\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\usepackage[right]{eurosym}
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Übungsaufgaben zur Komplexen Rechnung in der Elektrotechnik}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!\\

\section{Grundlagen}
Die Grundlagen zur Komplexen Rechnung finden Sie hier:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/komplgl.pdf} \fi
\end{center}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(11,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(11,3){J}
   \pnode(11,1){K}
   \pnode(14,3){L}
   \pnode(17,3){M}
   \pnode(17,1){N}
   \pnode(17,2){O}\qdisk(O){2pt}
   \pnode(19,2){P}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](D)(G){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_3$}
   \coil[labeloffset=-1](L)(M){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](K)(N){$R_4$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(H)(I)
   \wire(J)(K)
   \wire(M)(N)
   \wire(O)(P)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(19.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Pha\-sen\-ver\-schie\-bungs\-win\-kel $\varphi$. Folgende Werte sind be\-kannt: \\
\mbox{$R_1=\unit[100]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_2=\unit[200]{\Omega}$} \quad
\mbox{$R_3=\unit[200]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_4=\unit[100]{\Omega}$}
\quad \mbox{$L_1=\unit[0{,}1]{H}\quad L_2=\unit[0{,}1]{H}$} \quad
\mbox{$\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$}

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(12,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(12,3){J}
   \pnode(12,1){K}
   \pnode(15,3){L}
   \pnode(15,1){M}
   \pnode(15,2){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(17,2){O}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](D)(G){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](H)(I){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=-1](K)(M){$C_3$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(N)(O)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(17.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Pha\-sen\-ver\-schie\-bungs\-win\-kel $\varphi$. Folgende Werte sind be\-kannt: \\
\mbox{$R_1=\unit[100]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_2=\unit[200]{\Omega}$}
 \quad \mbox{$L_1=\unit[200]{mH}$}
\quad \mbox{$C_1=\unit[2]{\mu F}$} \quad \mbox{$C_2=\unit[10]{\mu F}$} \quad
\mbox{$C_3=\unit[2]{\mu F}$}  \mbox{$\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$}

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_{L1}$}
   \coil[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{L2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_C$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie die Widerstände $X_{L1}$ und
$X_C$ so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung gleich
$\unit[10]{\Omega}$ reell wird! \\
Be\-kannt sind die Werte $X_{L2}=\unit[8]{\Omega}$ und $R=\unit[16]{\Omega}$.\\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(1,3){A}
   \pnode(3,3){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,5){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,5){E}
   \pnode(6,3){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(9,3){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(9,1){H}
   \pnode(11,3){I}
   \coil[labeloffset=1.2](D)(H){$X_L$}
   \resistor[labeloffset=1](C)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=1](F)(G){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=1](B)(F){$X_C$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(E)(F)
   \wire(G)(H)
   \wire(G)(I)
   \pscircle(0.9,3){2pt}
   \pscircle(11.1,3){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Widerstand $R_2$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung
reell wird! Folgende Werte sind be\-kannt: \\
$X_C=\unit[2]{\Omega} \quad X_L=\unit[8]{\Omega} \quad R_1=\unit[4]{\Omega}$ \\
Wie groß wird damit der Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z$ der Schaltung? \\

\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_L$}
   \capacitor[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{C2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_{C1}$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Widerstand $X_{C2}$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung reell wird! Be\-kannt sind
die Werte:\\
$X_{C1}=\unit[50]{\Omega} \quad X_L=\unit[12,5]{\Omega} \quad
R_1=\unit[20]{\Omega}$. \\
Wie groß wird damit der Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z$ der Schaltung? \\

\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(15.5,5.5)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(8,4){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(8,1){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(11,4){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(11,1){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(14,4){I}
   \pnode(14,1){J}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$L_1$}
   \coil[labeloffset=-0.7](I)(J){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(D){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=1](G)(I){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-1](F)(H){$R_4$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](C)(D){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](G)(H){$C_2$}
   \wire(C)(G)
   \wire(D)(F)
   \wire(H)(J)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung! Be\-kannt sind folgende Werte: \\
$\omega =\unit[100]{s}^{-1} \quad L_1=\unit[0{,}5]{H} \quad
  L_2=\unit[1]{H} \\
C_1=\unit[500]{\mu F} \quad C_2=\unit[100]{\mu F}$ $R_1=\unit[20]{\Omega} \\
R_2=\unit[50]{\Omega} \quad R_3=\unit[50]{\Omega} \quad R_4=\unit[30]{\Omega}$

\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$\b U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$\b U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){}
   \resistor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$\b Z_1$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C){$\b Z_2$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$\b Z_3$}
   \wire(B)(F)
   \wire(A)(B)
   \wire(E)(F)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Ströme in nebenstehende Schaltung können durch ein Lineargleichungssystem
beschrieben werden. Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die
Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und $\b I_3$. Be\-kannt sind die Werte:\\
$\b Z_1=\unit[1]{\Omega} -j\unit[3]{\Omega}; \quad \b Z_2=\unit[2]{\Omega}
 -j\unit[4]{\Omega};$ \\
$\b Z_3=j\unit[2]{\Omega}$; \quad
$\b U_1=j\unit[4]{V}; \quad \b U_2=\unit[4]{V}$\\ \\

\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(21.5,8.5)
   \pnode(2,7){A}\uput{0.2}[180](A){L1}
   \pnode(2,6){B}\uput{0.2}[180](B){L2}
   \pnode(2,5){C}\uput{0.2}[180](C){L3}
   \pnode(6,7){D}
   \pnode(6,6){E}
   \pnode(6,5){F}
   \pnode(8,7){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,5){K}
   \pnode(12,6){L}\qdisk(L){2pt}
   \pnode(12,5){M}
   \pnode(16,5){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(8,0){O}
   \pnode(12,0){P}\qdisk(P){2pt}
   \pnode(16,0){Q}
   \pnode(18,7){R}
   \pnode(18,6){S}
   \pnode(18,5){T}
   \resistor[labeloffset=1](A)(D){F}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(E){}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(F){}
   \wire(A)(R)
   \wire(B)(S)
   \wire(C)(T)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(O)(Q)
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](K)(O){$X_L$}

\capacitor[labeloffset=-1.2,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](M)(P){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](N)(Q){$R$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Be\-stim\-men Sie die Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$ in den Außenleitern des
nebenstehend dargestellten
Dreiphasenwechselstromnetzes mit $U_L=400$V! Stellen Sie dazu ein
Lineargleichungssystem für die drei Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und
$\b I_3$ auf und lösen Sie das Gleichungssystem. Berechnen Sie anschließend die
gesuchten Beträge der Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$.
Be\-kannt sind die Werte:\\
$X_L=\unit[100]{\Omega}; \quad X_C=\unit[200]{\Omega};
 \quad R=\unit[50]{\Omega}$

\subsection{Aufgabe 9}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \capacitor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$X_L$}
   \wire(B)(F)
   \wire(C)(E)
   \pscircle(1.9,5){2pt}
   \pscircle(1.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehende Schaltung ist an eine Wechselspannung von
$U=100V$ angschlossen. Die Bauteilwerte sind: \\
$X_C=\unit[20]{\Omega}$\\
$X_L=\unit[25]{\Omega}$\\
$R=\unit[50]{\Omega}$\\
Gesucht sind die Ströme $I_C$ im Kondensator, $I_L$ in der Spule und $I_R$ im
ohmschen Widerstand.

\subsection{Aufgabe 10:}
\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,4.5)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(4,3){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(4,0){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(7,3){E}
   \pnode(7,0){F}
   \coil[labeloffset=-0.5,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_L$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$L$}
   \capacitor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_C$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$C$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \wire(C)(E)
   \wire(B)(F)
   \pscircle(-0.1,3){2pt}
   \pscircle(-0.1,0){2pt}
   \psline[linecolor=blue]{->}(0,2.5)(0,0.5)
   \uput{0.2}[180](0,1.5){\textcolor{blue}{$U_0$}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Folgende Daten sind gegeben:\\
$U_0=10V$\\
$R=50 \Omega$\\
$X_L=20 \Omega$\\
$X_C=25 \Omega$\\ \\
Gesucht sind die Teilspannungen $U_L$ und $U_R$.

\subsection{Aufgabe 11:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(11.5,1.6)
   \pnode(-0.4,0){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,0){C}
   \pnode(3.5,0){D}
   \pnode(5.5,0){E}
   \pnode(7.5,0){F}
   \pnode(9,0){G}
   \pnode(11,0){H}
   \pnode(11.4,0){I}
   \coil[labeloffset=-0.5,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{L1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](B)(C){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{C1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$C_1$}
   \coil[labeloffset=-0.5,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{L2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](D)(E){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_{R1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{C2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](F)(G){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_{R2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](G)(H){$R_2$}
   \psline{o-}(A)(B)
   \psline{-o}(H)(I)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit diesen Werten:


$L_1=\unit[0{,}11]{H}$\quad $L_2=\unit[21]{mH}$,\\
$C_1=\unit[150]{\mu F}$\quad $C_2=\unit[300]{\mu F}$, \\
$R_1=\unit[10]{\Omega}$ \qquad $R_2=\unit[20]{\Omega}$\\
$\omega =\unit[300]{s^{-1}}$ \\

\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie den komplexen Ersatzwiderstand $\b Z$ der Schaltung!
\item Geben Sie eine Ersatzschaltung mit zwei Bauelementen an!
\item Bestimmen Sie den komplexen Strom $\b I$, wenn eine Spannung von
  $\b U_0=\unit[12]{V}$ angelegt wird! Bestimmen Sie auch den Betrag des
  Stromes $I$ sowie seinen Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ gegenüber der
  Spannung $\b U_0$.
\item Bestimmen Sie die komplexe Spannung $\b U_{L1}$ an der Induktivität $L_1$
  für diesen Fall sowie ihren Betrag $U_{L1}$ und die Phasenverschiebung
  gegenüber der Spannung $\b U_0$.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{Aufgabe 12:}
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(3.3,4.1)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,4){A4}
   \pnode(1,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(1,2){B2}\qdisk(B2){2pt}
   \pnode(1,4){B4}\qdisk(B4){2pt}
   \pnode(3,0){C0}
   \pnode(3,2){C2}\qdisk(C2){2pt}
   \pnode(3,4){C4}
   \resistor[labeloffset=-0.7](B4)(B2){$Z_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](B2)(B0){$Z_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C4)(C2){$Z_3$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C2)(C0){$Z_4$}
   \psline{o-}(A4)(C4)
   \psline{o-}(A0)(C0)
   \Ucc[](B2)(C2){} \uput{0}[90](2,1.8){I} %Strommesser
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
An die Brückenschaltung wird eine Wechselspannung angelegt. Der Strommesser
zeigt \mbox{$I=\unit[0]{A}$} an. Folgende Daten sind bekannt:\\
$\b Z_2=\unit[3]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}$\\
$\b Z_3=\unit[19]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}$\\
$\b Z_4=\unit[1]{\Omega}-j\unit[18]{\Omega}$\\

Berechnen Sie $\b Z_1$!\\

\subsubsection{Aufgabe 13}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(1.7,0.9)(11.5,5.5)
   \pnode(5,5){A}
   \pnode(5,1){B}
   \pnode(7.9,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(7.9,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \pnode(3,5){G}
   \pnode(2,5){H}
   \pnode(2,1){I}
   \resistor[labeloffset=-1](G)(A){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](A)(C){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R_2$}
   \coil[labeloffset=-0.7](C)(D){$X_L$}
   \psline{o-}(I)(F)
   \psline{o-}(H)(G)
   \wire(C)(E)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie den Komplexen Ersatzwiderstand $\b Z$ der nebenstehenden
Schaltung! Gegeben sind folgende Werte:\\
$R_1=\unit[10]{\Omega}$\quad
$X_C=\unit[30]{\Omega}$\\
$R_2=\unit[80]{\Omega}$\quad
$X_L=\unit[40]{\Omega}$\\ \\

\subsubsection{Aufgabe 14}
\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(1.1,0.9)(11.5,5.5)
   \pnode(2.3,5){A}\qdisk(A){2pt}
   \pnode(5,5){A1}
   \pnode(2.3,1){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(8.9,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(8.9,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(11,5){E}
   \pnode(11,1){F}
   \pnode(3,5){G}
   \pnode(1.2,5){H}
   \pnode(1.2,1){I}
   \capacitor[labeloffset=1.2](A)(B){$X_{C1}$}
   \resistor[labeloffset=-0.8,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](G)(A1){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](C)(D){$X_{C2}$}
   \resistor[labeloffset=-0.8,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(F){$R_2$}
   \coil[labeloffset=-0.6](A1)(C){$X_{L1}$}
   \coil[labeloffset=1](B)(D){$X_{L2}$}
   \psline{o-}(I)(B)
   \psline{o-}(H)(G)
   \psline(D)(F)
   \wire(C)(E)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit folgenden Werten:\\
$R_1=\unit[20]{\Omega}$\quad \ $X_{C1}=\unit[120]{\Omega}$
  \quad $X_{L1}=\unit[80]{\Omega}$\\
$R_2=\unit[200]{\Omega}$\quad $X_{C2}=\unit[100]{\Omega}$
  \quad $X_{L2}=\unit[60]{\Omega}$\\

