+2=\frac{1}{2}(x-4)^2+1\]

%Wer mag, kann die Funktionsgleichung noch in die Normalform umwandeln:
If you want, yo can transform the vertex form into the normal form:
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&=\frac{1}{2}(x-4)^2+1 \\
&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1 \\
&=&\cfrac{1}{2}x^2-4x+8+1 \\
f_2(x)&=&\cfrac{1}{2}x^2-4x+9 \\
\end{array}\]

%Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
The expected functional equation is:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2+1$} \quad
or: \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+9$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 20:}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so nach \textbf{links}, dass die neue
%Parabel durch den Punkt $P(0|\frac{7}{2})$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
%Funktionsgleichung $f_2(x)$ an! (Geben Sie \textbf{alle} Lösungen an!)
You should shift the parabula of the quadratic equation
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so far to the \textbf{left}, that the new
parabula hits the point $P(0|\frac{7}{2})$. Specify the corresponding
functional equation $f_2(x)$. Show \textbf{all} possible solutions!

\paragraph{Solution:}
%Eine \textbf{Rechts}verschiebung um $k$ bedeutet, dass anstelle der
%Variablen $x$ ein $(x-k)$ eingesetzt wird. Entsprechend bedeutet ein im
%Ergebnis \textbf{negatives} $k$ dann eine \textbf{Links}verschiebung. Wünscht
%man ein \textbf{positives} $k$, dann kann auch $(x+k)$ für eine
%\textbf{Links}verschiebung eingesetzt werden. Ich verwende in meiner
%Musterlösung die erste Möglichkeit.
A shifting to the \textbf{right} with the value $k$ means, that we replace the
variable $x$ with $(x-k)$. Appropiately means a \textbf{negative} value for $k$
a shifting to the \textbf{left}. If you want a \textbf{positive} value of $k$,
you alternativly can use $(x+k)$ für a shifting to the \textbf{left}. In my way
of solution I use the first alternative.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&f_1(x-k) \\
f_2(x)&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x-k)^2-4(x-k)+7 \\
\end{array}\]
%Jetzt werden für $x$ und $y$ die Koordinaten des Punktes $P$ eingesetzt. Damit
%kann $k$ bestimmt werden.
Now we replace the coordinates of $P$ for the variables $x$ and $y$. So we can
calculate $k$.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(0)&=&\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{1}{2} \cdot (0-k)^2-4 \cdot (0-k)+7&=&\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{1}{2} \cdot k^2+4k+7&=&\cfrac{7}{2} &| \cdot 2 \\
k^2+8k+14&=&7 &|-7 \\
k^2+8k+7&=&0 \\
k_{1/2}&=&-4 \pm \sqrt{4^2-7}\\
k_{1/2}&=&-4 \pm 3 \\
k_1=-1 && k_2=-7 \\
\end{array}\]

%Da beide Werte \textbf{negativ} sind, handelt es sich in beiden Fällen um eine
%\textbf{Links}verschiebung. Beide Lösungen sind also gültig. Die Werte werden
%für $k$ eingesetzt.
As both results are \textbf{negative}, we have a shifting to the \textbf{left}
in \textbf{both} cases. So both solutions are valid.
\[\begin{array}{rclcrcl}
f_{21}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x+1)^2-4 \cdot (x+1)+7 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x+7)^2-4 \cdot (x+7)+7 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2+2x+1)-4x-4+7 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2+14x+49)-4x-28+7 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2}x^2+x+\cfrac{1}{2}-4x+3 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2}x^2+7x+\cfrac{49}{2}-4x-21 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2}x^2-3x+\cfrac{7}{2}&&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2}x^2+3x+\cfrac{7}{2}\\
\end{array}\]

Results:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_{21}=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}$} \quad
and: \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_{22}=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{7}{2}$}


\newpage
\subsection{Exercise 21:}
%Wie ist die Parabel mit der Funktionsgleichung
%\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} zu verändern, damit bei \textbf{gleichem
%Scheitelpunkt} der Punkt $P(3|-6)$ zur neuen Parabel gehört. Geben Sie die
%zugehörige Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!
How has the parabula with the functional equation
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} to be changed, that the point $P(3|-6)$
belongs to the new parabula? The new parabula should have the \textbf{same
vertex} als the old one. Secify the functional equation $f_2(x)$ of the new
parabula!

\paragraph{Solution:}
%Damit man sich die Zusammenhänge besser vorstellen kann,
%ist hier eine Skizze der beiden Funktionsgraphen dargestellt.
In order, that you can imagine the context better, you find here an outline of
both functional graphs.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-7.8)(7.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.8,-7.8)(7.8,6.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{0}{7.8}
{0.5 x x mul mul 4 x mul sub 7 add}
   \pscircle*(3,-6){2.5pt}
   \uput[150](3,-6){$P$}
   \pscircle*(4,-1){2.5pt}
   \uput[-90](4,-1){$V$}
   \uput[60](1.5,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
%-----
   \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{2}{6}{x 4 sub 2 exp -5 mul 1 sub}
   \uput[0](4.7,-4){\textcolor{blue}{$f_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}
%Zunächst muss der (gemeinsame) Scheitelpunkt bestimmt werden. Dies kann
%entweder mit der Mitte zwischen den Nullstellen von $f_1$ oder einfacher mit
%der Scheitelpunkt-Formel geschehen:\footnote{Siehe \ifpdf
%\hyperlink{K22}{Kapitel 2.2}\fi}
At first we have to find out the (common) vertex. The easiest way to do this,
is using the vertex formula\footnote{Look here in \ifpdf
\hyperlink{K22}{chapter 2.2}\fi}:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=ax^2+bx+c \qquad \Rightarrow \qquad x_V=-\cfrac{b}{2a}$}
\end{center}

\[ x_V=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}}=4 \]
\[ y_V=f(x_V)=\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-4 \cdot 4+7=-1\]

