% Compilieren mit:  texi2pdf fehler.tex
\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{pifont}  % Telefonsymbol  \ding{37}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\usepackage[right]{eurosym}  %  \EUR{5,92} oder  \euro
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Fehlersuche in Lösungen mathematischer Gleichungen}
\author{Wolfgang Kippels}
%\date{12. Juni 2010}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Einleitung}
Als Lehrer sehe ich immer wieder die gleichen Fehler in der Lösung von
Klas\-sem\-ar\-beits\-auf\-ga\-ben. Es ist ziemlich frustrierend, wenn man die Fehler
jedesmal bei jedem einzeln erläutern muss. Trotzdem werden diese Fehler immer
wieder gemacht.\\

Daher möchte ich hiermit den Spieß umdrehen. Ich habe eine Sammlung von
Fehlern zusammengestellt. Alle sind authentisch, wurden also in Klassenarbeiten
und anderen Prüfungen so gemacht. Das erkennt man schon daran, dass teilweise
sehr viele Fehler in wenigen Zeilen gemacht wurden. So "`kreativ"' kann das
kein Lehrer erfinden.\\

Es gibt in dieser Sammlung auch ein paar Lösungsversuche, die recht umständlich
vorgehen, beispielsweise \ifpdf\hyperlink{A5}{Aufgabe 5}\fi.
Diese umständliche Vorgehensweise allein habe ich jedoch \textbf{nicht} als
Fehler bezeichnet, nur Fehler, die dabei gemacht wurden. Dabei kann es sogar
vorkommen, dass am Schluss das richtige Ergebnis herauskommt.\\

Ich möchte darauf hinweisen, dass dieser Artikel vor Plagiaten nur so strotzt.
Alle Fehler, die ich hier zitiere, habe ich nicht selbst erfunden. Eine
Quellenangabe ist mir jedoch aus datenschutzrechtlichen Gründen nicht möglich.
Ich sehe keine andere Möglichkeit, diesem Dilemma zu entkommen, als dass ich
einfach die Plagiate zugebe.\\

Im ersten Teil dieser Sammlung sind die fehlerhaften Lösungen dargestellt. Man
sollte sich diese Lösungen genau ansehen, um den (oder die) Fehler zu
finden. Meint man, alle Fehler gefunden zu haben, dann kann man im zweiten Teil
nachsehen, ob das richtig war. Dort steht die Aufgabe noch einmal, wobei der
fehlerhafte Teil \textcolor{red}{rot} dargestellt ist. Der korrigierte Teil
steht dann in \textcolor{green}{grün} noch einmal darunter. Es folgt eine
Erläuterung des Fehlers. Wenn mehrere Fehler direkt hintereinander gemacht
wurden, dann wird bei jedem einzelnen Rechenschritt dabei so getan, als ob die
Vorzeile richtig wäre.\\

Ich hoffe, dass die Fehlersuche Spaß macht und vielleicht hilft, den einen oder
anderen typischen Fehler in Zukunft zu vermeiden. Über Rückmeldungen würde ich
mich freuen.\\

\emph{\textbf{Anmerkung:} Derzeit sind noch nicht zu allen Aufgaben die
Auflösungen vorhanden. Das wird demnächst ergänzt.}