\textbf{a)} Bestimmen Sie den Komplexen Ersatzwiderstand $\b Z$ der nebenstehenden
Schaltung!\\
\textbf{b)} Die Schaltung wird nun an eine Wechselspannung von
\mbox{$U_0=\unit[12]{V}$} angeschlossen. Bestimmen Sie die Ströme $I_1$ und
$I_2$ in den Widerständen $R_1$ und $R_2$. Gemeint sind hierbei die Werte, die
ein Strommesser an den jeweiligen Stellen anzeigen würden.\\


\newpage %----------------------------------------------------
\section{Lösungen mit Lösungsweg}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(11,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(11,3){J}
   \pnode(11,1){K}
   \pnode(14,3){L}
   \pnode(17,3){M}
   \pnode(17,1){N}
   \pnode(17,2){O}\qdisk(O){2pt}
   \pnode(19,2){P}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](D)(G){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_3$}
   \coil[labeloffset=-1](L)(M){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](K)(N){$R_4$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(H)(I)
   \wire(J)(K)
   \wire(M)(N)
   \wire(O)(P)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(19.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Pha\-sen\-ver\-schie\-bungs\-win\-kel $\varphi$. Folgende Werte sind be\-kannt: \\
\mbox{$R_1=\unit[100]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_2=\unit[200]{\Omega}$} \quad
\mbox{$R_3=\unit[200]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_4=\unit[100]{\Omega}$}
\quad \mbox{$L_1=\unit[0{,}1]{H}\quad L_2=\unit[0{,}1]{H}$} \quad
\mbox{$\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$}

\paragraph*{Lösung:}
Wir bestimmen zunächst aus den gegebenen Daten die komplexen Wirk- und
Blindwiderstände.\\
\begin{eqnarray*}
R_1=\unit[100]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_1=\unit[100]{\Omega}\\
R_2=\unit[200]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_2=\unit[200]{\Omega}\\
R_3=\unit[200]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_3=\unit[200]{\Omega}\\
R_4=\unit[100]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_4=\unit[100]{\Omega}\\
X_{L1}=\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[0{,}1]{H}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{L1}=j\unit[100]{\Omega}\\
X_{L2}=\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[0{,}1]{H}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{L2}=j\unit[100]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Ich fasse $R_1$ und $X_{L1}$ mit der Formel für die Reihenschaltung als
$Z_1$ zusammen.
\[\b Z_1=\b R_1+\b X_{L1}=\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\]
Ich fasse $Z_1$ mit $R_2$ zu $Z_2$ zusammen. Dazu verwende ich die Formel für
die Parallelschaltung.
\[\b Z_2=\frac{\b Z_1 \cdot \b R_2}{\b Z_1+\b R_2}
 =\frac{(\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[200]{\Omega}}
   {\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}}
 =\frac{\unit[20000]{\Omega}^2+j\unit[20000]{\Omega}^2}
 {\unit[300]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}\]
Damit die Zahlen und die Einheiten nicht so groß werden, klammere ich im Zähler
und im Nenner $\unit[100]{\Omega}$ aus und kürze dadurch.
\[\b Z_2=\frac{\unit[100]{\Omega}  \cdot
  (\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega}\cdot(3+j1)}
  = \frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}{3+j1}\]
Das muss ich jetzt aufteilen können in Real- und Imaginärteil. Dazu muss ich
den Bruch \textbf{Konjugiert Komplex erweitern}.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}{3+j1}
 \cdot \frac{3-j1}{3-j1}
 =\frac{\unit[600]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}+j\unit[600]{\Omega}
 +\unit[200]{\Omega}}{3^2+1^2}
 =\frac{\unit[800]{\Omega}+j\unit[400]{\Omega}}{10}\\
\b Z_2&=&\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Ähnlich müssen wir auch die rechte Teilschaltung zusammenfassen. Die
Reihenschaltung aus $R_3$ und $X_{L2}$ bekommt den Namen $Z_3$. Die
Parallelschaltung von $Z_3$ mit $R_4$ nenne ich dann $Z_4$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_3 & = & \b R_3+\b X_{L2}=\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\\
\b Z_4 & = & \frac{\b Z_3 \cdot \b R_4}{\b Z_3+\b R_4}
 =\frac{(\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[100]{\Omega}}
   {\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}+\unit[100]{\Omega}}
 =\frac{\unit[20000]{\Omega}^2+j\unit[10000]{\Omega}^2}
 {\unit[300]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}\\
 &=&\frac{\unit[100]{\Omega} \cdot (\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
 {\unit[100]{\Omega}\cdot (3+j1)}
 = \frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}{3+j1} \\
 &=&\frac{(\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot (3-j1)}{(3+j1)
  \cdot (3-j1)}
 =\frac{\unit[600]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}+j\unit[300]{\Omega}
 +\unit[100]{\Omega}}{3^2+1^2}
 =\frac{\unit[700]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}{10}\\
\b Z_4&=&\unit[70]{\Omega}+j\unit[10]{\Omega}
 \end{eqnarray*}\\
Um den Gesamtwiderstand $\b Z$ zu bestimmen, muss ich nun noch $\b Z_2$ und
$\b Z_4$ addieren.
\[\b Z=\b Z_2+\b Z_4=\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega}+\unit[70]{\Omega}
  +j\unit[10]{\Omega}=\unit[150]{\Omega}+j\unit[50]{\Omega}\]
Mit den entsprechenden Formeln kann ich dann den Betrag $Z$ und den
Pha\-sen\-ver\-schie\-bungs\-win\-kel $\varphi$ von $\b Z$ berechnen.
\begin{eqnarray*}
Z&=& \sqrt{( \textnormal{Re}\b Z)^2+( \textnormal{Im}\b Z)^2}
 = \sqrt{(\unit[150]{\Omega})^2+(\unit[50]{\Omega})^2} \approx
  \unit[158]{\Omega}\\
\varphi&=&\arctan \frac{ \textnormal{Im}\b Z}{ \textnormal{Re}\b Z}
 = \arctan \frac{\unit[50]{\Omega}}{\unit[150]{\Omega}} \approx 18{,}43^\circ
 \end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$Z \approx \unit[158]{\Omega}$}
$\quad$\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 18{,}43^\circ$}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(12,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(12,3){J}
   \pnode(12,1){K}
   \pnode(15,3){L}
   \pnode(15,1){M}
   \pnode(15,2){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(17,2){O}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](D)(G){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](H)(I){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=-1](K)(M){$C_3$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(N)(O)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(17.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Pha\-sen\-ver\-schie\-bungs\-win\-kel $\varphi$. Folgende Werte sind be\-kannt: \\
$R_1=\unit[100]{\Omega} \quad R_2=\unit[200]{\Omega} \quad L_1=\unit[200]{mH}
\quad C_1=\unit[2]{\mu F} \quad C_2=\unit[10]{\mu F} \quad
C_3=\unit[2]{\mu F}$  $\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$

\paragraph*{Lösung:}
Wie schon bei Aufgabe 1 bestimmen wir zunächst aus den gegebenen Daten die
komplexen Wirk- und Blindwiderstände.
\begin{eqnarray*}
R_1=\unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_1=\unit[100]{\Omega}\\
R_2=\unit[200]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_2=\unit[200]{\Omega}\\
X_L= \omega  \cdot L
 =\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[200]{mH}=\unit[200]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_L=j\unit[200]{\Omega}\\
X_{C1}=\frac{1}{\omega  \cdot C_1}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[2]{\mu F}}=\unit[500]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C1}=-j\unit[500]{\Omega}\\
X_{C2}=\frac{1}{\omega  \cdot C_2}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[10]{\mu F}}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C2}=-j\unit[100]{\Omega}\\
X_{C3}=\frac{1}{\omega  \cdot C_3}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[2]{\mu F}}=\unit[500]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C3}=-j\unit[500]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Als nächstes werden $R_1$ und $X_L$ mit Hilfe der Formel für die
Reihenschaltung zu $Z_1$ zusammengefasst.
\[\b Z_1=\b R_1+\b X_{L1}=\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}\]
Nun kann man mit Hilfe der Formel für die Parallelschaltung $Z_1$ und $X_{C1}$
zu $Z_2$ zusammengefasst werden. Nachdem die Werte eingesetzt und
zusamengefasst sind, wird ausgeklammert, gekürzt und Konjugiert Komplex
erweitert, um $\b Z_2$ in Realteil und Imaginärteil aufspalten zu können.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b Z_1 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_1+\b X_{C1}}
 = \frac{(\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}) \cdot (-j\unit[500]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}+(-j\unit[500]{\Omega})}
 = \frac{-j\unit[50000]{\Omega}^2+\unit[100000]{\Omega}^2}
   {\unit[100]{\Omega}-j\unit[300]{\Omega}}\\
&=& \frac{\unit[100]{\Omega}\cdot (-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega} \cdot (1-j3)}
 =\frac{-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega}}{1-j3}
 =\frac{(-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega})
   \cdot (1+j3)}{(1-j3) \cdot (1+j3)}\\
&=& \frac{-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega}
  +j\unit[3000]{\Omega}}{1^2+3^2}
 = \frac{\unit[2500]{\Omega}+j\unit[2500]{\Omega}}{10}=\unit[250]{\Omega}
  +j\unit[250]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die Parallelschaltung aus $R_2$ und $X_{C3}$ nenne ich $Z_3$ und berechne sie
mit der Parallelschaltungsformel. Anschließend wird wieder zusammengefasst,
ausgeklammert, gekürzt und Konjugiert Komplex erweitert.
\newpage%------------------------------------------
\begin{eqnarray*}
\b Z_3&=&\frac{\b R_2 \cdot \b X_{C3}}{\b R_2+\b X_{C3}}
  = \frac{\unit[200]{\Omega}\cdot (-j\unit[500]{\Omega})}
    {\unit[200]{\Omega}+(-j\unit[500]{\Omega})}
  = \frac{-j\unit[100000]{\Omega}^2}{\unit[200]{\Omega}-j\unit[500]{\Omega}}
  = \frac{\unit[100]{\Omega}\cdot (-j\unit[1000]{\Omega})}
    {\unit[100]{\Omega} \cdot (2-j5)}\\
&=& \frac{-j\unit[1000]{\Omega}}{2-j5}
  = \frac{(-j\unit[1000]{\Omega}) \cdot (2+j5)}{(2-j5) \cdot (2+j5)}
  = \frac{-j\unit[2000]{\Omega}+\unit[5000]{\Omega}}{2^2+5^2}
  = \frac{-j\unit[2000]{\Omega} +\unit[5000]{\Omega}}{29} \\
&\approx& -j\unit[68{,}97]{\Omega}+\unit[172{,}41]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die drei Widerstände $Z_2$, $X_{C2}$ und $Z_3$ sind in Reihe geschaltet. Ich
kann also den Gesamt-Scheinwiderstand $Z$ mit der Reihenschaltungsformel
berechnen und zusammenfassen.
\[\b Z=\b Z_2+\b X_{C2}+\b Z_3
  =\unit[250]{\Omega}+j\unit[250]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}
    -j\unit[68{,}97]{\Omega}+\unit[172{,}41]{\Omega}
  =\unit[422{,}41]{\Omega}+j\unit[81{,}03]{\Omega}\]
Der Betrag und der Phasenwinkel dieses Widerstandes kann wieder mit Hilfe der
Grundformeln berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
Z&=& \sqrt{( \textnormal{Re}\b Z)^2+( \textnormal{Im}\b Z)^2}
 = \sqrt{(\unit[422{,}41]{\Omega})^2+(\unit[81{,}03]{\Omega})^2}
   \approx \unit[430{,}11]{\Omega}\\
\varphi&=&\arctan \frac{ \textnormal{Im}\b Z}{ \textnormal{Re}\b Z}
 = \arctan \frac{\unit[81{,}03]{\Omega}}{\unit[422{,}41]{\Omega}}
   \approx 10{,}86^\circ \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$Z \approx \unit[430{,}11]{\Omega}$}
$\quad$\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 10{,}86^\circ$}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_{L1}$}
   \coil[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{L2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_C$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie die Widerstände $X_{L1}$ und
$X_C$ so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung gleich
$\unit[10]{\Omega}$ reell wird! \\
Be\-kannt sind die Werte $X_{L2}=\unit[8]{\Omega}$ und $R=\unit[16]{\Omega}$. \\ \\ \\ \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
un\-be\-kann\-ten Größen $\b X_{L1}$ und $\b X_C$ an mit:
\[\b X_{L1}=jX_L \quad \textnormal{ und } \quad \b X_C=-jX_C\]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur zwei \textbf{reelle} Größen,
nämlich $X_L$ und $X_C$, bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
demnach also so aus:
\begin{eqnarray*}
R=\unit[16]{\Omega}\quad &\Rightarrow& \quad \b R=\unit[16]{\Omega}\\
X_{L2}=\unit[8]{\Omega}\quad &\Rightarrow& \quad \b X_{L2}=j\unit[8]{\Omega}\\
X_{L1}=X_L \quad &\Rightarrow& \quad \b X_{L1}=jX_L \\
& & \quad \b X_C=-jX_C
\end{eqnarray*}
Die Reihenschaltung aus $X_{L2}$ und $R$ nenne ich $Z_1$ und erhalte mit der
Formel für die Reihenschaltung:
\[\b Z_1=\b R + \b X_{L2}=\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}\]
$Z_1$ ist zu $X_C$ parallel geschaltet. Diese Parallelschaltung nenne ich
$Z_2$. Ich bestimme $\b Z_2$ mit der Formel für die Parallelschaltung.
\[\b Z_2=\frac{\b Z_1 \cdot \b X_C}{\b Z_1+\b X_C}
 =\frac{(\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}) \cdot (-jX_C)}
    {(\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega})+(-jX_C)}
 =\frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
   {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega} -jX_C}\]
Hinzu kommt noch $\b X_{L1}$, wenn ich den Gesamtwiderstand $\b Z$ bestimmen will:
\[\b Z=\b X_{L1}+\b Z_2=jX_L+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}\]
Da \mbox{$\b Z=\unit[10]{\Omega}$} (reell) be\-kannt ist, kann diesen Wert für
$\b Z$ einsetzen. Ich erhalte dann \emph{eine} Komplexe Gleichung mit
\emph{zwei} Variablen.
\[\unit[10]{\Omega}=jX+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}\]
Eine solche Gleichung löst man am besten dadurch, dass man sie in
\emph{Kom\-po\-nen\-ten\-glei\-chung\-en} aufspaltet. Damit das möglich ist, muss ich die
Gleichung vorher mit dem Hauptnenner multiplizieren, um keine Brüche mehr zu
haben. \textbf{Die Aufspaltung ist nämlich nur bei \emph{Linearen Gleichungen}
möglich!}
\begin{eqnarray*}
\unit[10]{\Omega}&=&jX_L+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}
  |\cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C) \\
\unit[10]{\Omega} \cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C)
  &=& jX_L \cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C)
   -j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2+j\unit[80]{\Omega}^2-j\unit[10]{\Omega}X_C
  &=&j\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C-j\unit[16]{\Omega}X_C
   +\unit[8]{\Omega}X_C
  | +j\unit[10]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2+j\unit[80]{\Omega}^2
  &=& j\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C
   -j\unit[6]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C
\end{eqnarray*}
Diese Komplexe Gleichung kann nun aufgespaltet werden in eine Gleichung mit den
\emph{Realteilen} und eine andere Gleichung mit den \emph{Imaginärteilen}.
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Re: } \quad \unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C
  +\unit[8]{\Omega}X_C\\
\textnormal{Im: } \quad \unit[80]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}X_L
  -\unit[6]{\Omega}X_C
\end{eqnarray*}
Ich löse die Gleichung aus den Imaginärteilen nach $X_L$ auf, um das Ergebnis
in die andere Gleichung einzusetzen.
\begin{eqnarray*}
\unit[80]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[6]{\Omega}X_C
 |+\unit[6]{\Omega}X_C \\
\unit[80]{\Omega}^2+\unit[6]{\Omega}X_C&=&\unit[16]{\Omega}X_L
 |:\unit[16]{\Omega}\\
\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C &=& X_L
\end{eqnarray*}
Einsetzen in die Reelle Gleichung:
\begin{eqnarray*}
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}(\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C)
  +(\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C) X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[40]{\Omega}^2-\unit[3]{\Omega}X_C
  +\unit[5]{\Omega}X_C+\frac{3}{8} X_C^2
  +\unit[8]{\Omega}X_C |+\unit[40]{\Omega}^2 \\
\unit[200]{\Omega}^2&=&\unit[10]{\Omega}X_C+\frac{3}{8} X_C^2
  | \cdot \frac{8}{3} \\
\frac{1600}{3} \Omega^2 &=& \frac{80}{3} \Omega X_C+X_C^2
  | -\frac{1600}{3} \Omega^2 \\
0 &=& X_C^2+\frac{80}{3} \Omega X_C-\frac{1600}{3} \Omega^2 \\
X_{C1/2} &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{ \left( \frac{40}{3}\Omega
  \right)^2+\frac{1600}{3} \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{\frac{1600}{9} \Omega^2+\frac{4800}{9}
   \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{\frac{6400}{9} \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \frac{80}{3} \Omega \\
X_{C1}&=&\frac{40}{3} \Omega \\
X_{C2}&=&-\frac{120}{3} \Omega =-\unit[40]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die Lösung $X_{C2}=-\unit[40]{\Omega}$ entfällt, denn es können nur positive
Werte eingesetzt werden. Sonst wäre $C$ eine Spule! Die Lösung
$X_{C2}=\frac{40}{3} \Omega$ setze ich in die umgeformte Imaginärteil-Gleichung
ein.
\[X_L=\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8}X_C
  =\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} \cdot \frac{40}{3} \Omega=\unit[10]{\Omega}\]
Die Lösungen lauten also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$X_L=\unit[10]{\Omega}$}\quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$X_C=\frac{40}{3} \Omega \approx \unit[13{,}3]{\Omega}$}

