\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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%\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Flächenberechnung mit Integralen}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank! \\

\section{Einleitung}
Grundlage für diese Übungsaufgaben sind die Grundkenntnisse der
Integralrechnung. Einzelheiten dazu finden Sie beispielsweise hier:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/integral.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/integral.pdf}\fi \end{center}

\newpage

\section{Übungsaufgaben}

\subsection{Aufgabe 1}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=0,5(x-2)^2+3,5$} wird vom Graphen der
Funktion \mbox{$f_2(x)=x+3$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 2}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-x-12$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem
Funktionsgraphen und der $x$-Achse!

\subsection{Aufgabe 3}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3x^2+18x+24$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen
dem Funktionsgraphen, der $x$-Achse und der $y$-Achse!

\subsection{Aufgabe 4}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=x^3-4x^2+5x-3$} wird vom Graphen der
Funktion \linebreak[4] \mbox{$f_2(x)=2x^2-4x+1$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 5}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=x^4-4x^2+3$} wird vom Graphen der Funktion
\linebreak[4]\mbox{$f_2(x)=-x^2+7$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!\\

\subsection{Aufgabe 6}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=2x^2-3x+3$} wird vom Graphen der
Funktion \linebreak[4] \mbox{$f_2(x)=x^2+2x-1$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat zwei Tiefpunkte auf der $x$-Achse bei $T_1(0|0)$ und
$T_2(4|0)$. Der Funktionsgraph verläuft außerdem noch durch den Punkt
$P(2|240)$. Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den beiden Tiefpunkten von
dem Graphen von $f(x)$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird!

\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei $H(0|4)$ und einen Tiefpunkt bei
$T(2|0)$. Berechnen Sie die Fläche, die von der positiven $x$-Achse, der
$y$-Achse und dem Funktionsgraphen des Polynoms eingeschlossen wird!

\subsection{Aufgabe 9}
Eine Parabel (Polynom 2. Grades) verläuft durch die Punkte $P_1(1|-15)$,
$P_2(4|12)$ und $P_3(5|9)$. Berechnen Sie die Fläche, die die $x$-Achse mit dem
Parabelbogen als Begrenzung bildet.

\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades $f(x)$ hat einen Wendepunkt bei $x_w=3$ mit der
Wendetangente \mbox{$y=-6x+22$}. Die $y$-Achse schneidet der Graph des Polynoms
bei \mbox{$y_0=-32$}. Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$-Achse und dem
Graphen von $f(x)$.

\newpage %---------------
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=0,5(x-2)^2+3,5$} wird vom Graphen der
Funktion \mbox{$f_2(x)=x+3$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen! \\

Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
0,5(x_s-2)^2+3,5&=&x_s+3 \\
0,5(x_s^2-4x_s+4)+3,5&=&x_s+3 \\
0,5x_s^2-2x_s+2+3,5&=&x_s+3 \quad|-x_s-3 \\
0,5x_s^2-3x_s+2,5&=&0 \quad| \cdot 2 \\
x_s^2-6x_s+5&=&0 \\
x_{s1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5} \\
x_{s1/2}&=&3 \pm 2 \\
x_1=1&&x_2=5
\end{eqnarray*}
Damit sind die Integrationsgrenzen bekannt.\\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-01.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=9mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-1)(5.8,8.9)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{0.5 x 2 sub 2 exp mul 3.5 add}
   \gsave
   \psline(5,8)(1,4) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.6,-1)(5.8,8.9)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,8.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.7}{5.4}{0.5 x 2 sub 2 exp mul 3.5 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.6}{5.8}{x 3 add}
  \pscircle*(1,4){2pt} \uput[-100](1,4){$P_1$}
  \pscircle*(5,8){2pt} \uput[-45](5,8){$P_2$}
  \uput[0](0,5.6){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](3,6){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[30](2.4,4.4){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