\newpage
\section{Fehlerhafte Lösungssequenzen}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{eqnarray*}
2x-\frac{2x+3}{3-x}-11&=&2x \quad|-2x \\
-\frac{2x+3}{3-x}-11&=&0 \quad| \cdot (3-x) \\
-2x+3-11 \cdot (3-x)&=&0 \\
-2x+3-33+11x&=&0 \\
9x-30&=&0 \quad|+30 \\
9x&=&30 \quad|:9 \\
x&=&\frac{10}{3} \\
L&=&\left\{\frac{10}{3}\right\}
\end{eqnarray*}
Die Lösung ist \ifpdf \hyperlink{L1}{hier}\fi{ }zu finden.\\
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A2}{}\fi
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x-5}{x+5}-7&=&0 \quad| \cdot (x+5) \\
2x-5-7&=&0 \\
2x-12&=&0 \quad|+12 \\
2x&=&12 \quad|:2 \\
x&=&6 \\
L&=&\{6\}
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L2}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A3}{}\fi
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+3}{x-2}-\frac{x-5}{x-2}&=&0 \quad| \cdot (x-2) \\
3x+3-x+5&=&x-2 \\
2x+8&=&x-2 \quad|-x-8 \\
x&=&-10 \\
L&=&\{-10\}
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L3}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A4}{}\fi
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{eqnarray*}
-40x-3y-27y&=&0 \\
-40x-30y&=&0 \quad|+40x \\
-30y&=&40x \quad|:(-30) \\
y&=&-\frac{4}{3}\\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L4}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A5}{}\fi
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{eqnarray*}
41 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x+(-9)+9 \\
41 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x \quad|(\ )^2 \\
1681 \cdot (x^2+10) \cdot 0&=&1600x^2 \\
1681x^2+16810 \cdot 0&=&1600x^2 \quad|-1600x^2 \\
81x^2+16810 \cdot 0&=&0 \quad|:81 \\
x^2+207{,}53 \cdot 0&=&0 \\
x^2&=&0 \quad| \sqrt{\ }\\
0&=&x^2 \quad| \sqrt{\ }\\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L5}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A6}{}\fi
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\unit[10]{\Omega} \cdot jX_L}{\unit[10]{\Omega}+jX_L}\\
\b Z&=&-jX_C+\b Z_1 \\
\b Z&=&\frac{-jX_C+\unit[10]{\Omega} \cdot jX_L}{\unit[10]{\Omega}+jX_L}\\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L6}{hier}\fi{ }zu finden.
\newpage %---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A7}{}\fi
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3 \cdot \frac{(x-0) \cdot \left( x-\frac{5}{3}\right) \cdot (x+1)}
  {(x-3) \cdot (x+1)}\\
f(x)&=&\frac{(-3x-0) \cdot (-3x+5) \cdot (-3x-3)}
  {(-3x+9) \cdot (-3x-3)}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L7}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A8}{}\fi
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{eqnarray*}
12 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x \quad|\ (\ )^2 \\
144 \cdot (x^2+10) \cdot 0&=&1600x^2 \\
144x^2+1440 \cdot 0&=&1600x^2 \quad|-1600x^2 \\
1456x^2+1440 \cdot 0&=&0 \quad|:1456 \\
x^2+\frac{1440}{1456} \cdot 0&=&0 \\
x^2&=&0 \\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L8}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A9}{}\fi
\subsection{Aufgabe 9}
\begin{eqnarray*}
a_1&=&-30 \\
a_2&=&40 \\
a_3&=&-120 \\
|\vec a|&=&\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\\
&=&\sqrt{-30^2+40^2-120^2}\\
&=&\sqrt{16900}\\
&=&130
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L9}{hier}\fi{ }zu finden.
\newpage  %---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A10}{}\fi
\subsection{Aufgabe 10}
\begin{eqnarray*}
A&=&(\unit[2500]{m}^2-\unit[3750]{m}^2+\unit[2500]{m}^2)
  -(\unit[156{,}25]{m}^2-\unit[937{,}5]{m}^2+\unit[1250]{m}^2) \\
A&=&\unit[1250]{m}^2-\unit[468{,}75]{m}^2 \\
A&=&\unit[781{,}25]{m}^2 \cdot \unit[0{,}8]{m} \\
V&=&\unit[625]{m}^3
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L10}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A11}{}\fi
\subsection{Aufgabe 11}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3 \cdot \frac{x^2-\frac{5}{3}x}{x-3}\\
f(x)&=&\frac{-3x^2+5x}{-3x+9}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L11}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A12}{}\fi
\subsection{Aufgabe 12}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|&=&\sqrt{(-40)^2+(-3)^2+(9)^2}\\
|\vec a|&=&1690 \\
|\vec a|&\approx&41{,}11 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L12}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A13}{}\fi
\subsection{Aufgabe 13}
\begin{eqnarray*}
75a+10 \cdot 0+0&=&1{,}2 \\
75a&=&1{,}2 \quad|:75 \\
a&=&62{,}5 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L13}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A14}{}\fi
\subsection{Aufgabe 14}
\begin{eqnarray*}
V&=&\unit[12{,}08]{m}^2 \cdot \unit[80]{cm}\\
&=&\unit[12{,}08]{m}^2 \cdot \unit[0{,}08]{m}\\
&=&\unit[0{,}9664]{m}^3 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L14}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A15}{}\fi
\subsection{Aufgabe 15}
\begin{eqnarray*}
3x^2-12x&=&0 \quad|:3 \\
x^2-4x&=&0 \quad|:x \\
x-4&=&0 \quad|+4 \\
x&=&4 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L15}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A16}{}\fi
\subsection{Aufgabe 16}
Nullstellenbestimmung einer Funktion:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&3x^2-18x+15 \quad|:3 \\
f(x)&=&x^2-6x+5 \\
0&=&x_0^2-6x_0+5 \\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L16}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A17}{}\fi
\subsection{Aufgabe 17}
\begin{eqnarray*}
0&=&3x^2-18x+15 \quad|:3 \\
0&=&x^2-6x+5 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5}\\
&=&3 \pm 4 \\
x_1=7 && x_2=-1 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L17}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A18}{}\fi
\subsection{Aufgabe 18}
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{(6x-5) \cdot (x-3)-(3x^2-5x) \cdot 1}{(x-3)^2}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{x^2-9}\\
f'(x)&=&\frac{3x^2-18x+15}{x^2-9}\\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L18}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A19}{}\fi
\subsection{Aufgabe 19}
\begin{eqnarray*}
6&=&m \cdot 5+0 \quad|\ 5 \\
\frac{5}{6}&=&m \\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L19}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A20}{}\fi
\subsection{Aufgabe 20}
\begin{eqnarray*}
4b^2-25&=&0 \quad|:4 \\
b^2-6{,}25&=&0 \quad|+6{,}25 \\
b^2&=&6{,}25 \\
b&=&2{,}5 \\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L20}{hier}\fi{ }zu finden.
\newpage  %---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A21}{}\fi
\subsection{Aufgabe 21}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{125}x^3+4&=&\frac{6}{5}x \quad|:\frac{6}{5}\\
\frac{1}{75}x^3+3\frac{1}{3}&=&x \quad|-3\frac{1}{3}\\
\frac{1}{75}x^3&=&x-3\frac{1}{3}\quad|:x \\
\frac{1}{75}x^2&=&-3\frac{1}{3x}\quad|+3\frac{1}{3}x \\
\frac{1}{75}x^2+3\frac{1}{3}x &=&0 \\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L21}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A22}{}\fi
\subsection{Aufgabe 22}
\begin{eqnarray*}
\frac{4}{25}+2b&=&0 \quad|-\frac{4}{25}\\
2b&=&-\frac{4}{25}\quad|:2 \\
b&=&\frac{2}{25}\\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L22}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A23}{}\fi
\subsection{Aufgabe 23}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&k \cdot \frac{(x+1)(x-0) \left( x-\frac{5}{3}\right)}{(x+1)(x-3)}\\
&=&k \cdot \frac{x^2+1x\left(x-\frac{5}{3}\right)}{x^2-3x+x-3}\\
&=&k \cdot \frac{x^3-\frac{5}{3}x^2+x^2-\frac{5}{3}x}{x^2-2x-3}\\
&=&k \cdot \frac{x^3-\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}x}{x^2-2x-3}\\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L24}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A24}{}\fi
\subsection{Aufgabe 24}
\begin{eqnarray*}
1&=&k \cdot \frac{(1-0) \cdot \left(1-\frac{5}{3}\right)}{1-3}\\
1&=&k \cdot \frac{1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}{2}\quad| \cdot 2 \\
2&=&k \cdot 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \\
2&=&k \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \\
2&=&-\frac{2k}{3}\quad \cdot 3 \\
6&=&-2k \quad|:(-2) \\
-3&=&k \\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L24}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A25}{}\fi
\subsection{Aufgabe 25}
\[P_1(-3|5) \qquad P_2(5|-7)\]
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  =\frac{-7-5}{5-(-3)}=\frac{-12}{-8}=-1{,}5\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L25}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A26}{}\fi
