\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}  % Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\usepackage{units}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Gemischte Aufgaben zur Differenzial- und Integralrechnung}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Voraussetzung für das Verständnis dieser Aufgaben sind die Grundkenntnisse der
Differenzial- und Integralrechnung. Einzelheiten dazu finden Sie beispielsweise
hier:\\

Differenzialrechnung:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf}\fi \\

Integralrechnung:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/integral.pdf}\fi

\newpage
\section{Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1} Gesucht ist ein Polynom 4. Grades.
Die Funktion hat einen Wendepunkt $W_1$ im Koordinantenursprung und einen
weiteren $W_2$ bei $x_{w2}=2$. Die Wendetangente in $W_2$ lautet:
$f_2(x)=-16x+16$
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der $x$-Achse und dem Funktionsgraphen
  eingeschlossen wird!
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 2} Ein Polynom 4. Ordnung stellt einen zur $y$-Achse
spiegelsymmetrischen Funktionsgraphen dar. Bei $W(-1|-32)$ liegt ein
Wendepunkt und der Graph schneidet die $x$-Achse bei $x_0=3$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Gerade mit der Gleichung
  $f_1(x)=9x-27$ und dem Funktionsgraphen der gesuchten Funktion eingeschlossen
  wird!
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 3} Gesucht ist ein Polynom 3. Grades. Die Funktion hat
einen Wendepunkt bei $W(1|1)$ und berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung
$f_1(x)=x-2$ an der Stelle $x_b=2$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Geraden der Funktion $f_1$ und dem
  Graphen der Funktion $f$ ganz eingeschlossen wird!
\end{enumerate}


\newpage
\section{Ergebnisse der Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^4-4x^3$
\item Sattelpunkt $S(0|0)$, Tiefpunkt $T(3|-27)$
\item $A=\unit[51{,}2]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-29)(5.8,12)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{4}
     {x 4 exp 4 x 3 exp mul sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(0,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-29)(5.8,12)
  \uput[0](5.5,-1){x}  \uput[0](-0.4,11){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.4}{4.2}
     {x 4 exp 4 x 3 exp mul sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0,0){2.5pt} \uput[45](0,0){S}
     \uput[-135](0,0){$W_1$}
  \pscircle*[linecolor=red](3,-27){2.5pt} \uput[-45](3,-27){$T$}
  \pscircle*[linecolor=red](2,-16){2.5pt} \uput[-135](2,-16){$W_2$}
  \uput[-135](3,-10){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^4-6x^2-27$
\item Hochpunkt $H(0|-27)$, Tiefpunkte $T_1( \sqrt{3}|-36)$, $T_2(-\sqrt{3}|-36)$
\item $A=\unit[45{,}9]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-39)(4.8,7)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{3}
     {x 4 exp 6 x 2 exp mul sub 27 sub}
   \gsave
   \psline(3,0)(0,-27) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-39)(4.8,7)
  \uput[0](4.5,-1){x}  \uput[0](-0.4,6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.3}{3.3}
     {x 4 exp 6 x 2 exp mul sub 27 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.4}{4.2}
     {9 x mul 27 sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0,-27){2.5pt} \uput[155](0,-27){$H$}
  \pscircle*[linecolor=red](1.732,-36){2.5pt} \uput[-100](1.73,-36){$T_1$}
  \pscircle*[linecolor=red](-1.732,-36){2.5pt} \uput[-100](-1.73,-36){$T_2$}
  \uput[-135](2,-20){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3-3x^2+x+2$
\item Tiefpunkt: $T(1{,}8165|-0{,}0887)$ Hochpunkt: $H(0{,}1835|2{,}0887)$
\item $A=\unit[6{,}75]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-1}{2}
     {x 3 exp 3 x x mul mul sub x add 2 add}
   \gsave
   \psline(2,0)(-1,-3) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,4.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.4}{3.0}
     {x 3 exp 3 x x mul mul sub x add 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4}{5}
     {x 2 sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0.18,2.08){2.5pt} \uput[45](0.18,2.08){$H$}
  \pscircle*[linecolor=red](1.82,-0.09){2.5pt} \uput[-160](1.82,-0.09){$T$}
  \pscircle*[linecolor=red](1,1){2.5pt} \uput[45](1,1){$W$}
  \uput[-45](0,0){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\newpage
\section{Durchgerechnete Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1} Gesucht ist ein Polynom 4. Grades.
Die Funktion hat einen Wendepunkt $W_1$ im Koordinantenursprung und einen
weiteren $W_2$ bei $x_{w2}=2$. Die Wendetangente in $W_2$ lautet:
$f_2(x)=-16x+16$
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der $x$-Achse und dem Funktionsgraphen
  eingeschlossen wird!
\end{enumerate}
\subparagraph{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Zunächst benötigen wir die Funktionsgleichung in allgemeiner Form sowie die
beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d \\
f''(x)&=&12ax^2+6bx+2c
\end{array}\]