Ein Blick auf die Skizze zeigt, dass im Bereich zwischen 1 und 5 $f_2$ die
obere und $f_1$ die untere Funktion ist. Damit können wir die gesuchte Fläche
als bestimmtes Integral ansetzen.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^5 (x+3)-\left( 0,5(x-2)^2+3,5 \right) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^5 x+3-\left( 0,5x^2-2x+2+3,5 \right) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^5 x+3-0,5x^2+2x-5,5 \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^5 -0,5x^2+3x-2,5 \ \textnormal{d}x \\
&=&\left[ -\frac{0,5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2,5x \right]_1^5 \\
&=&\left[ -\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{5}{2}x \right]_1^5 \\
&=&\left[ -\frac{1}{6}\cdot 5^3+\frac{3}{2}\cdot 5^2-\frac{5}{2}\cdot 5 \right]
 -\left[-\frac{1}{6}\cdot 1^3+\frac{3}{2}\cdot 1^2-\frac{5}{2}\cdot 1\right] \\
&=&\frac{25}{6}- \left( -\frac{7}{6} \right) \\
&=&\frac{32}{6} \approx 5,333 \\
A&=&\unit[\frac{16}{3}]{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die gesuchte Fläche beträgt ca. 5,333 Flächeneinheiten.}
\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 2}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-x-12$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem
Funktionsgraphen und der $x$-Achse! \\ \\
Zunächst müssen die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse
berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^2-x_0-12&=&0 \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+12} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{48}{4}} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \frac{7}{2} \\
x_{01}=-3 && x_{02}=4
\end{eqnarray*}
Damit sind die Integrationsgrenzen bekannt. \\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-02.png}\\
\psset{xunit=15mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-13.8)(4.8,3.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-3}{4}{x x mul x sub 12 sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(-3,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-13.8)(4.8,3.8)
  \uput[-90](4.5,0){x}  \uput[180](0,3.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-3.8}{4.8}{x x mul x sub 12 sub}
  \pscircle*(-3,0){2pt} \uput[45](-3,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[135](4,0){$P_2$}
  \uput[-45](3,-6){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](0.4,-6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

Der Formfaktor $a=+1$ ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet.
Deshalb muss die Fläche \textbf{\emph{unterhalb}} der $x$-Achse liegen. Daher
ergibt der Ansatz mit dem bestimmten Integral einen \textbf{\emph{negativen}}
Wert. Wir müssen daher beim Ansatz ein Minuszeichen einfügen.
\begin{eqnarray*}
A&=&- \int \limits _{x_{01}}^{x_{02}} f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&- \int \limits _{-3}^4 x^2-x-12\ \textnormal{d}x \\
&=&- \left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-12x \right]_{-3}^4 \\
&=&-\left[ \left( \frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{2}\cdot 4^2-12 \cdot 4 \right)
 -\left( \frac{1}{3}\cdot (-3)^3-\frac{1}{2}\cdot (-3)^2-12 \cdot (-3) \right)
 \right] \\
&=&-\left(-\frac{104}{3}-\frac{45}{2} \right) \\
&=&\frac{343}{6} \approx 57,167 \\
A&=&\unit[\frac{343}{6}]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt ca. 57,167 Flächeneinheiten.}\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 3}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3x^2+18x+24$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen
dem Funktionsgraphen, der $x$-Achse und der $y$-Achse! \\ \\
Zunächst müssen die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse
berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
3x_0^2+18x_0+24&=&0 \quad|:3 \\
x_0^2+6x_0+8&=&0 \\
x_{01/2}&=& -3 \pm \sqrt{9-8} \\
x_{01/2}&=& -3 \pm 1 \\
x_{01}=-4 && x_{02}=-2
\end{eqnarray*}
Damit sind die möglichen Integrationsgrenzen bekannt. Ein Blick auf den
Funktionsgraphen zeigt, dass der rechte Schnittpunkt mit der $x$-Achse $x_1=-2$
als untere Integrationsgrenze verwendet werden muss. Die obere Grenze ist
die $y$-Achse, also $x_2=0$. Die linke Nullstelle bei $x_{01}=-4$ liegt zu weit
ab.\\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-03.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-6.8)(0.8,28)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{0}{3 x x mul mul 18 x mul add 24 add}
   \gsave
   \psline(0,24)(0,0)(-2,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-4.8,-6.8)(0.8,28)
  \uput[-90](0.6,0){x}  \uput[180](0,26.5){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-4.8}{0.8}{3 x x mul mul 18 x mul add 24 add}
  \pscircle*(-2,0){2pt} \uput[135](-2,0){$P_1$}
  \pscircle*(0,24){2pt} \uput[-20](0,24){$P_2$}
  \uput[135](-1,9){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](-1,5){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
Die Fläche liegt \textbf{\emph{oberhalb}} der $x$-Achse. Daher ergibt das
bestimmte Integral einen \textbf{\emph{positiven}} Wert, es muss also kein
Minuszeichen eingefügt werden.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{-2}^0 f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _{-2}^0 3x^2+18x+24\ \textnormal{d}x \\
&=&\left[ x^3+9x^2+24x \right]_{-2}^0 \\
&=&\left( 0^3+9 \cdot 0^2+24 \cdot 0 \right)
 - \left( (-2)^3+9 \cdot (-2)^2+24 \cdot (-2) \right) \\
&=&0-(-20) \\
A&=&\unit[20]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt 20 Flächeneinheiten.}\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 4}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=x^3-4x^2+5x-3$} wird vom Graphen der
Funktion \linebreak[4] \mbox{$f_2(x)=2x^2-4x+1$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\paragraph{Schnittpunktberechnung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
x_s^3-4x_s^2+5x_s-3&=&2x_s^2-4x_2+1 \quad|-2x_s^2+4x_2-1 \\
x_s^3-6x_s^2+9x_s-4&=&0
\end{eqnarray*}
Ein analytisches Lösungsverfahren für Kubische Gleichungen haben wir nicht zur
Verfü\-gung. Wir können jedoch durch \textbf{\emph{planvolles}} Probieren eine
Lösung bestimmen und dann den Funktionsterm faktorisieren. Wenn es ganzzahlige
Lösungen gibt, dann sind das Teiler des absoluten Gliedes. Es kommt also nur
$\pm 1$, $\pm 2$ und $\pm 4$ in Frage. \\ \\
Wir finden schnell die Lösung $x_{s1}=1$. Mit Hilfe der
Polynomdivision\footnote{Einzelheiten zur Polynomdivision siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}
können wir $(x_s-1)$ ausklammern.
\[x_s^3-6x_s^2+9x_s-4= \left( x_s^2-5x_s+4 \right) \cdot (x_s-1) \]
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Wir müssen also für
weitere Nullstellen nur noch den ersten Term untersuchen.
\begin{eqnarray*}
x_s^2-5x_s+4&=&0 \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-4} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{16}{4}} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2} \\
x_{s2}=1 && x_{s3}=4
\end{eqnarray*}

