\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
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\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Übungsaufgaben zum Lösen einfacher Gleichungen}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage


\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Hier sind einige Übungsaufgaben zum Lösen einfacher Linearer Gleichungen
zusammengestellt. Eine ausführliche Anleitung zur Vorgehensweise finden Sie
hier:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gleich00.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gleich00.pdf}\fi \end{center}
Im ersten Teil finden Sie die Aufgabenstellungen, im zweiten die Ergebnisse. Im
dritten Teil können Sie sich auch die komplett durchgerechneten Lösungen mit
Lösungswegen ansehen.

\section{Übungsaufgaben}
Bestimmen Sie die Lösungen der nachfolgenden Gleichungen!
\subsection{Aufgabe 1} \[(4x+1) \cdot (x-1) = (3-2x) \cdot (5-2x) +2x+61\]
\subsection{Aufgabe 2}
   \[\Biggl( 2x- \biggl( 3x- \Bigl( 5-(x+4) \Bigr) \biggr) -2 \Biggr)=-9\]
\subsection{Aufgabe 3}
   \[\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}x+5-\frac{3}{4}=\frac{1}{12}(5x+3)+x\]
\subsection{Aufgabe 4} \[\frac{1}{6}x-\frac{2}{5}x-\frac{2}{3}(x-3)=3x+2\]
\subsection{Aufgabe 5} \[2x \cdot (x-3)+3(x-2) \cdot x = (x-4) \cdot 5x-36\]
\subsection{Aufgabe 6} \[2x+3 \cdot (x+5)-4x+2 \cdot (x-3)=18\]
\subsection{Aufgabe 7} \[\Biggl( \Bigl( (2x-3)-4 \Bigr) -5x \Biggr)
  =-\Biggl( -6x+\Bigl( 2-(3x-5) \Bigr) \Biggr)\]
\subsection{Aufgabe 8} \[(3x+4) \cdot 2-5x+(5x-4) \cdot 3-x=-49\]
\subsection{Aufgabe 9}
   \[\frac{2}{3}(x-6)-\frac{1}{5}(x+10)=\frac{2}{15} \cdot (2x-15)\]
\subsection{Aufgabe 10} \[\frac{1}{8}x-\frac{1}{6}x+5 \cdot
   \left( \frac{1}{16}x-3 \right) =-2\]
\subsection{Aufgabe 11} \[\Biggl( 6x-\Bigl( 9x+(3x-4) \Bigr) \Biggr) \cdot 3
   -\Bigl( x-2(x-2) \Bigr) \cdot 2=-4\]
\subsection{Aufgabe 12} \[\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{6}(x+1)=3-\frac{1}{4}(x+3)\]
\subsection{Aufgabe 13} \[3(x+2)+\Bigl( 2x-1+(1-2x) \Bigr) =3x+5\]
\subsection{Aufgabe 14}
 \[\frac{1}{3}(2x+3)-\frac{1}{4}(3x+3)
   -\left( 2x-1-(x-3) \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}(2-4x)\]
\subsection{Aufgabe 15}
 \[\frac{1}{7}(2x+2)-\frac{2}{3}\cdot (-4x+3)=-\frac{1}{3}\cdot (12-4x) \cdot 2\]
\subsection{Aufgabe 16}
 \[-7(x-1)-2(3-2x)x-4 \cdot (x+1) \cdot x=-\frac{1}{3}(7-x)\]
\subsection{Aufgabe 17}
 \[\frac{1}{2}\cdot (x+3) \cdot x-\frac{1}{3}\cdot x \cdot (x-1)=x \cdot (x+11) \cdot \frac{1}{6}\]
\subsection{Aufgabe 18}
\[\frac{x}{5}(3+4x)-\frac{2x}{5}(5+2x)-\frac{x}{5}=1 \frac{1}{5}\]
\subsection{Aufgabe 19}
\[\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \biggl(x-2 \left( \frac{1}{3}x-(x+5) \right)
  \biggr) =-\frac{29}{18}\]
\subsection{Aufgabe 20} \[2(x+5)-3(x-4)-6(2-x)-8x-1=0\]
\newpage
\section{Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1} \[x=7\]
\subsection{Aufgabe 2} \[x=4\]
\subsection{Aufgabe 3} \[x=12\]
\subsection{Aufgabe 4} \[x=0\]
\subsection{Aufgabe 5} \[x=-4,5\]
\subsection{Aufgabe 6} \[x=3\]
\subsection{Aufgabe 7} \[x=0\]
\subsection{Aufgabe 8} \[x=-3\]
\subsection{Aufgabe 9} \[x=20\]
\subsection{Aufgabe 10} \[x=48\]
\subsection{Aufgabe 11} \[x= \frac{1}{2}\]
\subsection{Aufgabe 12} \[x=5\]
\subsection{Aufgabe 13} Die Aufgabe ist nicht lösbar!
\subsection{Aufgabe 14} \[x=3\]
\subsection{Aufgabe 15} \[x=-22\]
\subsection{Aufgabe 16} \[x= \frac{7}{13}\]
\subsection{Aufgabe 17} Jede reelle Zahl ist Lösung!
\subsection{Aufgabe 18} \[x=-1\]
\subsection{Aufgabe 19} \[x=-\frac{59}{7}\]
\subsection{Aufgabe 20} \[x=3\]

