% Compilieren mit "ps4pdf flaechen.txt"
\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Flächenberechnungen}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse: \textbf{mail@dk4ek.de} \\
%\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Dreiecke}
\subsection{Allgemeines Dreieck}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,3)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(4,0){B}
  \pnode(3,3){C}
  \pnode(3,0){D}
  \psline(C)(A)(B)(C)(D)
  \uput{0.6}[-160](D){$g$}
  \uput{0.8}[105](D){$h$}
  \uput{0.1}[145](D){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{180}{90}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zur Berechnung der Fläche eines Dreieckes benötigt man eine Grundseite und die
\textbf{zugehörige} Höhe. Man kann \textbf{jede beliebige} Seite als Grundseite
wählen, entscheidend ist aber, dass die dazugehörige Höhe dazu einen
\textbf{Rechten Winkel} bildet.
Die Dreieckfläche wird damit wie folgt berechnet:
\begin{quote}
\textbf{\emph{Die Fläche eines Dreieckes ist das halbe Produkt aus einer
Grundseite und der zugehörigen Höhe.}}
\end{quote}
Nennt man die Grundseite $g$ und die Höhe $h$, dann lautet die Formel für die
Dreieckfläche:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\cfrac{g \cdot h}{2}$}\end{center}

\subsection{Rechtwinkliges Dreieck}
Ist das Dreieck \textbf{Rechtwinklig}, dann wählt man sinnvollerweise eine der
Katheten als Grundseite. Wegen des Rechten Winkels ist dann die andere Kathete
die Höhe. Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreieckes wird damit wie folgt
berechnet:
\begin{quote}
\textbf{\emph{Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreieckes ist das halbe Produkt
aus den beiden Katheten.}}
\end{quote}
Wenn wir die beiden Katheten mit $a$ und $b$ bezeichnen, dann lautet die Formel
für die Fläche eines Rechtwinkligen Dreieckes:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\cfrac{a \cdot b}{2}$}\end{center}

\section{Vierecke}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,3)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(4,0){B}
  \pnode(3,3){C}
  \pnode(1,2){D}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](B)(D)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Für das allgemeine Viereck ohne Besonderheiten gibt es keine Rechenformel. Man
kann es jedoch immer durch eine Diagonale in zwei Dreiecke aufteilen, die dann
mit der Dreieckformel berechnet werden können.\\

Es gibt jedoch eine ganze Reihe spezieller Vierecke, für die es jeweils eigene
Berechnungsformeln gibt.

\newpage
\subsection{Rechteck}
\subsubsection{allgemeines Rechteck}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(4,2)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(4,0){B}
  \pnode(4,2){C}
  \pnode(0,2){D}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \uput{1.5}[-8](A){$a$}
  \uput{0.7}[105](A){$b$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](A){0.4}{90}{0}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](B){0.4}{180}{90}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](C){0.4}{-90}{-180}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{0}{-90}
  \uput{0.1}[35](A){$\cdot$}
  \uput{0.1}[145](B){$\cdot$}
  \uput{0.15}[-140](C){$\cdot$}
  \uput{0.15}[-45](D){$\cdot$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Viereck mit vier Rechten Winkeln nennt man \textbf{Rechteck}. Die
gegenüberliegenden Seiten sind dabei jeweils gleich lang.
Die Fläche eines Rechteckes ist sehr einfach zu berechnen.
\begin{quote}
\textbf{\emph{Die Fläche eines Rechteckes ist das Produkt aus den beiden
Rechteckseiten.}}
\end{quote}
Bezeichnen wir die Rechteckseiten mit $a$ und $b$, dann erhalten wir diese
Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=a \cdot b$}\end{center}

\subsubsection{Quadrat}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(2,2)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(2,0){B}
  \pnode(2,2){C}
  \pnode(0,2){D}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \uput{0.8}[-14](A){$a$}
  \uput{0.7}[105](A){$a$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](A){0.4}{90}{0}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](B){0.4}{180}{90}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](C){0.4}{-90}{-180}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{0}{-90}
  \uput{0.1}[35](A){$\cdot$}
  \uput{0.1}[145](B){$\cdot$}
  \uput{0.15}[-140](C){$\cdot$}
  \uput{0.15}[-45](D){$\cdot$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Als Spezialfall eines Rechteckes gibt es noch das Quadrat. Hier sind alle
Seiten gleich lang. Wenn die Quadratseiten mit $a$ bezeichnet werden, lautet
die Berechnungsformel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=a^2$}\end{center}
\textcolor{white}{.}

\subsection{Parallelogramm}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(3,0){B}
  \pnode(4,2){C}
  \pnode(1,2){D}
  \pnode(2.5,0){E}
  \pnode(2.5,2){F}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](E)(F)
  \uput{1.2}[-10](A){$g$}
  \uput{0.7}[105](E){$h$}
  \uput{0.1}[145](E){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](E){0.4}{180}{90}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die \textbf{gegenüberliegenden}
Seiten jeweils parallel verlaufen. Dadurch sind sie auch jeweils gleich lang.
Man kann ein Rechteck daher auch als einen Spezialfall eines Parallelogrammes
mit Rechten Winkeln betrachten.\\

Zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms benötigt man eine Grundseite
und die \textbf{zugehörige} Höhe. Welche Seite man als Grundseite wählt, ist
gleichgültig, die Höhe muss nur zu dieser Seite einen Rechten Winkel bilden.
Damit ist die Parallelogrammfläche recht einfach zu berechnen.
\begin{quote}
\textbf{\emph{Die Fläche eines Parallelogramms ist das Produkt aus einer
Grundseite und der zugehörigen Höhe.}}
\end{quote}
Bezeichnet man die Grundseite mit $g$ und die Höhe mit $h$, dann erhält man
diese Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=g \cdot h$}\end{center}

\newpage
\subsection{Trapez}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2.5)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(4,0){B}
  \pnode(3,2){C}
  \pnode(1.5,2){D}
  \pnode(2.7,0){E}
  \pnode(2.7,2){F}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](E)(F)
  \uput{1.2}[-10](A){$g_1$}
  \uput{0.5}[20](D){$g_2$}
  \uput{0.7}[102](E){$h$}
  \uput{0.1}[145](E){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](E){0.4}{180}{90}
  \uput{0.15}[-140](F){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](F){0.4}{-90}{-180}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Trapez ist ein Viereck mit \textbf{zwei parallelen} Seiten. Ein
Pa\-ral\-le\-lo\-gramm ist somit eigentlich ein Spezialfall eines Trapezes.\\

Die beiden parallelen Seiten werden \textbf{erste} und \textbf{zweite
Grundseite} genannt, den \textbf{Abstand} der Grundseiten nennt man
\textbf{Höhe}.
Wenn man die beiden Grundseiten mit $g_1$ und $g_2$ und die Höhe mit $h$
bezeichnet, erhält man folgende Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$A=\cfrac{g_1+g_2}{2} \cdot h$}\end{center}

\subsection{Drachenviereck}
\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-1,-0)(4,3)
  \pnode(-1,1.5){A}
  \pnode(2.5,0){B}
  \pnode(4,1.5){C}
  \pnode(2.5,3){D}
  \pnode(2.5,1.5){E}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](A)(C)
  \psline[linewidth=0.2pt](B)(D)
  \uput{2.0}[-7](A){$d_1$}
  \uput{0.2}[-60](E){$d_2$}
  \uput{0.1}[145](E){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](E){0.4}{180}{90}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem jeweils zwei benachbarten Seiten
gleich lang sind. Das führt dazu, dass sich die beiden Diagonalen rechtwinklig
schneiden.\\

Weil das so ist, eignen sich die Diagonalen gut zur Berechnung der Fläche.
\begin{quote}
\textbf{\emph{Die Fläche eines Drachenviereckes ist das halbe Produkt
aus den beiden Diagonalen.}}
\end{quote}
Bezeichnet man die Diagonalen mit $d_1$ und $d_2$, dann erhält man folgende
Formel zur Berechnung der Fläche:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\cfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$}\end{center}

\subsection{Raute}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,-0)(4,3)
  \pnode(0,1.5){A}
  \pnode(2,0){B}
  \pnode(4,1.5){C}
  \pnode(2,3){D}
  \pnode(2,1.5){E}
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](A)(C)
  \psline[linewidth=0.2pt](B)(D)
  \uput{1.0}[-12](A){$d_1$}
  \uput{0.2}[-60](E){$d_2$}
  \uput{0.1}[145](E){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](E){0.4}{180}{90}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Raute ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten. Weil das dazu führt,
dass die sich jeweils gegenüberliegenden Seiten pa\-ral\-lel sind, kann man
eine Raute sowohl als Spezialfall eines Pa\-ral\-le\-lo\-gramms, als auch als
Spezialfall eines Drachenvierecks betrachten. Daher kann man die Fläche sowohl
mit der Formel für das Drachenviereck, als auch mit der Formel für das
Parallelogramm bestimmen. Was günstiger ist, hängt schlicht davon ab, welche
Größen bekannt sind. Kennt man die Diagonalen -- wie in der Skizze angedeutet
-- dann nimmt man die Drachenviereckformel, kennt man eine Grundseite mit
zugehöriger Höhe, dann verwendet man die Parallelogrammformel. Die Formeln hier
zu wiederholen erübrigt sich meines Erachtens.