%Mit bekanntem Scheitelpunkt kann die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
%aufgestellt werden.
Using the known coordinates of the vertex we can set up the functional equation
in vertex form.
\[ f_2(x)=a \cdot (x-4)^2-1\]
%Zur Bestimmung des Parameters $a$ werden die Koordinaten des Punktes $P$ in
%die Funktionsgleichung eingesetzt.
To determine parameter $a$ we insert the coordinates of $P(3|-6)$ into the
functional equation.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(3)&=&-6 \\
a \cdot (3-4)^2-1&=&-6 \\
a \cdot (-1)^2-1&=&-6 \\
a-1&=&-6 &|+1\\
a&=&-5 \\
\end{array}\]

%Die Funktionsgleichung kann angegeben werden:
We can write down the functional equation:
\begin{center} \fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-5 \cdot (x-4)^2-1$} \end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 22:}
%Die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)$ schneidet die Gerade mit der
%Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=x-2$} bei \mbox{$x_1=-4$} und \mbox{$x_2=1$}.
%Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=2$}. Geben Sie die
%Funktionsgleichung $f_1(x)$ an!
The parabula of the quadratic function $f_1(x)$ crosses the straight line of
the function \mbox{$f_2(x)=x-2$} at \mbox{$x_1=-4$} and \mbox{$x_2=1$}. The
parabula crosses the $y$-axis at $y_0=2$. Specify the functional equation
$f_1(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Damit man sich die Zusammenhänge besser vorstellen kann, ist hier eine
%Skizze der Funktionsgraphen dargestellt.
In order, that you can imagine the context better, you find here an outline of
both functional graphs.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-6.8)(3.8,3.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-5.8,-6.8)(3.8,3.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.2){$y$}
  \psline(-0.15,2)(0.15,2) \uput[180](0,2){2}
  \psline[linewidth=0.5pt](1,3.6)(1,-6.8) \uput[-90](1,0){1}
  \psline[linewidth=0.5pt](-4,3.6)(-4,-6.8) \uput[-90](-4,0){$-4$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{3.8}
{-1 x x mul mul 2 x mul sub 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{3.8}{x 2 sub}
   \pscircle*(-4,-6){2.5pt}
   \uput[150](-4,-6){$P_1$}
   \pscircle*(1,-1){2.5pt}
   \uput[-20](1,-1){$P_2$}
   \uput[120](-2,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-90](-2,-2.8){\textcolor{blue}{$f_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}

%Zunächst werden die $y$-Werte der Schnittpunkte $P_1$ und $P_2$ bestimmt.
%Dazu werden die $x$-Werte in $f_2$ eingesetzt.
At first we figure out the $y$-values of the crossing points $P_1$ and $P_2$.
For that purpuse we insert the $x$-values into the funktional equation $f_2$.

\[\begin{array}{rclcrcl}
y_1&=&f_2(x_1) && y_2&=&f_2(x_2) \\
y_1&=&-4-2 && y_2&=&1-2 \\
y_1&=&-6 && y_2&=&-1\\
\end{array}\]

%Damit lauten die Schnittpunkte $P_1(-4|-6)$ und $P_2(1|-1)$. Der Schnittpunkt
%mit der $y$-Achse liegt bei $x=0$, damit heist dieser Punkt $P_3(0|2)$.
%Mit drei bekannten Punkten kann ein Lineargleichungssystem aufgestellt werden,
%wenn man von der Normalform der Quadratischen Funktion ausgeht:
So we have got the crossing points $P_1(-4|-6)$ and $P_2(1|-1)$. The crossing
point with the $y$-axis is located at $x=0$. That means this point: $P_3(0|2)$
As we have \textbf{three} known points, we can set up a system of linear
equations of the 3\textsuperscript{rd} order, when we start with the normal
form of a quadratic function:
\[f_2(x)=ax^2+bx+c\]

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-4)&=&-6 &\Rightarrow& a \cdot (-4)^2+b \cdot (-4)+c&=&-6 \\
(2)&f(1)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-1 \\
(3)&f(0)&=&2  &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&2
\end{array}\]
%Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
%wir:
When we condense the system of linear equations on the right side, we get:
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)&  16a& -4b &+c &=&-6 \\
(2)& a&+b &+c&=&-1 \\
(3)& & &c&=&2 \\
\hline
\end{array}\]

%Da aus (3) sofort das Ergebnis für $c$ bekannt ist, kann der Wert in beide
%anderen Gleichungen eingesetzt werden. Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem
%2. Ordnung.
As equation (3) immediately tells us the value $c=3$, we can insert this value
in both other equations. We get a system of linear equations of the
2\textsuperscript{nd} order.

\[\begin{array}{crcll}
(1)&  16a -4b +2 &=&-6 &|-2 \\
(2)& a+b+2&=&-1 &|-2 \\
\hline
(1)& 16a-4b&=&-8 \\
(2)& a+b&=&-3 \\
\end{array}\]

%Dieses Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.
%Beispielsweise kann zum Einsetzungsverfahren (2) nach $a$ aufgelöst und in (1)
%eingesetzt werden.
This system of linear equations can be solved with an arbitrary way of
solution. I want to use the method of insertion. Therefore I solve equation (2)
to $a$ and insert the solution into equation (1).
\[\begin{array}{crcll}
(2)&a+b&=&-3 &|-b \\
&a&=&-3-b \\
\end{array}\]
%Einsetzen in (1):
Inserted into (1):

\[\begin{array}{crcll}
(1)&16a-4b&=&-8 \\
&16 \cdot (-3-b)-4b&=&-8 \\
&-48-16b-4b&=&-8 &|+48 \\
&-20b&=&40 &|:(-20) \\
&b&=&-2 \\
\end{array}\]

%Dieses Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt.
This value is inserted into the transformed equation (2).

\[a=-3-b=-3-(-2)=-1\]
%Jetzt sind alle Parameter bekannt. Die Funktionsgleichung kann angegeben
%werden.
Now we know all parameters. We can write down the functional equation.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-x^2-2x+2$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 23:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte -- falls vorhanden -- der beiden Parabeln mit
%den Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} und
%\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.
Calculate the crossing points -- if they exist -- of the two parabulas with
the functional equations \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} and
\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.