%--------------------------
\newpage
\section{Durchgerechnete Lösungen}

\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
(4x+1) \cdot (x-1)&=&(3-2x) \cdot (5-2x) +2x+61
   &| \textnormal{ Klammern auflösen}\\
4x^2-4x+x-1&=&15-6x-10x+4x^2+2x+61 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
4x^2-3x-1&=&76-14x+4x^2 &|-4x^2+14x+1 \\
11x&=&77 &|:11 \\
x&=&1 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
\Biggl( 2x-\biggl( 3x-\Bigl( 5-(x+4) \Bigr) \biggr) -2 \Biggr)
  &=&-9 &|\textnormal{ Innerste Klammer auflösen} \\
\Biggl( 2x- \Bigl( 3x-(5-x-4) \Bigr)-2 \Biggr)&=&-9
  &|\textnormal{ Innerste Klammer auflösen} \\
\Bigl( 2x-(3x-5+x+4)-2 \Bigr)&=&-9 &|\textnormal{ Innerste Klammer auflösen} \\
(2x-3x+5-x-4-2)&=&-9 &|\textnormal{ Klammer auflösen} \\
2x-3x+5-x-4-2&=&-9 &|\textnormal{ Zusammenfassen} \\
-2x-1&=&-9 &|+1 \\
-2x&=&-8 &|:(-2) \\
x&=&4 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}x+5-\frac{3}{4}&=&\frac{1}{12}(5x+3)+x &|\cdot 12 \\
4x+9x+60-9&=&5x+3+12x &|\textnormal{ Zusammenfassen} \\
13x+51&=&17x+3 &|-51-17x \\
-4x&=&-48 &|:(-4) \\
x&=&12 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{6}x-\frac{2}{5}x-\frac{2}{3}(x-3)&=&3x+2 &|\cdot 30 \\
5x-12x-20(x-3)&=&90x+60 &|\textnormal{ Klammer auflösen}\\
5x-12x-20x+60&=&90x+60 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-27x+60&=&90x+60 &|-60-90x \\
-117x&=&0 &|:(-117) \\
x&=&0 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
2x \cdot (x-3)+3(x-2) \cdot x&=&(x-4) \cdot 5x-36
  &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
2x^2-6x+3x^2-6x&=&5x^2-20x-36 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
5x^2-12x&=&5x^2-20x-36 &|-5x^2+20x \\
8x&=&-36 &|:8 \\
x&=&-4,5 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rcll}
2x+3 \cdot (x+5)-4x+2 \cdot (x-3)&=&18 &|\textnormal{ Ausmultiplizieren}\\
2x+3x+15-4x+2x-6&=&18 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
3x+9&=&18 &|-9 \\
3x&=&9 &|:3 \\
x&=&3 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rcll}
\Biggl( \Bigl( (2x-3)-4 \Bigr)-5x \Biggr)&=&
  -\Biggl( -6x+ \Bigl( 2-(3x-5) \Bigr) \Biggr)&|\textnormal{ Innerste Klammern auflösen} \\
\Bigl( (2x-3-4)-5x \Bigr)&=&- \Bigl(-6x+(2-3x+5) \Bigr)&|\textnormal{ Innerste Klammern auflösen} \\
(2x-3-4-5x)&=&-(-6x+2-3x+5)&|\textnormal{ Klammern auflösen} \\
2x-3-4-5x&=&6x-2+3x-5&|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-3x-7&=&4x-7 &|+7-4x \\
-7x&=&0 &|:(-7) \\