\section{Wohnflächenberechnung}
Etwas ganz anderes als die "`mathematische"' Flächenberechnung ist die
"`juristische"' Flächenberechnung, hier die Berechnung einer Wohnfläche. Dabei
geht es um die Grundfläche im Grundriss, die letztlich für den Mietpreis
entscheidend ist. Meist haben die Flächen ein
rechteckiges Format, es gibt aber gelegentlich auch andere Formen wie
beispielsweise ein Trapez oder (noch seltener) ein Dreieck.\\

Zunächst kommen die gleichen Formeln zum Einsatz, die hier schon im
"`mathematischen"' Teil beschrieben worden sind. Dann sind aber noch zwei
Aspekte wichtig.
\begin{itemize}
\item Sind Dachschrägen vorhanden, die die Zimmerhöhe beeinträchtigen?
\item Welche Zweckbestimmung hat der jeweilige Raum?
\end{itemize}

\subsection{Dachschrägen}
Beginnen wir mit Teil 1. Sind in dem Raum Dachschrägen vorhanden, gelten
folgende Regelungen:
\begin{itemize}
\item \textbf{\emph{Alle Raumteile mit mindestens 2 Meter Höhe werden zu 100\%
  berücksichtigt.}}
\item \textbf{\emph{Alle Raumteile mit einer Höhe zwischen 1 und 2 Meter
  Höhe werden zu 50\% berücksichtigt.}}
\item \textbf{\emph{Alle Raumteile mit einer Höhe unter 1 Meter Höhe werden
  nicht berücksichtigt.}}
\end{itemize}

\subsection{Beispiel 1}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.5)(4.8,3)
  \psline(0,0)(4,0)(4,0.5)(2,2.5)(0,2.5)(0,0)
  \uput{0.1}[90](1,2.5){$a$}
  \uput{0.1}[-90](2,0){$b$}
  \uput{0.1}[180](0,1.25){$h_1$}
  \uput{0.1}[0](4,0.25){$h_2$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Wohnraum hat eine rechteckige Grundfläche. Der Raum ist 5 Meter lang und 4
Meter breit. Nebenstehend ist die Wand einer Längsseite abgebildet. Bekannt
sind diese Maße:\\
$a=\unit[2]{m}$\\
$b=\unit[4]{m}$\\
$h_1=\unit[2{,}5]{m}$\\
$h_2=\unit[0{,}5]{m}$\\
Gesucht ist die Wohnfläche dieses Raumes.

\newpage
\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.5)(4.8,3)
  \psline(0,0)(4,0)(4,0.5)(2,2.5)(0,2.5)(0,0)
  \uput{0.1}[90](1,2.5){$a$}
  \uput{0.1}[-90](2,0){$b$}
  \uput{0.1}[180](0,1.25){$h_1$}
  \uput{0.1}[0](4,0.25){$h_2$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,1)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,2)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zunächst tritt sofort folgendes Problem auf: In welchen Bereichen ist die
Deckenhöhe mindestens 2 Meter, wo zwischen 1 und 2 Meter und wo unter 1
Meter?
In der nebenstehenden Skizze sind diese Bereiche markiert. Wo aber liegen diese
Bereiche? Die Grenzen müssen irgendwie berechnet werden.\\

Hier hilft der \textbf{Zweite Strahlensatz} weiter. Er besagt folgendes:
\begin{quote}
\emph{\textbf{An einem von zwei Parallelen geschnittenen Zweistrahl ist das
Verhältnis der Parallelenabschnitte gleich dem Verhältnis der zugehörigen
Strahlenabschnitte.}}
\end{quote}

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(2,0.7)(4.3,2.5)
  \psline(2,1)(4,1)(2,2.5)
  \psline(3,0.5)(3,2.5)
  \psline(2.5,0.5)(2.5,2.5)
  \uput{0.1}[-50](2.5,1){$B$}
  \uput{0.1}[-50](3,1){$A$}
  \uput{0.1}[70](4,1){$S$}
  \uput{0.1}[45](2.5,2.1){$D$}
  \uput{0.1}[45](3,1.7){$C$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Was bedeutet das? Um den Lehrsatz etwas besser zu verstehen habe ich
nebenstehend eine zu den Strahlensätzen gehörende Planfigur erstellt. Die
Schnittpunkte zwischen Strahlen und Parallelen sind mit den Bezeichnungen $A$
bis $D$, den Schnittpunkt der Strahlen mit $S$ bezeichnet. Mit diesen
Bezeichnungen gilt dann der Strahlensatz als Formel:

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}=\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}$}
\end{center}
Hierbei bedeutet $\overline{AC}$ die Strecke zwischen $A$ und $C$, usw.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.5)(4.8,3)
  \psline(0,0)(4,0)(4,0.5)(2,2.5)(0,2.5)(0,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](4,0.5)(2,2.5)(2,0.5)(4,0.5)
  \uput{0.1}[90](1,2.5){$a$}
  \uput{0.1}[-90](2,0){$b$}
  \uput{0.1}[180](0,1.25){$h_1$}
  \uput{0.1}[0](4,0.25){$h_2$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,1)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,2)
  \psline[linewidth=0.5pt](0,0.5)(4,0.5)
  \psline[linewidth=0.5pt](2,0)(2,2.5)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Das können wir nun auf unsere Planskizze der Seitenwand über\-tra\-gen. Hier
habe ich noch zwei weitere Hilfslinien eingetragen, eine waagerechte und eine
senktechte.\\

Von besonderem Interesse ist das zusätzlich eingezeichnete
\textcolor{red}{rote} Dreieck. In dem können wir nämlich den eben
angesprochenen Zweiten Strahlensatz anwenden.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(1.9,0.7)(4.3,2.8)
  \psline(2,1)(4,1)(2,2.5)
  \psline(3,1)(3,1.75)
  \psline(2,1)(2,2.5)
  \uput{0.1}[-80](2,1){$B$}
  \uput{0.1}[-80](3,1){$A$}
  \uput{0.1}[70](4,1){$S$}
  \uput{0.1}[45](2,2.5){$D$}
  \uput{0.1}[45](3,1.7){$C$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Damit besser Bezeichnungen eingetragen werden können, ist dieses Dreiech
nebenstehend etwas größer dargestellt. Anstelle der beiden Teilhöhen (die
gestrichelten Linien) habe ich stellvertretend nur eine einzige eingetragen.
Das ist die Strecke $\overline{AC}$.
Dann ist die Länge der Strecke $\overline{BD}$ die Differenz der Höhen:
\[\overline{BD}=h_1-h_2=\unit[2{,}5]{m}-\unit[0{,}5]{m}=\unit[2]{m}\]

Auch die Strecke $\overline{SB}$ kann ausgerechnet werden:
\[\overline{SB}=b-a=\unit[4]{m}-\unit[2]{m}=\unit[2]{m}\]

Jetzt möchte ich den Bereich ausrechnen, in dem die Deckenhöhe weniger als 1
Meter beträgt.In der Planskizze ist das die Strecke $\overline{SA}$. Weil die
Strecke $\overline{SA}$ um die Höhe $h_2$ über dem Fußbodenniveau liegt, ist
die Strecke $\overline{AC}$ um diesen Wert kürzer.
\[\overline{AC}=\unit[1]{m}-h_2=\unit[1]{m}-\unit[0{,}5]{m}=\unit[0{,}5]{m}\]

Mit diesen Werten kann nun die Strecke $\overline{SA}$ mit dem Zweiten
Strahlensatz berechnet werden.

\underline{Ein Tipp:} Es ist immer sinnvoll, mit der \textbf{gesuchten} Größe
im Zähler anzufangen.