\newpage
Bei $x=1$ liegt eine doppelte Nullstelle vor, wir haben also tatsächlich nur
zwei gemeinsame Punkte der beiden Funktionsgraphen. Damit sind die
Integrationsgrenzen als $x_1=1$ und $x_2=4$ bekannt. \\ \\
Werfen wir einen Blick auf die Funktionsgraphen, dann können wir sehen, dass in
diesem Bereich der Graph der Funktion $f_2$ oberhalb des Graphen der Funktion
$f_1$ liegt. Damit können wir das bestimmte Integral zur Flächenberechnung
mit $f_2(x)-f_1(x)$ ansetzen.

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-04.png}\\
\psset{xunit=25mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-6)(4.6,19.5)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{x 3 exp 4 x x mul mul sub 5 x mul add 3 sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=white,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.8,-6)(4.6,19.5)
  \uput[-90](4.4,0){x}  \uput[180](0,18.5){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{4.6}{x 3 exp 4 x x mul mul sub 5 x mul add 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-0.8}{4.6}{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
  \pscircle*(1,-1){2pt} \uput[-135](1,-1){$P_1$}
  \pscircle*(4,17){2pt} \uput[-20](4,17){$P_2$}
  \uput[-45](3.2,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](2.75,5){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[45](2.6,2.6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\paragraph{Flächenberechnung:}
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _1^4 f_2(x)-f_1(x) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^4 \left(2x^2-4x+1 \right)-\left( x^3-4x^2+5x-3 \right)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^4 2x^2-4x+1-x^3+4x^2-5x+3\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits _1^4 -x^3+6x^2-9x+4\ \textnormal{d}x \\
&=&\left[ -\frac{1}{4}x^4+2x^3-\frac{9}{2}x^2+4x \right]_1^4 \\
&=& \left(-\frac{1}{4}\cdot 4^4+2\cdot 4^3-\frac{9}{2}\cdot 4^2+4\cdot4\right)
 -\left(-\frac{1}{4}\cdot 1^4+2\cdot 1^3-\frac{9}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1\right)\\
&=&8-1,25 \\
A&=&6{,}75 \textnormal{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt 6,75 Flächeneinheiten.}\end{center}

\newpage %----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=x^4-4x^2+3$} wird vom Graphen der Funktion
\linebreak[4]\mbox{$f_2(x)=-x^2+7$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!\\