\subsection{Aufgabe 26}
\begin{eqnarray*}
5&=&-\frac{3}{2} \cdot (-3)+b \\
5&=&\frac{9}{2}+b \quad|:\frac{9}{2}\\
\frac{5}{\frac{9}{2}}&=&b \\
\frac{10}{9}&=&b \\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L26}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A27}{}\fi
\subsection{Aufgabe 27}
\begin{eqnarray*}
2 \cdot (-2)+b&=&0 \\
-4b&=&0 \quad|+4 \\
b&=&4 \\
\end{eqnarray*}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L27}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A28}{}\fi
\subsection{Aufgabe 28}
\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{3} \cdot (-5)+b&=&2 \quad|+\frac{1}{3} \cdot (-5) \\
b&=&2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-5) \\
b&=&2 \cdot \frac{-5}{15}\\
b&=&\frac{30}{15}+\frac{-10}{15}\\
b&=&\frac{20}{15}
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L28}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A29}{}\fi
\subsection{Aufgabe 29}
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Re}\b z&=&-3 \\
\textnormal{Im}\b z&=&4 \\
|\b z|^2&=&(\textnormal{Re}\b z)^2+(\textnormal{Im}\b z)^2 \\
|\b z|^2&=&-3^2+4^2 \\
|\b z|&=&\sqrt{9+16}\\
|\b z|&=&\sqrt{25}\\
|\b z|&=&5
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L29}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A30}{}\fi
\subsection{Aufgabe 30}
\[\begin{array}{rcll}
15(4 \b x+j)&=&0 &|-15 \\
4 \b x+j&=&-15 &|-j \\
4 \b x&=&-j15 &|:4 \\
\b x&=&-j3{,}75 \\
\end{array}\]
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L30}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A31}{}\fi
\subsection{Aufgabe 31}
\[\begin{array}{rcll}
15(4 \b x+j)&=&0 &|:15 \\
4 \b x+j&=&0 &|-4\b x \\
j&=&-4 \b x &| \cdot (-4) \\
-j4&=&\b x \\
\end{array}\]
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L31}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A32}{}\fi
\subsection{Aufgabe 32}
\[\begin{array}{rcll}
10(3 \b x-j)&=&0 &|:10 \\
3 \b x-j&=&0 &|3 \\
\b x-j&=&0 &|+j \\
\b x&=&j
\end{array}\]
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L32}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A33}{}\fi
\subsection{Aufgabe 33}
\[\begin{array}{rcll}
-16x^2&=&-42x+207 &|+42x \\
26x^2&=&207 &|:26 \\
x^2&=&7{,}96 &|\sqrt{\ }\\
x&=&\sqrt{7{,}96}\\
x&=&2{,}82
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L33}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A34}{}\fi
\subsection{Aufgabe 34}
\[\begin{array}{rcl}
(3x-14) \cdot (2)&=&(2x-9 \cdot (3) \\
6x-28-2x-18&=&6x-27 \\
4x-48&=&6x-27 \\
&\vdots \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L34}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A35}{}\fi
\subsection{Aufgabe 35}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{(3x-14) \cdot (2x+12)}{6 \cdot (x^2-36)}-\cfrac{2x-18}{6x^2-108}
  &=&\cfrac{(2x-9) \cdot (3x+18)}{6x^2-108}&| \cdot (6x^2-108) \\
6x^2+36x-28x-168-2x-18&=&6x^2+36x-27x-162 \\
6x^2+6x-186&=&6x^2+9x-162 &|-6x^2+162 \\
6x-24&=&9x &|-6x \\
-24&=&3x &|:3 \\
x&=&8 \\
L&=&\{8\}
\end{array}\]  \enlargethispage{5mm}
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L35}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A36}{}\fi
\subsection{Aufgabe 36}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{3x-14}{36x-216}-\cfrac{x-9}{36x-216}&=&\cfrac{2x-9}{36x-216}
  &| \cdot 36x-216 \\
3x-14-x-9&=&2x-9 &|+9 \\
3x-5-x&=&2x \\
3x-14-x&=&2x \\
2x-14&=&2x &|-2x \\
14&=&0 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L36}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A37}{}\fi
\subsection{Aufgabe 37}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{6x-34-6x+33}{6x-42}&=&\cfrac{x-11}{3x^2-49}
   &| \cdot (6x-42) \cdot (3x^2-49) \\
6x-34-6x+3(3x^2-49)&=&x-11(6x-42) \\
6x-34-6x+3+3x^2+49&=&x-11+6x+42 \\
18+3x^2&=&7x+31 \\
&\vdots
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L37}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A38}{}\fi
\subsection{Aufgabe 38}
\[\begin{array}{rcll}
(3x-17) \cdot (x-7) \cdot (x+7)-(x-11) \cdot 3&=&(2x-11) \cdot 3 \cdot (x+7) \\
(3x-17) \cdot (x^2-49)-3x-33&=&(6x-33) \cdot (x+7) \\
3x^2-147x-17x^2+833-3x-33&=&(6x^2+42x-33x-231 \\
-14x^2+800-144x&=&6x^2+9x-231 &|+14x^2 \\
800-144x&=&20x^2+9x-231 &|+144x+231 \\
1031&=&20x^2+153x &|\sqrt{\ }\\
33{,}11&=&4{,}47x+12{,}37x \\
33{,}11&=&16{,}84x &|:16{,}84 \\
1{,}97&=&x \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L38}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A39}{}\fi
\subsection{Aufgabe 39}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (2x-4)^5 \\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (32x^5-1024) \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L39}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A40}{}\fi
\subsection{Aufgabe 40}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&6 \cdot (2x-4)^5 \cdot 2x^0 \\
&=&6 \cdot (10x^5-20) \cdot 2x \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L40}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A41}{}\fi
\subsection{Aufgabe 41}
\[\begin{array}{rrrcll}
(1)& 5x&-12y&=&-9 \\
(2)&-7x&+4y&=&-13 &| \cdot 3 \\
\hline
(1)& 5x&-12y&=&-9   &|\\
(2)&-21x&+12y&=&-39 &|+ \\
\hline
(3)&-16x&&=&-48 &|:(-16) \\
&y&&=&3 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L41}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A42}{}\fi
\subsection{Aufgabe 42}
\[\begin{array}{rcll}
2n-9&\geq&-21+4n &|-2n+21 \\
30&\geq&2n &|:2 \\
15&\geq&n \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L42}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A43}{}\fi
\subsection{Aufgabe 43}
\[\begin{array}{rcll}
a_{n+1}&\geq&a_n \\
4(n+1)^2-12(n+1)-3&\geq&4n^2-12n-3 \\
4(n^2+2n+1)-12n+12-3&\geq&4n^2-12n-3 \\
4n^2+8n+4-12n+12-3&\geq&4n^2-12n-3 \\
4n^2-4n+13&\geq&4n^2-12n-3 &|-4n^2 \\
4n+13&\geq&-12n-3 &|+12n-13 \\
16n&\geq&-16 &|:16 \\
n&\geq&-1 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L43}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A44}{}\fi
\subsection{Aufgabe 44}
\[\begin{array}{rcll}
-4-\cfrac{8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
-\cfrac{4}{1}-\cfrac{8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
-\cfrac{4(9-2n)-8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
\cfrac{-36+8n-8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
\cfrac{-45}{9-2n}&<&\varepsilon
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L44}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A45}{}\fi
\subsection{Aufgabe 45}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&x^2-11x+34 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{11}{2}\pm \sqrt{\cfrac{-11^2}{2}-34}\\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm \sqrt{30{,}25-34}\\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm -3{,}75 \\
x_1=1{,}75 && x_2=9{,}25 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L45}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A46}{}\fi
\subsection{Aufgabe 46}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{1}{\b Z_1}&=&\cfrac{1}{\b R_2}+\cfrac{1}{\b X_C}
  &|\cdot \b Z_1 \cdot \b R_2 \cdot \b X_C \\
\b R_2 \cdot \b X_C&=&\b Z_1 \cdot \b X_C+\b Z_1+\b R_2 \\
\b R_2 \cdot \b X_C&=&\b Z_1 \cdot (\b X_C+\b R_2) \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L46}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A47}{}\fi
\subsection{Aufgabe 47}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&3x^2-18x+24 \\
x_{1/2}&=&9 \pm \sqrt{(-9)^2-24}\\
x_{1/2}&=&9 \pm \sqrt{57}\\
x_{1/2}&=&9 \pm 7{,}55 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L47}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A48}{}\fi
\subsection{Aufgabe 48}
\[\begin{array}{rcll}
6a+2 \cdot 9&=&0 &|-6a \\
18&=&6a &|:6 \\
a&=&3 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L48}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A49}{}\fi
\subsection{Aufgabe 49}
\[\begin{array}{llrrrrcll}
(1) && 3a \cdot 0^2 &+2b \cdot 0 &+c        &   &=&0 \\
(2) && 6a \cdot 1   &+2b         &          &   &=&0 \\
(3) && a \cdot 0^3  &+b \cdot 0^2&+c \cdot 0&+d &=&-4 \\
(4) && a \cdot 1^3  &+b \cdot 1^1&+c \cdot 1&+d &=&2 \\
\hline
(1) && 3a           &+2b         &+c        &   &=&0 \\
(2) && 6a           &+2b         &          &   &=&0 \\
(3) && a            &+b          &+c        &+d &=&-4 \\
(4) && a            &+b          &+c        &+d &=&2 \\
\hline
\end{array}\]
(Hier wurde abgebrochen, weil Gleichung (3) und Gleichung (4) offensichtlich im
Widerspruch zueinander stehen.) \\