\enlargethispage{10mm}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}&=&\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}\\
\cfrac{\unit[0{,}5]{m}}{\unit[2]{m}}&=&\cfrac{\overline{SA}}{\unit[2]{m}}
 &| \cdot \unit[2]{m}\\
\unit[0{,}5]{m}&=&\overline{SA} \\
\end{array}\]

Damit ist klar: In einem Streifen von 50 cm Breite an der rechten Seite wird
keine Fläche für die Wohnflächenberechnung gezählt.\\

Jetzt kommt noch der Abstand von der rechten Wand, bei der die Höhe genau 2
Meter beträgt. Weil ich wieder die selbe Planskizze verwenden möchte, heißt
diese Länge ebenfalls $\overline{SA}$. Daher muss die Strecke $\overline{AC}$
hierfür neu berechnet werden.
\[\overline{AC}=\unit[2]{m}-h_2=\unit[1]{m}-\unit[0{,}5]{m}=\unit[1{,}5]{m}\]

Wieder wird der Zweite Strahlensatz angewendet:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}&=&\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}\\
\cfrac{\unit[1{,}5]{m}}{\unit[2]{m}}&=&\cfrac{\overline{SA}}{\unit[2]{m}}
 &| \cdot \unit[2]{m}\\
\unit[1{,}5]{m}&=&\overline{SA} \\
\end{array}\]

Ergebnis: In einem Abstand von 1,5 Metern von der rechten Wand ist die
Deckenhöhe genau 2 Meter.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=9mm,yunit=9mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(4.1,5.1)
  \psline*[linecolor=lightgray](0,0)(2.5,0)(2.5,5)(0,5)(0,0)
  \psline*[linecolor=yellow](3.5,0)(2.5,0)(2.5,5)(3.5,5)(3.5,0)
  \psline(0,0)(4,0)(4,5)(0,5)(0,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](3.5,0)(3.5,5)
  \psline[linewidth=0.5pt](2.5,0)(2.5,5)
  \uput{0.1}[90](1.25,2){$A_1$}
  \uput{0.1}[90](3,2){$A_2$}
  \uput{0.1}[90](1.25,0){$l_1$}
  \uput{0.1}[90](3,0){$l_2$}
  \uput{0.1}[0](0,2.5){$r$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Jetzt können wir den Grundriss skizzieren. In diesem Grundriss gibt es drei
Bereiche:\\

Im linken grauen Bereich (Fläche $A_1$) ist die Deckenhöhe über 2 Meter. Hier
wird die Fläche voll berechnet.\\

Im mittleren gelben Bereich (Fläche $A_2$) ist die Deckenhöhe zwischen 1 und 2
Meter. Hier wird die Fläche nur zu 50\% berechnet.\\

Im rechten weißen Bereich ist die Deckenhöhe unter 1 Meter. Hier wird die
Fläche nicht berechnet.\\

Beginnen wir mit der Fläche $A_1$. Ihr rechter Rand ist -- wie eben berechnet
-- 1,5 Meter von der rechten Wand entfernt. Damit und mit der Raumbreite
\mbox{$b=\unit[4]{m}$} kann die Rechteckseite $l_1$ von $A_1$ berechnet werden.
\[l_1=b-\unit[1{,}5]{m}=\unit[4]{m}-\unit[1{,}5]{m}=\unit[2{,}5]{m}\]

Mit der Raumlänge \mbox{$r=\unit[5]{m}$} und $l_1$ kann nun $A_1$ berechnet
werden:
\[A_1=r \cdot l_1=\unit[5]{m} \cdot \unit[2{,}5]{m}=\unit[12{,}5]{m^2}\]

Der rechte Rand der Fläche $A_2$ liegt 0,5 Meter vom rechten Rand entfernt.
Damit und mit $l_1$ und $b$ kann nun $l_2$ berechnet werden.
\[l_2=b-l_1-\unit[0{,}5]{m}=\unit[4]{m}-\unit[2{,}5]{m}-\unit[0{,}5]{m}
 =\unit[1]{m}\]
\[A_2=r \cdot l_2=\unit[5]{m} \cdot \unit[1]{m}=\unit[5]{m^2}\]

Jetzt kommen wir endlich zur Wohnfläche:
\[\begin{array}{rcll}
A_{\textnormal{Wohn}}&=&\unit[100]{\%} \cdot A_1+\unit[50]{\%} \cdot A_2 \\
&=&1 \cdot \unit[12{,}5]{m^2}+0{,}5 \cdot \unit[5]{m^2}\\
A_{\textnormal{Wohn}}&=&\unit[15]{m^2}
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Wohnfläche des Raumes beträgt $\unit[15]{m^2}$.}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
In einem Kindergarten soll ein rechteckiger Sandkasten mit 3 Meter Breite und 5
Meter Länge angelegt werden. Dazu muss auf dieser Fläche die Erde 10 Zentimeter
tief ausgehoben werden. Wenn der Hausmeister das mit einem Spaten macht,
benötigt er pro Quadratmeter 10 Minuten. Wie lange wäre er beschäftigt?

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,6)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(5,0){B}
  \pnode(5,4){C}
  \pnode(2.5,6){D}
  \pnode(0,4){E}
  \psline(A)(B)(C)(D)(E)(A)
  \pnode(2,0){T1}
  \pnode(3,0){T2}
  \pnode(3,2){T3}
  \pnode(2,2){T4}
  \psline*[linecolor=brown](T1)(T2)(T3)(T4)(T1)
  \psline(T1)(T2)(T3)(T4)(T1)
  \pnode(0.5,3,5){F11}
  \pnode(1.8,3,5){F12}
  \pnode(1.8,3.7,5){F13}
  \pnode(0.5,3.7,5){F14}
  \psline*[linecolor=yellow](F11)(F12)(F13)(F14)(F11)
  \psline(F11)(F12)(F13)(F14)(F11)
  \pnode(3.2,3,5){F21}
  \pnode(4.5,3,5){F22}
  \pnode(4.5,3.7,5){F23}
  \pnode(3.2,3.7,5){F24}
  \psline*[linecolor=yellow](F21)(F22)(F23)(F24)(F21)
  \psline(F21)(F22)(F23)(F24)(F21)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Fassade nach nebenstehendem Bild soll angestrichen werden.\linebreak[4] Die Front hat
eine Breite von 5 Metern. In der Mitte ist sie 6 Meter hoch, an den Seiten 4
Meter. Die Tür ist 1 Meter breit und 2 Meter hoch. Die Fenster haben je eine
Breite von 1,80 Metern und sind 90 Zentimeter hoch.\\

Die Fenster und die Tür werden \textbf{nicht} mitgestrichen. Prüfen Sie
rechnerisch, ob ein Eimer mit 5 Liter Inhalt ausreicht. Ein Liter reicht für
vier Quadratmeter.

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,2.5)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(5,0.8){B}
  \pnode(5,2.5){C}
  \pnode(0,2.5){D}
  \pnode(2.7,0){E}
  \pnode(2.7,2){F}
  \psline*[linecolor=green!50](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Rasenfläche auf einem Grundstück dargestellt. Die
Rasenfläche hat eine Gesamtlänge von 36 Metern. Auf der Westseite ist es 15
Meter und auf der Ostseite 10 Meter breit. Die Grundstücksecken an der
Nordseite stellen Rechte Winkel dar. Wie lange benötigt der Gärtner für
das Mähen der Rasenfläche, wenn er in 6 Minuten eine Fläche von 50
Quadratmetern mähen kann?

\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(0,2.5){A}
  \pnode(2,2){B}
  \pnode(2,3){C}
  \pnode(3,0){D}
  \pnode(3,5){E}
  \pnode(4,2){F}
  \pnode(4,3){G}
  \pnode(6,2.5){H}
  \psline*[linecolor=yellow](B)(F)(G)(C)(B)
  \psline*[linecolor=red!70](A)(B)(C)(A)
  \psline*[linecolor=red!70](B)(D)(F)(B)
  \psline*[linecolor=red!70](G)(F)(H)(G)
  \psline*[linecolor=red!70](G)(E)(C)(G)
  \psline[linewidth=1pt](C)(A)(B)(D)(F)(H)(G)(E)(C)(B)(F)(G)(C)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehendes Muster soll als Weihnachtsdekoration aus farbigem Karton
hergestellt werden. Die Dreiecke sollen rotfarbig sein, das Rechteck gelb.
Damit dieser Weihnachtsstern zusammenhält, wird zunächst die Gesamtfigur aus
rotem Karton ausgeschnitten. Anschließend wird das gelbe Rechteck aufgeklebt.
Das Rechteck ist 20 Zentimeter lang und 10 Zentimeter breit. Alle Dreiecke sind
gleichschenklig und haben eine Höhe von je 20 Zentimeter.
Der verwendete Karton hat ein Gewicht von 250 Gramm je Quadratmeter. Wieviel
Gramm wiegt der fertige Weihnachtsstern?

\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=3.5mm,yunit=3.5mm}
\begin{pspicture}(-5.3,-6)(5.3,6)
  \pnode(-2,0){A}
  \pnode(-1,1.7){B}
  \pnode(1,1.7){C}
  \pnode(2,0){D}
  \pnode(1,-1.7){E}
  \pnode(-1,-1.7){F}
  \pnode(-5.3,3.1){G}
  \pnode(0,6){H}
  \pnode(5.3,3.1){I}
  \pnode(5.3,-3.1){J}
  \pnode(0,-6){K}
  \pnode(-5.3,-3.1){L}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(G)(B)(H)(C)(I)(D)(J)(E)(K)(F)(L)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(G)(B)(H)(C)(I)(D)(J)(E)(K)(F)(L)(A)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehender Stern soll aus einem DIN-A4-Blatt ausgeschnitten werden. Ein
DIN-A4-Blatt ist 210 Millimeter breit und 297 Millimeter lang.