\paragraph{Schnittpunktbestimmung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
x^4-4x^2+3&=&-x^2+7 \quad|+x^2-7 \\
x^4-3x^2-4&=&0
\end{eqnarray*}
Diese \textbf{Biquadratische Gleichung}\footnote{Einzelheiten zu
Biquadratischen Gleichungen siehe beispielsweise hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi}
löst man durch Substitution. Wir ersetzen vorübergehend:
\[x^2=z\]
Dadurch erhalten wir eine Quadratische Gleichung mit $z$.
\begin{eqnarray*}
z^2-3z-4&=&0 \\
z_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}\\
z_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\
z_1=\frac{8}{2}=4 && z_2=-\frac{2}{2}=-1
\end{eqnarray*}
Beim Zurück-Substituieren entfällt die Lösung für $z_2=-1$, da die Quadratzahl
einer Reellen Zahl nicht negativ sein kann. Führen wir das also für $z_1$
durch.
\begin{eqnarray*}
x^2&=&z_1 \\
x^2&=&4 \quad| \sqrt{\ }\\
x_{1/2}&=&\pm 2 \\
x_1=-2 && x_2=2
\end{eqnarray*}
Zwischen diesen beiden Werten liegt also die zu bestimmende Fläche.
\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=13cm]{integr1-05.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.8)(2.8,7.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{-2}{2}{x 4 exp 4 x x mul mul sub 3 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{-2}{2}{7 x x mul sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-1.8)(2.8,7.8)
  \uput[-90](2.6,0){x}  \uput[180](0,7.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-2.8}{2.8}{x 4 exp 4 x x mul mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-2.8}{2.8}{7 x x mul sub}
  \pscircle*(-2,3){2pt} \uput[180](-2,3){$P_1$}
  \pscircle*(2,3){2pt} \uput[0](2,3){$P_2$}
  \uput[0](2.1,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[45](1,6){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[0](0,3.6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\paragraph{Flächenberechnung:}
Aus der Skizze erkennt man, dass die Fläche \textbf{unten} von $f_1$ und
\textbf{oben} von $f_2$ begrenzt wird. Entsprechend ergibt sich folgender
Ansatz:
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_{-2}^2 \left(-x^2+7 \right)-\left(x^4-4x^2+3 \right) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_{-2}^2 -x^2+7-x^4+4x^2-3 \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_{-2}^2 -x^4+3x^2+4 \ \textnormal{d}x \\
&=&\left[ -\frac{1}{5}x^5+x^3+4x \right]_{-2}^2 \\
&=&\left( -\frac{1}{5} \cdot 2^5+2^3+4 \cdot 2 \right)
   -\left( -\frac{1}{5} \cdot (-2)^5+(-2)^3+4 \cdot (-2) \right) \\
&=&(-6,4+8+8)-(6,4-8-8) \\
A&=&\unit[19{,}2]{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die Fläche beträgt $A=19{,}2$ Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
Der Graph der Funktion \mbox{$f_1(x)=2x^2-3x+3$} wird vom Graphen der
Funktion \linebreak[4] \mbox{$f_2(x)=x^2+2x-1$} geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\paragraph{Schnittpunktbestimmung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
2x^2-3x+3&=&x^2+2x-1 \quad|-x^2-2x+1 \\
x^2-5x+4&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{16}{4}}\\
&=&\frac{5}{2}\pm \frac{3}{2}\\
x_1=1 && x_2=4
\end{eqnarray*}
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=15cm]{integr1-06.png}\\
\psset{xunit=25mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-3)(4.6,28)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{2 x x mul mul 3 x mul sub 3 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{x x mul 2 x mul add 1 sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=white,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.8,-3)(4.6,28)
  \uput[-90](4.5,0){x}  \uput[180](0,27){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{4.6}{2 x x mul mul 3 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-0.8}{4.6}{x x mul 2 x mul add 1 sub}
  \pscircle*(1,2){2pt} \uput[135](1,2){$P_1$}
  \pscircle*(4,23){2pt} \uput[-20](4,23){$P_2$}
  \uput[-45](3.2,14){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](2.6,11){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[55](2,5.6){$A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\paragraph*{Flächenberechnung:}
Aus der Skizze erkennt man, dass die Fläche \textbf{unten} von $f_1$ und
\textbf{oben} von $f_2$ begrenzt wird. Entsprechend ergibt sich folgender
Ansatz:
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_1^4\left( x^2+2x-1 \right)-\left( 2x^2-3x+3 \right) \ \textnormal{d}x\\
&=&\int \limits_1^4 x^2+2x-1-2x^2+3x-3 \ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_1^4 -x^2+5x-4 \ \textnormal{d}x \\
&=&\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-4x \right]_1^4 \\
&=&\left(-\frac{1}{3} \cdot 4^3+\frac{5}{2} \cdot 4^2-4 \cdot 4 \right)
  -\left(-\frac{1}{3} \cdot 1^3+\frac{5}{2} \cdot 1^2-4 \cdot 1 \right) \\
&=&\left(-\frac{64}{3}+40-16 \right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4\right)\\
&=&\frac{8}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) \\
A&=&\unit[4{,}5]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die Fläche beträgt $A=4{,}5$ Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat zwei Tiefpunkte auf der $x$-Achse bei $T_1(0|0)$ und
$T_2(4|0)$. Der Funktionsgraph verläuft außerdem noch durch den Punkt
$P(2|240)$. Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den beiden Tiefpunkten von
dem Graphen von $f(x)$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird!