\paragraph{Solution:}
%Zur Schnittpunktbestimmung werden die Funktionsterme gleichgesetzt.
To find out the crossing points we equate the functional equations.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
x_S^2-2x_S+3&=&2x_S^2-8x_S+12 &| -2x_S^2+8x_S-12 \\
-x_S^2+6x_S-9&=&0 &| \cdot (-1) \\
x_S^2-6x_S+9&=&0 \\
x_{S1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-9}\\
x_S&=&3 \\
\end{array}\]

%Es gibt nur ein Ergebnis, also auch nur einen einzigen Schnittpunkt. Zur
%Bestimmung des $y$-Wertes wird dieser $x_S$-Wert in $f_1$ oder in $f_2$
%eingesetzt. Ich wähle dazu $f_1$, weil die Zahlen etwas kleiner sind.
We have got only \textbf{one} value. So we have only one crossing point, a
\textbf{touching point}. To specify the $y$-value we insert this value $x_S$
into $f_1$ or $f_2$. I want to use $f_1$.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_1(x_S) \\
&=&x_S^2-2x_S+3 \\
&=&3^2-2 \cdot 3+3 \\
y_S&=&6 \\
\end{array}\]

%Hiermit kann der Schnittpunkt angegeben werden:
We can show the crossing point:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(3|6)$}\\

%Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
You see the course of the funktions underneath.

\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.6)(5.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.6)(5.8,15.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,15.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.8}{4.8}
{x x mul -2 x mul add 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.5}{4.5}
{2 x x mul mul -8 x mul add 12 add}
   \uput[45](1,6){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-45](1,2){\textcolor{blue}{$f_1$}}
   \uput[-40](3,6){S}
   \pscircle*(3,6){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 24:}
%Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=2$} verläuft durch die Punkte
%\mbox{$P_1(1|-1)$} und \mbox{$P_2(2|1)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
A parabula with the shape factor \mbox{$a=2$} runs through the points
\mbox{$P_1(1|-1)$} and \mbox{$P_2(2|1)$}. Specify the functional equation
$f(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Die Normalform der Quadratischen Funktion lautet:
We know the normal form of the quadratic function:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]

%Da $a$ mit \mbox{$a=2$} bekannt ist, erhalten wir diese Form:
As $a$ is known as \mbox{$a=2$}, we can specify:
\[f(x)=2x^2+bx+c\]

%Jetzt müssen nur noch die Parameter $b$ und $c$ berechnet werden. Dazu werden
%die Koordinaten der bekannten Punkte für $x$ und $y$ eingesetzt.
Now we have to calculate the parameters $b$ and $c$. For that purpose we insert
the known coordinates of $P_1(1|-1)$ and $P_2(2|1)$ as $x$ and $y$ into this
formula.
\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(1|-1) & \Rightarrow & f(1)=-1 & \Rightarrow & 2 \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-1\\
P_2(2|1) & \Rightarrow & f(2)=1 & \Rightarrow & 2 \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&1\\
\end{array}\]
%Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
%die Normalform gebracht.
Both equations at first become simplified and transformed into the normal form.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 2+b+c&=&-1 &|-2 \\
(2)& 8+2b+c&=&1 &|-8 \\
\hline
(1)& b+c&=&-3 \\
(2)& 2b+c&=&-7 \\
\end{array}\]

%Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
%einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil in beiden Gleichungen $c$ ohne
%Vorzahl vorkommt, bietet es sich an, die Gleichungen voneinander zu
%subtrahieren. Dabei fällt dann $c$ weg. Weil die Vorzahl von $b$ in Gleichung
%(2) -- hier: $2b$ -- größer, als die in Gleichung (1) -- hier: $1b$ -- ist,
%subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2). Dann bleibt mir ein
%\textbf{positives} Ergebnis. (Natürlich geht es auch anders herum, dann erhält
%man halt $-b$.)
Now we have got a 2\textsuperscript{nd} order system of linear equations. We
can solve it with any method. As we find parameter $c$ in both equations
without any coefficient, it is suggesting itself to subtract both equations
from each other. Parameter $c$ then will disappear. As the coefficient of $b$
in equation (2) -- here: $2b$ -- is larger, as in equation (1) -- here: $1b$ --
I subtract equation (1) from equation (2). Then the result will be
\textbf{positive}. (Of course it also will work otherwise, but then we will get
$-b$.)
\[\begin{array}{rrclll}
(1)& b&+c&=&-3 &|- \\
(2)& 2b&+c&=&-7&| \\
\hline
(2)-(1)&b &&=&-4 \\
\end{array}\]