Jetzt müssen die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Punkt }W_1(0|0) &\Rightarrow&
  f(0)=0 &\Rightarrow& 0a+0b+0c+0d+e&=&0 \\
\textnormal{Wendep. bei }x_{w1}=0 &\Rightarrow&
  f''(0)=0 &\Rightarrow& 0a+0b+2c&=&0 \\
\textnormal{Wendep. bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f''(2)=0 &\Rightarrow& 48a+12b+2c&=&0 \\
\textnormal{Punkt bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f(2)=f_1(2) &\Rightarrow& 16a+8b+4c+2d+e&=&-16 \\
\textnormal{Tangente bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f'(2)=f'_1(2) &\Rightarrow& 32a+12b+4c+d&=&-16
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem\footnote{Einzelheiten zu
Lineargleichungssystemen und deren Lösungsverfahren siehe beispielsweise
hier:\\
\ifpdf
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
wird mit einem beliebigen Verfahren gelöst. Man erhält:
\[a=1 \quad b=-4 \quad c=0 \quad d=0 \quad e=0\]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^4-4x^3$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&x^4-4x^3 \\
f'(x)&=&4x^3-12x^2 \\
f''(x)&=&12x^2-24x
\end{array}\]
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\[\begin{array}{rcll}
f'(x_E)&=&0 \\
4x_E^3-12x_E^2&=&0 &|4x^2 \textnormal{ ausklammern}\\
4x_E^2 \cdot (x_E-3)&=&0
  &| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
4x_{E1}^2=0 && x_{E2}-3=0 \\
x_{E1}=0 && x_{E2}=3
\end{array}\]
Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema.\\

\underline{Was ist bei $x_{E1}=0$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''(0)=12 \cdot 0^2-24 \cdot 0=0\]
Aus diesem Ergebnis können wir nichts erkennen. Daher verwenden wir
sinnvollerweise das andere Verfahren\footnote{Einzelheiten zur
Extremwertbestimmung siehe hier in Kapitel 3.5:\\
\ifpdf
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}\fi}
 zur Überprüfung. Als Nachbarwerte nehme ich
$\pm 1$.
\[\begin{array}{rcl}
\left\{
\begin{array}{rcrcl}
f'(-1)&=&4 \cdot (-1)^3-12 \cdot (-1)^2&=&-15 \\
f'(1)&=&4 \cdot 1^3-12 \cdot 1^2&=&-9
\end{array} \right\}
& \Rightarrow & \textnormal{ Sattelpunkt bei }x_s=0
\end{array}\]
\[y_s=f(x_s)=x_s^4-4x_s^3=0^4-4 \cdot 0^3=0\]
Zusammengefasst: Sattelpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$S(0|0)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}=3$?}\\
\[f''(x_{E2})=f''(3)=12 \cdot 3^2-24 \cdot 3=36>0
  \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_T=3\]
\[y_T=f(x_T)=x_T^4-4x_T^3=3^4-4 \cdot 3^3=-27\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T(3|-27)$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Nullstellen der Funktion
bestimmt werden, denn sie stellen die Integrationsgrenzen dar.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^4-4x_0^3&=&0 &| x_0^3 \textnormal{ ausklammern}\\
x_0^3 \cdot (x_0-4)&=&0
  &| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
x_{01}^3=0 && x_{02}-4=0 \\
x_{01}=0 && x_{02}=4
\end{array}\]