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L49}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A50}{}\fi
\subsection{Aufgabe 50}
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{-2}^0 x^3+6x^2+12x+8 \ dx \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4+\cfrac{6}{3}x^3+\cfrac{12}{2}x^2+8x \right]_{-2}^0 \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4+2x^3+2x^2+8x \right]_{-2}^0 \\
&=&\left( \cfrac{1}{4} \cdot 0^4+2 \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+8 \cdot 0 \right)-
\left( \cfrac{1}{4} \cdot (-2)^4+2 \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2) \right) \\
&=&\unit[20]{FE}\\
\end{eqnarray*}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L50}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A51}{}\fi
\subsection{Aufgabe 51}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t^{-2}) \\
&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot \cfrac{-2}{2t}&| \cdot 2t \\
2t&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t) &|:2 \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[16]{dm^3} \cdot (-1) \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[16\,000]{cm^3} \cdot (-1) \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[25{,}5]{cm} \cdot (-1) \\
t&=&-\unit[45{,}2]{cm}\\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L51}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------
\ifpdf \hypertarget{A52}{}\fi
\subsection{Aufgabe 52}
\[\begin{array}{rcll}
V&=&(\unit[30]{cm}-2h) \cdot (\unit[60]{cm}-4h) \cdot (h) \\
V&=&\unit[1\,800]{cm}-120h+30h-120h+8h^2-2h^2+60h-4h^2 \\
V&=&\unit[1\,800]{cm}-150h+8h^2 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L52}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------
\ifpdf \hypertarget{A53}{}\fi
\subsection{Aufgabe 53}
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^4+0{,}4x^3&=&0 \\
x^2(-0{,}1x^2+0{,}4x)&=&0 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x&=&0 &|:(-0{,}1) \\
x^2-0{,}4x&=&0 \\
x_{1/2}&=&0{,}2 \pm \sqrt{0{,}04}\\
&=&0{,}2 \pm 0{,}2 \\
x_1=0 && x_2=0{,}4 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L53}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A54}{}\fi
\subsection{Aufgabe 54}
\[\begin{array}{rclcl}
0&=&4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^3&=&108a+27b \\
108a&=&27b \\
4a&=&b \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L54}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{A55}{}\fi
\subsection{Aufgabe 55}
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot 3^4+b \cdot 3^3&=&2{,}7 \\
a \cdot3^4&=&2{,}7-b \cdot 3^3 &|:3^3 \\
a \cdot 3&=&\cfrac{2{,}7}{3}-b &|:3 \\
a&=&0{,}3 \cdot b \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L55}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A56}{}\fi
\subsection{Aufgabe 56}
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^4+0{,}4x^3&=&-10x-2 &|+10x+2 \\
-0{,}1x^4+0{,}4x^3+10x+2&=&0 &|:x^2 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x+10+2&=&0 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x+12&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{ \left( \cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{1/2}&=&-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}2^2-12}\\
x_{1/2}&=&-0{,}2 \pm \sqrt{-11{,}96}\\
x&=&-0{,}2 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L56}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A57}{}\fi
\subsection{Aufgabe 57}
\[\begin{array}{lrrcll}
(1) & 10a &+2b &=& -8 &| \\
(2) & 18a &+2b &=& 0   &|- \\
\hline
    & -8a &    &=&-8  &|:(-8) \\
    &   a &&=&-1 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L57}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A58}{}\fi
\subsection{Aufgabe 58}
\[\begin{array}{rcll}
-3+18+c&=&9 &|-15 \\
c&=&6 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L58}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{A59}{}\fi
\subsection{Aufgabe 59}
\[\begin{array}{rcll}
18a+6(9-7a)&=&0 \\
18a+54-42a&=&0 \\
-24a+54&=&0 &|:-24 \\
a+54&=&0 &|-54 \\
a&=&-54 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L59}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A60}{}\fi
\subsection{Aufgabe 60}
\[\begin{array}{rcll}
-4 \cdot (-84{,}9)-2z&=&342 \\
339{,}6-2z&=&342 \\
-2z&=&2{,}4 \\
z&=&0{,}4 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L60}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A61}{}\fi
\subsection{Aufgabe 61}
\[\begin{array}{rcll}
6 \cdot \left( \cfrac{2z+246}{228}\right)+12z+12&=&0 \\
\cfrac{12z+1\,476}{1\,368}+12z+12&=&0 \\
12z+1\,476+12z+12&=&0 \\
24z+1\,488&=&0 \\
24z&=&-1\,488 \\
z&=&-62 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L61}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A62}{}\fi
\subsection{Aufgabe 62}
\[\begin{array}{rcll}
(-8) \cdot (-4)+(-57) \cdot 6+(-2) \cdot z&=&0 \\
32+(-342)-2z&=&0 &|-32+(-342) \\
-2z&=&-374 &|:(-2) \\
z&=&187 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L62}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A63}{}\fi
\subsection{Aufgabe 63}
\[\begin{array}{rcll}
-1\cfrac{7}{8}+6\cfrac{1}{2}+c&=&-2 &|+4\cfrac{5}{8}\\
c&=&2\cfrac{5}{8}\\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L63}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A64}{}\fi
\subsection{Aufgabe 64}
\[\begin{array}{rcll}
-\cfrac{5}{8}+3\cfrac{1}{4}+2\cfrac{5}{8}+d&=&-2 &|+5\cfrac{1}{4}\\
d&=&3\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L64}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{A65}{}\fi
\subsection{Aufgabe 65}
\[\begin{array}{rcll}
3x^2-12x+9&=&0 &|:3 \\
x^2-4x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{1/2}&=&-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{-2^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{1}\\
x_{1/2}&=&2 \pm 1 \\
x_1=3 && x_2=1 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{L65}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{AB01}{}\fi
\section{Fehler in Lösungen kompletter Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\subsubsection*{Aufgabenstellung:}
\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
\psset{xunit=6.5mm,yunit=6.5mm}
\begin{pspicture}(-1,0)(14,7)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,2){A1}   \pnode(-0.1,2){A11}
   \pnode(0,5){A2}   \pnode(-0.1,5){A22}
   \pnode(0,7){A3}
   \pnode(1,0){B0}
   \pnode(1,2){B1}
   \pnode(1,5){B2}
   \pnode(1,7){B3}
   \pnode(2,2){C1}
   \pnode(2,5){C2}
   \pnode(4,0){D0}
   \pnode(4,2){D1}   \pnode(3.95,2){D11}
   \pnode(4,5){D2}   \pnode(3.95,5){D22}
   \pnode(4,7){D3}
   \pnode(9,0){E0}
   \pnode(9,2){E1}   \pnode(9.05,2){E11}
   \pnode(9,5){E2}   \pnode(9.05,5){E22}
   \pnode(9,7){E3}
   \pnode(11,2){F1}
   \pnode(11,5){F2}
   \pnode(12,0){G0}
   \pnode(12,2){G1}
   \pnode(12,5){G2}
   \pnode(12,7){G3}
   \pnode(13,0){H0}
   \pnode(13,2){H1}   \pnode(13.1,2){H11}
   \pnode(13,5){H2}   \pnode(13.1,5){H22}
   \pnode(13,7){H3}
   \psline[linewidth=1.5pt](A0)(H0)(H3)(A3)(A0)
   \psline[linewidth=3.5pt](A1)(D1)
   \psline[linewidth=3.5pt](A2)(D2)
   \psline[linewidth=3.5pt](E1)(H1)
   \psline[linewidth=3.5pt](E2)(H2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D1)(E1)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D2)(E2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D0)(D3)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](E0)(E3)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](C1)(C2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](F1)(F2)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](A11)(D11)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](A22)(D22)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](E11)(H11)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](E22)(H22)
   \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,2)(-0.2,2)
   \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,5)(-0.2,5)
   \psline[linewidth=1pt]{<-}(13.2,2)(14,2)
   \psline[linewidth=1pt]{<-}(13.2,5)(14,5)
   \uput[90](2,0.5){\textbf{A}}
   \uput[90](11,0.5){\textbf{B}}
   \uput[90](2,5.5){\textbf{C}}
   \uput[90](11,5.5){\textbf{D}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Abmessungen 30 mal 60 Zentimeter
soll ein oben offener quaderförmiger Karton hergestellt werden. Dazu wird die
Pappe an den vier mit Pfeil ge\-kenn\-zeich\-ne\-ten Stellen eingeschnitten. Danach
werden die vier dabei entstandenden Laschen \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}
und \textbf{D} rechtwinklig nach oben hochgebogen. Anschließend wird die Pappe
entlang der gestrichelten Linien in der Verlängerung der Einschnitte
rechtwinklig hochgebogen. Dadurch kommt Lasche \textbf{A} auf Lasche \textbf{C}
und Lasche \textbf{B} auf Lasche \textbf{D} zu liegen. Falls die Laschen zu
lang sind, werden sie zuvor noch ein Stück gekürzt, dass es passt. Zum Schluss
werden noch die Seitenteile rechts und links hochgebogen und um die Laschen
\textbf{A}/\textbf{C} bzw. \textbf{B}/\textbf{D} zur Innenseite des dabei
entstehenden Kartons herumgefaltet. Das jeweilige Seitenteil bedeckt
dadurch die beiden zugehörigen Eck-Laschen sowohl von außen als auch von innen
genau ganz ohne irgendwo "`überzustehen"' oder eine Lücke zu lassen. Die
Seitenteile sind also genau doppelt so lang, wie die Breite der Eck-Laschen.\\