\newpage %---------------------
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(1,3){A}
   \pnode(3,3){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,5){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,5){E}
   \pnode(6,3){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(9,3){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(9,1){H}
   \pnode(11,3){I}
   \coil[labeloffset=1.2](D)(H){$X_L$}
   \resistor[labeloffset=1](C)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=1](F)(G){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=1](B)(F){$X_C$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(E)(F)
   \wire(G)(H)
   \wire(G)(I)
   \pscircle(0.9,3){2pt}
   \pscircle(11.1,3){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Widerstand $R_2$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung
reell wird! Folgende Werte sind be\-kannt: \\
$X_C=\unit[2]{\Omega} \quad X_L=\unit[8]{\Omega} \quad R_1=\unit[4]{\Omega}$ \\
Wie groß wird damit der Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z$ der Schaltung? \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
un\-be\-kann\-ten Größe $\b R_2$ an mit:
\[\b R_2=R \]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur eine \textbf{reelle} Größe --
nämlich $R$ -- bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
damit dann so aus:
\begin{eqnarray*}
\b R_1&=&\unit[4]{\Omega}\\
\b R_2&=&R \\
\b X_L&=&j\unit[8]{\Omega}\\
\b X_C&=&-j\unit[2]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Beginnen wir mit der Zusammenfassung der Parallelschaltung aus $R_1$ und $X_C$.
Den Er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_1$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\b R_1 \cdot \b X_C}{\b R_1+\b X_C} \\
 &=&\frac{\unit[4]{\Omega}\cdot (-j\unit[2]{\Omega})}
   {\unit[4]{\Omega}+ (-j\unit[2]{\Omega})} \\
 &=&\frac{-j\unit[8]{\Omega}^2}{\unit[4]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}} \\
\b Z_1&=&\frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}
\end{eqnarray*}
Mit $Z_1$ in Reihe geschaltet ist $R_2$. Den Er\-satz\-wi\-der\-stand dieser
Reihenschaltung nenne ich $Z_2$. Wir können $\b Z_2$ berechnen.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\b Z_1+\b R_2 \\
\b Z_2&=&\frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_2$ ist $X_L$ geschaltet. Damit können wir nun den
Er\-satz\-wi\-der\-stand der gesamten Schaltung $\b Z$ aufstellen.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\b Z_2 \cdot \b X_L}{\b Z_2+\b X_L} \\
\b Z&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)
  \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)+j\unit[8]{\Omega}}
\end{eqnarray*}
Bevor wir weiterrechnen, sollten wir diesen Term vereinfachen. Dazu fassen wir
im Zähler und im Nenner des Hauptbruches die Teilbrüche zusammen, damit wir
anschließend die Nenner der Teilbrüche herauskürzen können.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)
 \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)+j\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)}{2-j} \right)
 \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\frac{-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)+j\unit[8]{\Omega}(2-j)}{2-j}} \\
&=&\frac{\left(-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j) \right) \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)+j\unit[8]{\Omega}(2-j)} \\
&=&\frac{(-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR) \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR+j\unit[16]{\Omega}-j^2\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{-j^2 \unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega} R-j^2 \unit[8]{\Omega}R}
   {-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR+j\unit[16]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}
\end{eqnarray*}
Nachdem wir nun den Term für $\b Z$ vereinfacht haben, gibt zwei
grundsätzlich verschiedene Wege, wie man weiterarbeiten kann.
\begin{enumerate}
\item Wir können den Term für $\b Z$ in einen Realteil und einen
  Imaginärteil aufspalten. Dann können wir den Imaginärteil gleich Null setzen,
  um dadurch $R$ zu bestimmen.
\item Da $\b Z$ laut Aufgabenstellung als \emph{reelle} Größe be\-kannt
  ist, können wir $\b Z=Z$ setzen. Dadurch erhalten wir die
  Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteile aufzuspalten. Wir
  bekommen dann \emph{zwei} Gleichungen mit \emph{zwei} Variablen, nämlich
  $Z$ und $R$.
\end{enumerate}
Um die Vor- und Nachteile der beiden Verfahren besser unterscheiden zu können,
führe ich nacheinander beide vor.
\newpage%--------------------------------------
\subparagraph*{Lösungsweg 1}
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {(2R+\unit[8]{\Omega})-j(R-\unit[12]{\Omega})}\\
&=&\frac{(\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R)
   \cdot ((2R+\unit[8]{\Omega})+j(R-\unit[12]{\Omega}))}
  {\left( (2R+\unit[8]{\Omega})-j(R-\unit[12]{\Omega})\right)
   \cdot ((2R+\unit[8]{\Omega})+j(R-\unit[12]{\Omega}))} \\
&=&\frac{(\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R)
  \cdot (2R+\unit[8]{\Omega}+jR-j\unit[12]{\Omega})}
  {(2R+\unit[8]{\Omega})^2+(R-\unit[12]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[64]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3
  +j\unit[32]{\Omega}^2R-j\unit[384]{\Omega}^3
+j\unit[32]{\Omega}R^2+j\unit[128]{\Omega}^2R-\unit[16]{\Omega}R^2}
  {4R^2+\unit[32]{\Omega}R+\unit[64]{\Omega}^2+R^2-\unit[24]{\Omega}R
   +\unit[144]{\Omega}^2}\cdots \\
&& \qquad \cdots \frac{+\unit[192]{\Omega}^2R+\unit[16]{\Omega}R^2
  +\unit[64]{\Omega}^2R+j\unit[8]{\Omega}R^2-j\unit[96]{\Omega}^2R}{\cdots} \\
&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3+j\unit[64]{\Omega}^2R
  -j\unit[384]{\Omega}^3+j\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \\
\b Z&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
 +j\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
\end{eqnarray*}
Da $\b Z$ reell sein soll, ist der Imaginärteil von $\b Z$ gleich
Null. Damit bekommen wir eine Gleichung zur Bestimmung von $R$.
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Im}(\b Z)&=&0 \\
\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
  &=&0 \quad| \cdot \textnormal{Nenner} \\
\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2&=&0 \\
\unit[40]{\Omega}R^2+\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3
  &=&0 \quad|:\unit[40]{\Omega}\\
R^2+\unit[1{,}6]{\Omega}R-\unit[9{,}6]{\Omega}^2&=&0 \quad|\textnormal{ p-q-Formel} \\
R_{1/2}&=&-\unit[0{,}8]{\Omega}\pm
  \sqrt{\unit[0{,}64]{\Omega}^2+\unit[9{,}6]{\Omega}^2} \\
&=&-\unit[0{,}8]{\Omega}\pm \unit[3{,}2]{\Omega}\\
R_1&=&\unit[2{,}4]{\Omega}\\
R_2&=&-\unit[4]{\Omega} \quad \textnormal{(entfällt)}
\end{eqnarray*}
Die Lösung lautet also
\fcolorbox{red}{yellow}{$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$}
, denn negative Widerstände gibt es nicht.
\\ \\
\newpage%--------------------------------------
\subparagraph*{Lösungsweg 2}
Als alternative Lösungsmethode können wir $\b Z=Z$ setzen. Dadurch
erhalten wir die Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteile
aufzuspalten. Wir bekommen dann \emph{zwei} Gleichungen mit \emph{zwei reellen}
Variablen, nämlich $Z$ und $R$.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}
   \quad|\cdot (2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}) \\
2RZ-jRZ+j\unit[12]{\Omega}Z+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R \\
\end{eqnarray*}
Aus dieser komplexen Gleichung können wir nun \emph{\textbf{zwei}} reelle
Gleichungen machen, indem wir die Gleichung in eine Gleichung für die Realteile
und eine andere für die Imaginärteile aufspalten.
\[\begin{array}{lrcl}
& 2RZ-jRZ+j\unit[12]{\Omega}Z+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R \\
\textnormal{Re: }\quad & 2RZ+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +\unit[8]{\Omega}R \\
\textnormal{Im: }      & -RZ+\unit[12]{\Omega}Z&=&\unit[16]{\Omega}R
\end{array}\]
Das Gleichungssystem lösen wir, indem wir die Gleichung aus den reellen
Anteilen nach $Z$ auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.
\begin{eqnarray*}
2RZ+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R \\
Z \cdot (2R+\unit[8]{\Omega})&=&\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R
  \quad|:(2R+\unit[8]{\Omega})\\
Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R}{2R+\unit[8]{\Omega}}\\
Z&=&\frac{\unit[8]{\Omega}\cdot (\unit[4]{\Omega}+R)}
  {2 \cdot (R+\unit[4]{\Omega})} \\
Z&=&\unit[4]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setzen wir in die Gleichung aus den Imaginärteilen ein.
\begin{eqnarray*}
-RZ+\unit[12]{\Omega}Z&=&\unit[16]{\Omega}R \\
-R \cdot \unit[4]{\Omega}+\unit[12]{\Omega}\cdot \unit[4]{\Omega}
  &=&\unit[16]{\Omega}R \\
-\unit[4]{\Omega}R+\unit[48]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}R
  \quad|+\unit[4]{\Omega}R \\
\unit[48]{\Omega}^2&=&\unit[20]{\Omega}R \quad|:\unit[20]{\Omega}\\
\unit[2{,}4]{\Omega}&=&R
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$}\end{center}
Jeder mag für sich selbst entscheiden, welchen Lösungsweg er einfacher findet.
\\ \\
\newpage%--------------------------------------
Zum ersten Lösungsweg müsste noch die fehlende Größe $\b Z$ bestimmt werden.
(Im zweiten Lösungsweg entfällt das, weil die Lösung $\b Z=\unit[4]{\Omega}$
quasi nebenbei angefallen ist.) Dazu setzen wir den gefundenen Wert
$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$ in die gefundene Formel für $\b Z$ ein.
\[\b Z=\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}{5R^2
  +\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
 +j\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \]
Laut Aufgabenstellung ist der Imaginärteil Im$\b Z=0$. (Das ist der Bruch
hinter dem $j$.) Daher können wir ihn der Einfachheit halber auch gleich
weglassen. In den so vereinfachten Term setzen wir dann $R=\unit[2{,}4]{\Omega}$
ein.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}{5R^2
  +\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2 \cdot \unit[2{,}4]{\Omega}+\unit[256]{\Omega}^3}
  {5 \cdot (\unit[2{,}4]{\Omega})^2+\unit[8]{\Omega}\cdot \unit[2{,}4]{\Omega}
   +\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[768]{\Omega}^3+\unit[256]{\Omega}^3}
  {\unit[28{,}8]{\Omega}^2+\unit[19{,}2]{\Omega}^2+\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[1024]{\Omega}^3}{\unit[256]{\Omega}^2}\\
&=&\unit[4]{\Omega}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Gesamtwiderstand $\b Z=\unit[4]{\Omega}$}
\end{center}