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Ich stelle das Polynom in allgemeiner Form sowie die erste Ableitung dar, bevor
die Bedingungen aufgestellt werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{lclccrcl}
\textnormal{Punkt }(0|0) &\Rightarrow& f(0)=0
   &\Rightarrow&(1)& 0a+0b+0c+0d+e&=&0 \\
\textnormal{Punkt }(4|0) &\Rightarrow& f(4)=0
   &\Rightarrow&(2)& 256a+64b+16c+4d+e&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_1=0 &\Rightarrow& f'(0)=0
   &\Rightarrow&(3)& 0a+0b+0c+d&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_2=4 &\Rightarrow& f'(4)=0
   &\Rightarrow&(4)& 256a+48b+8c+d&=&0 \\
\textnormal{Punkt }(2|240) &\Rightarrow& f(2)=240
   &\Rightarrow&(5)& 16a+8b+4c+2d+e&=&240 \\
\end{array}\]
Aus Gleichung (1) und (3) folgt sofort:
\[\begin{array}{crcl}
(1)&e&=&0 \\
(3)&d&=&0
\end{array}\]
Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung:
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(2)&256a&+64b&+16c&=&0 \\
(4)&256a&+48b&+8c&=&0 \\
(5)&16a&+8b&+4c&=&240 \\
\hline
\end{array}\]
Mit einem beliebigen Lösungsverfahren\footnote{Einzelheiten zu
Lineargleichungssystemen und deren Lösungsverfahren siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
erhält man:
\begin{eqnarray*}
a&=&15 \\
b&=&-120 \\
c&=&240
\end{eqnarray*}
Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=15x^4-120x^3+240x^2$}\\

\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}\\

%\includegraphics[width=16cm]{integr1-07.png}\\
\begin{center}
\psset{xunit=25mm,yunit=0.4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-20)(4.8,270)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]
     {0}{4}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
   \gsave
   \psline(4,0)(0,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=25]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=25]{->}(0,0)(-0.8,-20)(4.8,270)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,265){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{2}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {2}{4.8}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
  \pscircle*(0,0){2pt} \uput[-45](0,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[90](4,0){$P_2$}
  \uput[45](3,135){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[-90](2,100){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\paragraph{Flächenberechnung:}
Die Integrationsgrenzen 0 und 4 sind bereits durch die $x$-Koordinaten der
Tiefpunkte bekannt. Daher kann die Fläche direkt angesetzt werden.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_0^4 15x^4-120x^3+240x^2 \ \textnormal{d}x \\
&=&\left[3x^5-30x^4+80x^3 \right]_0^4 \\
&=&\left( 3 \cdot 4^5-30 \cdot 4^4+80 \cdot 4^3 \right)
  -\left( 3 \cdot 0^5-30 \cdot 0^4+80 \cdot 0^3 \right) \\
&=&(3072-7680+5120)-0 \\
A&=&512
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A$=512 Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei $H(0|4)$ und einen Tiefpunkt bei
$T(2|0)$. Berechnen Sie die Fläche, die von der positiven $x$-Achse, der
$y$-Achse und dem Funktionsgraphen des Polynoms eingeschlossen wird!

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Ich stelle das Polynom in allgemeiner Form sowie die erste Ableitung dar, bevor
die Bedingungen aufgestellt werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{lclccrcl}
\textnormal{Punkt }(0|4) &\Rightarrow& f(0)=4
   &\Rightarrow&(1)& 0a+0b+0c+d&=&4 \\
\textnormal{Punkt }(2|0) &\Rightarrow& f(2)=0
   &\Rightarrow&(2)& 8a+4b+2c+d&=&0 \\
\textnormal{Hochpunkt bei }x_H=0 &\Rightarrow& f'(0)=0
   &\Rightarrow&(3)& 0a+0b+c&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_T=2 &\Rightarrow& f'(2)=0
   &\Rightarrow&(4)& 12a+4b+c&=&0 \\
\end{array}\]
Aus Gleichung (1) und (3) folgt sofort:
\[\begin{array}{crcl}
(1)&d&=&4 \\
(3)&c&=&0
\end{array}\]
Setzt man diese Ergebnisse in (2) und (4) ein, erhält man ein
Lineargleichungssystem 2. Ornung\footnote{Einzelheiten zu
Lineargleichungssystemen und deren Lösungsverfahren siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi},
das ich anschließend mit einem bliebigen
Verfahren, beispielsweise mit dem
Additions-/Subtraktionsverfahren\footnote{Einzelheiten zum
Additionsverfahren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi} lösen kann:
\[\begin{array}{rrrcrl}
(2)&8a&+4b&=&-4 &|\\
(4)&12a&+4b&=&0 &|- \\
\hline
(2)-(4)&-4a &&=&-4 &|:(-4) \\
&a&&=&1
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in (4) ein:
\[\begin{array}{rcll}
12 \cdot 1+4b&=&0 &|-12 \\
4b&=&-12 &|:4 \\
b&=&-3
\end{array}\]
Die gesuchte Funktion lautet: \fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-3x^2+4$}\\