Wie tief müssen die Einschnitte gemacht werden, damit ein Behälter mit
\textbf{möglichst großem Volumen} entsteht? Geben Sie auch die
\textbf{Abmessungen} des Behälters (Länge, Breite und Höhe) sowie sein
\textbf{Volumen} an! Müssen die Laschen \textbf{A} bis \textbf{D} tatsächlich
gekürzt werden?

\subsubsection*{Die Lösung des Schülers:}
\[\begin{array}{lrcll}
\textnormal{HB:}& V&=&a \cdot b \cdot h \\
\hline
\textnormal{NB1:}&a+4h&=&\unit[60]{cm}\\
\textnormal{NB2:}&b+8h&=&\unit[30]{cm}\\
\hline
&a&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{4h}\\
&b&=&\cfrac{\unit[30]{cm}}{8h}\\
\hline
&V(h)&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{4h} \cdot \cfrac{\unit[30]{cm}}{8h}\cdot h \\
&V(h)&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-1} \cdot \unit[30]{cm}\cdot 8h^{-1} \cdot h \\
&V'(h)&=&-\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h^{-2}\\
\end{array}\]
Nun wird durch Nullsetzen der Ableitung ein Extremwert gesucht.
\[\begin{array}{rcll}
V'(h_E)&=&0 \\
-\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h_E^{-2}&=&0 \\
-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2}\\
\cfrac{-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}}{4h_E^{-2}}&=&\unit[60]{cm}\\
\cfrac{-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}{4h_E}&=&\unit[60]{cm}\\
4h_E&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}\\
4h_E \cdot 8h_E&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{\unit[30]{cm}}\\
32h_E&=&\unit[2]{cm}\\
h_E&=&0{,}0625 \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB01}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{AB02}{}\fi
\subsection{Aufgabe 2}
\subsubsection*{Aufgabenstellung:}
Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieser Gleichung:
\[\cfrac{2x+3}{x-4}-2=\cfrac{3c-4}{x-4}\]

\subsubsection*{Die Lösung des Schülers:}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2x+3}{x-4}-2&=&\cfrac{3c-4}{x-4} &| \cdot (x-4) \\
(2x+3)-(2) \cdot (x-4)&=&(3x-4) \\
2x+3-(2x-8)&=&3x-4 \\
2x+3-2x+8&=&3x-4 \\
x+11&=&3x-4 &|-3x-11 \\
-2x&=&-15 &|:(-2) \\
x&=&\cfrac{15}{2}\\
L&=&\{\frac{15}{2}\} \\
\end{array}\]
Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB02}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{AB03}{}\fi
\subsection{Aufgabe 3}
\subsubsection*{Aufgabenstellung:}
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge dieser Gleichung:
\[\cfrac{3x-7}{2x-8}-\cfrac{8-x}{3x-12}+\cfrac{3x-23}{16-4x}
  =\cfrac{5x-7}{6x-24}\]

\subsubsection*{Lösung des Schülers:}
\underline{Nenneranalyse:}
\[\begin{array}{rcl|l}
2x-8&=&2 \cdot (x-2^2)   & \textnormal{EF}=3 \cdot (-4) \cdot 6=-76 \\ %...=-72
3x-12&=&3 \cdot (x-2^2)  & \textnormal{EF}=2 \cdot (-4)  \cdot 6=-48 \\
-4x+16&=&(-4) \cdot (+x-2^2)& \textnormal{EF}=2 \cdot 3 \cdot 6=36 \\
6x-24&=&6 \cdot (x-2^2)  & \textnormal{EF}=2 \cdot 3 \cdot (-4)=-24 \\
\hline
\textnormal{HN}&=&2 \cdot 3 \cdot (-4) \cdot 6 \cdot (x-2^2) &
D= \mathbb{R}\setminus \{4 \}
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{3x-7}{2x-8}-\cfrac{8-x}{3x-12}+\cfrac{3x-23}{16-4x}
  &=&\cfrac{5x-7}{6x-24} &| \cdot \textnormal{HN}\\
(3x-7) \cdot (-76)-(8-x)(-48)+(3x-23) \cdot 36&=&(5x-7) \cdot (-24) \\
-228x+532+384-48x+108x-828&=&-120x+168 \\
-168x+88&=&-120+168 &|+120x-88 \\ %...-120x+...
-48x&=&80 &|:(-48) \\ %=&120x-40
x&=&\cfrac{48}{80}\\ %\cfrac{80}{48}
x&=&\cfrac{3}{5}\\
L&=&\{\frac{3}{5}\} \\
\end{array}\]

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB03}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{AB04}{}\fi
\subsection{Aufgabe 4}
\subsubsection*{Aufgabenstellung:}
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Komplexen Gleichung!
\[(2\b x+j3) \cdot (3\b x-4)-9-j11=(3\b x+j2) \cdot (2\b x-5)+2+j16\]

\subsubsection*{Lösung des Schülers:}
\[\begin{array}{rcll}
(2\b x+j3) \cdot (3\b x-4)-9-j11&=&(3\b x+j2) \cdot (2\b x-5)+2+j16 \\
(2\b x+j3) \cdot (3\b x-4)-11&=&(3\b x+j2) \cdot (2\b x-5)+j27 \\
(6\b x^2-8\b x+j8\b x-j12)-11&=&(6\b x^2-15\b x+j10+j4\b x)+j27 \\
(-66\b x^2+88\b x-j\b x99+j152)&=&(162j\b x^2-405j\b x+j270+j^2 108\b x) \\
\end{array}\]
\begin{center}\emph{(Der Lösungsversuch wurde hier abgebrochen.)}\end{center}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB04}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{AB05}{}\fi
\subsection{Aufgabe 5}
\subsubsection*{Aufgabenstellung:}
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Komplexen Gleichung!
\[\cfrac{4\b x-17-j6}{6\b x-12}=\cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5}\]

\subsubsection*{Lösung des Schülers:}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4\b x-17-j6}{6\b x-12}&=&\cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5}
  &|-\left( \cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5} \right) \\
\cfrac{4\b x-17-j6-2\b x+2+j3}{6\b x-12-3\b x+j5}&=&0 \\
\cfrac{2\b x-15-j3}{3\b x-12+j5}&=&0 \\
\end{array}\]
\begin{center}\emph{(Der Lösungsversuch wurde hier abgebrochen.)}\end{center}

Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB05}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{AB06}{}\fi
%\subsection{Aufgabe 6}

%Die Auflösung ist \ifpdf \hyperlink{LB06}{hier}\fi{ }zu finden.
%---------------------------------------------------





\newpage
\section{Auflösungen der Fehlerhaften Lösungssequenzen}
\ifpdf \hypertarget{L1}{}\fi
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{eqnarray*}
2x-\frac{2x+3}{3-x}-11&=&2x \quad|-2x \\
-\frac{2x+3}{3-x}-11&=&0 \quad| \cdot (3-x) \\
\textcolor{red}{-2x+3}-11 \cdot (3-x)&=&0 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{-2x-3}-11 \cdot (3-x)&=&0 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
-2x-3-33+11x&=&0 \\
9x-36&=&0 \quad|+36 \\
9x&=&36 \quad|:9 \\
x&=&4 \\
L&=&\{4\}
\end{eqnarray*}
Steht ein Mi\-nus\-zei\-chen vor einer Klammer, dann ändern sich in der Klammer
\textbf{alle} Vor\-zei\-chen. Ein Bruchstrich kann eine Klammer ersetzen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A2}{hier}\fi.

\ifpdf \hypertarget{L2}{}\fi
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x-5}{x+5}-7&=&0 \quad| \cdot (x+5) \\
2x-5-\textcolor{red}{7}&=&0 \quad \textnormal{(falsch)}\\
2x-5-\textcolor{green}{7 \cdot (x+5)}&=&0 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
2x-5-7x-35&=&0 \\
-5x-40&=&0 \quad|+40 \\
-5x&=&40 \quad|:(-5) \\
x&=&-8 \\
L&=&\{-8\}
\end{eqnarray*}
Wird eine Gleichung mit einem Faktor multipliert, so muss \textbf{jeder
Summand} damit multipliziert werden.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A3}{hier}\fi.