\newpage %---------------------
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_L$}
   \capacitor[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{C2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_{C1}$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Widerstand $X_{C2}$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung reell wird! Be\-kannt sind
die Werte:\\
$X_{C1}=\unit[50]{\Omega} \quad X_L=\unit[12{,}5]{\Omega} \quad
R_1=\unit[20]{\Omega}$. \\
Wie groß wird damit der Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z$ der Schaltung? \\ \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
un\-be\-kann\-ten Größe $\b X_{C2}$ an mit:
\[\b X_{C2}=-jX \]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur eine \textbf{reelle} Größe --
nämlich $X$ -- bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
damit dann so aus:
\begin{eqnarray*}
\b X_{C1}&=&-j\unit[50]{\Omega} \\
\b X_L&=&j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b R&=&\unit[20]{\Omega}\\
\b X_{C2}&=&-jX \\
\end{eqnarray*}
Ich beginne mit der Zusammenfassung aus $X_{C2}$ und $R$. Diese nenne ich
$\b Z_1$.
\[\b Z_1=\b X_{C2}+\b R=-jX+\unit[20]{\Omega}\]
Parallel zu $Z_1$ liegt $X_{C1}$. Diese Parallelschaltung nenne ich $\b Z_2$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b Z_1 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_1+\b X_{C1}} \\
\b Z_2&=&\frac{(-jX+\unit[20]{\Omega}) \cdot (-j\unit[50]{\Omega})}
  {-jX+\unit[20]{\Omega}-j\unit[50]{\Omega}}\\
\b Z_2&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})} \\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_2$ liegt $X_L$. Damit erhalte ich den Gesamtwiderstand $\b Z$:
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b Z_2+\b X_L \\
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Ab hier gibt es wieder -- wie bei den vorangehenden Aufgaben auch -- zwei
unterschiedliche Lösungswege.
\subparagraph*{Lösungsweg 1}
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert Komplex erweitern} \\
&=&\frac{(-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2) \cdot
  (\unit[20]{\Omega}+jX+j\unit[50]{\Omega})}
  {[\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})] \cdot
   [(\unit[20]{\Omega}+j(X+\unit[50]{\Omega})]}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
&=&\frac{-\unit[1000]{\Omega}^2 X-j\unit[50]{\Omega}X^2-j\unit[2500]{\Omega}^2X
  -j\unit[20000]{\Omega}^3+\unit[1000]{\Omega}^2X+\unit[50000]{\Omega}^3}
  {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} +j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b Z&=&\frac{-j\unit[50]{\Omega}X^2-j\unit[2500]{\Omega}^2X
  -j\unit[20000]{\Omega}^3+\unit[50000]{\Omega}^3}
  {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} +j\unit[2{,}5]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Der Bruch kann nun in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden. Das geht dann
auch mit dem gesamten $\b Z$.

\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
  -\unit[2500]{\Omega}^2 X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
   +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \left( \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
   -\unit[2500]{\Omega}^2 X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}\right) \\
\end{eqnarray*}
Laut Aufgabenstellung ist Im$(\b Z)=0$. Daraus können wir eine Gleichung zur
Bestimmung von $X$ machen.
\begin{eqnarray*}
 \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}&=&0
   \quad |\cdot \textnormal{Nenner} \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[400]{\Omega}^2
   +(X+\unit[50]{\Omega})^2 \right) &=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[400]{\Omega}^2+X^2
   +\unit[100]{\Omega} X+\unit[2500]{\Omega}^2 \right)&=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[2900]{\Omega}^2+X^2
   +\unit[100]{\Omega}X \right) &=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[36250]{\Omega}^3+\unit[12{,}5]{\Omega}X^2+\unit[1250]{\Omega}^2X&=&0 \\
-\unit[37{,}5]{\Omega}X^2-\unit[1250]{\Omega}^2X+\unit[16250]{\Omega}^3&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Wir haben eine Quadratische Gleichung erhalten, die wir nun mit der
$p-q-$Formel lösen können.
\newpage
\begin{eqnarray*}
-\unit[37{,}5]{\Omega}X^2-\unit[1250]{\Omega}^2X+\unit[16250]{\Omega}^3&=&0
  \quad|:(-\unit[37{,}5]{\Omega}) \\
X^2+\frac{100}{3}\Omega X -\frac{1300}{3} \Omega^2&=&0 \\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm
  \sqrt{\frac{2500}{9}\Omega^2+\frac{3900}{9}\Omega^2}\\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm \sqrt{\frac{6400}{9}\Omega^2} \\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm \frac{80}{3}\Omega \\
X_1&=&\frac{30}{3}\Omega =\unit[10]{\Omega}\\
X_2&=&-\frac{130}{3}\Omega \textnormal{ (entfällt)} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}{$\b X_{C2}=-j\unit[10]{\Omega}$}
oder: \fcolorbox{red}{yellow}{$X_{C2}=\unit[10]{\Omega}$}\end{center}
Fehlt noch $\b Z$. Da Im$\b Z=0$ ist, ist $\b Z=Z=\textnormal{Re}\b Z$.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \left( \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
  -\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}\right) \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(\unit[10]{\Omega}+\unit[50]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+(\unit[60]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+\unit[3600]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[4000]{\Omega}^2} \\
\b Z&=&\unit[12{,}5]{\Omega} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}{$\b Z=Z=\unit[12{,}5]{\Omega}$}
\end{center}
\newpage
\subparagraph*{Lösungsweg 2}
Alternativ ergibt sich auch hier wieder die Möglichkeit, aus \textbf{einer
Komplexen} Gleichung \textbf{zwei Reelle} Gleichungen zu machen. Das allerdings
geht nur, weil $\b Z=Z$ ist!
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}
  \quad|\cdot \textnormal{Nenner}\\
Z \cdot [\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})]&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot
   [\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})] \\
Z \cdot (\unit[20]{\Omega}-jX-j\unit[50]{\Omega})&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[12{,}5]{\Omega} \cdot (\unit[20]{\Omega}
  -jX-j\unit[50]{\Omega}) \\
\unit[20]{\Omega}Z-jXZ-j\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[250]{\Omega}^2+\unit[12{,}5]{\Omega}X
  +\unit[625]{\Omega}^2 \\
\unit[20]{\Omega}Z-jXZ-j\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X
  -j\unit[750]{\Omega}^2+\unit[625]{\Omega}^2 \\
\end{eqnarray*}
Diese Gleichung können wir nun ein eine Gleichung mit den Realteilen und in
eine mit den Imaginärteilen zerlegen. Das ist der eigentliche "`Trick"' bei
diesem Verfahren.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{Realteile: }&\unit[20]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X
  +\unit[625]{\Omega}^2 \\
\textnormal{Imaginärteile: }&-XZ-\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
\end{array}\]
Da dieses Gleichungssystem \textbf{nichtlinear} ist, kommt als Lösungsverfahren
wohl nur das Einsetzungsverfahren in Frage. Dazu löse ich die Realteilgleichung
nach $Z$ auf und setze das Ergebnis in die Imaginärteilgleichung ein.
\begin{eqnarray*}
\unit[20]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X+\unit[625]{\Omega}^2
  \quad|:\unit[20]{\Omega}\\
Z&=&-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in die Imaginärteilgleichung:
\begin{eqnarray*}
-XZ-\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
-X \cdot (-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega})-\unit[50]{\Omega}
  \cdot (-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega})&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
1{,}875X^2-\unit[31{,}25]{\Omega}X+\unit[93{,}75]{\Omega}X-\unit[1562{,}5]{\Omega}^2
  &=&-\unit[750]{\Omega}^3 \quad|+\unit[750]{\Omega}^2 \\
1{,}875X^2+\unit[62{,}5]{\Omega}X-\unit[812{,}5]{\Omega}^2&=&0 \quad|:1{,}875 \\
x^2+\frac{100}{3}\Omega X-\frac{1300}{3} \Omega^2&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Da diese Gleichung auch schon beim ersten Lösungsweg auftrat, kann man den Rest
der Lösung dort nachlesen; der restliche Lösungsweg ist identisch.