\paragraph{Nullstellenberechnung:}
\[f(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0^3-3x_0^2+4=0\]
Durch \textbf{planvolles}\footnote{Falls es ganzzahlige Nullstellen gibt, dann
sind sie Teiler des \textbf{absoluten Gliedes}.} Probieren erhalte ich die
Lösung:
\[x_{01}=2\]
Weitere Nullstellen finde ich, nachdem der Funktionsterm mit Hilfe einer
\textbf{Polynomdivision}\footnote{Einzelheiten zur Polynomdivision siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}
faktorisiert wurde. Man kann immer $(x-x_0)$
ausklammern, hier also $(x-2)$.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-3x^2\ & &+4) \\
-(x^3&-2x^2) \\
\hline
&-x^2\ &&+4\ \\
-&(-x^2\ &+2x) \\
\hline
&&-2x\ &+4\ \\
&-&(-2x\ &+4) \\
\hline
&&& 0\
\end{array} \begin{array}{cccc}
:&(x-2)&=&x^2-x-2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Weitere Nullstellen finden wir als Nullstellen des Ergebnisterms.
\begin{eqnarray*}
x^2-x-2&=&0 \\
x_{2/3}&=&\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}\\
x_{2/3}&=&\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}\\
x_2=-1 && x_3=2
\end{eqnarray*}
$x_3=2$ ist identisch mit $x_1=2$, wir haben tatsächlich also nur \textbf{zwei}
Nullstellen. Da die \textbf{positive} $x$-Achse eine Begrenzungslinie ist,
kommt nur $x_1=2$ als Flächenbegrenzungspunkt in Frage, wie auch die Skizze
erkennen lässt.\\

\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}

\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.8)(3.8,8.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{0}{2}{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 add}
   \gsave
   \psline(2,0)(0,0)(0,4) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.6,-0.8)(3.8,8.8)
  \uput[-90](3.7,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-1.3}{3.8}{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 add}
  \pscircle*(0,4){2pt} \uput[45](0,4){$P_1$}
  \pscircle*(2,0){2pt} \uput[80](2,0){$P_2$}
  \uput[45](1,2){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](0.5,1){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\paragraph{Flächenberechnung:}
Die Fläche stellt sich demnach als Integral unter der Kurve von 0 bis 2 dar.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_0^2 f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_0^2 x^3-3x^2+4 \ \textnormal{d}x \\
&=&\left[ \frac{1}{4}x^4-x^3+4x \right]_0^2 \\
&=&\left( \frac{1}{4} \cdot 2^4-2^3+4 \cdot 2 \right)
  -\left( \frac{1}{4} \cdot 0^4-0^3+4 \cdot 0 \right) \\
&=&(4-8+8)-0 \\
A&=&\unit[4]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A$=4 Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
Eine Parabel (Polynom 2. Grades) verläuft durch die Punkte $P_1(1|-15)$,
$P_2(4|12)$ und $P_3(5|9)$. Berechnen Sie die Fläche, die die $x$-Achse mit dem
Parabelbogen als Begrenzung bildet.

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Die allgemeine Form für ein Polynom 2. Grades lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Die drei gegebenen Punkte ergeben drei Bedingungen, aus denen ein
Lineargleichungssystem erstellt werden kann.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(1)& f(1)&=&-15 &\Rightarrow& a+b+c&=&-15 \\
(2)& f(4)&=&12 &\Rightarrow& 16a+4b+c&=&12 \\
(3)& f(5)&=&9 &\Rightarrow& 25a+5b+c&=&9 \\
\end{array}\]
Zusammengefasst sieht unser Lineargleichungssystem\footnote{Einzelheiten zu
Lineargleichungssystemen und deren Lösungsverfahren siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi} also so aus:
\[\begin{array}{|lrrrcr|}
\hline
(1)&  a& +b&+c&=&-15 \\
(2)&16a&+4b&+c&=&12 \\
(3)&25a&+5b&+c&=&9 \\
\hline
\end{array}\]
Zur Lösung kann nun jedes beliebige Lösungsverfahren verwendet werden. Da der
Parameter $c$ in jeder Gleichung allein vorkommt, bietet es sich an, die
Gleichungen paarweise voneinander zu subtrahieren, damit wir zwei Gleichungen
\textbf{ohne \emph{c}} erhalten.
\[\begin{array}{|lrrcr|}
\hline
(4)=(2)-(1)&15a&+3b&=&27 \\
(5)=(3)-(1)&24a&+4b&=&24 \\
\hline
\end{array}\]
Für den nächsten Schritt verwende ich willkürlich das
\textbf{Einsetzungsverfahren}\footnote{Einzelheiten zum
Einsetzungsverfahren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}.
Ich löse Gleichung (4) nach $b$ auf und setze den Term in (5) ein.
\[\begin{array}{lrcll}
(4)&15a+3b&=&27 &|-15a \\
&3b&=&27-15a &|:3 \\
&b&=&9-5a \\
\end{array}\]
Eingesetzt in (5):
\[\begin{array}{lrcll}
(5)&24a+4b&=&24 \\
&24a+4 \cdot (9-5a)&=&24 \\
&24a+36-20a&=&24 &|-36 \\
&4a&=&-12 &|:4 \\
&a&=&-3 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (4) eingesetzt.
\[b=9-5a=9-5 \cdot (-3)=24\]
Nun werden beide Ergebnisse in (1) eingesetzt. (Auch jede andere Gleichung wäre
hier möglich.)
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& a+b+c&=&-15 \\
&-3+24+c&=&-15 \\
&21+c&=&-15 &|-21 \\
&c&=&-36 \\
\end{array}\]
Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-3x^2+24x-36$}