Der Stern besteht aus einem regelmäßigen Sechseck in der Mitte und sechs
gleichen Gleichschenkligen Dreiecken darum herum.
Das Sechseck hat eine
Seitenlänge von je 4 Zentimetern. Der Abstand von je zwei sich
gegenüberliegenden Seiten beträgt 6,9 Zentimeter, die Entfernung zweier sich
gegenüberliegenden Ecken 8 Zentimeter.
Alle Dreiecke haben eine eine Höhe von 8,6 Zentimetern.

Wieviel Prozent Verschnitt ergibt sich durch das Ausschneiden aus einem
DIN-A4-Blatt?

\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=3.5mm,yunit=3.5mm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,5)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(8,0){B}
  \pnode(8,4){C}
  \pnode(3,4){D}
  \pnode(3,0){E}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \uput{0.1}[145](B){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](B){0.4}{180}{90}
  \uput{0.1}[-145](C){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](C){0.4}{270}{180}
  \uput{0.05}[-130](A){$A$}
  \uput{0.05}[-45](B){$B$}
  \uput{0.05}[45](C){$C$}
  \uput{0.05}[140](D){$D$}
  \uput{0.1}[-90](4.5,0){$a$}
  \uput{0.1}[0](8,2){$b$}
  \uput{0.1}[90](5.5,4){$c$}
  \uput{0.1}[135](1.5,2){$d$}
%----
%  \psline[linewidth=0.2pt](D)(E)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Fläche des nebenstehenden Trapezes soll berechnet werden. Gegeben sind
folgende Maße:\\
$a=\unit[24]{cm}$\\
$b=\unit[12]{cm}$\\
$d=\unit[15]{cm}$\\
Bei $B$ und $C$ liegt jeweils ein Rechter Winkel.

\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.1)(2.5,4.9)
  \pnode(-1,0){A}
  \pnode(1,0){B}
  \pnode(2.4,1.4){C}
  \pnode(2.4,3.4){D}
  \pnode(1,4.8){E}
  \pnode(-1,4.8){F}
  \pnode(-2.4,3.4){G}
  \pnode(-2.4,1.4){H}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
%----
%  \psline[linewidth=0.2pt](D)(G)
%  \psline[linewidth=0.2pt](C)(H)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auf einem Hof soll ein Bereich farbig gepflastert werden, der die Form eines
regelmäßiges Achteckes dargestellt. Das bedeutet, dass alle
Winkel und alle Seiten gleich sind. Alle Seiten haben eine Länge von 2 Metern,
alle Winkel betragen $135^\circ$.\\

Berechnen Sie die Gesamtfläche dieses Achteckes!

\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{6.1cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.7)(4.1,3.6)
  \psline[linewidth=1.5pt](-2.5,0)(-2.5,1.35)(0,3.6)(3,0.9)(3,0)(-2.5,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](-3,0)(-2.5,0)(-2.5,-0.7)
  \psline[linewidth=0.5pt](4.1,0)(3,0)(3,-0.7)
  \psline[linewidth=0.5pt](3.8,0.9)(3,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt](4.1,3.6)(0,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt](0,1)(0,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt](-3,1.35)(-2.5,1.35)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.5,-0.5)(3,-0.5)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.8,0)(-2.8,1.35)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,0)(3.6,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.9,0)(3.9,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.5,1.2)(0,1.2)
  \uput{0.1}[-90](0.25,0){\footnotesize 5,5}
  \rput{90}(3.3,0.45){\footnotesize 0,8}
  \rput{90}(-3,0.72){\footnotesize 1,2}
  \rput{90}(3.6,1.8){\footnotesize 3,2}
  \uput{0.1}[90](-1.25,1.1){\footnotesize 2,5}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Wohnraum im ausgebauten Dachboden hat eine rechteckige Grundfläche. Der
Raum ist 6 Meter lang und 5,5
Meter breit. Nebenstehend ist die Wand einer Längsseite abgebildet. Bekannt
sind die eingetragenen Maße, die alle in der Einheit \emph{Meter} angegeben
sind.\\
Gesucht ist die Wohnfläche dieses Raumes.


%\subsection{Aufgabe 9}
%Für eine Dekoration sollen nebenstehende Figuren aus Filz ausgeschnitten
%werden. Alle angegebenen Maße sind in Millimetern angegeben.

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
In einem Kindergarten soll ein rechteckiger Sandkasten mit 3 Meter Breite und 5
Meter Länge angelegt werden. Dazu muss auf dieser Fläche die Erde 10 Zentimeter
tief ausgehoben werden. Wenn der Hausmeister das mit einem Spaten macht,
benötigt er pro Quadratmeter 10 Minuten. Wie lange wäre er beschäftigt?

\paragraph{Lösung:}
Der Sandkasten stellt ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=\unit[3]{m}$ und
$b=\unit[5]{m}$ dar. Die Rechteckformel wird verwendet.

\[\begin{array}{rcll}
A&=&a \cdot b \\
&=&\unit[3]{m} \cdot \unit[5]{m}\\
A&=&\unit[15]{m^2}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Der Hausmeister benötigt für jeden Quadratmeter 10 Minuten. Er wäre also
$\unit[15]{m^2} \cdot \unit[10]{\frac{min}{m^2}}=150$ Minuten oder umgerechnet
2 Stunden und 30 Minuten beschäftigt.

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,6)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(5,0){B}
  \pnode(5,4){C}
  \pnode(2.5,6){D}
  \pnode(0,4){E}
  \psline(A)(B)(C)(D)(E)(A)
  \pnode(2,0){T1}
  \pnode(3,0){T2}
  \pnode(3,2){T3}
  \pnode(2,2){T4}
  \psline*[linecolor=brown](T1)(T2)(T3)(T4)(T1)
  \psline(T1)(T2)(T3)(T4)(T1)
  \pnode(0.5,3,5){F11}
  \pnode(1.8,3,5){F12}
  \pnode(1.8,3.7,5){F13}
  \pnode(0.5,3.7,5){F14}
  \psline*[linecolor=yellow](F11)(F12)(F13)(F14)(F11)
  \psline(F11)(F12)(F13)(F14)(F11)
  \pnode(3.2,3,5){F21}
  \pnode(4.5,3,5){F22}
  \pnode(4.5,3.7,5){F23}
  \pnode(3.2,3.7,5){F24}
  \psline*[linecolor=yellow](F21)(F22)(F23)(F24)(F21)
  \psline(F21)(F22)(F23)(F24)(F21)
  \psline[linewidth=0.5pt](C)(E)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Fassade nach nebenstehendem Bild soll angestrichen werden.\linebreak[4] Die Front hat
eine Breite von 5 Metern. In der Mitte ist sie 6 Meter hoch, an den Seiten 4
Meter. Die Tür ist 1 Meter breit und 2 Meter hoch. Die Fenster haben je eine
Breite von 1,80 Metern und sind 90 Zentimeter hoch.\\

Die Fenster und die Tür werden \textbf{nicht} mitgestrichen. Prüfen Sie
rechnerisch, ob ein Eimer mit 5 Liter Inhalt ausreicht. Ein Liter reicht für
vier Quadratmeter.

\paragraph{Lösung:}
Zunächst wird die Frontfläche in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegt. Ist
diese Frontfläche bestimmt, müssen die Flächen von Fenster und Tür davon
subtrahiert werden.\\

Beginnen wir mit der Rechteckfläche. Ich nenne sie $A_\Box$.
\[A_\Box=a \cdot b=\unit[4]{m} \cdot \unit[5]{m}=\unit[20]{m^2}\]

Es folgt die Dreieckfläche $A_\triangle$. Die Grundseite des Dreieckes ist die
Frontbreite mit $g=\unit[5]{m}$. Die Dreieckhöhe $h$ ist die Differenz aus der
Fronthöhe in der Mitte und der Fronthöhe am Rand.
\[h=\unit[6]{m}-\unit[4]{m}=\unit[2]{m}\]

\[A_\triangle=\cfrac{g \cdot h}{2}
=\cfrac{\unit[5]{m} \cdot \unit[2]{m}}{2}=\unit[5]{m^2}\]

Zusammengesetzt ergibt das die gesamte Frontfläche $A_{Fr}$.
\[A_{Fr}=A_\Box+A_\triangle=\unit[20]{m^2}+\unit[5]{m^2}=\unit[25]{m^2}\]

Es folgt die Berechnung der Türfläche $A_T$.
\[A_T=a \cdot b=\unit[1]{m} \cdot \unit[2]{m}=\unit[2]{m^2}\]

Jetzt wird die Fläche eines Fensters $A_{Fe}$ berechnet. Hierzu muss die
Fensterhöhe von 90 Zentimetern noch in Meter umgewandelt werden.
\[A_{Fe}=a \cdot b=\unit[1{,}80]{m} \cdot \unit[0{,}90]{m}
=\unit[1{,}62]{m^2}\]

Damit kann die gesamte zu streichende Fläche berechnet werden.
\[A_{ges}=A_{Fr}-A_T-2 \cdot A_{Fe}
=\unit[25]{m^2}-\unit[2]{m^2}-2 \cdot \unit[1{,}62]{m^2}=\unit[19{,}76]{m^2}\]

\underline{Ergebnis:} Ein Eimer mit 5 Litern zu je $\unit[4]{m^2}$ reicht für
$5 \cdot \unit[4]{m^2}=\unit[20]{m^2}$. Also reicht ein Eimer (knapp) aus.