\newpage %----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(15.5,5.5)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(8,4){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(8,1){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(11,4){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(11,1){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(14,4){I}
   \pnode(14,1){J}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$L_1$}
   \coil[labeloffset=-0.7](I)(J){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(D){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=1](G)(I){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-1](F)(H){$R_4$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](C)(D){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](G)(H){$C_2$}
   \wire(C)(G)
   \wire(D)(F)
   \wire(H)(J)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Be\-stim\-men Sie den Komplexen
Er\-satz\-wi\-der\-stand $\b Z$ der Schaltung! Be\-kannt sind folgende Werte: \\
$\omega =\unit[100]{s}^{-1} \quad L_1=\unit[0{,}5]{H} \quad
  L_2=\unit[1]{H} \\
C_1=\unit[500]{\mu F} \quad C_2=\unit[100]{\mu F}$ $R_1=\unit[20]{\Omega} \\
R_2=\unit[50]{\Omega} \quad R_3=\unit[50]{\Omega} \quad R_4=\unit[30]{\Omega}$\\ \\

\paragraph*{Lösung:}
Zur Lösung bestimme ich zunächst die entsprechenden Blindwiderstände aus der
Kreisfrequenz und den $L$- und $C$-Werten.
\begin{eqnarray*}
X_{L1}= \omega \cdot L_1=\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[0{,}5]{H}
  =\unit[50]{\Omega} &\Rightarrow& \b X_{L1}=j\unit[50]{\Omega}\\
X_{L2}= \omega \cdot L_2=\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[1]{H}
  =\unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{L2}=j\unit[100]{\Omega}\\
X_{C1}= \frac{1}{\omega \cdot C_1}
  = \frac{1}{\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[500]{\mu F}}
  = \unit[20]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{C1}=-j\unit[20]{\Omega}\\
X_{C2}= \frac{1}{\omega \cdot C_2}
  = \frac{1}{\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[100]{\mu F}}
  = \unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{C2}=-j\unit[100]{\Omega}\\
R_1=\unit[20]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_1=\unit[20]{\Omega}\\
R_2=\unit[50]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_2=\unit[50]{\Omega}\\
R_3=\unit[50]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_3=\unit[50]{\Omega}\\
R_4=\unit[30]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_4=\unit[30]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Ich beginne bei der Reihenschaltung aus $R_3$ und $L_2$. Den zugehörigen
Teil\-er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_1$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\b R_3 +\b X_{L2} \\
\b Z_1&=&\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_1$ ist $C_2$ geschaltet. Den zugehörigen
Teil\-er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_2$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b X_{C2} \cdot \b Z_1}{\b X_{C2}+\b Z_1}\\
&=&\frac{-j\unit[100]{\Omega}\cdot (\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
   {-j\unit[100]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}} \\
&=&\frac{-j\unit[5000]{\Omega}^2+\unit[10000]{\Omega}^2}{\unit[50]{\Omega}}\\
\b Z_2&=&-j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_2$ ist $R_4$ geschaltet. Den zugehörigen
Teil\-er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_3$.
\enlargethispage{15mm}
\begin{eqnarray*}
\b Z_3&=&\b R_4+\b Z_2 \\
&=&\unit[30]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}\\
\b Z_3&=&\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_3$ ist $R_2$ geschaltet. Den zugehörigen
Teil\-er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_4$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_4&=&\frac{\b Z_3 \cdot \b R_2}{\b Z_3+\b R_2} \\
&=&\frac{(\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[50]{\Omega}}
  {\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}}\\
&=&\frac{\unit[11500]{\Omega}^2-j\unit[5000]{\Omega}^2}
  {\unit[280]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left( \unit[11500]{\Omega}^2-j\unit[5000]{\Omega}^2 \right)
    \cdot (\unit[280]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
  {(\unit[280]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}) \cdot (\unit[280]{\Omega}
  +j\unit[100]{\Omega})} \\
&=&\frac{\unit[3220000]{\Omega}^3+j\unit[1150000]{\Omega}^3
  -j\unit[1400000]{\Omega}^3+500000 \Omega^3}{\unit[78400]{\Omega}^2
  +\unit[10000]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[3720000]{\Omega}^3-j\unit[250000]{\Omega}^3}{\unit[88400]{\Omega}^2}\\
\b Z_4&\approx&\unit[42{,}081]{\Omega}-j\unit[2{,}828]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_4$ ist $C_1$ geschaltet. Den zugehörigen
Teil\-er\-satz\-wi\-der\-stand nenne ich $Z_5$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_5&=&\frac{\b Z_4 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_4+\b X_{C1}} \\
&\approx&\frac{(\unit[42{,}081]{\Omega}-j\unit[2{,}828]{\Omega})
  \cdot (-j\unit[20]{\Omega})}{\unit[42{,}081]{\Omega}-j\unit[2{,}828]{\Omega}
  -j\unit[20]{\Omega}}\\
&=&\frac{-j\unit[841,62]{\Omega}^2-\unit[56{,}56]{\Omega}^2}
  {\unit[42{,}081]{\Omega}-j\unit[22{,}828]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left(-j\unit[841{,}62]{\Omega}^2-\unit[56{,}56]{\Omega}^2 \right)
    (\unit[42{,}081]{\Omega}+j\unit[22{,}828]{\Omega})}
  {(\unit[42{,}081]{\Omega}-j\unit[22{,}828]{\Omega})
  (\unit[42{,}081]{\Omega}+j\unit[22{,}828]{\Omega})}\\
&\approx&\frac{-j\unit[35416]{\Omega}^3+\unit[19212]{\Omega}^3
  -\unit[2380]{\Omega}^3-j\unit[1291]{\Omega}^3}
  {\unit[1771]{\Omega}^2+\unit[521]{\Omega}^2}\\
&=&\frac{\unit[6832]{\Omega}^3-j\unit[36707]{\Omega}^3}{\unit[2292]{\Omega}^2}\\
\b Z_5&\approx&\unit[7{,}344]{\Omega}-j\unit[16{,}02]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
\newpage
In Reihe zu $Z_5$ sind $R_1$ und $L_1$ geschaltet. Damit ergibt sich der
Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b X_{L1}+\b Z_5+ \b R_1 \\
\b Z&\approx&j\unit[50]{\Omega}+\unit[7{,}344]{\Omega}
  -j\unit[16{,}02]{\Omega}+\unit[20]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\b Z \approx \unit[27{,}344]{\Omega}+j\unit[33{,}98]{\Omega}$}\end{center}

\newpage  %-------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$\b U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$\b U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){}
   \resistor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$\b Z_1$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C){$\b Z_2$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$\b Z_3$}
   \wire(B)(F)
   \wire(A)(B)
   \wire(E)(F)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Ströme in nebenstehende Schaltung können durch ein Lineargleichungssystem
beschrieben werden. Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die
Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und $\b I_3$. Be\-kannt sind die Werte:\\
$\b Z_1=\unit[1]{\Omega} -j\unit[3]{\Omega}; \quad \b Z_2=\unit[2]{\Omega}
 -j\unit[4]{\Omega};$ \\
$\b Z_3=j\unit[2]{\Omega}$; \quad
$\b U_1=j\unit[4]{V}; \quad \b U_2=\unit[4]{V}$\\ \\

\paragraph*{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.2,3)
   \pnode(0,2){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(2,0){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(4,0){F}
   \psline[linecolor=black]{-}(A)(B)(F)(E)
   \psline[linecolor=green]{-}(C)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C)
   \qdisk(C){2pt}   \qdisk(D){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich die
Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem
\textbf{Maschenstromverfahren}\footnote{Details zum Maschenstromverfahren
siehe hier:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/netzwerk.pdf} \fi}
arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen "`\textbf{Vollständigen Baum}"', der
alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander
verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich "`verkümmerte"' Baum ist in
\textcolor{green}{grüner} Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die
Maschenströme $I_1$ und $I_2$, mit denen das Gleichungssystem aufgestellt
wird. Die Masche 1 verläuft über $Z_1$, $Z_3$ und $U_1$, Masche 2 entsprechend
über $Z_2$, $U_2$ und $Z_3$.\\

\[\begin{array}{rrcl}
(1) & \b Z_1 \cdot \b I_1+\b Z_3 \cdot (\b I_1+\b I_2)-\b U_1&=&0 \\
(2) & \b Z_2 \cdot \b I_2+\b Z_3 \cdot (\b I_2+\b I_1)-\b U_2&=&0 \\
\hline
(1) & \b Z_1 \cdot \b I_1+\b Z_3 \cdot \b I_1+\b Z_3 \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & \b Z_2 \cdot \b I_2+\b Z_3 \cdot \b I_2+\b Z_3 \cdot \b I_1&=&\b U_2 \\
\hline
(1) & (\b Z_1+\b Z_3) \cdot \b I_1+\b Z_3 \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & +\b Z_3 \cdot \b I_1+(\b Z_2+\b Z_3) \cdot \b I_2&=&\b U_2 \\
\end{array}\]
Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rrrcl}
(1) & (\b Z_1+\b Z_3) \cdot \b I_1&+\b Z_3 \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & +\b Z_3 \cdot \b I_1&+(\b Z_2+\b Z_3) \cdot \b I_2&=&\b U_2 \\
\hline
(1) & (\unit[1]{\Omega} -j\unit[3]{\Omega}+j\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}\\
(2) & j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}
  +j\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_2&=&\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (\unit[1]{\Omega} -j\unit[1]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}\\
(2) & j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega})
  \cdot \b I_2&=&\unit[4]{V}\\
\hline
\end{array}\]

\newpage
Zur Lösung kann man natürlich jedes beliebige Lösungsverfahren für
Lineargleichungssysteme verwenden.\footnote{In Frage kommt beispielsweise das
Einsetzungsverfahren, das Additions-/Subtraktionsverfahren, die Cramersche
Regel oder das Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den verschiedenen
Verfahren sind hier zu finden:\\
\ifpdf
Einsetzungsverfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Additions-/Subtraktionsverfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Cramersche Regel:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Gauß-Jordan-Verfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}\fi
}\\

Ich möchte gern das Additions-/Subtraktionsverfahren verwenden. Damit beim
Subtrahieren die Variable $\b I_1$ wegfällt, multipliziere ich Gleichung (1)
mit $j2$ und Gleichung (2) mit $(1-j1)$.
\[\begin{array}{rrrcll}
(1) & (\unit[1]{\Omega} -j\unit[1]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}&| \cdot (j2) \\
(2) & j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega})
  \cdot \b I_2&=&\unit[4]{V}&| \cdot (1-j1) \\
\hline
(1) & (j\unit[2]{\Omega} -j^2\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+j^2\unit[4]{\Omega} \cdot \b I_2&=&j^2\unit[8]{V}\\
(2) & (j\unit[2]{\Omega} -j^2\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}+j^2\unit[2]{\Omega})
  \cdot \b I_2&=&\unit[4]{V}-j\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (j\unit[2]{\Omega}+\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+\unit[4]{\Omega} \cdot \b I_2&=&\unit[8]{V}\\
(2) & (j\unit[2]{\Omega}+\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}-\unit[2]{\Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}+j\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (j\unit[2]{\Omega}+\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &+\unit[4]{\Omega} \cdot \b I_2&=&\unit[8]{V}&|\\
(2) & (j\unit[2]{\Omega}+\unit[2]{\Omega}) \cdot \b I_1
  &-j\unit[4]{\Omega} \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}+j\unit[4]{V}&|-\\
\hline
&&(\unit[4]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}) \cdot \b I_2&=&\unit[12]{V}-j\unit[4]{V}
  &|:(\unit[4]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}) \\
&&\b I_2&=&\frac{\unit[12]{V}-j\unit[4]{V}}{\unit[4]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}}\\
&&\b I_2&=&\frac{3-j1}{1-j1}\textnormal{A}\\
&&\b I_2&=&\frac{(3-j1) \cdot (1+j1)}{(1-j1) \cdot (1+j1)}\textnormal{A}\\
&&\b I_2&=&\frac{3+j3-j-j^2}{1-j^2}\textnormal{A}\\
&&\b I_2&=&\frac{3+j3-j+1}{1+1}\textnormal{A}\\
&&\b I_2&=&\frac{4+j2}{2}\textnormal{A}\\
&&\b I_2&=&\unit[2]{A}+j\unit[1]{A}
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein, um $\b I_1$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega})
  \cdot \b I_2&=&\unit[4]{V}\\
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1+(\unit[2]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega})
  \cdot (\unit[2]{A}+j\unit[1]{A})&=&\unit[4]{V}\\
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1+\unit[4]{V}+j\unit[2]{V}-j\unit[4]{V}-j^2\unit[2]{V}
  &=&\unit[4]{V}\\
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1+\unit[4]{V}+j\unit[2]{V}-j\unit[4]{V}+\unit[2]{V}
  &=&\unit[4]{V}\\
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1+\unit[6]{V}-j\unit[2]{V}&=&\unit[4]{V}
  \quad|-\unit[6]{V}+j\unit[2]{V}\\
j\unit[2]{\Omega} \cdot \b I_1&=&-\unit[2]{V}+j\unit[2]{V}
  \quad|:j\unit[2]{\Omega} \\
\b I_1&=&\frac{-\unit[2]{V}+j\unit[2]{V}}{j\unit[2]{\Omega}}
   \cdot \frac{j}{j}\\
\b I_1&=&\frac{-j\unit[2]{V}+j^2\unit[2]{V}}{j^2\unit[2]{\Omega}}\\
\b I_1&=&\frac{-j\unit[2]{V}-\unit[2]{V}}{-\unit[2]{\Omega}}\\
\b I_1&=&\unit[1]{A}+j\unit[1]{A}\\
\end{eqnarray*}
Damit kann nun $I_3$ bestimmt werden:
\[I_3=I_1+I_2=\unit[1]{A}+j\unit[1]{A}+\unit[2]{A}+j\unit[1]{A}
=\unit[3]{A}+j\unit[2]{A}\]

Zusammengefasstes Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_1=\unit[1]{A}+j\unit[1]{A}$} \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_2=\unit[2]{A}+j\unit[1]{A}$} \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_3=\unit[3]{A}+j\unit[2]{A}$}