\paragraph{Nullstellenbestimmung:}
Zur Nullstellenbestimmung wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
-3x_0^2+24x_0-36&=&0 &|:(-3) \\
x_0^3-8x_0+12&=&0 \\
x_{01/2}&=&4 \pm \sqrt{16-12}\\
x_{01/2}&=&4 \pm 2 \\
x_{01}=2 &&x_{02}=6 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann der Funktionsgraph skizziert werden.\\
\begin{center}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-9)(7.8,14)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{2}{6}{x 2 exp -3 mul 24 x mul add 36 sub}
   \gsave
   \psline(6,0)(2,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.6,-9)(7.8,14)
  \uput[-90](7.7,0){x}  \uput[180](0,13.3){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {1.2}{6.8}{x 2 exp -3 mul 24 x mul add 36 sub}
  \pscircle*(2,0){2pt} \uput[145](2,0){$P_1$}
  \pscircle*(6,0){2pt} \uput[30](6,0){$P_2$}
  \uput[45](5.5,5){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[90](4,3){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\paragraph{Berechnung der Fläche:}
Die Funktionsgleichung und die Nullstellen sind bekannt. Damit kann das
Integral zur Flächenberechnung aufgestellt werden.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_{01}}^{x_{02}}f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_2^6-3x^2+24x-36\ \textnormal{d}x \\
&=&\left[-x^3+12x^2-36x \right]_2^6 \\
&=&\left(-6^3+12 \cdot 6^2-36 \cdot 6 \right)
  -\left(-2^3+12 \cdot 2^2-36 \cdot 2 \right) \\
&=&0-(-32) \\
A&=&\unit[32]{FE}\\
\end{eqnarray*}

Die gesuchte Fläche beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[32]{FE}$}

\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades $f(x)$ hat einen Wendepunkt bei $x_w=3$ mit der
Wendetangente \mbox{$f_1(x)=-6x+22$}. Die $y$-Achse schneidet der Graph des
Polynoms bei \mbox{$y_0=-32$}. Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$-Achse
und dem Graphen von $f(x)$.

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Benötigt wird die Grundfunktion sowie die ersten beiden Ableitungen des
Polynoms.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+2b \\
\end{array}\]

Aus dem Wendepunkt bei $x_w=3$ erhält man:
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(1)& f''(3)&=&0 &\Rightarrow& 6a \cdot 3+2b&=&0 \\
\end{array}\]
Die Wendetangente liefert gleich zwei Bedingungen -- den $y$-Wert am Wendepunkt
und die Steigung dort. Diese Werte bestimme ich vorab.
\[f_1(3)=-6 \cdot 3+22=4\]
\[f_1'(3)=m=-6\]
Mit diesen Werten können nun die Bedingungen aufgestellt werden.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(2)& f(3)&=&f_1(3) &\Rightarrow& a \cdot 3^3+b \cdot 3^2+c \cdot 3+d&=&4 \\
(3)& f'(3)&=&f'_1(3) &\Rightarrow& 3a \cdot 3^2+2b \cdot 3+c&=&-6 \\
\end{array}\]
Die letzte Bedingung liefert der $y$-Achsenabschnitt.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(4)& f(0)&=&-32 &\Rightarrow& a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d&=&-32 \\
\end{array}\]
Fasst man die Gleichungen zusammen, erhält man folgendes Gleichungssystem 4.
Ordnung\footnote{Einzelheiten zu
Lineargleichungssystemen und deren Lösungsverfahren siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}:
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1)&  18a&+2b&&&=&0 \\
(2)&  27a&+9b&+3c&+d&=&4 \\
(3)&  27a&+6b&+c&&=&-6 \\
(4)&  &&&d&=&-32 \\
\hline
\end{array}\]
Aus Gleichung (4) ist $d$ schon bekannt. Der Wert wird sofort in (2)
eingesetzt. Bringt man in Gleichung (2) den eingesetzten Wert von $-32$ sofort
auf die andere Gleichungsseite, erhält man folgendes Gleichungssystem 3.
Ordnung:
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1)&  18a&+2b&&=&0 \\
(2)&  27a&+9b&+3c&=&36 \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 \\
\hline
\end{array}\]
Für die weitere Lösung ist es günstig, dass $c$ nur in \textbf{zwei}
Gleichungen vorkommt. Man sollte also versuchen, die Variable $c$ zuerst zu
eliminieren. Dies könnte mit dem Einsetzungsverfahren, aber auch mit dem
Additions-/Subtraktionsverfahren durchgeführt werden. Ich entscheide mich für
letzteres und dividiere dazu Gleichung (2) durch 3. Dann kann (2) von (3)
subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrcll}
(2)&  27a&+9b&+3c&=&36 &|:3 \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 \\
\hline
(2)&   9a&+3b&+c&=&12 &|- \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 &|\\
\hline
(5)&  18a&+3b&&=&-18 \\
\end{array}\]
Mit Gleichung (1) und (5) bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrcr|}
\hline
(1)&  18a&+2b&=&0 \\
(5)&  18a&+3b&=&-18 \\
\hline
\end{array}\]
Hier bietet sich sofort das Subtraktionsverfahren an, da die Koeffizienten von
$a$ gleich sind.
\[\begin{array}{lrrcrl}
(1)&  18a&+2b&=&0  &|-\\
(5)&  18a&+3b&=&-18&| \\
\hline
(6)&     &  b&=&-18 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis setze ich in (1) ein.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 18a+2b&=&0 \\
   & 18a+2 \cdot (-18)&=&0 \\
   & 18a-36&=&0 &|+36 \\
   & 18a&=&36 &|:18 \\
   &   a&=&2 \\
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $c$ verwende ich die umgestellte Gleichung (2).
\[\begin{array}{lrcll}
(2)&   9a+3b+c&=&12 \\
&   9 \cdot 2+3 \cdot (-18)+c&=&12 \\
& 18-54+c&=&12 \\
& -36+c&=&12 &|+36 \\
&     c&=&48 \\
\end{array}\]
Hiermit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^3-18x^2+48x-32$}