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,2.5)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(5,0.8){B}
  \pnode(5,2.5){C}
  \pnode(0,2.5){D}
  \pnode(2.7,0){E}
  \pnode(2.7,2){F}
  \psline*[linecolor=green!50](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Rasenfläche auf einem Grundstück dargestellt. Die
Rasenfläche hat eine Gesamtlänge von 36 Metern. Auf der Westseite ist es 15
Meter und auf der Ostseite 10 Meter breit. Die Grundstücksecken an der
Nordseite stellen Rechte Winkel dar. Wie lange benötigt der Gärtner für
das Mähen der Rasenfläche, wenn er in 6 Minuten eine Fläche von 50
Quadratmetern mähen kann?

\paragraph{Lösung:}
Zunächst wird die Rasenfläche berechnet. Sie hat die Form eines Trapezes. Die
parallelen Seiten, die die Grundseiten $g_1$ und $g_2$ darstellen, sind die
westliche und die östliche Begrenzung mit 15 und 10 Metern Länge. Die Länge der
Nordseite mit 36 Metern Länge ist dann die Höhe $h$ des Trapezes.
\[A=\cfrac{g_1+g_2}{2} \cdot h
=\cfrac{\unit[15]{m}+\unit[10]{m}}{2} \cdot \unit[36]{m}
=\unit[450]{m^2}\]

Die Zeit für die Mäharbeit kann mit einem Dreisatz berechnet
werden.\footnote{Näheres zum Dreisatz siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/3satz.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/3satz.pdf}\fi}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-8.5,-7.5)(8.5,0)
  \pnode(-6.5,-2.9){A1}
  \pnode(-6.5,-3.6){A2}
  \pnode(-6.5,-4.4){A3}
  \pnode(6.5,-2.9){B1}
  \pnode(6.5,-3.6){B2}
  \pnode(6.5,-4.4){B3}
  \pnode(-6.5,-4.7){A4}
  \pnode(-6.5,-5.5){A5}
  \pnode(-6.5,-6.5){A6}
  \pnode(6.5,-4.7){B4}
  \pnode(6.5,-5.5){B5}
  \pnode(6.5,-6.5){B6}
  \uput[180](A2){$:50$}
  \uput[0](B2){$:50$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 450$}
  \uput[0](B5){$ \cdot 450$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](0,0){$
\begin{array}{rcll}
\unit[50]{m^2} &\hat =&\unit[6]{min}\\
\unit[450]{m^2} &\hat =&\unit[?]{min}\\
\hline
\unit[50]{m^2} &\hat =&\unit[6]{min}\\
\unit[1]{m^2} &\hat =&\cfrac{\unit[6]{min}}{50}\\
\unit[450]{m^2} &\hat =&\cfrac{\unit[6]{min} \cdot 450}{50}=\unit[54]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}

\underline{Ergebnis:}
Der Gärtner benötigt zum Mähen der Rasenfläche 54 Minuten.

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(0,2.5){A}
  \pnode(2,2){B}
  \pnode(2,3){C}
  \pnode(3,0){D}
  \pnode(3,5){E}
  \pnode(4,2){F}
  \pnode(4,3){G}
  \pnode(6,2.5){H}
  \psline*[linecolor=yellow](B)(F)(G)(C)(B)
  \psline*[linecolor=red!70](A)(B)(C)(A)
  \psline*[linecolor=red!70](B)(D)(F)(B)
  \psline*[linecolor=red!70](G)(F)(H)(G)
  \psline*[linecolor=red!70](G)(E)(C)(G)
  \psline[linewidth=1pt](C)(A)(B)(D)(F)(H)(G)(E)(C)(B)(F)(G)(C)
  %-----
  \uput{0.9}[0](A){\footnotesize $A_1$}
  \uput{0.9}[-90](E){\footnotesize $A_2$}
  \uput{0.9}[180](H){\footnotesize $A_3$}
  \uput{0.9}[90](D){\footnotesize $A_4$}
  \uput{1.6}[90](D){\footnotesize $A_5$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehendes Muster soll als Weihnachtsdekoration aus farbigem Karton
hergestellt werden. Die Dreiecke sollen rotfarbig sein, das Rechteck gelb.
Damit dieser Weihnachtsstern zusammenhält, wird zunächst die Gesamtfigur aus
rotem Karton ausgeschnitten. Anschließend wird das gelbe Rechteck aufgeklebt.
Das Rechteck ist 20 Zentimeter lang und 10 Zentimeter breit. Alle Dreiecke sind
gleichschenklig und haben eine Höhe von je 20 Zentimeter.
Der verwendete Karton hat ein Gewicht von 250 Gramm je Quadratmeter. Wieviel
Gramm wiegt der fertige Weihnachtsstern?

\paragraph{Lösung:}
Zunächst werden alle Teilflächen bezeichnet, beispielsweise wie hier durch
Hineinschreiben eines passenden Namens. Die Flächen $A_1$ und $A_3$ sind
identisch, ebenso die Flächen $A_2$ und $A_4$. Somit gibt es \textbf{drei
unterschiedliche} Flächen, die berechnet werden müssen.\\

\subparagraph{Berechnung eines kleinen Dreieckes:}
\[A_1=A_3=\cfrac{g \cdot h}{2}=\cfrac{\unit[10]{cm} \cdot \unit[20]{cm}}{2}
=\unit[100]{cm^2}\]

\subparagraph{Berechnung eines großen Dreieckes:}
\[A_2=A_4=\cfrac{g \cdot h}{2}=\cfrac{\unit[20]{cm} \cdot \unit[20]{cm}}{2}
=\unit[200]{cm^2}\]

\subparagraph{Berechnung des Rechteckes:}
\[A_5=a \cdot b=\unit[20]{cm} \cdot \unit[10]{cm}=\unit[200]{cm^2}\]

\subparagraph{Gesamtfläche Rot:}
\[A_{rot}=2 \cdot A_1+2 \cdot A_2+A_5
=2 \cdot \unit[100]{cm^2}+2 \cdot \unit[200]{cm^2}+\unit[200]{cm^2}
=\unit[800]{cm^2}\]

\subparagraph{Gesamtfläche alle Pappe:}
\[A_{ges}=A_{rot}+A_5=\unit[800]{cm^2}+\unit[200]{cm^2}=\unit[1\,000]{cm^2}
=\unit[0{,}1]{m^2}\]

\subparagraph{Gesamtgewicht:}
\[m=\unit[0{,}1]{m^2} \cdot \unit[250]{\cfrac{g}{m^2}}=\unit[25]{g}\]

\underline{Ergebnis:}
Der Pappstern wiegt 25 Gramm.

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=3.5mm,yunit=3.5mm}
\begin{pspicture}(-5.3,-6)(5.3,6)
  \pnode(-2,0){A}
  \pnode(-1,1.7){B}
  \pnode(1,1.7){C}
  \pnode(2,0){D}
  \pnode(1,-1.7){E}
  \pnode(-1,-1.7){F}
  \pnode(-5.3,3.1){G}
  \pnode(0,6){H}
  \pnode(5.3,3.1){I}
  \pnode(5.3,-3.1){J}
  \pnode(0,-6){K}
  \pnode(-5.3,-3.1){L}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(G)(B)(H)(C)(I)(D)(J)(E)(K)(F)(L)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(G)(B)(H)(C)(I)(D)(J)(E)(K)(F)(L)(A)
  \psline[linewidth=0.2pt](A)(D)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehender Stern soll aus einem DIN-A4-Blatt ausgeschnitten werden. Ein
DIN-A4-Blatt ist 210 Millimeter breit und 297 Millimeter lang.

Der Stern besteht aus einem regelmäßigen Sechseck in der Mitte und sechs
gleichen Gleichschenkligen Dreiecken darum herum.
Das Sechseck hat eine
Seitenlänge von je 4 Zentimetern. Der Abstand von je zwei sich
gegenüberliegenden Seiten beträgt 6,9 Zentimeter, die Entfernung zweier sich
gegenüberliegenden Ecken 8 Zentimeter.
Alle Dreiecke haben eine eine Höhe von 8,6 Zentimetern.