%Damit haben wir bereits $b$. Um den noch verbleibenden Parameter $c$ zu
%berechnen, wird das Ergebnis in eine beliebige der beiden Gleichungen
%eingesetzt. Weil in Gleichung (1) die Zahlen kleiner sind, verwende ich diese.
Now we already have $b$. To get the remainig parameter $c$ we put this result
into one of the two equations. As in (1) the numbers are a little bit smaller,
I use this equation.
\[\begin{array}{rcll}
b+c&=&-3 \\
-4+c&=&-3 &|+4 \\
c&=&1 \\
\end{array}\]
%Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
With this results we can write down the functional equation:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-4x+1$}\end{center}

\subsection{Exercise 25:}
%Eine Parabel verläuft durch die Punkte \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$}
%und schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Bestimmen Sie die
%Funktionsgleichung
A parabula crosses the points \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$} and cuts
the $y$-axis at \mbox{$y_0=3$}. Find out the functional equation
$f(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Die Normalform der Quadratischen Funktion lautet:
We start with the normal form:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
%Der $y$-Achsenabschnitt bei \mbox{$y_0=3$} bedeutet \mbox{$c=y_0=3$}.
%Damit erhalten wir diese Form:
The $y$-axis intercept at \mbox{$y_0=3$} means \mbox{$c=y_0=3$}. With that the
equation gets this form:
\[f(x)=ax^2+bx+3\]
%Jetzt müssen nur noch die Parameter $a$ und $b$ berechnet werden. Dazu werden
%die Koordinaten der bekannten Punkte für $x$ und $y$ eingesetzt.
We now have to calculate the parameters $a$ and $b$. For that purpose we place
the coordinates of the known points into the functional equation as $x$ and $y$.
\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(2|7) & \Rightarrow & f(2)=7 & \Rightarrow & a \cdot 2^2+b \cdot 2+3&=&7\\
P_2(3|6) & \Rightarrow & f(3)=6 & \Rightarrow & a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=&6\\
\end{array}\]
%Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
%die Normalform gebracht.
Both resulting equations become simplified an then transformed into the normal
form.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 4a+2b+3&=&7 &|-3 \\
(2)& 9a+3b+3&=&6 &|-3 \\
\hline
(1)& 4a+2b&=&4 \\
(2)& 9a+3b&=&3 \\
\end{array}\]

%Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
%einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil keine Vorzahlen in den Gleichungen
%übereinstimmen, bietet sich kein Lösungsverfahren besonders an. Ich verwende
%willkürlich das \textbf{Einsetzungsverfahren}. Dazu löse ich Gleichung (1)
%nach $b$ auf.
We have got a system of linear equations of the 2\textsuperscript{nd} order
to solve within an arbitrary method. I use the \textbf{method of insertion}, as
no method is particulary suitable. Therefore I transform equation (1) to $b$.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)&4a+2b&=&4 &|-4a \\
&2b&=&4-4a &|:2 \\
&b&=&2-2a \\
\end{array}\]
%Der Ergebnisterm wird in Gleichung (2) eingesetzt.
The result is inserted into equation (2).
\[\begin{array}{rrcll}
(2)&9a+3b&=&3 \\
&9a+3 \cdot (2-2a)&=&3 \\
&9a+6-6a&=&3 &|-6\\
&3a&=&-3 &|:3 \\
&a&=&-1 \\
\end{array}\]
%Um den noch fehlenden Parameter $b$ zu ermitteln, wird der gefundene Wert in
%die schon passend umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.
To get the last unknown parameter $b$ we insert this result into the
transformed equation (1).
\[b=2-2a=2-2 \cdot (-1)=2+2=4\]
%Damit erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung:
So we have got the wanted functional equation:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^2+4x+3$}\end{center}

\subsection{Exercise 26:}
%Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$}
%so, dass sie durch die Punkte \mbox{$P_1(3|2)$} und \mbox{$P_2(6|-7)$}
%verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)$} der so
%entstandenen Funktion.\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
Shift the parabula with the functional equation \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$} in a
way, that the new parabula crosses the points \mbox{$P_1(3|2)$} und
\mbox{$P_2(6|-7)$}. Specify the functional equation \mbox{$f_2(x)$}, that
occured by this shifting.

\paragraph{Solution:}
%Das Einzige, was sich beim Verschieben nicht ändert, ist die Form der Parabel
%und somit der Formfaktor $a$. In $f_1$ kann man $a$ ablesen mit \mbox{$a=3$}.
%Die gesuchte Funktionsgleichung hat damit diese Form:
The only detail, that does not change by shifting, is the \textbf{shape} of the
parabula and with it the shape factor $a$. We can read the shape factor $a$
from $f_1$ as \mbox{$a=3$}. With this value we get the normal form of the
functional equation:
\[f_2(x)=3x^2+bx+c\]
We place the coordinates of the known points into the functional equation as
$x$ and $y$.
\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(3|2) & \Rightarrow & f(3)=2 & \Rightarrow & 3 \cdot 3^2+b \cdot 3+c&=&2\\
P_2(6|-7) & \Rightarrow & f(6)=-7 & \Rightarrow & 3 \cdot 6^2+b \cdot 6+c&=&-7\\
\end{array}\]
%Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
%die Normalform gebracht.
Both resulting equations become simplified an then transformed into the normal
form.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 27+3b+c&=&2 &|-27 \\
(2)& 108+6b+c&=&-7 &|-108 \\
\hline
(1)& 3b+c&=&-25 \\
(2)& 6b+c&=&-115 \\
\end{array}\]

%Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
%einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil in beiden Gleichungen $c$ ohne
%Vorzahl vorkommt, bietet es sich an, die Gleichungen voneinander zu
%subtrahieren. Dabei fällt dann $c$ weg. Weil die Vorzahl von $b$ in Gleichung
%(2) -- hier: $6b$ -- größer, als die in Gleichung (1) -- hier: $3b$ -- ist,
%subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2). Dann bleibt mir ein
%\textbf{positives} Ergebnis. (Natürlich geht es auch anders herum, dann erhält
%man halt einen negativen Wert mit $b$.)
Now we have got a 2\textsuperscript{nd} order system of linear equations. We
can solve it with any method. As we find parameter $c$ in both equations
without any coefficient, it is suggesting itself to subtract both equations
from each other. Parameter $c$ then will disappear. As the coefficient of $b$
in equation (2) -- here: $6b$ -- is larger, as in equation (1) -- here: $1b$ --
I subtract equation (1) from equation (2). Then the result will be
\textbf{positive}. (Of course it also will work otherwise, but then we will get
$-b$.)
\[\begin{array}{rrclll}
(1)& 3b&+c&=&-25 &|- \\
(2)& 6b&+c&=&-115&| \\
\hline
(2)-(1)&3b &&=&-90 &|:3 \\
&b&&=&-30 \\
\end{array}\]

%Damit haben wir bereits $b$. Um den noch verbleibenden Parameter $c$ zu
%berechnen, wird das Ergebnis in eine beliebige der beiden Gleichungen
%eingesetzt. Weil in Gleichung (1) die Zahlen kleiner sind, verwende ich diese.
Now we already have $b$. To get the remainig parameter $c$ we put this result
into one of the two equations. As in (1) the numbers are a little bit smaller,
I use this equation.
\[\begin{array}{rcll}
3b+c&=&-25 \\
3 \cdot (-30)+c&=&-25 \\
-90+c&=&-25 &|+90 \\
c&=&65 \\
\end{array}\]
%Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
With this results we can write down the wanted functional equation:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=3x^2-30x+65$}\end{center}

\subsection{Exercise 27:}
%Eine Quadratische Funktion hat den Formfaktor \mbox{$a=-1$} und den
%Scheitelpunkt $S(2|3)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
%und in Normalform an!
A quadratic function has the shape factor \mbox{$a=-1$} and the vertex
$V(2|3)$. Specify the functional equation $f(x)$ in \textbf{vertex form and in
normal form}!

\paragraph{Solution:}
%Die Lösung in Scheitelpunktform kann sofort aufgeschrieben werden:
We immediately can write down the functional equation in vertex form:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-(x-2)^2+3$}\end{center}

%Die Umformung in die Normalform erfolgt schrittweise mit der 2. Binomischen
%Formel.
The transformation into the normal form can be done by using the
2\textsuperscript{nd} binomial formula.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-(x-2)^2+3 \\
&=&-(x^2-4x+4)+3 \\
&=&-x^2+4x-4+3 \\
f(x)&=&-x^2-4x-1 \\
\end{array}\]
%Die Funktionsgleichung in Normalform lautet:
Here we have the functional equation in normal form:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^2-4x-1$}\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 28:}
%Der Funktionsgraph einer Quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt $S(3|-1)$
%verläuft durch den Punkt $P(1|7)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in
%Scheitelpunktform und in Normalform an!
The functional graph of a quadratic function has the vertex $V(3|-1)$ and runs
through the point $P(1|7)$. Specify the functional equation $f(x)$ in
\textbf{vertex form and in normal form}!

\paragraph{Solution:}
%Zunächst wird der Ansatz in Scheitelpunktform gemacht.
We start with the concept of vertex form.
\[f(x)=a \cdot (x-3)^2-1\]

%Um den noch unbekannten Formfaktor $a$ zu bestimmen, werden die Koordinaten des
%bekannten Punktes $P(1|7)$ eingesetzt.
To figure out the shape factor $a$ we insert the coordinates of the known point
$P(1|7)$.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p-3)^2-1&=&y_p \\
a \cdot (1-3)^2-1&=&7 \\
a \cdot (-2)^2-1&=&7 \\
4a-1&=&7 &|+1 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]
%Hiermit kann die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform angegeben werden.
With this we can write down the functional equation in vertex form.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-3)^2-1$}\end{center}

%Nun kann die Funktionsgleichung mit Hilfe der 2. Binomischen Formel in die
%Normalform umgeformt werden.
The transformation into the normal form can be done by using the
2\textsuperscript{nd} binomial formula.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2-1 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-1 \\
&=&2x^2-12x+18-1 \\
f(x)&=&2x^2-12x+17
\end{array}\]
%Die Funktionsgleichung in Normalform lautet:
Here we have the functional equation in normal form:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-12x+17$}\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 29:}
%Gegeben ist eine Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
We have a quadratic function with the functional equation
\mbox{$f(x)=-2x^2-4x+6$}.
%Berechnen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen.
Calculate the vertex and the zeros!

\paragraph{Solution:}
\subparagraph{First variant of solution:}
%Man bestimmt zunächst die Nullstellen und kann "`unterwegs"' den $x$-Wert des
%Scheitelpunktes ablesen.\\
At first we calculate the zeros. "On the way" we can find the $x$-value $x_V$
of the vertex.\\

%Zum Berechnen der Nullstellen muss der Funktionsterm gleich Null gesetzt
%werden.
To figure out the zeros we must equate the functional term to zero.
\[\begin{array}{rcll}
-2x_0^2-4x_0+6&=&0 &|:(-2) \\
x_0^2+2x_0-3&=&0 &|\textnormal{ use $p$-$q$-formula}\\
x_{01/02}&=&-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{2}{2}\right)^2-(-3)}\\
&=&-1 \pm \sqrt{1+3}\\
&=&-1 \pm 2 \\
x_01=-1+2=1 && x_02=-1-2=-3 \\
\end{array}\]

%Die Nullstellen lauten:
The zeros ar:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{01}=1$}
\quad and \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{02}=-3$}\\