\newpage   %------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(21.5,8.5)
   \pnode(2,7){A}\uput{0.2}[180](A){L1}
   \pnode(2,6){B}\uput{0.2}[180](B){L2}
   \pnode(2,5){C}\uput{0.2}[180](C){L3}
   \pnode(6,7){D}
   \pnode(6,6){E}
   \pnode(6,5){F}
   \pnode(8,7){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,5){K}
   \pnode(12,6){L}\qdisk(L){2pt}
   \pnode(12,5){M}
   \pnode(16,5){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(8,0){O}
   \pnode(12,0){P}\qdisk(P){2pt}
   \pnode(16,0){Q}
   \pnode(18,7){R}
   \pnode(18,6){S}
   \pnode(18,5){T}
   \resistor[labeloffset=1](A)(D){F}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(E){}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(F){}
   \wire(A)(R)
   \wire(B)(S)
   \wire(C)(T)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(O)(Q)
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](K)(O){$X_L$}
 \capacitor[labeloffset=-1.2,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](M)(P){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](N)(Q){$R$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Be\-stim\-men Sie die Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$ in den Außenleitern des
nebenstehend dargestellten
Dreiphasenwechselstromnetzes mit $U_L=400$V! Stellen Sie dazu ein
Lineargleichungssystem für die drei Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und
$\b I_3$ auf und lösen Sie das Gleichungssystem. Berechnen Sie anschließend die
gesuchten Beträge der Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$.
Be\-kannt sind die Werte:\\
$X_L=\unit[100]{\Omega}; \quad X_C=\unit[200]{\Omega};
 \quad R=\unit[50]{\Omega}$
\paragraph*{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,0.4)(11.5,6.3)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_{12}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.4,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{23}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.4,
     tensionwidth=\pslinewidth](F)(E){}
   \coil[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$X_L$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C){$R$}
   \capacitor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](D)(C){$X_C$}
   \wire(B)(F)
   \wire(A)(B)
   \wire(E)(F)
   \uput{0.2}[135](A){\scriptsize \textcolor{green}{L1}}
   \uput{0.25}[-90](D){\scriptsize \textcolor{green}{L2}}
   \uput{0.2}[45](E){\scriptsize \textcolor{green}{L3}}
   \uput{0.25}[90](C){\scriptsize \textcolor{green}{N}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Um einen besseren Überblick zu erhalten, wird die Schaltung zunächst etwas
umgezeichnet. Dabei werden aus dem Drei\-pha\-sen-Wech\-sel\-span\-nungs\-netz nur die
Spannungen $U_{12}$ und $U_{23}$ verwendet; mit diesen wird aber trotzdem das
komplette Netz vollständig beschrieben. Zur besseren Orientierung habe ich die
Punkte, die die Außenleiter \textcolor{green}{L1}, \textcolor{green}{L2} und
\textcolor{green}{L3} sowie den Sternpunkt \textcolor{green}{N} bezeichnen,
mit in die Schaltung eingetragen.

\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.2,3)
   \pnode(0,2){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(2,0){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(4,0){F}
   \psline[linecolor=black]{-}(A)(B)(F)(E)
   \psline[linecolor=green]{-}(C)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C)
   \qdisk(C){2pt}   \qdisk(D){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich die
Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem
\textbf{Maschenstromverfahren}\footnote{Details zum Maschenstromverfahren
siehe hier:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/netzwerk.pdf} \fi}
arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen "`\textbf{Vollständigen Baum}"', der
alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander
verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich "`verkümmerte"' Baum ist in
\textcolor{green}{grüner} Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die
Maschenströme $I_1$ und $I_3$, mit denen das Gleichungssystem aufgestellt
wird. Die Masche 1 verläuft über $X_L$, $X_C$ und $U_{12}$, Masche 3
entsprechend über $R$, $X_C$ und $U_{23}$.\\

Bevor wir beginnen können, sollten wir die komplexen Spannungen festlegen. Ich
lege $\b U_{12}$ in die reelle Richtung. Damit ist:
\[\b U_{12}=\unit[400]{V}\]
Die Spannung $\b U_{23}$ eilt der Spannung $\b U_{12}$ um $120^\circ$ nach.
Damit ergibt sich für $\b U_{23}$:
\[\b U_{23}=\unit[400]{V} \cdot e^{-j120^\circ}
 =\unit[400]{V} \cdot \Bigl(\cos (-120^\circ) +j \sin (-120^\circ)\Bigr)
 \approx-\unit[200]{V}-j\unit[346{,}4]{V}\]
Weiterhin ist:
\[\b X_L=jX_L=j\unit[100]{\Omega}\]
\[\b X_C=-jX_C=-j\unit[200]{\Omega}\]

Jetzt können wir einen Maschenumlauf für Masche 1 und Masche 3 aufstellen.

\[\begin{array}{rrcl}
(1) & \b X_L \cdot \b I_1+\b X_C \cdot (\b I_1+\b I_3)-\b U_{12}&=&0 \\
(3) & \b R   \cdot \b I_2+\b X_C \cdot (\b I_2+\b I_1)+\b U_{23}&=&0 \\
\hline
(1) & \b X_L \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b R  \cdot \b I_2+\b X_C \cdot \b I_2+\b X_C \cdot \b I_1&=&-\b U_{23}\\
\hline
(1) & (\b X_L+\b X_C) \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b X_C \cdot \b I_1+( \b R+\b X_C) \cdot \b I_2&=&-\b U_{23}\\
\end{array}\]
Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden.

\[\begin{array}{rrrcl}
(1) & (\b X_L+\b X_C) \cdot \b I_1&+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b X_C \cdot \b I_1&+( \b R+\b X_C) \cdot \b I_3&=&-\b U_{23}\\
\hline
(1) & (j\unit[100]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\hline
(1) & -j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\end{array}\]

Multipliziert man Gleichung (1) mit $-2$, dann können die beiden Gleichungen
einfach addiert werden. $\b I_1$ fällt dann weg.

\[\begin{array}{rrrcll}
(1) & -j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}&| \cdot (-2) \\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\hline
(1) & j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&
  +j\unit[400]{\Omega} \cdot \b I_3&=&-\unit[800]{V}&|\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}&|+\\
\hline
&& (\unit[50]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&
  -\unit[600]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
&&\b I_3&=&\frac{-\unit[600]{V}+j\unit[346{,}4]{V}}
  {\unit[50]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j6{,}928}{1+j4}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j6{,}928}{1+j4} \cdot \frac{1-j4}{1-j4}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j48+j6{,}928+27{,}712}{1+16}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{15{,}712+j54{,}928}{17}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&\approx&\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A}
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $\b I_1$ setze ich das Ergebnis in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1-j\unit[200]{\Omega} \cdot
  (\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A})&=&\unit[400]{V}\\
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1-j\unit[184{,}84]{V}+\unit[646{,}2]{V}
  &=&\unit[400]{V}\quad|+j\unit[184{,}84]{V}-\unit[646{,}2]{V} \\
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&=&j\unit[184{,}84]{V}-\unit[246{,}2]{V}
  \quad|:(-j\unit[100]{\Omega}) \\
\b I_1&=&\frac{j\unit[184{,}84]{V}-\unit[246{,}2]{V}}{-j\unit[100]{\Omega}}
  \cdot \frac{j}{j}\\
\b I_1&=&\frac{-\unit[184{,}84]{V}-j\unit[246{,}2]{V}}{\unit[100]{\Omega}}\\
\b I_1&\approx&-\unit[1{,}8484]{A}-j\unit[2{,}462]{A}
\end{eqnarray*}

Mit diesen Ergebnissen kann nun auch $\b I_2$ bestimmt werden. Nach der
Kirchhoffschen Knotenregel gilt:
\begin{eqnarray*}
\b I_1+\b I_2+\b I_3&=&0 \quad|-\b I_1-\b I_3 \\
\b I_2&=&-\b I_1-\b I_3 \\
\b I_2&=&-(-\unit[1{,}8484]{A}-j\unit[2{,}462]{A})
  -(\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A}) \\
\b I_2&=&\unit[1{,}8484]{A}+j\unit[2{,}462]{A}
  -\unit[0{,}9242]{A}-j\unit[3{,}231]{A} \\
\b I_2&\approx&\unit[0{,}9242]{A}-j\unit[0{,}769]{A}
\end{eqnarray*}

Mit diesen Daten können wir nun die Beträge der drei Ströme bestimmen. Zur
Erinnerung vorweg die zugehörige Grundformel:
\[I= \sqrt{( \textnormal{Re}\b I)^2+( \textnormal{Im}\b I)^2}\]
\[I_1= \sqrt{(\unit[1{,}8484]{A})^2+(\unit[2{,}462]{A})^2}\approx \unit[3{,}079]{A}\]
\[I_2= \sqrt{(\unit[0{,}9242]{A})^2+(\unit[0{,}769]{A})^2}\approx \unit[1{,}202]{A}\]
\[I_3= \sqrt{(\unit[0{,}9242]{A})^2+(\unit[3{,}231]{A})^2}\approx \unit[3{,}361]{A}\]

\newpage %------------------
\subsection{Aufgabe 9}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \capacitor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$X_L$}
   \wire(B)(F)
   \wire(C)(E)
   \pscircle(1.9,5){2pt}
   \pscircle(1.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehende Schaltung ist an eine Wechselspannung von
\mbox{$U=\unit[100]{V}$} angschlossen. Die Bauteilwerte sind: \\
$X_C=\unit[20]{\Omega}$\\
$X_L=\unit[25]{\Omega}$\\
$R=\unit[50]{\Omega}$\\
Gesucht sind die Ströme $I_C$ im Kondensator, $I_L$ in der Spule und $I_R$ im
ohmschen Widerstand.\\

\paragraph*{Lösung:}
Zunächst stelle ich die verschiedenen angegebenen Größen im komplexer Form dar:
\[\begin{array}{rclcrcl}
X_C&=&\unit[20]{\Omega} &\Rightarrow&\b X_C&=&-j\unit[20]{\Omega} \\
X_L&=&\unit[25]{\Omega} &\Rightarrow&\b X_L&=&j\unit[25]{\Omega} \\
R&=&\unit[50]{\Omega}   &\Rightarrow&\b R&=&\unit[50]{\Omega} \\
U&=&\unit[100]{V}       &\Rightarrow&\b U&=&\unit[100]{V} \\
\end{array}\]
Ich fasse $X_L$ und $R$ zum Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z_1$ zusammen.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\b X_L \cdot \b R}{\b X_L+ \b R} \\
&=&\frac{j\unit[25]{\Omega} \cdot \unit[50]{\Omega}}
  {j\unit[25]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}} \\
&=&\frac{j\unit[1250]{\Omega}^2}{\unit[50]{\Omega}+j\unit[25]{\Omega}}\\
&=&\frac{(j\unit[1250]{\Omega}^2)(\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega})}
{(\unit[50]{\Omega}+j\unit[25]{\Omega})(\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega})} \\
&=&\frac{j\unit[62500]{\Omega}^3+\unit[31250]{\Omega}^3}
  {\unit[2500]{\Omega}^2+\unit[625]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[31250]{\Omega}^3+j\unit[62500]{\Omega}^3}
  {\unit[3125]{\Omega}^2} \\
  \b Z_1&=&\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_1$ ist $X_C$ geschaltet. Ich erhalte den Gesamt-Er\-satz\-wi\-der\-stand
der Schaltung:
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b X_C+\b Z_1 \\
&=&-j\unit[20]{\Omega}+\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}\\
\b Z&=&\unit[10]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
\newpage
Als nächstes bestimme ich den Gesamtstrom, der durch $Z$ fließt. Da dies
zugleich der Strom im Kondensator ist, nenne ich ihn $I_C$.
\begin{eqnarray*}
\b I_C&=&\frac{\b U}{\b Z} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}}{\unit[10]{\Omega}}\\
\b I_C&=&\unit[10]{A}\\
\end{eqnarray*}
Mit diesem Strom kann ich die Spannung an der Spule und dem Widerstand
berechnen. Er fließt durch den Er\-satz\-wi\-der\-stand $Z_1$. Ich nenne die Spannung
deshalb $U_1$.
\begin{eqnarray*}
\b U_1&=&\b Z_1 \cdot \b I_C \\
&=&(\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}) \cdot \unit[10]{A}\\
\b U_1&=&\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}\\
\end{eqnarray*}
Mit Hilfe dieser Spannung kann ich den Strom $I_L$ in der Spule berechnen.
\begin{eqnarray*}
\b I_L&=&\frac{\b U_1}{\b X_L} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}}{j\unit[25]{\Omega}} \quad |\textnormal{ erweitern mit }j \\
&=&\frac{j\unit[100]{V}-\unit[200]{V}}{-\unit[25]{\Omega}} \\
\b I_L&=&\unit[8]{A}-j\unit[4]{A}\\
\end{eqnarray*}
Ebenso geht es mit dem Strom $I_R$ im Widerstand.
\begin{eqnarray*}
\b I_R&=&\frac{\b U_1}{\b R} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}}{\unit[50]{\Omega}}\\
\b I_R&=&\unit[2]{A}+j\unit[4]{A}\\
\end{eqnarray*}
Gesucht sind aber nicht die komplexen Ströme $\b I_R$, $\b I_C$ und $\b I_L$,
sondern deren Beträge $I_R$, $I_C$ und $I_L$. Diese können wir mit der
Wurzelformel
$|\b z|=z= \sqrt{( \textnormal{Re} \b z)^2+( \textnormal{Im} \b z)^2}$
berechnen.
\[I_R= \sqrt{(\unit[2]{A})^2+(\unit[4]{A})^2} \approx \unit[4{,}472]{A}\]
\[I_C= \sqrt{(\unit[10]{A})^2}=\unit[10]{A}\]
\[I_L= \sqrt{(\unit[8]{A})^2+(-\unit[4]{A})^2} \approx \unit[8{,}944]{A}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 10:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,4.5)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(4,3){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(4,0){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(7,3){E}
   \pnode(7,0){F}
   \coil[labeloffset=-0.5,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_L$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$L$}
   \capacitor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_C$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$C$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \wire(C)(E)
   \wire(B)(F)
   \pscircle(-0.1,3){2pt}
   \pscircle(-0.1,0){2pt}
   \psline[linecolor=blue]{->}(0,2.5)(0,0.5)
   \uput{0.2}[180](0,1.5){\textcolor{blue}{$U_0$}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Folgende Daten sind gegeben:\\
$U_0=10V$\\
$R=50 \Omega$\\
$X_L=20 \Omega$\\
$X_C=25 \Omega$\\ \\
Gesucht sind die Teilspannungen $U_L$ und $U_R$.