Wieviel Prozent Verschnitt ergibt sich durch das Ausschneiden aus einem
DIN-A4-Blatt?

\paragraph{Lösung:}
Es müssen zwei verschiedene Flächenformen berechnet werden, ein Sechseck und 6
gleiche Dreiecke. Beginnen wir mit dem Sechseck. Da wir keine Formel für ein
Rechteck haben, muss diese Fläche in berechenbare Teilflächen zerlegt werden.
Eine von mehreren Möglichkeiten ist hier angedeutet -- eine Zerlegung in zwei
Trapeze. Eine Trapezfläche nenne ich $A_T$.

\[A_T=\cfrac{g_1+g_2}{2} \cdot h
=\cfrac{\unit[4]{cm}+\unit[8]{cm}}{2} \cdot \unit[3{,}45]{cm}
=\unit[20{,}7]{cm^2}\]

Eine Dreieckfläche nenne ich $A_\triangle$.

\[A_\triangle=\cfrac{g \cdot h}{2}
=\cfrac{\unit[4]{cm} \cdot \unit[8{,}6]{cm}}{2}
=\unit[17{,}2]{cm^2}\]

Damit kann die Gesamtfläche des Sterns $A_S$ berechnet werden.
\[A_S=2 \cdot A_T+6 \cdot A_\triangle
=2 \cdot \unit[20{,}7]{cm^2}+6 \cdot \unit[17{,}2]{cm^2}
=\unit[144{,}6]{cm^2}\]

Die Gesamtfläche eines DIN-A4-Blattes $A_D$ wird berechnet:
\[A_D=\unit[21]{cm} \cdot \unit[29{,}7]{cm}=\unit[623{,}7]{cm^2}\]

Die Fläche des Verschnittes $A_V$ wird berechnet:
\[A_V=A_D-A_S=\unit[623{,}7]{cm^2}-\unit[144{,}6]{cm^2}=\unit[479{,}1]{cm^2}\]

Der Verschnitt wird in Prozent\footnote{Näheres zur Prozentrechnung siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/prozent.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/prozent.pdf}\fi} berechnet:
\[P_s=\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}
=\cfrac{\unit[479{,}1]{cm^2} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[623{,}7]{cm^2}}
=\unit[76{,}8]{\%}\]

\underline{Ergebnis:} Der Verschnitt beträgt 76,8 Prozent.

\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=3.5mm,yunit=3.5mm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,5)
  \pnode(0,0){A}
  \pnode(8,0){B}
  \pnode(8,4){C}
  \pnode(3,4){D}
  \pnode(3,0){E}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(A)
  \uput{0.1}[145](B){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](B){0.4}{180}{90}
  \uput{0.1}[-145](C){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.5pt](C){0.4}{270}{180}
  \uput{0.05}[-130](A){$A$}
  \uput{0.05}[-45](B){$B$}
  \uput{0.05}[45](C){$C$}
  \uput{0.05}[140](D){$D$}
  \uput{0.1}[-90](4.5,0){$a$}
  \uput{0.1}[0](8,2){$b$}
  \uput{0.1}[90](5.5,4){$c$}
  \uput{0.1}[135](1.5,2){$d$}
%----
  \psline[linewidth=0.2pt](D)(E)
  \uput{0.1}[-90](E){$E$}
  \uput{0.1}[0](3,2){$b'$}
  \uput{0.1}[90](1.5,0){$e$}
  \uput{0.1}[145](E){$\cdot$}
  \psarcn[linewidth=0.45pt](E){0.4}{180}{90}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Fläche des nebenstehenden Trapezes soll berechnet werden. Gegeben sind
folgende Maße:\\
$a=\unit[24]{cm}$\\
$b=\unit[12]{cm}$\\
$d=\unit[15]{cm}$\\
Bei $B$ und $C$ liegt jeweils ein Rechter Winkel.

\paragraph{Lösung:}
Wegen der beiden Rechten Winkel bei $B$ und $C$ ist die Seite $b$ gleichzeitig
die Höhe des Trapezes. Die Seiten $a$ und $c$ sind die beiden Grundseiten, die
man ebenfalls in der Formel benötigt.\\

Weil die Seite $c$ nicht bekannt ist, muss diese zunächst bestimmt werden. Dazu
wird die Hilfslinie $\overline{DE}=b'$ eingezeichnet, die eine Parallele zu $b$
darstellt. Sie hat ebenfalls die Länge $b$. Dadurch ist das Rechtwinklige
Dreieck \mbox{$\Delta AED$} entstanden mit $b'$ und $e$ als Katheten und der
Hypotenuse $d$. Mit dem Satz des Pythagoras\footnote{Näheres zum Satz des
Pythagoras siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}\fi}
kann die Hilfslänge $e$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
e^2+b'^2&=&d^2 &|-b'^2 \\
e^2&=&d^2-b'^2 &|\sqrt{\ }\\
e&=&\sqrt{d^2-b'^2} \\
&=&\sqrt{(\unit[15]{cm})^2-(\unit[12]{cm})^2}\\
&=&\sqrt{\unit[225]{cm^2}-\unit[144]{cm^2}}\\
&=&\sqrt{\unit[81]{cm^2}}\\
e&=&\unit[9]{cm}\\
\end{array}\]

Aus den Längen $a$ und $e$ ergibt sich $c$.
\[c=a-e=\unit[24]{cm}-\unit[9]{cm}=\unit[15]{cm}\]

Nun kann mit der Flächenformel die Trapezfläche berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
A&=&\cfrac{g_1+g_2}{2} \cdot h \\
&=&\cfrac{a+c}{2} \cdot b \\
&=&\cfrac{\unit[24]{cm}+\unit[15]{cm}}{2} \cdot \unit[12]{cm}\\
A&=&\unit[234]{cm^2}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Die Trapezfläche beträgt \mbox{$A=\unit[234]{cm^2}$}.

\newpage
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.1)(2.5,4.9)
  \pnode(-1,0){A}
  \pnode(1,0){B}
  \pnode(2.4,1.4){C}
  \pnode(2.4,3.4){D}
  \pnode(1,4.8){E}
  \pnode(-1,4.8){F}
  \pnode(-2.4,3.4){G}
  \pnode(-2.4,1.4){H}
  \psline*[linecolor=yellow](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
%----
  \psline[linewidth=0.2pt](D)(G)
  \psline[linewidth=0.2pt](C)(H)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auf einem Hof soll ein Bereich farbig gepflastert werden, der die Form eines
regelmäßiges Achteckes dargestellt. Das bedeutet, dass alle
Winkel und alle Seiten gleich sind. Alle Seiten haben eine Länge von 2 Metern,
alle Winkel betragen $135^\circ$.\\

Berechnen Sie die Gesamtfläche dieses Achteckes!\\

\paragraph{Lösung:}
Zunächst kann die Gesamtfläche in ein Rechteck und zwei Trapeze aufgeteilt
werden, wie oben dargestellt. Leider sind weder die Breite des Rechteckes noch
die Höhe der Trapeze bekannt. Diese Größen müssen vorab bestimmt werden.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.1)(2.5,4.9)
  \pnode(-1,0){A}
  \pnode(1,0){B}
  \pnode(2.4,1.4){C}
  \pnode(2.4,3.4){D}
  \pnode(1,4.8){E}
  \pnode(-1,4.8){F}
  \pnode(-2.4,3.4){G}
  \pnode(-2.4,1.4){H}
  \pnode(-1,3.4){I}
  \psline*[linecolor=yellow](F)(I)(G)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
%----
  \psline[linewidth=0.2pt](D)(G)
  \psline[linewidth=0.2pt](C)(H)
  \psline[linewidth=0.2pt](F)(I)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Es bietet sich an, die Aufteilung noch etwas weiter fortzusetzen, wie
nebenstehend dargestellt. Ich möchte das Augenmerk auf das markierte Dreieck
oben links richten. Das Dreieck ist rechtwinklig, die beiden Katheten sind
gleich lang. Die Länge der Hypotenuse ist eine Seite des Achteckes. Sie ist mit
2 Metern bekannt.\\