%Vor dem Zeichen $\pm$ und der Wurzel steht der Wert $-1$. Da man an dieser
%Stelle den $y$-Wert des Scheitelpunktes findet, wissen wir:
In front of the sign $\pm$ and the root we find the value $-1$. This is the
$x$-value $x_V$ of the vertex.
\[x_V=-1\]

%Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
To find the corresponding $y$-Value $y_V$ we insert $x_V=-1$ into the
functional equation.
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f(x_V) \\
&=&-2x_V^2-4x_V+6 \\
&=&-2 \cdot (-1)^2-4 \cdot (-1)+6 \\
&=&-2+4+6 \\
y_V&=&8 \\
\end{array}\]

%Der Scheitelpunkt lautet:
The vertex is named:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(-1|8)$}\\

\subparagraph{Second variant of solution:}
%Der $x$-Wert des Scheitelpunktes $x_S$ kann über die
%Scheitelpunkformel bestimmt werden.
We can find the $x$-value $x_V$ of the vertex with the vertex formula.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-4}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\cfrac{4}{-4}\\
x_V&=&-1 \\
\end{array}\]
%(Weiter wie bei Lösungsvariante 1.)
(Continue like described in first variant of solution.)

\newpage
\subsection{Exercise 30:}
%Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(4|7)$ schneidet die $y$-Achse bei
%$y_0=3$. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung!
A parabula with the vertex $V(4|7)$ crosses the $y$-axis at $y_0=4$. Specify
the associated functional equation!

\paragraph{Solution:}
%Der Ansatz kann mit Hilfe der Scheitelpunktform gemacht werden.
We start with the vertex form of the functional equation.
\[f(x)=a \cdot (x-4)^2+7\]

%Um den noch fehlenden Formfaktor $a$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.
To calculate the missing shape factor $a$, we have two possibilities.

\subparagraph{First variant of solution:}
%Die $y$-Achse liegt an der Stelle \mbox{$x=0$}. Damit sind Koordinaten des
%Schnittpunktes mit $(0|y_0)$ bzw. $(0|3)$ bekannt und können in die Gleichung
%in Scheitelpunktform eingesetzt werden.
The $y$-axis is placed at the position \mbox{$x=0$}. So we know the crossing
point at $(0|y_0)$ respectively $(0|3)$. We insert this coordinates into the
vertex form.
\[\begin{array}{rcll}
f(0)&=&3 \\
a \cdot (0-4)^2+7&=&3 \\
a \cdot 16+7&=&3 &|-7 \\
16a&=&-4 &|:16 \\
a&=&-\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]
%Da die Form der Funktionsgleichung nicht vorgegeben ist, reicht die Angabe in
%der Scheitelpunktform:
We have got the functional equation in vertex form:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\frac{1}{4} \cdot (x-4)^2+7$}
\end{center}

\subparagraph{Second variant of solution:}
%Man kann auch den Ansatz in der Scheitelpunktform machen, diese in die
%Normalform umwandeln und dort den $y$-Achsenabschnitt als absolutes Glied $c$
%ablesen. Das sieht dann so aus:
The other procedure to get $a$ is as follows. We start with the vertex form,
transform it into the normal form and read out the parameter $c$. This value is
the value of $y_0$.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+7 \\
&=&a \cdot (x^2-8x+16)+7 \\
f(x)&=&ax^2-8ax+\underbrace{16a+7}_{c} \\
\end{array}\]
%Da der $y$-Achsenabschnitt mit \mbox{$y_0=3$} bekannt ist, kann dieser mit $c$
%gleichgesetzt werden.
We equate $c$ with the known value $y_0=3$.
\[\begin{array}{rcll}
c&=&y_0 \\
16a+7&=&3 &|-7 \\
16a&=&-4 &|:16 \\
a&=&-\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]
%Auch so erhalten wir die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform:
By this variant of solution we get the same functional equation in vertex form:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\frac{1}{4} \cdot (x-4)^2+7$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 31:}
%Gegeben ist die Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
We have a quadratic function with the functional equation:
\[f_1(x)=3x^2+24x+53\]
%Gesucht ist die Funktion $f_2$, deren Funktionsgraph den selben
%Scheitelpunkt hat wie $f_1$. Der Funktionsgraph von $f_2$ verläuft außerdem
%durch den Punkt $P(-2|-3)$.
We are looking for the function $f_2$ with the same vertex as $f_1$. The
related parabula of $f_2$ should cross the point $P(-2|-3)$.

\paragraph{Solution:}
%Zunächst muss der Scheitelpunkt von $f_1$ bestimmt werden. Dazu beginnen wir
%mit $x_S$.
First we have to find out the vertex of $f_1$. We use the vertex formula.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{24}{2 \cdot 3}\\
x_V&=&-4 \\
\end{array}\]
%Den zugehörigen $y$-Wert liefert die Funktionsgleichung von $f_1$.
The corresponding $y$-value $y_V$ we get by using the functional equation of
$f_1$.
\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f_1(x_V) \\
&=&3x_V^2+24x_V+53 \\
&=&3 \cdot (-4)^2+24 \cdot (-4)+53 \\
&=&48-96+53 \\
y_V&=&5 \\
\end{array}\]
%Der Scheitelpunkt der Funktion $f_1$ -- und damit auch von $f_2$ -- lautet:
So the common vertex of $f_1$ and $f_2$ is named:
\fcolorbox{red}{white}{$S(-4|5)$}\\

%Hiermit kann die Funktionsgleichung von $f_2$ in der Scheitelpunktform
%aufgestellt werden.
With this results we can setup the functional equation of $f_2$ in vertex form.
\[f_2(x)=a \cdot (x+4)^2+5\]