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rclcrcl}
U_0&=&\unit[10]{V} &\Rightarrow&\b U_0&=&\unit[10]{V} \\
R&=&\unit[50]{\Omega}&\Rightarrow&\b R&=&\unit[50]{\Omega}\\
X_L&=&\unit[20]{\Omega}&\Rightarrow&\b X_L&=&j\unit[20]{\Omega}\\
X_C&=&\unit[25]{\Omega}&\Rightarrow&\b X_C&=&-j\unit[25]{\Omega}
\end{array}\]

\paragraph*{Bestimmung von $Z$:}
Die Zusammenfassung der Parallelschaltung aus $R$ und $X_C$ nenne ich $Z_{RC}$.
Nach der Formel zur Parallelschaltung erhalte ich:
\begin{eqnarray*}
\b Z_{RC}&=&\frac{\b R \cdot \b X_C}{\b R+\b X_C}\\
&=&\frac{\unit[50]{\Omega} \cdot (-j\unit[25]{\Omega})}
  {\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega}}\\
&=&\frac{-j\unit[1250]{\Omega^2}}{\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega}}\\
\end{eqnarray*}
Da ich keine Lust habe, mit so großen Zahlen und unhandlichen Einheiten zu
rechnen, klammere ich so viel wie möglich aus, damit ich kürzen kann.
\begin{eqnarray*}
\b Z_{RC}&=&\frac{-j\unit[1250]{\Omega^2}}
  {\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega}}\\
&=&\frac{\unit[25]{\Omega} \cdot (-j\unit[50]{\Omega})}
  {\unit[25]{\Omega} \cdot (2-j)}\\
&=&\frac{-j\unit[50]{\Omega}}{2-j}\\
&=&\frac{(-j\unit[50]{\Omega}) \cdot (2+j)}{(2-j) \cdot (2+j)}\\
&=&\frac{-j\unit[100]{\Omega} +\unit[50]{\Omega}}{4+1}\\
&=&-j\frac{\unit[100]{\Omega}}{5}+\frac{\unit[50]{\Omega}}{5}\\
\b Z_{RC}&=&-j\unit[20]{\Omega}+\unit[10]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Damit kann ich den gesamten Ersatzwiderstand der Schaltung \b Z bestimmen:
\[\b Z= \b X_L+ \b Z_{RC}=j\unit[20]{\Omega}
  +(-j\unit[20]{\Omega}+\unit[10]{\Omega})=\unit[10]{\Omega}\]
Die gesamte Schaltung verhält sich also wie ein reeller
$\unit[10]{\Omega}$-Widerstand.
Damit bestimme ich den Strom $\b I_L$.
\[\b I_L=\frac{\b U_0}{\b Z}=\frac{\unit[10]{V}}{\unit[10]{\Omega}}
  =\unit[1]{A}\]

Als nächstes berechne ich die Spannung $\b U_L$ an der Induktivität.
\[\b U_L= \b X_L \cdot \b I=j\unit[20]{\Omega} \cdot \unit[1]{A}=j\unit[20]{V}\]
Gesucht ist der Betrag dieser Spannung. Das ist ohne großartige Rechnung:
\[U_L=\unit[20]{V}\]

Aus $\b U_0$ und $\b U_L$ kann ich $\b U_R$ berechnen.
\[\b U_R=\b U_0-\b U_L=\unit[10]{V}-j\unit[20]{V}\]
Gesucht ist der Betrag dieser Spannung. Die berechne ich über die Grundformel
für Beträge:
\[U_R= \sqrt{( \textnormal{Re}\b U_R)^2+( \textnormal{Im}\b U_R)^2}
  = \sqrt{(\unit[10]{V})^2+(-\unit[20]{V})^2}
  = \sqrt{\unit[500]{V^2}}\approx \unit[22,36]{V}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 11:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(11.5,1.6)
   \pnode(-0.4,0){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,0){C}
   \pnode(3.5,0){D}
   \pnode(5.5,0){E}
   \pnode(7.5,0){F}
   \pnode(9,0){G}
   \pnode(11,0){H}
   \pnode(11.4,0){I}
   \coil[labeloffset=-0.5,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{L1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](B)(C){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{C1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$C_1$}
   \coil[labeloffset=-0.5,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{L2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](D)(E){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_{R1}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{C2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](F)(G){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_{R2}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](G)(H){$R_2$}
   \psline{o-}(A)(B)
   \psline{-o}(H)(I)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit diesen Werten:

$L_1=\unit[0{,}11]{H}$\quad $L_2=\unit[21]{mH}$,\\
$C_1=\unit[150]{\mu F}$\quad $C_2=\unit[300]{\mu F}$, \\
$R_1=\unit[10]{\Omega}$ \qquad $R_2=\unit[20]{\Omega}$\\
$\omega =\unit[300]{s^{-1}}$ \\

\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie den komplexen Ersatzwiderstand $\b Z$ der Schaltung!
\item Geben Sie eine Ersatzschaltung mit zwei Bauelementen an!
\item Bestimmen Sie den komplexen Strom $\b I$, wenn eine Spannung von
  $\b U_0=\unit[12]{V}$ angelegt wird! Bestimmen Sie auch den Betrag des
  Stromes $I$ sowie seinen Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ gegenüber der
  Spannung $\b U_0$.
\item Bestimmen Sie die komplexe Spannung $\b U_{L1}$ an der Induktivität $L_1$
  für diesen Fall sowie ihren Betrag $U_{L1}$ und die Phasenverschiebung
  gegenüber der Spannung $\b U_0$.
\end{enumerate}

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{zu 1:}
Zuerst werden alle Blindwiderstände berechnet.
\[\b X_{L1}=j \omega L_1=j\unit[300]{s^{-1}} \cdot \unit[0{,}11]{H}
  =j\unit[33]{\Omega}\]
\[\b X_{L2}=j \omega L_2=j\unit[300]{s^{-1}} \cdot \unit[0{,}021]{H}
  =j\unit[6{,}2]{\Omega}\]
\[\b X_{C1}=\cfrac{1}{j \omega C_1}=\cfrac{1}{j\unit[300]{s^{-1}} \cdot
   \unit[150 \cdot 10^{-6}]{F}}=-j\unit[22{,}2]{\Omega} \]
\[\b X_{C2}=\cfrac{1}{j \omega C_2}=\cfrac{1}{j\unit[300]{s^{-1}} \cdot
   \unit[300 \cdot 10^{-6}]{F}}=-j\unit[44{,}4]{\Omega} \]
Damit kann der Scheinwiderstand der gesamten Schaltung bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\b Z&=&\b X_{L1}+\b X_{C1}+\b X_{L2}+\b R_1+\b X_{C2}+\b R_2 \\
&=&j\unit[33]{\Omega}-j\unit[22{,}2]{\Omega}+j\unit[6{,}2]{\Omega}
  +\unit[10]{\Omega}-j\unit[44{,}4]{\Omega}+\unit[20]{\Omega}\\
\b Z&=&\unit[30]{\Omega}-j\unit[27{,}4]{\Omega}\\
\end{array}\]

\newpage
\subparagraph{zu 2:}
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(4.5,0.6)
   \pnode(-0.4,0){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,0){C}
   \pnode(4,0){D}
   \pnode(4.4,0){E}
   \capacitor[labeloffset=-0.9](C)(D){$C_E$}
   \resistor[labeloffset=-0.9](B)(C){$R_E$}
   \psline{o-}(A)(B)
   \psline{-o}(D)(E)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Ersatzschaltung mit einem ohmschen Widerstand
$R_E=\unit[30]{\Omega}$ und einem Kondensator $C_E$ mit
$\b X_C=-j\unit[27,04]{\Omega}$.\\

Die Kapazität $C_E$ wird bestimmt:
\[\begin{array}{rcll}
\b X_C&=&\cfrac{1}{j \omega C_E} &| \cdot \cfrac{C_E}{X_C}\\
C_E&=&\cfrac{1}{j \omega \b X_C}\\
&=&\cfrac{1}{j \unit[300]{s^{-1}} \cdot (-j\unit[27{,}4]{\Omega})}\\
C_E&=&\unit[121{,}7]{\mu F}\\
\end{array}\]

\subparagraph{zu 3:}
\[\begin{array}{rcll}
\b I&=&\cfrac{\b U_0}{\b Z}\\
&=&\cfrac{\unit[12]{V}}{\unit[30]{\Omega}-j\unit[27{,}4]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{\unit[12]{V} \cdot (\unit[30]{\Omega}+j\unit[27{,}4]{\Omega})}
  {(\unit[30]{\Omega}-j\unit[27{,}4]{\Omega})
   \cdot (\unit[30]{\Omega}+j\unit[27{,}4]{\Omega})}\\
&=&\cfrac{\unit[360]{V \Omega}+j\unit[328{,}8]{V \Omega}}
  {\unit[900]{\Omega^2}+\unit[750{,}8]{\Omega^2}}\\
&=&\cfrac{\unit[360]{V \Omega}+j\unit[328{,}8]{V \Omega}}
  {\unit[1\,228{,}8]{\Omega^2}}\\
\b I&=&\unit[293{,}0]{mA}+j\unit[267{,}6]{mA}\\
\end{array}\]

Betrag des Stromes:
\[\begin{array}{rcll}
\left|\b I \right|&=&\sqrt{\bigl( \textnormal{Re}(\b I) \bigr)^2
  +\bigl( \textnormal{Im}(\b I)\bigr)^2}\\
&=&\sqrt{(\unit[293{,}0]{mA})^2+(\unit[267{,}6]{mA})^2}\\
I&=&\unit[396{,}8]{mA}\\
\end{array}\]

Phasenverschiebungswinkel:
\[\begin{array}{rcll}
\varphi_I&=&\arctan \cfrac{\textnormal{Im}(\b I)}{\textnormal{Re}(\b I)}\\
&=&\arctan \cfrac{\unit[267{,}6]{mA}}{\unit[293{,}0]{mA}}\\
\varphi_I&=&42{,}4^\circ \\
\end{array}\]
\underline{Ergebnis:}
Der Strom $\b I$ eilt der Spannung $\b U_0$ um $42{,}4^\circ$ voraus.