In diesem Dreieck kann die Länge der Katheten mit Hilfe des Satzes des
Pythagoras\footnote{Näheres zum Satz des Pythagoras siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}\fi}
berechnet werden. Ich benenne die Kateten mit $k$ und die Hypotenuse
mit $h$.
\[\begin{array}{rcll}
h^2&=&k^2+k^2 \\
h^2&=&2 \cdot k^2 &|\sqrt{\ }\\
h&=&\sqrt{2} \cdot k &|:\sqrt{2} \\
\cfrac{h}{\sqrt{2}}&=&k \\
k&=&\cfrac{\unit[2]{m}}{\sqrt{2}}\\
k&=&\unit[1{,}414]{m}\\
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.1)(2.5,4.9)
  \pnode(-1,0){A}
  \pnode(1,0){B}
  \pnode(2.4,1.4){C}
  \pnode(2.4,3.4){D}
  \pnode(1,4.8){E}
  \pnode(-1,4.8){F}
  \pnode(-2.4,3.4){G}
  \pnode(-2.4,1.4){H}
  \pnode(-1,3.4){I}
  \pnode(1,3.4){J}
  \psline*[linecolor=yellow](F)(I)(G)(F)
  \psline*[linecolor=yellow](D)(J)(E)(D)
  \psline[linewidth=1pt](A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)(A)
%----
  \psline[linewidth=0.2pt](D)(G)
  \psline[linewidth=0.2pt](C)(H)
  \psline[linewidth=0.2pt](F)(I)
  \psline[linewidth=0.2pt](J)(E)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Hiermit kann jetzt die Länge des Rechteckes in der Mitte berechnet werden. Aus
Symmetriegründen gibt es auch auf der rechten Seite ein solches Dreieck mit der
gleichen Kathetenlänge $k$. Die Rechtecklänge besteht dann aus einer
Seitenlänge $h$ und zwei Kathetenlängen $k$. Ich nenne die Rechtecklänge $a$
und erhalte:
\[a=k+h+k=\unit[1{,}414]{m}+\unit[2]{m}+\unit[1{,}414]{m}=\unit[4{,}828]{m}\]

Jetzt kann die Rechteckfläche $A_R$ berechnet werden.
\[A_R=a \cdot h=\unit[4{,}828]{m} \cdot \unit[2]{m}=\unit[9{,}656]{m^2}\]

Die Trapeze haben die Höhe $k$, die erste Grundseite $a$ und die zweite
Grundseite $k$. Die Trapezfläche $A_T$ wird berechnet:
\[
A_T=\cfrac{a+h}{2} \cdot k
=\cfrac{\unit[4{,}828]{m}+\unit[2]{m}}{2} \cdot \unit[1{,}414]{m}
=\unit[4{,}827]{m^2}
\]

Damit kann die Gesamtfläche $A$ berechnet werden.
\[A=A_R+2 \cdot A_T=\unit[9{,}656]{m^2}+2 \cdot
\unit[4{,}827]{m^2}=\unit[19{,}31]{m^2}\]

\underline{Ergebnis:}
Die Gesamtfläche der Pflasterung beträgt \mbox{$A=\unit[19{,}31]{m^2}$}.

\newpage
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{6.1cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.7)(4.1,3.6)
  \psline[linewidth=1.5pt](-2.5,0)(-2.5,1.35)(0,3.6)(3,0.9)(3,0)(-2.5,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](-3,0)(-2.5,0)(-2.5,-0.7)
  \psline[linewidth=0.5pt](4.1,0)(3,0)(3,-0.7)
  \psline[linewidth=0.5pt](3.8,0.9)(3,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt](4.1,3.6)(0,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt](0,1)(0,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt](-3,1.35)(-2.5,1.35)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.5,-0.5)(3,-0.5)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.8,0)(-2.8,1.35)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,0)(3.6,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.9,0)(3.9,3.6)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.5,1.2)(0,1.2)
  \uput{0.1}[-90](0.25,0){\footnotesize 5,5}
  \rput{90}(3.3,0.45){\footnotesize 0,8}
  \rput{90}(-3,0.72){\footnotesize 1,2}
  \rput{90}(3.6,1.8){\footnotesize 3,2}
  \uput{0.1}[90](-1.25,1.1){\footnotesize 2,5}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Wohnraum im ausgebauten Dachboden hat eine rechteckige Grundfläche. Der
Raum ist 6 Meter lang und 5,5
Meter breit. Nebenstehend ist die Wand einer Längsseite abgebildet. Bekannt
sind die eingetragenen Maße, die alle in der Einheit \emph{Meter} angegeben
sind.\\

Gesucht ist die Wohnfläche dieses Raumes.

\paragraph{Lösung:}

\begin{wrapfigure}{r}{3.9cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-3.1,-0.1)(4.1,3.6)
  \psline[linewidth=1.5pt](-2.5,0)(-2.5,1.35)(0,3.6)(3,0.9)(3,0)(-2.5,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](-1.5,0)(-1.5,2.22)
  \psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(1.5,2.22)
  \psline[linewidth=0.5pt](2.84,0)(2.84,1.05)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bevor mit der Wohnflächenberechnung begonnen werden kann, muss zunächst
festgestellt werden, wo die Deckenhöhe \textbf{genau einen} bzw.
\textbf{genau zwei} Meter beträgt, denn dort liegen die Grenzen für die
Berechnungen. Die drei Stellen sind hier nebenstehend mit einer dünnen Linie
eingezeichnet.\\

\begin{wrapfigure}{r}{3.cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3,-0.8)(0.5,4)
  \psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(-2.5,0)(-2.5,1.35)(0,3.6)(3,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt](-1.5,0)(-1.5,2.22)
  \psline[linewidth=0.5pt](-2.5,1.35)(0.5,1.35)
  \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(0,3.6)
  \uput{0.1}[120](-2.5,1.35){\footnotesize $S$}
  \uput{0.1}[-45](-1.5,1.35){\footnotesize $A$}
  \uput{0.1}[150](-1.5,2.22){\footnotesize $B$}
  \uput{0.1}[-45](0,1.35){\footnotesize $C$}
  \uput{0.1}[160](0,3.6){\footnotesize $D$}
  \uput{0.1}[-90](-2.5,0){\footnotesize $E$}
  \uput{0.1}[-90](-1.5,0){\footnotesize $F$}
  \uput{0.1}[-90](0,0){\footnotesize $G$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Beginnen wir mit der linken Linie in dem linken Teil der Wandfläche. Hier ist
die Decke genau 2 Meter hoch. Dazu zeichne ich eine Planfigur mit dem linken
Teil der Wand. Eingezeichnet wird außerdem noch eine waagerechte Hilfslinie in
der Höhe der linken Wand sowie sowie die Höhe zur Dachspitze. Die interessanten
Punkte werden mit Bezeichnungen versehen.\\

Hier kann man die Grundfigur zur Anwendung der Strahlensätze erkennen. Die
Strahlen beginnen bei $S$ und verlaufen nach rechts Richtung $C$ und nach
schräg oben Richtung $D$. Die Parallelen sind die senkrechten Hilfslinien von
$b$ nach $F$ und von $D$ nach $G$.\\

Bekannt sind die Strecken \mbox{$\overline{SE}=\unit[1{,}2]{m}$} (identisch mit
den Strecken $\overline{AF}$ und $\overline{CG}$), die Strecke
\mbox{$\overline{SC}=\unit[2{,}5]{m}$}, die Strecke
\mbox{$\overline{DG}=\unit[3{,}2]{m}$} sowie die Strecke
\mbox{$\overline{BF}=\unit[2]{m}$}. Aus diesen Daten lassen sich die
Parallelenabschnitte $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ berechnen. Somit kommt
anschließend der \textbf{zweite} Strahlensatz zur Anwendung.

\[\overline{AB}=\overline{BF}-\overline{AF}=\unit[2]{m}-\unit[1{,}2]{m}
=\unit[0{,}8]{m}\]
\[\overline{CD}=\overline{DG}-\overline{CG}=\unit[3{,}2]{m}-\unit[1{,}2]{m}
=\unit[2]{m}\]

Gesucht ist die Strecke $\overline{SA}$. Sie lässt sich nun mit Hilfe des
zweiten Strahlensatzes berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SC}}&=&\cfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}}\\
\cfrac{\overline{SA}}{\unit[2{,}5]{m}}&=&\cfrac{\unit[0{,}8]{m}}{\unit[2]{m}}\\
\cfrac{\overline{SA}}{\unit[2{,}5]{m}}&=&0{,}4 &| \cdot \unit[2{,}5]{m}\\
\overline{SA}&=&\unit[1]{m}\\
\end{array}\]
Somit ist klar: In einem Streifen von 1 Meter Breite beträgt am linken Rand des
Raumes die Deckenhöhe zwischen einem und zwei Meter, die zugehörige Fläche ist
bei der Wohnflächenberechnung somit nur halb zu berücksichtigen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.8)(3.5,4)
  \psline[linewidth=1.5pt](-2.5,0)(-2.5,1.35)(0,3.6)(3,0.9)(3,0)(-2.5,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(1.5,2.22)
  \psline[linewidth=0.5pt](2.84,0)(2.84,1.05)
  \psline[linewidth=0.5pt](3,0.9)(-0.5,0.9)
  \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(0,3.6)
  \uput{0.1}[0](3,0.9){\footnotesize $S$}
  \uput{0.1}[-135](2.84,0.9){\footnotesize $A$}
  \uput{0.1}[80](2.84,1.11){\footnotesize $B$}
  \uput{0.1}[-135](1.5,0.9){\footnotesize $C$}
  \uput{0.1}[50](1.5,2.2){\footnotesize $D$}
  \uput{0.1}[-130](0,0.9){\footnotesize $E$}
  \uput{0.1}[50](0,3.6){\footnotesize $F$}
  \uput{0.1}[-90](0,0){\footnotesize $G$}
  \uput{0.1}[-90](1.5,0){\footnotesize $H$}
  \uput{0.1}[-90](2.7,0){\footnotesize $I$}
  \uput{0.1}[0](3,0){\footnotesize $J$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Kümmern wir uns nun um den rechten Teil des Raumes. Hier gibt es zwei Grenzen
bei der Raumhöhe, bei einem Meter (Strecke $\overline{BI}$) und bei zwei Meter
(Strecke $\overline{DH}$). Bekannt ist die Strecke
\mbox{$\overline{SJ}=\unit[0{,}8]{m}$} (identisch mit den Strecken
$\overline{AI}$, $\overline{CH}$ und $\overline{EG}$) und die Strecke
\mbox{$\overline{FG}=\unit[3{,}2]{m}$}. Die Strecke $\overline{SE}$ kann aus
den angegebenen Daten errechnet werden.
\[\overline{SE}=\unit[5{,}5]{m}-\unit[2{,}5]{m}=\unit[3]{m}\]