x&=&0 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rcll}
(3x+4) \cdot 2-5x+(5x-4) \cdot 3-x&=&-49 &|\textnormal{ Klammern auflösen} \\
6x+8-5x+15x-12-x&=&-49 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
15x-4&=&-49 &|+4 \\
15x&=&-45 &|:15 \\
x&=&-3 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{2}{3}(x-6)-\frac{1}{5}(x+10)&=&\frac{2}{15} \cdot (2x-15) &|\cdot 15 \\
10 \cdot (x-6)-3 \cdot (x+10)&=&2 \cdot (2x-15) &|\textnormal{ Klammern auflösen} \\
10x-60-3x-30&=&4x-30 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
7x-90&=&4x-30 &|+90-4x \\
3x&=&60 &|:3 \\
x&=&20 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{8}x-\frac{1}{6}x+5 \cdot \left( \frac{1}{16}x-3 \right) &=&-2
  &|\cdot 24 \\
3x-4x+120 \cdot \left( \frac{1}{16}x-3 \right)&=&-48 &|\textnormal{ Klammer auflösen} \\
-x+\frac{120}{16}x-360&=&-48 &|\textnormal{ Bruch Kürzen} \\
-x+\frac{15}{2}x-360&=&-48 &|\cdot 2 \\
-2x+15x-720&=&-96 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
13x-720&=&-96 &|+720 \\
13x&=&624 &|:13 \\
x&=&48 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 11}
\[\begin{array}{rcll}
\Biggl( 6x- \Bigl( 9x+(3x-4) \Bigr) \Biggr) \cdot 3
  - \Bigl( x-2(x-2) \Bigr) \cdot 2&=&-4
  &|\textnormal{ Innerste Klammern auflösen} \\
\Bigl( 6x-(9x+3x-4) \Bigr) \cdot 3-(x-2x+4) \cdot 2&=&-4
  &|\textnormal{ Innerste Klammer auflösen} \\
(6x-9x-3x+4) \cdot 3-(x-2x+4) \cdot 2&=&-4 &|\textnormal{ Zusammenfassen} \\
(-6x+4) \cdot 3-(-x+4) \cdot 2&=&-4 &|\textnormal{ Klammern ausmultiplizieren} \\
-18x+12+2x-8&=&-4 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-16x+4&=&-4 &|-4 \\
-16x&=&-8 &|:(-16) \\
x&=&\frac{1}{2} \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 12}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{6}(x+1)&=&3-\frac{1}{4}(x+3) &|\cdot 12 \\
6(x-1)-2(x+1)&=&36-3(x+3) &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
6x-6-2x-2&=&36-3x-9 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
4x-8&=&27-3x &|+8+3x \\
7x&=&35 &|:7 \\
x&=&5 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 13}
\[\begin{array}{rcll}
3(x+2)+\Bigl(2x-1+(1-2x)\Bigr)&=&3x+5 &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
3x+6+2x-1+1-2x&=&3x+5 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
3x+6&=&3x+5 &|-3x \\
6&=&5 \\
\end{array}\]
Die letzte Zeile stellt offensichtlich eine \textbf{falsche Aussage} dar. Die
Gleichung hat also \textbf{keine} Lösung. \\