\newpage
\subparagraph{zu 4:}
\[\begin{array}{rcll}
\b U_{L1}&=&\b X_{L1} \cdot \b I \\
&=&j\unit[33]{\Omega} \cdot (\unit[293{,}0]{mA}+j\unit[267{,}6]{mA}) \\
\b U_{L1}&=&j \unit[9{,}669]{V}-\unit[8{,}831]{V}\\
\end{array}\]

Betrag:
\[\begin{array}{rcll}
\left|\b U_{L1}\right|
&=&\sqrt{\bigl( \textnormal{Re}(\b U_{L1})\bigr)^2
  +\bigl( \textnormal{Im}(\b U_{L1}) \bigr)^2}\\
&=&\sqrt{(-\unit[8{,}831]{V})^2+(\unit[9{,}669]{V})^2}\\
U_{L1}&=&\unit[13{,}09]{V}\\
\end{array}\]

Phasenverschiebungswinkel zwischen $\b U_0$ und $\b U_{L1}$:
\[\begin{array}{rcll}
\varphi_{L1}&=&
 \arctan \cfrac{\textnormal{Im}(\b U_{L1})}{\textnormal{Re}(\b U_{L1})}\\
&=&\arctan \cfrac{\unit[9{,}669]{V}}{-\unit[8{,}831]{V}}\\
\varphi_{L1}&=&-47{,}6^\circ \\
\end{array}\]
Das ist zunächst das rechnerische Ergebnis. Aber ist das auch richtig?\\

\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=1mm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(-7,-29)(38,38)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(-7,-29)(38,38)
  \uput[-90](36,0){Re}  \uput[180](0,36){Im}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(1,0)(1,33)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(2,33)(2,11)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(3,11)(3,17)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(3,17)(13,17)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(13,17)(13,-27)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(13,-27)(33,-27)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(33,-27)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,1)(33,1)
  \uput[-90](18,1){\textcolor{red}{$\b I$}}
  \uput[45](17,-16){\textcolor{blue}{$\b U_0$}}
  \uput[90](22,-28){\textcolor{blue}{$\b U_{R2}$}}
  \uput[90](17,2){\textcolor{blue}{$\b U_{C2}$}}
  \uput[90](8,16){\textcolor{blue}{$\b U_{R1}$}}
  \uput[0](2,11){\textcolor{blue}{$\b U_{L2}$}}
  \uput[0](1,27){\textcolor{blue}{$\b U_{C1}$}}
  \uput[180](1,17){\textcolor{blue}{$\b U_{L1}$}}
  \psarcn[linewidth=0.5pt]{<->}(1,-0.1){0.5}{90}{-42}
  \uput[90](7,3){\footnotesize $\varphi_{L1}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zur Veranschaulichung habe ich nebenstehend das Zeigerdiagramm für diese
Schaltung dargestellt. Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, ist der
Strom $\b I$ die Bezugsgröße, der deshalb entlang der waagerechten Reellen
Achse eingetragen ist. Die Summe der Teilspannungen $\b U_{L1}$, $\b U_{C1}$,
$\b U_{L2}$, $\b U_{R1}$, $\b U_{C2}$ und $\b U_{R2}$ ergibt die
Klemmenspannung $\b U_0$.
Man kann den gesuchten Phasenverschiebungswinkel $\varphi_{L1}$ zwischen $\b
U_{L1}$ und $\b U_0$ einzeichnen. Man erkennt ohne weiteres, dass dieser Winkel
größer als $90^\circ$ ist. Was ist also falsch an der Rechnung, die doch
\mbox{$\varphi_{L1}=-47{,}6^\circ$} ergeben hat?\\

Schaut man sich die Tangensfunktion einmal genau an,\footnote{beispielsweise
hier in Kapitel 4.4:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/trigo.pdf} \fi}
dann erkennt man, dass die Tangensfunktion \textbf{nicht umkehrbar} ist. Nach
jeweils einem Winkel von $\varphi=\pi =180^\circ$ wiederholt sich der Verlauf
der Funktion. Will man aus dem Tangenswert auf den Winkel zurückschließen, gibt
es unendlich viele Lösungen. Unser Taschenrechner liefert daher nur die
Werte im Intervall \mbox{$-90^\circ < \varphi < 90^\circ$} als Ergebnis. Den
konkreten richtigen Wert muss man sich daher ggf. "`zu Fuß"' daraus ausrechnen,
in diesem Fall also zum angezeigten Wert $180^\circ$ hinzuaddieren. Wir
erhalten:
\[\varphi_{L1}=-47{,}6^\circ+180^\circ=132{,}4^\circ\]
Die Spannung $\b U_{L1}$ eilt demnach der Spannung $\b U_0$ um $132{,}4^\circ$
voraus.\\

\underline{Anmerkung:}
Man hätte auch (fast) ohne Rechnung zu diesem Ergebnis kommen können.
Bekanntlich eilt an einer Induktivität -- hier $L_1$ -- der Strom der Spannung
um $90^\circ$ nach. Man kann auch sagen, dass die Spannung dem Strom um
$90^\circ$ vorauseilt. Da der Phasenverschiebungswinkel zwischen der
Gesamtspannung $\b U_0$ und dem Strom $\b I$ bereits unter Punkt 3 mit
$\varphi_I=42{,}4^\circ$ berechnet wurde, muss nur noch zu diesem Wert der eben
angesprochene Rechte Winkel hinzuaddiert werden:
\[\varphi_{L1}=42{,}4^\circ+90^\circ =132{,}4^\circ \]

\newpage
\subsection{Aufgabe 12:}
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(3.3,4.1)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,4){A4}
   \pnode(1,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(1,2){B2}\qdisk(B2){2pt}
   \pnode(1,4){B4}\qdisk(B4){2pt}
   \pnode(3,0){C0}
   \pnode(3,2){C2}\qdisk(C2){2pt}
   \pnode(3,4){C4}
   \resistor[labeloffset=-0.7](B4)(B2){$Z_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](B2)(B0){$Z_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C4)(C2){$Z_3$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C2)(C0){$Z_4$}
   \psline{o-}(A4)(C4)
   \psline{o-}(A0)(C0)
   \Ucc[](B2)(C2){} \uput{0}[90](2,1.8){I} %Strommesser
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
An die Brückenschaltung wird eine Wechselspannung angelegt. Der Strommesser
zeigt \mbox{$I=\unit[0]{A}$} an. Folgende Daten sind bekannt:\\
$\b Z_2=\unit[3]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}$\\
$\b Z_3=\unit[19]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}$\\
$\b Z_4=\unit[1]{\Omega}-j\unit[18]{\Omega}$\\

Berechnen Sie $\b Z_1$!\\

\paragraph{Lösung:}
Kein Strom fließt im Brückenzweig, die Brücke ist also \textbf{abgeglichen}.
Die Abgleichbedingung lautet:
\[\cfrac{\b Z_1}{\b Z_2}=\cfrac{\b Z_3}{\b Z_4}\]
Ich setze:
\[\b Z_1=R+jX\]
Die Werte können in die Abgleichbedingung eingesetzt werden.
{\footnotesize
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\b Z_1}{\b Z_2}&=&\cfrac{\b Z_3}{\b Z_4}\\
\cfrac{R+jX}{\unit[3]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}}
&=&\cfrac{\unit[19]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}}
  {\unit[1]{\Omega}-j\unit[18]{\Omega}}
 &| \cdot (\unit[3]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega})
  \cdot (\unit[1]{\Omega}-j\unit[18]{\Omega}) \\
(R+jX) \cdot (\unit[1]{\Omega}-j\unit[18]{\Omega})
  &=&(\unit[19]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega})
   \cdot (\unit[3]{\Omega}-j\unit[4]{\Omega}) \\
\unit[1]{\Omega}R-j\unit[18]{\Omega}R+j\unit[1]{\Omega}X+\unit[18]{\Omega}X
&=&\unit[57]{\Omega^2}-j\unit[76]{\Omega^2}
  -j\unit[12]{\Omega^2}-\unit[16]{\Omega^2}\\
(\unit[1]{\Omega}R+\unit[18]{\Omega}X)+j(-\unit[18]{\Omega}R+\unit[1]{\Omega}X)
&=&\unit[41]{\Omega^2}-j\unit[88]{\Omega^2}\\
\end{array}\]
}

Diese Komplexe Gleichung kann nun in ener Realteil- und eine
Imaginärteilgleichung aufgespalten werden. Wir erhalten ein
Lineargleichungssystem zweiter Ordnung mit den Variablen $R$ und $X$.
\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
\textnormal{Re:}&\unit[1]{\Omega}R&+\unit[18]{\Omega}X&=&\unit[41]{\Omega^2}\\
\textnormal{Im:}&-\unit[18]{\Omega}R&+\unit[1]{\Omega}X&=&-\unit[88]{\Omega^2}\\
\hline
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem ist mit jedem beliebigen Verfahren\footnote{In Frage
kommt beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das
Additions-/Subtraktionsverfahren, die Cramersche Regel oder das
Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den verschiedenen Verfahren sind hier zu
finden:\\
\ifpdf
Einsetzungsverfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Additions-/Subtraktionsverfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Cramersche Regel:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi
\\
\ifpdf
Gauß-Jordan-Verfahren:
\url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}\fi
}
lösbar. Ich wähle willkürlich das Einsetzungsverfahren. Dazu löse ich die
Realteilgleichung nach $R$ auf und setze das Ergebnis in die
Imaginärteilgleichung ein.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{\Omega}R+\unit[18]{\Omega}X&=&\unit[41]{\Omega^2}
 &|-\unit[18]{\Omega}X \\
\unit[1]{\Omega}R&=&\unit[41]{\Omega^2}-\unit[18]{\Omega}X &|:\unit[1]{\Omega}\\
R&=&\unit[41]{\Omega}-18X \\
\end{array}\]

Einsetzen in Imaginärteilgleichung:
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[18]{\Omega}R+\unit[1]{\Omega}X&=&-\unit[88]{\Omega^2}\\
-\unit[18]{\Omega} \cdot (\unit[41]{\Omega}-18X)+\unit[1]{\Omega}X
  &=&-\unit[88]{\Omega^2}\\
-\unit[738]{\Omega^2}+\unit[324]{\Omega}X+\unit[1]{\Omega}X
  &=&-\unit[88]{\Omega^2} &|+\unit[738]{\Omega^2}\\
\unit[325]{\Omega}X&=&\unit[650]{\Omega^2} &|:\unit[325]{\Omega}\\
X&=&\unit[2]{\Omega}\\
\end{array}\]

Einsetzen in umgestellte Realteilgleichung:
\[\begin{array}{rcll}
R&=&\unit[41]{\Omega}-18X \\
R&=&\unit[41]{\Omega}-18 \cdot \unit[2]{\Omega} \\
R&=&\unit[5]{\Omega}\\
\end{array}\]

Damit erhalten wir als Ergebnis für $\b Z_1$:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b Z_1=\unit[5]{\Omega}+j\unit[2]{\Omega}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(1.7,0.9)(11.5,5.5)
   \pnode(5,5){A}
   \pnode(5,1){B}
   \pnode(7.9,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(7.9,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \pnode(3,5){G}
   \pnode(2,5){H}
   \pnode(2,1){I}
   \resistor[labeloffset=-1](G)(A){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](A)(C){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R_2$}
   \coil[labeloffset=-0.7](C)(D){$X_L$}
   \psline{o-}(I)(F)
   \psline{o-}(H)(G)
   \wire(C)(E)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie den Komplexen Ersatzwiderstand $\b Z$ der nebenstehenden
Schaltung! Gegeben sind folgende Werte:\\
$R_1=\unit[10]{\Omega}$\quad
$X_C=\unit[30]{\Omega}$\\
$R_2=\unit[80]{\Omega}$\quad
$X_L=\unit[40]{\Omega}$\\ \\

\paragraph{Lösung:}
Zuerst werden die Komplexen Widerstände bestimmt.\\
$\b R_1=\unit[10]{\Omega}$\quad
$\b X_C=-j\unit[30]{\Omega}$\\
$\b R_2=\unit[80]{\Omega}$\quad
$\b X_L=j\unit[40]{\Omega}$\\

Die Parallelschaltung aus $X_L$ und $R_2$ nenne ich $Z_{XL}$.
\[\begin{array}{rcll}
\b Z_{XL}&=&\cfrac{\b R_2 \cdot \b X_L}{\b R_2+\b X_L}\\
&=&\cfrac{\unit[80]{\Omega} \cdot j\unit[40]{\Omega}}
{\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{\unit[80]{\Omega} \cdot j\unit[40]{\Omega}
   \cdot (\unit[80]{\Omega}-j\unit[40]{\Omega})}
{(\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega})
   \cdot (\unit[80]{\Omega}-j\unit[40]{\Omega})}\\
&=&\cfrac{j\unit[256\,000]{\Omega^3}+\unit[128\,000]{\Omega^3}}
 {\unit[6\,400]{\Omega^2}+\unit[1\,600]{\Omega^2}}\\
&=&\cfrac{j\unit[256\,000]{\Omega^3}+\unit[128\,000]{\Omega^3}}
  {\unit[8\,000]{\Omega^2}}\\
&=&\cfrac{j\unit[256\,000]{\Omega^3}}{\unit[8\,000]{\Omega^2}}
  +\cfrac{\unit[128\,000]{\Omega^3}}{\unit[8\,000]{\Omega^2}}\\
\b Z_{XL}&=&j\unit[32]{\Omega}+\unit[16]{\Omega}\\
\end{array}\]

Damit kann $\b Z$ über die Reihenschaltung aus $R_1$, $X_C$ und $Z_{XL}$
bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\b Z&=&\b R_1+\b X_C+\b Z_{XL}\\
&=&\unit[10]{\Omega}-j\unit[30]{\Omega}+j\unit[32]{\Omega}+\unit[16]{\Omega}\\
\b Z&=&\unit[26]{\Omega}+j\unit[2]{\Omega}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b Z=\unit[26]{\Omega}+j\unit[2]{\Omega}$}



\end{document}