\newpage %------------------------
\ifpdf \hypertarget{L3}{}\fi
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+3}{x-2}-\frac{x-5}{x-2}&=&0 \quad| \cdot (x-2) \\
3x+3-x+5&=&\textcolor{red}{x-2} \quad \textnormal{(falsch)}\\
3x+3-x+5&=&\textcolor{green}{0} \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
2x+8&=&0 \quad|-8 \\
2x&=&-8 \quad|:2 \\
x&=&-4 \\
L&=&\{-4\}
\end{eqnarray*}
Wenn die Zahl 0 mit einem beliebigen Faktor multipliziert wird, ist das
Ergebnis \textbf{immer 0}.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A4}{hier}\fi.

\ifpdf \hypertarget{L4}{}\fi
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{eqnarray*}
-40x-3y-27y&=&0 \\
-40x-30y&=&0 \quad+40x \\
-30y&=&40x \quad|:(-30) \\
y&=&\textcolor{red}{-\frac{4}{3}}\quad \textnormal{(falsch)}\\
y&=&\textcolor{green}{-\frac{4}{3}x}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Beim Dividieren wurde hier einfach vergessen, dass das $x$ ja auch noch übrig
bleibt.

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A5}{hier}\fi.
\newpage %---------------------------------------------------
\ifpdf \hypertarget{L5}{}\fi
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{eqnarray*}
41 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x+(-9)+9 \\
41 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x \quad|(\ )^2 \\
1681 \cdot (x^2+10) \cdot 0&=&1600x^2 \\
\textcolor{red}{1681x^2+16810 \cdot 0}&=&1600x^2 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{(1681x^2+16810) \cdot 0}&=&1600x^2 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
0&=&1600x^2 \quad|:1600 \\
0&=&x^2 \quad| \sqrt{\ }\\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Daher muss bei Anwendung des
Distributivgesetzes die Klammer gesetzt werden.\\

Viel einfacher wäre es gewesen, wenn man sofort in der ersten Zeile gesagt
hätte, dass der Term links vom Gleich\-heits\-zei\-chen Null ist, weil jeder Term mit
Null multipliziert Null ergibt. Dann hätte man sofort erhalten:
\begin{eqnarray*}
0&=&-40x \quad|:(-40) \\
0&=&x
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A6}{hier}\fi.
%---------------------------------------
\ifpdf \hypertarget{L6}{}\fi
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\unit[10]{\Omega} \cdot jX_L}{\unit[10]{\Omega}+jX_L}\\
\b Z&=&-jX_C+\b Z_1 \\
\b Z&=&\frac{\textcolor{red}{-jX_C+}\unit[10]{\Omega} \cdot jX_L}
  {\unit[10]{\Omega}+jX_L} \quad \textnormal{(falsch)}\\
\b Z&=&\textcolor{green}{-jX_C+}\frac{\unit[10]{\Omega} \cdot jX_L}
  {\unit[10]{\Omega}+jX_L}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\ldots&=&\ldots \\
\end{eqnarray*}
Beim Einsetzen des Terms für $\b Z_1$ ist $jX_C$ mit in den Zähler des Bruches
geraten.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A7}{hier}\fi.
\newpage %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L7}{}\fi
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3 \cdot \frac{(x-0) \cdot \left( x-\frac{5}{3}\right) \cdot (x+1)}
  {(x-3) \cdot (x+1)}\\
f(x)&=&\textcolor{red}{\frac{(-3x-0) \cdot (-3x+5) \cdot (-3x-3)}
  {(-3x+9) \cdot (-3x-3)}}\\
f(x)&=&\textcolor{green}{\frac{-3x \cdot \left( x-\frac{5}{3}\right) \cdot (x+1)}
  {(x-3) \cdot (x+1)}}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Dieses Beispiel ist wirklich kurios! Obwohl hier gleich mehrere schlimme Fehler
gemacht wurden, ist das Ergebnis sogar zufällig richtig! Worum geht es?
\begin{itemize}
\item Eine Bruchrechenregel besagt: \emph{Ein Bruch wird mit einer Zahl
  multipliziert, indem man die Zahl mit dem \textbf{Zähler} multipliziert.}
  Hier wurde \textbf{sowohl der Zähler, als auch der Nenner} mit $(-3)$
  multipliziert.
\item Sowohl im Zähler als auch im Nenner wurde falsch multipliziert. In der
  Algebra gilt die Regel: \emph{Ein \textbf{Produkt} wird mit einer Zahl
  multipliziert, indem die Zahl mit \textbf{einem der Faktoren} multipliziert
  wird.} Hier wurde \textbf{jeder Faktor} mit $(-3)$ multipliziert. Dadurch
  wurde der Zähler mit $(-3)^3$ und der Nenner mit $(-3)^2$ multipliziert.
  Kürzt man nun mit $(-3)^2$, dann bleibt der Faktor $(-3)$ im Zähler übrig,
  und erstaunlicherweise ist wieder alles richtig!
\end{itemize}
Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A8}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L8}{}\fi
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{eqnarray*}
12 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x \quad|\ (\ )^2 \\
144 \cdot (x^2+10) \cdot 0&=&1600x^2 \\
\textcolor{red}{144x^2}+1440 \cdot 0&=&1600x^2 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{144x^2 \cdot 0}+1440 \cdot 0&=&1600x^2
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen der Klammer wurde gegen das Distributivgesetz verstoßen. Die 0
muss mit \textbf{jedem} Teilterm multipliziert werden.\\

Zusätzlich zu diesem Fehler wurden auch noch ein weiterer Fehler gemacht. Dazu
mehr weiter unten.\\

Abgesehen davon wurde auch reichlich dusselig vorgegangen. Schon in der ersten
Zeile sollte klar sein, dass das Ergebnis auf der linken Seite 0 ergeben muss,
denn wenn ein Faktor in einem Produkt 0 ist, ist auch das Ergebnis 0. Ein
sinnvoller Lösungswege sähe daher so aus:
\begin{eqnarray*}
12 \cdot \sqrt{x^2+10} \cdot 0&=&-40x \\
0&=&-40x \quad|:(-40) \\
0&=&x
\end{eqnarray*}

Sehen wir uns auch mal den anderen Fehler an. Angenommen, es sei richtig:
\begin{eqnarray*}
144x^2+1440 \cdot 0&=&1600x^2 \quad|-1600x^2 \\
\textcolor{red}{1456x^2}+1440 \cdot 0&=&0 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{-1456x^2}+1440 \cdot 0&=&0 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}