%Um nun den Formfaktor $a$ zu bestimmen, werden die Koordinaten des gegebenen
%Punktes $P(-2|-3)$ in diese Gleichung eingesetzt.
To figure out the shape factor $a$ we insert the coordinates of the known point
$P(-2|-3)$.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(-2)&=&-3 \\
a \cdot (-2+4)^2+5&=&-3 &|-5 \\
a \cdot 2^2&=&-8 \\
4a&=&-8 &|:4 \\
a&=&-2 \\
\end{array}\]
%Hiermit kann die Funktionsgleichung von $f_2$ angegeben werden:
With this result we can write down the functional equation of $f_2$:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2 \cdot (x+4)^2+5$}\end{center}

\newpage
\subsection{Exercise 32:}
%Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(0|14)$ und $P_2(2|-2)$. Der
%Scheitelpunkt liegt an der Stelle \mbox{$x_S=3$}. Wie lautet die
%zugehörige Funktionsgleichung?
A parabula crosses the points $P_1(0|14)$ and $P_2(2|-2)$. The vertex can be
found at \mbox{$x_V=3$}. Specify the related functional equation $f(x)$!

\paragraph{Solution:}
%Mit dem Scheitelpunkt $S(3|y_S)$ kann der Ansatz der Funktionsgleichung in der
%Scheitelpunktform gemacht werden.
Using the vertex $V(3|y_V)$ we can make the solution approach with the
functional equation in vertex form.
\[f(x)=a \cdot (x-3)^2+y_V\]

%In diese Funktionsgleichung können die Koordinaten beider Punkte eingesetzt
%werden.
We insert the coordinates of both points $P_1(0|14)$ and $P_2(2|-2)$.
\[\begin{array}{rclcrcl}
P_1(0|14)&\Rightarrow & f(0)=14 &\Rightarrow& a \cdot (0-3)^2+y_V&=&14 \\
P_2(2|-2)&\Rightarrow & f(2)=-2 &\Rightarrow& a \cdot (2-3)^2+y_V&=&-2 \\
\end{array}\]

%Wir haben ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung mit den Variablen $a$ und $y_S$
%erhalten. Die Gleichungen werden noch ein wenig zusammengefasst.
We have got a system of linear equations of 2\textsuperscript{nd} order with
the variables $a$ and $b$. We simplify the equations a little bit.
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a \cdot (0-3)^2+y_V&=&14 \\
(2)&a \cdot (2-3)^2+y_V&=&-2 \\
\hline
(1)&9a+y_V&=&14 \\
(2)&a+y_V&=&-2 \\
\end{array}\]

%Zur Lösung dieses Gleichungssystems bietet sich das
%Additions-/Subtraktionsverfahren\footnote{Einzelheiten zum
%Additions-/Subtraktionsverfahren siehe hier:\\
%\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}
%an. Man kann Gleichung (2) von Gleichung (1)
%subtrahieren, dann fällt $y_S$ weg.
To solve this system of linear equations it is recommendable to use method of
addition and subtraction\footnote{For details of the method of addition and
subtraction look here:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}.
We can subtract equation (2) from equation (1), then $y_V$ will disappear.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&9a &+y_V&=&14 &| \\
(2)&a &+y_V&=&-2 &|- \\
\hline
   &8a &&=&16 &|:8 \\
   &a&&=&2 \\
\end{array}\]

%Mit Hilfe der Gleichung (2) kann damit $y_S$ berechnet werden.
By the use of equation (2) we get $y_V$.
\[\begin{array}{rcll}
a+y_V&=&-2 \\
2+y_V&=&-2 &|-2 \\
y_V&=&-4 \\
\end{array}\]
%Jetzt sind alle Parameter bekannt, die Funktionsgleichung kann angegeben
%werden:
Now all parameters are known. We can write down the functional equation:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-3)^2-4$}\end{center}
%Wer mag, kann das noch in die Normalform umwandeln:
If you want, you can transform this equation into normal form.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4 \\
&=&2x^2-12x+18-4 \\
f(x)&=&2x^2-12x+14 \\
\end{array}\]

\newpage

\subsection{Exercise 33:}
%Welche dieser fünf Funktionen haben den selben Scheitelpunkt?
Which of these five functions have the same vertex?

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^2-10x+21 \\
f_2(x)&=&3x^2-30x+71 \\
f_3(x)&=&-2x^2+20x-48 \\
f_4(x)&=&0{,}5x^2+5x+8{,}5 \\
f_5(x)&=&4 \cdot (x-5)^2-4 \\
\end{array}\]

\paragraph{Solution:}
%Um die Frage beantworten zu können, müssen alle Scheitelpunkte bestimmt werden.
To answer this question we must figure out all vertexes.
\[\begin{array}{rcll}
x_{V1}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-10}{2 \cdot 1}\\
x_{V1}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{V1}&=&f_1(x_{V1})\\
&=&x_{V1}^2-10x_{V1}+21 \\
&=&5^2-10 \cdot 5+21 \\
y_{V1}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V_1(5|-4)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{V2}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-30}{2 \cdot 3}\\
x_{V2}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{V2}&=&f_2(x_{V2})\\
&=&3x_{V2}^2-30x_{V2}+71 \\
&=&3 \cdot 5^2-30 \cdot 5+71 \\
&=&75-150+71 \\
y_{V2}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V_2(5|-4)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{V3}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{20}{2 \cdot (-2)}\\
x_{V3}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{V3}&=&f_3(x_{V3})\\
&=&-2 \cdot x_{V3}^2+20x_{V3}-48 \\
&=&-2 \cdot 5^2+20 \cdot 5-48 \\
&=&-50+100-48 \\
y_{V3}&=&2 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V_3(5|2)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{V4}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{5}{2 \cdot 0{,}5}\\
x_{V4}&=&-5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{V4}&=&f_4(x_{V4})\\
&=&0{,}5 \cdot x_{V4}^2+5x_{V4}+8{,}5 \\
&=&0{,}5 \cdot (-5)^2+5 \cdot (-5)+8{,}5 \\
&=&12{,}5-25+8{,}5 \\
y_{V4}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V_4(-5|-4)$}\end{center}

%An $f_5$ können die Koordinaten von $x_S$ und $y_S$ direkt abgelesen werden,
%weil die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angegeben ist.
As $f_5$ is given in vertex form, we immediately can read out the coordinates
of the vertex.