Mit diesen Integrationsgrenzen können wir das Integral für die Fläche ansetzen.
Da der Funktionsgraph in dem interessanten Bereich \textbf{unterhalb} der
$x$-Achse liegt, muss das \textbf{negative} Integral als Fläche angesetzt
werden.
\[\begin{array}{rcll}
A&=&- \int \limits _{x_1}^{x_2} f(x)dx \\
&=&- \int \limits _0^4 x^4-4x^3 dx \\
&=&- \left[ \cfrac{1}{5}x^5-x^4 \right]_0^4 \\
&=&- \left( \left[ \cfrac{1}{5}\cdot 4^5-4^4 \right]-
  \left[ \cfrac{1}{5}\cdot 0^5-0^4 \right] \right) \\
&=&-\left( \left[ \cfrac{1}{5}\cdot 4^5-4^4 \right] -0 \right) \\
&=&- \cfrac{1}{5}\cdot 4^5+4^4  \\
&=&-204{,}8+256 \\
A&=&51{,}2
\end{array}\]
Die gesuchte Fläche beträgt
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[51{,}2]{FE}$}\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 2} Ein Polynom 4. Ordnung stellt einen zur $y$-Achse
spiegelsymmetrischen Funktionsgraphen dar. Bei $W(-1|-32)$ liegt ein
Wendepunkt und der Graph schneidet die $x$-Achse bei $x_0=3$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Gerade mit der Gleichung
  $f_1(x)=9x-27$ und dem Funktionsgraphen der gesuchten Funktion eingeschlossen
  wird!
\end{enumerate}
\subparagraph*{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet:
\[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\]
Wegen der Symmetrie treten nur gradzahlige Exponenten auf. Das bedeutet, die
Parameter $b$ und $d$ sind 0. Man kann diese Teil-Terme dann auch gleich
weglassen.\\

Wir benötigen die zweite Ableitung. Das ganze sieht dann so aus:
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^4+cx^2+e \\
f'(x)&=&4ax^3+2cx \\
f''(x)&=&12ax^2+2c
\end{array}\]

Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Punkt }(-1|-32) &\Rightarrow&
  f(-1)=-32 &\Rightarrow& a+c+e&=&-32 \\
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=1 &\Rightarrow&
  f''(-1)=0 &\Rightarrow& 12a+2c&=&0 \\
\textnormal{Nullstelle bei }x_0=3 &\Rightarrow&
  f(3)=0 &\Rightarrow& 81a+9c+e&=&0
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Wir erhalten:
\[a=1 \quad c=-6 \quad e=-27\]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^4-6x^2-27$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&x^4-6x^2-27 \\
f'(x)&=&4x^3-12x \\
f''(x)&=&12x^2-12
\end{array}\]
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\[\begin{array}{rcll}
f'(x_E)&=&0 \\
4x_E^3-12x_E&=&0 &|4x_E \textnormal{ ausklammern}\\
4x_E \cdot (x_E^2-3)&=&0
  &| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
4x_{E1}=0 && x_{e2/3}^2-3=0 \\
x_{E1}=0 && x_{E2/3}^2=3 \\
         && x_{E2}=+ \sqrt{3} \\
         && x_{E3}=- \sqrt{3}
\end{array}\]
Demnach gibt es drei Kandidaten für Extrema.\\

\underline{Was ist bei $x_{E1}=0$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''(0)=12 \cdot 0^2-12=-12<0 \Rightarrow
 \textnormal{ Hochpunkt bei }x_H=0\]
\[y_H=f(x_H)=0^4-6 \cdot 0^2-27=-27\]
Zusammengefasst: Hochpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$H(0|-27)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}= \sqrt{3}$?}\\
\[f''(x_{E2})=f''(\sqrt{3})=12 \cdot \left( \sqrt{3}\right)^2-12=24>0
  \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_{T1}= \sqrt{3}\]
\[y_{T1}=f(x_{T1})=
 \left( \sqrt{3}\right)^4-6 \cdot  \left( \sqrt{3}\right)^2-27=-36\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T_1( \sqrt{3}|-36)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E3}=- \sqrt{3}$?}\\

Aus Symmetriegründen muss bei $x_{E3}=- \sqrt{3}$ ebenfalls ein Tiefpunkt
liegen und zwar mit dem gleichen $y$-Wert. Da die Symmetrie bekannt ist, können
wir das ausnutzen.\\

Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T_2(- \sqrt{3}|-36)$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion
$f(x)$ mit der Geraden $f_1(x)$ bestimmt werden, denn sie stellen die
Integrationsgrenzen dar.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&f_1(x) \\
x^4-6x^2-27&=&9x-27 &|-9x+27 \\
x^4-6x^2-9x&=&0 &|x \textnormal{ ausklammern}\\
x \cdot (x^3-6x-9)&=&0
\end{array}\]
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Dadurch erhalten wir sofort
die erste Lösung:
\[x_1=0\]
In dem anderen Term $(x^3-6x-9)$ müssen also die restlichen Nullstellen
stecken.
\[x^3-6x-9=0\]
Diese Gleichung dritten Grades können wir nicht analytisch lösen. Wir können
jedoch durch \textbf{planvolles} Probieren eine Lösung erraten und dann den
Term mit Hilfe einer Polynomdivision faktorisieren. \emph{Wenn es
\textbf{ganzzahlige} Nullstellen gibt, sind sie Teiler des absoluten Gliedes.}
So kommt man sehr schnell auf die Lösung $x_2=3$. Wir führen eine
Polynomdivision durch und erhalten:
\[(x^3-6x-9):(x-3)=x^2+3x+3\]
Der "`Restterm"' $x^2+3x+3$ ergibt eine Quadratische Gleichung, die wir mit
Hilfe der $p$-$q$-Formel lösen können.
\[\begin{array}{rcl}
x^2+3x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&- \cfrac{3}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{4}-3} \\
&=&- \cfrac{3}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{4}-\cfrac{12}{4}} \\
x_{1/2}&=&- \cfrac{3}{2} \pm \sqrt{-\cfrac{3}{4}}
\end{array}\]
Da der Radikand der Wurzel negativ ist, gibt es keine weiteren (reellen)
Nullstellen. Die Integrationsgrenzen stehen also mit $x_1=0$ und $x_2=3$
fest.\\

Fertigt man eine Skizze der Funktionsgraphen an, dann kann man erkennen, dass
in dem Bereich der Fläche die Funktion $f_1(x)$ oberhalb der Funktion $f(x)$
liegt. Damit können wir die gesuchte Fläche als Integral ansetzen.

\newpage
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{x_1}^{x_2} f_1(x)-f(x) dx \\
&=&\int \limits _0^3(9x-27)-(x^4-6x^2-27)dx \\
&=&\int \limits _0^3 (9x-27-x^4+6x^2+27)dx \\
&=&\int \limits _0^3 (9x-x^4+6x^2)dx \\
&=& \left[\frac{9}{2}x^2-\frac{1}{5}x^5+2x^3 \right]_0^3 \\
&=& \left(\frac{9}{2}\cdot 3^2-\frac{1}{5}\cdot 3^5+2 \cdot 3^3 \right)
 - \left(\frac{9}{2} \cdot 0^2-\frac{1}{5}\cdot 0^5+2 \cdot x^3 \right) \\
A&=&45{,}9 \\
\end{eqnarray*}
Die gesuchte Fläche beträgt \fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[45{,}9]{FE}$}\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 3} Gesucht ist ein Polynom 3. Grades. Die Funktion hat
einen Wendepunkt bei $W(1|1)$ und berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung
$f_1(x)=x-2$ an der Stelle $x_b=2$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Geraden der Funktion $f_1$ und dem
  Graphen der Funktion $f$ ganz eingeschlossen wird!
\end{enumerate}
\subparagraph*{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet:
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
Wegen des Wendepunktes benötigen wir auch die erste und zweite Ableitung.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+2b
\end{array}\]
Bekannt ist der $x$-Wert $x_b=2$, wo sich die beiden Graphen berühren. Wir
benötigen auch den zugehörigen $y$-Wert $y_b$.
\[y_b=f_1(x_b)=x_b-2=2-2=0\]

Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Wendepunkt }W(1|1) &\Rightarrow& f(1)=1 &\Rightarrow&
  a+b+c+d&=&1 \\
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=1 &\Rightarrow& f''(1)=0 &\Rightarrow&
  6a+2b&=&0 \\
\textnormal{Berührpunkt }B(2|0) &\Rightarrow& f(2)=0 &\Rightarrow&
  8a+4b+2c+d&=&0 \\
\textnormal{Berühren bei }x_b=2 &\Rightarrow& f'(2)=f_1'(2) &\Rightarrow&
  12a+4b+c&=&1
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Wir erhalten:
\[a=1 \quad b=-3 \quad c=1 \quad d=2 \]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^3-3x^2+x+2$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&x^3-3x^2+x+2 \\
f'(x)&=&3x^2-6x+1 \\
f''(x)&=&6x-6
\end{array}\]
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\[\begin{array}{rcll}
f'(x_E)&=&0 \\
3x_E^2-6x_E+1&=&0 &|:3 \\
x_E^2-2x_E+\cfrac{1}{3}&=&0 \\
x_{E1/2}&=&1 \pm \sqrt{1-\cfrac{1}{3}}\\
x_{E1}=1+ \sqrt{\cfrac{2}{3}} && x_{E2}=1- \sqrt{\cfrac{2}{3}}\\
x_{E1} \approx 1{,}8165 && x_{E2} \approx 0{,}1835
\end{array}\]
Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema.\\

\underline{Was ist bei $x_{E1}=1+ \sqrt{\frac{2}{3}}$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''\left(1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
  =6 \cdot \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)-6 \approx 4,899>0
 \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_T=1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\]
\[y_T=f(x_T)= \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3
  -3 \cdot \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2
  + \left( 1+\sqrt{\frac{2}{3}}\right) +2 \approx -0{,}08866\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T(1{,}8165|-0{,}08866)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}=1- \sqrt{\frac{2}{3}}$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''\left(1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
  =6 \cdot \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)-6 \approx -4,899<0
 \Rightarrow \textnormal{ Hochpunkt bei }x_H=1- \sqrt{\frac{2}{3}}\]
\[y_H=f(x_H)= \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3
  -3 \cdot \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2
  + \left( 1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) +2 \approx 2{,}0887\]
Zusammengefasst: Hochpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$H(0{,}1835|2{,}0887)$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion
$f(x)$ mit der Geraden $f_1(x)$ bestimmt werden, denn sie stellen die
Integrationsgrenzen dar.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&f_1(x) \\
x^3-3x^2+x+2&=&x-2 &|-x+2 \\
x^3-3x^2+4&=&0
\end{array}\]
Bekannt ist bereits der Berührpunkt bei $x_b=2$ und damit $x_1=2$. Daher muss
man keine Nullstelle dieser Gleichung mehr durch planvolles Raten suchen. Wir
können sofort eine Polynomdivision durchführen. Wir erhalten als Ergebnis:
\[ \left( x^3-3x^2+4 \right):(x-2)=x^2-x-2\]
Mit Hilfe der $p$-$q$-Formel lassen sich nun die weiteren Nullstellen dieses
Terms beestimmen.
\[\begin{array}{rcl}
x^2-x-2&=&0 \\
x_{2/3}&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+2}\\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{8}{4}}\\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{3}{2}\\
x_2=-1&&x_3=2
\end{array}\]
Die Lösung $x_3=2$ ist identisch mit $x_1=2$. Die Integrationsgrenzen sind
also:\\
\[x_1=-1 \textnormal{ und }x_2=2\]

Fertigt man eine Skizze der beiden Funktionsgraphen in dem Bereich zwischen
$x_1=-1$ und $x_2=2$ an, so kann man feststellen, dass die Gerade $f_1$
\textbf{unterhalb} von $f$ liegt. Damit kann die Fläche als Integral angesetzt
werden:
\newpage
\[\begin{array}{rcll}
A&=&\int \limits _{-1}^2 f(x)-f_1(x) dx \\
&=&\int \limits _{-1}^2 \left( x^3-3x^2+x+2 \right)-(x-2) dx \\
&=&\int \limits _{-1}^2 \left( x^3-3x^2+4 \right) dx \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4-x^3+4x \right]_{-1}^2 \\
&=&\left( \cfrac{1}{4}2^4-2^3+4 \cdot 2 \right)
  -\left( \cfrac{1}{4}(-1)^4-(-1)^3+4 \cdot (-1) \right) \\
&=&4-(-2{,}75) \\
A&=&6{,}75
\end{array}\]
Die gesuchte Fläche beträgt \fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[6{,}75]{FE}$}\\

\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
%\parpic[r]{\includegraphics{Bilddatei}}
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