Das Mi\-nus\-zei\-chen wurde übersehen.\\

Etwas überraschend an diesem Beispiel ist die Tatsache, dass trotz
\textbf{zweier Fehler} das richtige Ergebnis herausgekommen ist. Manchmal
passiert so etwas aber tatsächlich.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A9}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L9}{}\fi
\subsection{Aufgabe 9}
\begin{eqnarray*}
a_1&=&-30 \\
a_2&=&40 \\
a_3&=&-120 \\
|\vec a|&=&\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\\
&=&\sqrt{\textcolor{red}{-30^2+40^2-120^2}} \quad \textnormal{(falsch)}\\
&=&\sqrt{\textcolor{green}{(-30)^2+40^2+(-120)^2}}
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
&=&\sqrt{900+1600+14400}\\
&=&\sqrt{16900}\\
&=&130
\end{eqnarray*}
Das Mi\-nus\-zei\-chen bei $a_1$ und $a_3$ gehört jeweils dazu und muss entsprechend
auch mit\-qua\-driert werden. Um dies auszudrücken sind die Klammern erforderlich.
In der nächsten Zeile wurde der Fehler übrigens wieder aufgehoben, indem so
gerechnet wurde, als ob die Klammern gesetzt wären. Wäre der Ansatz richtig,
müsste man jedoch wie folgt weiterrechnen:
\begin{eqnarray*}
|\vec a|&=&\sqrt{-30^2+40^2-120^2}\\
&=&\sqrt{-900+1600-14400}\\
&=&\sqrt{-13700}\\
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A10}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L10}{}\fi
\subsection{Aufgabe 10}
\begin{eqnarray*}
A&=&(\unit[2500]{m}^2-\unit[3750]{m}^2+\unit[2500]{m}^2)
  -(\unit[156,25]{m}^2-\unit[937,5]{m}^2+\unit[1250]{m}^2) \\
A&=&\unit[1250]{m}^2-\unit[468,75]{m}^2 \\
A&=&\unit[781,25]{m}^2 \textcolor{red}{\cdot \unit[0,8]{m}}
 \quad \textnormal{(falsch)}\\
A&=&\unit[781,25]{m}^2 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
 \textcolor{green}{V}&=&\unit[781,25]{m}^2\cdot \unit[0,8]{m}\\
V&=&\unit[625]{m}^3
\end{eqnarray*}
Hier wurde das Gleich\-heits\-zei\-chen missbraucht! Zunächst wurde eine Fläche $A$
berechnet, die anschließend mit $\unit[0,8]{m}$ multipliziert werden soll, um
das zugehörige Volumen $V$ zu berechnen. Das geht nicht durch einfaches
Anhängen des Faktors, denn es steht ja noch $A$ vor dem Gleich\-heits\-zei\-chen und
nicht $V$.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A11}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L11}{}\fi
\subsection{Aufgabe 11}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3 \cdot \frac{x^2-\frac{5}{3}x}{x-3}\\
f(x)&=&\frac{-3x^2+5x}{\textcolor{red}{-3x+9}}\quad \textnormal{(falsch)}\\
f(x)&=&\frac{-3x^2+5x}{\textcolor{green}{x-3}}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Die entsprechende Bruchrechenregel lautet: \emph{Ein Bruch wird mit einer Zahl
  multipliziert, indem man die Zahl mit dem \textbf{Zähler} multipliziert.}
  Hier wurde \textbf{sowohl der Zähler, als auch der Nenner} mit $(-3)$
  multipliziert.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A12}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L12}{}\fi
\subsection{Aufgabe 12}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|&=&\sqrt{(-40)^2+(-3)^2+(9)^2}\\
|\vec a|&=&\textcolor{red}{1690}\quad \textnormal{(falsch)}\\
|\vec a|&=&\textcolor{green}{\sqrt{1690}}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
|\vec a|&\approx&41{,}11 \\
\end{eqnarray*}
Hier wurde vergessen, die Wurzel mitzuschreiben. Deshalb ist von Zeile 2 zu
Zeile 3 noch ein weiterer Fehler gemacht worden, denn es ist:
$\mathbf{1690 \not\approx 41{,}11}$\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A13}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L13}{}\fi
\subsection{Aufgabe 13}
\begin{eqnarray*}
75a+10 \cdot 0+0&=&1{,}2 \\
75a&=&1{,}2 \quad|:75 \\
a&=&\textcolor{red}{62{,}5}\quad \textnormal{(falsch)}\\
a&=&\textcolor{green}{0{,}016}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Hier wurde rechts versehentlich $\frac{75}{1{,}2}$ anstelle von $\frac{1{,}2}{75}$
gerechnet.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A14}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L14}{}\fi
\subsection{Aufgabe 14}
\begin{eqnarray*}
V&=&\unit[12{,}08]{m}^2 \cdot \unit[80]{cm}\\
&=&\unit[12{,}08]{m}^2 \cdot \textcolor{red}{\unit[0{,}08]{m}}\\
&=&\unit[12{,}08]{m}^2 \cdot \textcolor{green}{\unit[0{,}8]{m}}\\
&=&\unit[9{,}664]{m}^3 \\
\end{eqnarray*}
Die Einheitenumrechnung hatte nicht geklappt. \mbox{$\unit[80]{cm}$} sind
\mbox{$\unit[0{,}8]{m}$} und nicht \mbox{$\unit[0{,}08]{m}$}.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A15}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L15}{}\fi
\subsection{Aufgabe 15}
\begin{eqnarray*}
3x^2-12x&=&0 \quad|:3 \\
x^2-4x&=&0 \quad|\ \textcolor{red}{:x}\quad \textnormal{(falsch)}\\
x^2-4x&=&0 \quad|\textcolor{green}{\ x \textnormal{ ausklammern}}
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
x \cdot (x-4)&=&0 \\
x_1&=&0 \\
x_2-4&=&0 \quad|+4 \\
x_2&=&4 \\
\end{eqnarray*}
Man darf nicht hemmungslos durch eine Variable dividieren, es sei denn, man ist
sicher, dass die keinesfalls Null ist. Durch Null dividieren ist ja verboten.
Deshalb geht bei dem Lösungsweg die Lösung \mbox{$x_1=0$} verloren.\\

Klammert man $x$ nur aus, dann hilft der Lehrsatz weiter: \textbf{\emph{Ein
Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.}} Man kann dann jeden
Faktor einzeln untersuchen und erhält (hier) zwei Lösungen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A16}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L16}{}\fi
\subsection{Aufgabe 16}
Nullstellenbestimmung einer Funktion:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&3x^2-18x+15 \quad|:3 \\
\textcolor{red}{f(x)}&=&x^2-6x+5 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{\frac{1}{3}f(x)}&=&x^2-6x+5 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
0&=&x_0^2-6x_0+5 \\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}
Wenn man die Funktionsgleichung durch eine Zahl dividiert, hat man nicht mehr
$f(x)$. Daher wäre folgende Vorgehensweise besser und sinnvoller:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&3x^2-18x+15 \\
0&=&3x_0^2-18x_0+15 \quad|:3 \\
0&=&x_0^2-6x_0+5 \\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A17}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L17}{}\fi
\subsection{Aufgabe 17}
\begin{eqnarray*}
0&=&3x^2-18x+15 \quad|:3 \\
0&=&x^2-6x+5 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5}\\
&=&3 \pm \textcolor{red}{4}\quad \textnormal{(falsch)}\\
&=&3 \pm \textcolor{green}{2}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
x_1=5 && x_2=1 \\
\end{eqnarray*}
Das war (vermutlich) einfach zu finden. Hier liegt nur ein Rechenfehler vor,
die Wurzel aus \mbox{$(9-5)$} wurde nicht gezogen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A18}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L18}{}\fi
\subsection{Aufgabe 18}
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{(6x-5) \cdot (x-3)-(3x^2-5x) \cdot 1}{(x-3)^2}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{\textcolor{red}{x^2-9}}
  \quad \textnormal{(falsch)}\\
f'(x)&=&\frac{6x^2-18x-5x+15-3x^2+5x}{\textcolor{green}{x^2-6x+9}}
 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
f'(x)&=&\frac{3x^2-18x+15}{x^2-6x+9}\\
\end{eqnarray*}
Hier wurde gegen die \textbf{zweite Binomische Formel} verstoßen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A19}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L19}{}\fi
\subsection{Aufgabe 19}
\begin{eqnarray*}
6&=&m \cdot 5+0 \quad|\ \textcolor{green}{:}5 \\
\textcolor{red}{\frac{5}{6}}&=&m \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{\frac{6}{5}}&=&m \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Das war einfach. Im Kommentar fehlte das Divisionszeichen, daher wurde
vermutlich im Ergebnis der Kehrwert eingesetzt.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A20}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L20}{}\fi
\subsection{Aufgabe 20}
\begin{eqnarray*}
4b^2-25&=&0 \quad|:4 \\
b^2-6{,}25&=&0 \quad|+6{,}25 \\
b^2&=&6{,}25 \\
b&=&\textcolor{red}{2{,}5}\quad \textnormal{(falsch)}\\
b&=&\textcolor{green}{\pm 2{,}5}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Wenn man eine Wurzel zieht, dann kommt immer auch die \textbf{negative Wurzel}
als Ergebnis in Betracht. Auch \mbox{$(-2{,}5)^2$} ergibt \mbox{$+6{,}25$}.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A21}{hier}\fi.