\paragraph{Nullstellenbestimmung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
2x_0^3-18x_0^2+48x_0-32&=&0 &|:2 \\
x_0^3-9x_0^2+24x_0-16&=&0 \\
\end{array}\]
Da wir kein analytisches Lösungsverfahren für eine Kubische Gleichung haben,
muss eine Lösung durch
planvolles\footnote{Falls es ganzzahlige Nullstellen gibt, dann
sind sie Teiler des \textbf{absoluten Gliedes}.} Raten ermittelt werden. Man
erhält so z. B. \mbox{$x_{01}=1$}. Damit ist eine
\textbf{Polynomdivision}\footnote{Einzelheiten zur Polynomdivision siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}
möglich.
\[\begin{array}{rrrr}
(x_0^3&-9x_0^2\ &+24x_0\ &-16) \\
-(x_0^3&-x_0^2) \\
\hline
&-8x_0^2\ &+24x_0\ &-16) \\
-&(-8x_0^2\ &+8x_0) \\
\hline
&&16x_0\ &-16\ \\
&-&(16x_0\ &-16) \\
\hline
&&&0\ \\
\end{array}\begin{array}{cccc}
:&(x_0-1)&=&x_0^2-10x_0+16 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

Alle weiteren Nullstellen liegen jetzt in dem Ergebnisterm.
\[\begin{array}{rcll}
x_0^2-8x_0+16&=&0 \\
x_{02/3}&=&4 \pm \sqrt{4^2-16}\\
&=&4 \pm 0 \\
x_{02}&=&4 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann der Funktionsgraph skizziert werden.\\
\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-2.8)(5.8,9.6)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}
     {x 3 exp 2 mul x x mul 18 mul sub 48 x mul add 32 sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(1,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.6,-2.8)(5.8,9.6)
  \uput[-90](5.7,0){x}  \uput[180](0,9.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {0.6}{5.2}{x 3 exp 2 mul x x mul 18 mul sub 48 x mul add 32 sub}
  \pscircle*(1,0){2pt} \uput[145](1,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[-45](4,0){$P_2$}
  \uput[45](3,4){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[90](2.4,2){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\paragraph{Berechnung der Fläche:}
Die Funktionsgleichung und die Nullstellen sind bekannt. Damit kann das
Integral zur Flächenberechnung aufgestellt werden.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_{01}}^{x_{02}}f(x)\ \textnormal{d}x \\
&=&\int \limits_1^4 2x^3-18x^2+48x-32\ \textnormal{d}x \\
&=&\left[\frac{1}{2}x^4-6x^3+24x^2-32x \right]_1^4 \\
&=&\left(\frac{1}{2} \cdot 4^4-6 \cdot 4^3+24 \cdot 4^2-32 \cdot 4 \right)
  -\left(\frac{1}{2} \cdot 1^4-6 \cdot 1^3+24 \cdot 1^2-32 \cdot 1 \right) \\
&=&0-(-13{,}5) \\
A&=&\unit[13{,}5]{FE}\\
\end{eqnarray*}

Die gesuchte Fläche beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[13{,}5]{FE}$}

\newpage %----------------------------------------------------


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{$$} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