Ich möchte als nächstes sie Strecke $\overline{SC}$ berechnen. Dazu betrachte
ich den Zweistrahl der beiden Strahlen, die bei $S$ beginnen und nach $E$ bzw.
nach $F$ verlaufen. Die beiden senkrechten Hilfslinien durch $F$ und $G$ sowie
durch $D$ und $H$ sind nun die Parallelen, auf die ich den zweiten Strahlensatz
beziehen möchte. Dazu fehlen mir noch die Längen der Parallelenabschnitte
$\overline{CD}$ und $\overline{EF}$, die aber leicht aus den angegebenen Daten
berechnet werden können.
\[\overline{CD}=\overline{DH}-\overline{CH}=\unit[2]{m}-\unit[0{,}8]{m}
=\unit[1{,}2]{m}\]
\[\overline{EF}=\overline{FG}-\overline{EG}=\unit[3{,}2]{m}-\unit[0{,}8]{m}
=\unit[2{,}4]{m}\]

Mit diesen Werten kann der zweite Strahlensatz zur Bestimmung der Strecke
$\overline{SC}$ angesetzt werden.

\underline{Zur Erinnerung:} Es ist immer sinnvoll, mit der \textbf{gesuchten}
Größe im Zähler anzufangen.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{SC}}{\overline{SE}}&=&\cfrac{\overline{CD}}{\overline{EF}}\\
\cfrac{\overline{SC}}{\unit[3]{m}}&=&\cfrac{\unit[1{,}2]{m}}{\unit[2{,}4]{m}}\\
\cfrac{\overline{SC}}{\unit[3]{m}}&=&0{,}5 &| \cdot \unit[3]{m}\\
\overline{SC}&=&\unit[1{,}5]{m}\\
\end{array}\]

Nun kommt die Strecke $\overline{SA}$ an die Reihe. Zur Berechnung wird dazu
die Länge der Strecke $\overline{AB}$ benötigt. Die kann aus den gegebenen
Werten berechnet werden.
\[\overline{AB}=\overline{BI}-\overline{AI}=\unit[1]{m}-\unit[0{,}8]{m}
=\unit[0{,}2]{m}\]

Mit dem zweiten Strahlensatz kann der Ansatz zur Berechnung der Strecke
$\overline{SA}$ gemacht werden. Auch hier beginne ich mit der gesuchten Größe.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SE}}&=&\cfrac{\overline{AB}}{\overline{EF}}\\
\cfrac{\overline{SA}}{\unit[3]{m}}&=&\cfrac{\unit[0{,}4]{m}}{\unit[2{,}4]{m}}
  &| \cdot \unit[3]{m}\\
\overline{SA}&=&\cfrac{\unit[0{,}4]{m}}{\unit[2{,}4]{m}} \cdot \unit[3]{m}\\
\overline{SA}&=&\unit[0{,}5]{m}\\
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=9mm}
\begin{pspicture}(-3,-0.1)(3.1,5.1)
  \psline*[linecolor=lightgray](-1.5,0)(1.5,0)(1.5,5)(-1.5,5)(-1.5,0)
  \psline*[linecolor=yellow](-2.5,0)(-1.5,0)(-1.5,5)(-2.5,5)(-2.5,0)
  \psline*[linecolor=yellow](2.5,0)(1.5,0)(1.5,5)(2.5,5)(2.5,0)
  \psline[linewidth=1.5pt](-2.5,0)(3,0)(3,5)(-2.5,5)(-2.5,0)
  \psline[linewidth=0.5pt](-1.5,0)(-1.5,5)
  \psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(1.5,5)
  \psline[linewidth=0.5pt](2.5,0)(2.5,5)
  \uput{0.1}[90](-2,2){\footnotesize $A_1$}
  \uput{0.1}[90](0,2){\footnotesize $A_2$}
  \uput{0.1}[90](2,2){\footnotesize $A_3$}
  \uput{0.1}[90](2.7,2){\footnotesize $A_4$}
  \uput{0.1}[90](-2,0){\footnotesize $b_1$}
  \uput{0.1}[90](0,0){\footnotesize $b_2$}
  \uput{0.1}[90](2,0){\footnotesize $b_3$}
  \uput{0.1}[90](2.7,0){\footnotesize $b_4$}
  \uput{0.1}[180](-2.5,2.5){\footnotesize $l$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Jetzt können wir den Grundriss skizzieren. In diesem Grundriss gibt es vier
Bereiche:\\

Die linke gelbe Fläche $A_1$: Hier liegt die Deckenhöhe zwischen 1 und 2 Meter,
die Fläche wird nur zu 50\% berücksichtigt.\\

Die grau Fläche $A_2$ in der Mitte: Hier ist die Decke mehr als 2 Meter hoch,
die Fläche wird zu 100\% berücksichtigt.

Die rechte gelbe Fläche $A_3$: Hier liegt die Deckenhöhe zwischen 1 und 2 Meter,
die Fläche wird nur zu 50\% berücksichtigt.\\

Die weiße Fläche $A_4$ ganz rechts: Hier liegt die Deckenhöhe unter 1 Meter,
die Fläche wird nicht berücksichtigt.\\

Beginnen wir mit $A_1$. Die Streifenbreite $b_1$ wurde im ersten Teil als
\mbox{$b_1=\overline{SA}=\unit[1]{m}$} berechnet, die Raumlänge $l=\unit[6]{m}$
ist in der Aufgabenstellung angegeben.
\[A_1=l \cdot b_1=\unit[6]{m} \cdot \unit[1]{m}=\unit[6]{m^2}\]

Die Breite $b_2$ für die Fläche $A_2$ muss noch ausgerechnet werden. Das
geschieht mit \mbox{$\overline{SA}=\unit[1]{m}$} aus der linken Hälfte und
\mbox{$\overline{SC}=\unit[1{,}5]{m}$} aus der rechten Hälfte.

\[b_2=\unit[5{,}5]{m}-\overline{SA}-\overline{SC}
=\unit[5{,}5]{m}-\unit[1]{m}-\unit[1{,}5]{m}=\unit[3]{m}\]

Hiermit kann $A_2$ berechnet werden:
\[A_2=l \cdot b_2=\unit[6]{m} \cdot \unit[3]{m}=\unit[18]{m^2}\]

Weiter geht es mit der Fläche $A_3$. Dafür wird die Breite $b_3$ benötigt. In
der Planfigur für die rechte Wandhälfte ist $b_3$ mit der Strecke
$\overline{AC}$ identisch.
\[b_3=\overline{AC}=\overline{SC}-\overline{SA}
=\unit[1{,}5]{m}-\unit[0{,}5]{m}=\unit[1]{m}\]

Damit kann $A_3$ berechnet werden.
\[A_3=l \cdot b_3=\unit[6]{m} \cdot \unit[1]{m}=\unit[6]{m^2}\]

Aus allen drei Teilflächen wird nun die Gesamtfläche $A$ berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
A&=&\unit[50]{\%} \cdot A_1+\unit[100]{\%} \cdot A_2+\unit[50]{\%} \cdot A_3\\
&=&0{,}5 \cdot \unit[6]{m^2}+1 \cdot \unit[18]{m^2}+0{,}5 \cdot \unit[6]{m^2}\\
A&=&\unit[24]{m^2}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Die gesamte Wohnfläche beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[24]{m^2}$}
\newpage





\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
%\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
%\end{pspicture}
%\end{wrapfigure}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%-------------------------
%\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
%  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
%    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
%    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
%  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
%    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
%    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
%     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
%     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
%  \pscustom{
%   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
%   \gsave
%   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
%   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
%  \grestore }
%  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
%          gridcolor=black!50,yunit=2]
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%  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{180}{90}
%-------------------------
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%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