\subsection{Aufgabe 14}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{3}(2x+3)-\frac{1}{4}(3x+3)- \left( 2x-1-(x-3) \frac{1}{2}\right)
  &=&\frac{1}{2}(2-4x) &|\cdot 12 \\
4(2x+3)-3(3x+3)-12 \cdot \left( 2x-1-(x-3) \frac{1}{2}\right)&=&6(2-4x)
  &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
8x+12-9x-9-24x+12+6(x-3)&=&12-24x &|\textnormal{ Klammer auflösen}\\
8x+12-9x-9-24x+12+6x-18&=&12-24x &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-19x-3&=&12-24x &|+3+24x \\
5x&=&15 &|:5 \\
x&=&3 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 15}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{7}(2x+2)-\frac{2}{3}\cdot (-4x+3)&=&-\frac{1}{3}\cdot (12-4x) \cdot 2
  &|\cdot 21 \\
3 \cdot (2x+2)-14 \cdot (-4x+3)&=&-7 \cdot (12-4x) \cdot 2
  &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
6x+6+56x-42&=&-168+56x &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
62x-36&=&-168+56x &|+36-56x \\
6x&=&-132 &|:6 \\
x&=&-22 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 16}
\[\begin{array}{rcll}
-7(x-1)-2(3-2x)x-4 \cdot (x+1) \cdot x&=&-\frac{1}{3}(7-x) &|\cdot 3 \\
-21 \cdot (x-1)-6 \cdot (3-2x) \cdot x-12 \cdot (x+1) \cdot x&=&-(7-x)
  &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
-21x+21-18x+12x^2-12x^2-12x&=&-7+x &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-51x+21&=&-7+x &|-21-x \\
-52x&=&-28 &|:(-52) \\
x&=& \frac{7}{13} \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 17}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{2}\cdot (x+3) \cdot x-\frac{1}{3}\cdot x \cdot (x-1)
  &=&x \cdot (x+11) \cdot \frac{1}{6} &|\cdot 6 \\
3 \cdot (x+3) \cdot x-2 \cdot x \cdot (x-1)&=&x \cdot (x+11)
  &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
3x^2+9x-2x^2+2x&=&x^2+11x &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
x^2+11x&=&x^2+11x &|-x^2-11 \\
0&=&0 \\
\end{array}\]
Die letzte Zeile ist eine \textbf{wahre Aussage}. Daher ist \textbf{jede reelle
Zahl} eine Lösung der Gleichung. \\

\subsection{Aufgabe 18}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{x}{5}(3+4x)-\frac{2x}{5}(5+2x)-\frac{x}{5}&=&1 \frac{1}{5} &|\cdot 5 \\
x \cdot (3+4x)-2x \cdot (5+2x)-x&=&6 &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
3x+4x^2-10x-4x^2-x&=&6 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-8x&=&6 &|:(-8) \\
x&=&-\frac{3}{4} \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 19}
\[\begin{array}{rcll}
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \biggl( x-2 \left( \frac{1}{3}x-(x+5) \right)
  \biggr) &=&-\frac{29}{18} &|\cdot 18 \\
3 \cdot \biggl( x-2 \left( \frac{1}{3}x-(x+5) \right) \biggr)&=&-29
  &| \textnormal{ Klammern auflösen}\\
3 \cdot \bigl(x-2 \left( \frac{1}{3}x-x-5 \right) \biggr)&=&-29
  &| \textnormal{ Klammern auflösen}\\
3 \cdot \left( x-\frac{2}{3}x+2x+10 \right)&=&-29
  &| \textnormal{ Klammern auflösen}\\
3x-2x+6x+30&=&-29 &| \textnormal{ Zusammenfassen}\\
7x+30&=&-29 &|-30 \\
7x&=&-59 &|:7 \\
x&=&-\frac{59}{7}\\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 20}
\[\begin{array}{rcll}
2(x+5)-3(x-4)-6(2-x)-8x-1&=&0 &|\textnormal{ Klammern auflösen}\\
2x+10-3x+12-12+6x-8x-1&=&0 &|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
-3x+9&=&0 &|-9 \\
-3x&=&-9 &|:(-3) \\
x&=&3 \\
\end{array}\]

\end{document}