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V_5(5|-4)$}\end{center}

\underline{Result:}
%Die Scheitelpunkte $S_1$, $S_2$ und $S_5$ sind identisch. Bei $S_3$ gibt es
%einen anderen $y$-Wert und bei $S_4$ einen anderen $x$-Wert.
The vertexes $V_1$, $V_2$ and $V_5$ are identically. At $V_3$ we have an other
$y$-value, at $V_4$ is an other $x$-value.

\newpage
\subsection{Exercise 34:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 5 add}
   \uput[135](3.9,4){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul -1 mul 4 x mul add 3 sub}
   \uput[-135](3.9,-2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*(2,1){2.5pt}
   \uput[90](2,1){$V$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Funktionsgleichung
We have given the function $f_1$ with the functional equation
\[f_1(x)=4x^2-24x+37\]
%Gesucht ist die Funktion $f_2$, die aus $f_1$ dadurch entstanden ist, dass man
%die Parabel von $f_1$ um $180^\circ$ um deren Scheitelpunkt $S$ gedreht hat,
%wie nebenstehend dargestellt.\\
We want to find out the functional equation $f_2$ of a parabula, that is
produced by rotating the parabula of $f_1$ with an angle of $180^\circ$ around
the vertex, as shown in the graphic on the right side.\\

\paragraph{Solution:}
%Zunächst wird der Scheitelpunkt von $f_1$ mit Hilfe der Scheitelpunktformel
%bestimmt.
At first we find out the vertex of $f_1$ by usung the vertex formula.
\[\begin{array}{rcll}
x_V&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-24}{2 \cdot 4}\\
x_V&=&3 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_V&=&f_1(x_V)\\
&=&4x_V^2-24x_V+37 \\
&=&4 \cdot 3^2-24 \cdot 3+37 \\
&=&36-72+37 \\
y_V&=&1 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$V(3|1)$}\end{center}

%Durch die Drehung der Parabel um $180^\circ$ wird der Formfaktor \mbox{$a_1=4$}
%von $f_1$ im Vorzeichen umgekehrt.
By rotaning the parabula with an angle of $180^\circ$ the shape factor of
$a_1=4$ is inverted.
\[\begin{array}{rcll}
a_2&=&-a_1 \\
a_2&=&-4 \\
\end{array}\]
%Mit diesen Daten kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform
%aufgestellt werden.
Using this data we can write down the functional equation in vertex form.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-4 \cdot (x-3)^2+1$}\end{center}

%Wer mag, kann das noch in die Normalform umwandeln, auch wenn das hier nicht
%verlangt ist:
If you want, you can transform this into the normal form, although this is not
requested.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&-4 \cdot (x-3)^2+1 \\
&=&-4 \cdot (x^2-6x+9)+1 \\
f_2(x)&=&-4x^4+24x-35 \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Exercise 35:}
%Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=10x^2+12x-4$ und der
%Geraden mit $f_2(x)=9x-3$.
Find out the crossing points of the parabula with \mbox{$f_1(x)=10x^2+12x-4$}
and the stright line with \mbox{$f_2(x)=9x-3$}.

\paragraph{Solution:}
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
10x_S^2+12x_S-4&=&9x_S-3 &|-9x_S+3 \\
10x_S^2+3x_S-1&=&0 &|:10 \\
x_S^2+0{,}3x_S-0{,}1&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-0{,}15 \pm \sqrt{0{,}15^2+0{,}1}\\
&=&-0{,}15 \pm 0{,}35 \\
x_{S1}=-0{,}15+0{,}35=0{,}2 &&
x_{S2}=-0{,}15-0{,}35=-0{,}5\\
y_{S1}&=&f_2(x_{S1}) \\
&=&9 \cdot 0{,}2-3 \\
y_{S1}&=&-1{,}2 \\
y_{S2}&=&f_2(x_{S2}) \\
&=&9 \cdot (-0{,}5)-3 \\
y_{S2}&=&-7{,}5 \\
\end{array}\]
%Ergebnis:
Result:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(0{,}2|-1{,}2)$} \quad and \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2(-0{,}5|-7{,}5)$}\\

%Skizze der Funktionsgraphen:
An outline of the graphs of the functional equations:
\begin{center}
\psset{xunit=25mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(1.8,7.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(1.8,7.8)
  \uput[-90](1.6,0){$x$}  \uput[180](0,7.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.9}{1.9}
{10 x x mul mul 12 x mul add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.9}{1.9}{9 x mul 3 sub}
   \uput[135](0.45,4){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-45](0.55,2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=red](0.2,-1.2){2.5pt}
   \uput[-45](0.2,-1.2){\textcolor{black}{$S_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](-0.5,-7.5){2.5pt}
   \uput[-45](-0.5,-7.5){\textcolor{black}{$S_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}

%---------------------------------------------------------------------
\newpage



\end{document}

%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
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%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