\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L21}{}\fi
\subsection{Aufgabe 21}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{125}x^3+4&=&\frac{6}{5}x \quad|:\frac{6}{5}\\
\frac{1}{75}x^3+3\frac{1}{3}&=&x \quad|-3\frac{1}{3}\\
\frac{1}{75}x^3&=&x-3\frac{1}{3}\quad|\textcolor{red}{:x} \\
\frac{1}{75}x^2&=&\textcolor{red}{-3\frac{1}{3x}}\quad|+3\frac{1}{3}x \\
\frac{1}{75}x^2+\textcolor{red}{3\frac{1}{3}x}&=&0 \\
&\vdots \\
\end{eqnarray*}
Hier ist ganz viel danebengegangen. Deswegen sind auch keine Korrekturen
eingetragen. Gehen wir alles der Reihe nach durch.
\begin{enumerate}
\item Man darf nicht ohne weiteres durch $x$ dividieren. Wenn \mbox{$x=0$} ist,
  dann geht eine Lösung verloren, da man nicht durch Null dividieren kann.
\item Es ist äußerst ungeschickt, mit \textbf{gemischten Zahlen} (hier:
  \mbox{$3\frac{1}{3}$}) zu rechnen. Der Grund ist folgender. Die Schreibweise
  \mbox{$3\frac{1}{3}$} sieht so aus, als ob das \mbox{$3 \cdot \frac{1}{3}$}
  bedeutet. Tatsächlich bedeutet diese Schreibweise aber
  \mbox{$3+\frac{1}{3}$}. Nehmen wir einmal an, die Division durch $x$ sei
  zulässig, dann müsste die rechte Seite der Gleichung lauten:
  \mbox{$1-\frac{3\frac{1}{3}}{x}$} Vergessen wurde also zunächst einmal die
  \mbox{$1=\frac{x}{x}$}. Weiterhin ist der Audruck \mbox{$3\frac{1}{3x}$}
  falsch, denn wenn eine Variable im Nenner auftaucht, dann bedeutes das eben
  nicht \mbox{$\frac{3}{x}+\frac{1}{3x}$}, sondern \mbox{$3 \cdot
  \frac{1}{3x}$}. Hätte man anstelle der gemischten Zahl \mbox{$3\frac{1}{3}$}
  den Bruch \mbox{$\frac{10}{3}$} verwendet, dann wäre dieses Pro\-blem nicht
  aufgetaucht. \mbox{$\frac{10}{3x}$} wäre dann das Ergebnis, wenn man durch
  $x$ dividiert.
\item Angenommen, die vorletzte Zeile sei richtig, wurde im nächsten Schritt
  ein weiterer Fehler gemacht. Das $x$ im Nenner "`wanderte"' aus dem Nenner
  hinter den Bruch, also quasi in den Zähler. Das ist natürlich etwas völlig
  anderes.
\end{enumerate}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A22}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L22}{}\fi
\subsection{Aufgabe 22}
\begin{eqnarray*}
\frac{4}{25}+2b&=&0 \quad|-\frac{4}{25}\\
2b&=&-\frac{4}{25}\quad|:2 \\
b&=&\textcolor{red}{\frac{2}{25}}\quad \textnormal{(falsch)}\\
b&=&\textcolor{green}{-\frac{2}{25}}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Ganz einfach: Beim Dividieren wurde das Mi\-nus\-zei\-chen übersehen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A23}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L23}{}\fi
\subsection{Aufgabe 23}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&k \cdot \frac{(x+1)(x-0) \left( x-\frac{5}{3}\right)}{(x+1)(x-3)}\\
&=&k \cdot \frac{\textcolor{red}{x^2+1x}\left(x-\frac{5}{3}\right)}{x^2-3x+x-3}
  \quad \textnormal{(falsch)}\\
&=&k \cdot \frac{\textcolor{green}{(x^2+x)}\left( x-\frac{5}{3}\right)}{x^2-3x+x-3}
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
&=&k \cdot \frac{x^3-\frac{5}{3}x^2+x^2-\frac{5}{3}x}{x^2-2x-3}\\
&=&k \cdot \frac{x^3-\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}x}{x^2-2x-3}\\
\end{eqnarray*}
Auch, wenn es kleinlich erscheint -- hier wurden die Klammern vergessen. Daher
ist auch der nächste Schritt \textbf{falsch}! Hier wurde nämlich so gerechnet,
als ob doch die Klammern gesetzt wären.\\

Die 1, die vor dem $x$ steht, ist überflüssig. Deshalb lasse ich sie weg, auch
wenn es kein Fehler ist, wenn man sie einsetzt.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A24}{hier}\fi.
\newpage  %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L24}{}\fi
\subsection{Aufgabe 24}
\begin{eqnarray*}
1&=&k \cdot \frac{(1-0) \cdot \left(1-\frac{5}{3}\right)}{1-3}\\
1&=&k \cdot \frac{1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}{\textcolor{red}{2}}
  \quad| \cdot 2 \quad \textnormal{(falsch)}\\
1&=&k \cdot \frac{1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}{\textcolor{green}{-2}}
  \quad| \cdot (-2) \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
-2&=&-\frac{2}{3}k \quad| \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \\
3&=&k \\
\end{eqnarray*}
Es handelt sich nur um einen Rechenfehler im Nenner. Abgesehen davon sollte man
etwas zielstrebiger vorgehen, wie hier dargestellt.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A25}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L25}{}\fi
\subsection{Aufgabe 25}
\[P_1(-3|5) \qquad P_2(5|-7)\]
\begin{eqnarray*}
m&=&\frac{\Delta y}{\Delta x}\\
m&=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
m&=&\frac{-7-5}{5-(-3)}\\
m&=&\frac{-12}{\textcolor{red}{-8}} \quad \textnormal{(falsch)}\\
m&=&\frac{-12}{\textcolor{green}{8}} \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
m&=&-1,5 \\
\end{eqnarray*}
Falsches Rechnen mit Mi\-nus\-zei\-chen war der Fehler. In der nächsten Zeile steht
aber schon der nächste Fehler! Wäre \mbox{$\frac{-12}{-8}$} richtig gewesen,
dann hätte es in der letzten Zeile \mbox{$+1,5$} und nicht \mbox{$-1,5$}
heißen müssen. Der zweite Fehler hebt den ersten wieder auf!\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A26}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L26}{}\fi
\subsection{Aufgabe 26}
\begin{eqnarray*}
5&=&-\frac{3}{2} \cdot (-3)+b \\
5&=&\frac{9}{2}+b \quad|\ \textcolor{red}{:\frac{9}{2}}
   \quad \textnormal{(falsch)}\\
5&=&\frac{9}{2}+b \quad|\ \textcolor{green}{-\frac{9}{2}}
   \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
5-\frac{9}{2}&=&b \\
\frac{1}{2}&=&b \\
\end{eqnarray*}
Der Bruch ist mit dem $b$ durch ein Pluszeichen verbunden. Das Gegenteil vom
Addieren ist nicht das Dividieren!\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A27}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L27}{}\fi
\subsection{Aufgabe 27}
\begin{eqnarray*}
2 \cdot (-2)+b&=&0 \\
\textcolor{red}{-4b}&=&0 \quad|\textcolor{red}{+4} \\
\textcolor{red}{b}&=&4 \\
\end{eqnarray*}
Hier sind wieder 2 Fehler gemacht worden, sie sich gegenseitig aufheben.
Zunächst ist \mbox{$-4+b \not= -4b$}. Dann kann man nicht 4 addieren, um die
\mbox{$-4$} aus \mbox{$-4b$} zu entfernen, da Addieren nicht das Gegenteil vom
Multiplizieren ist. Richtig wäre:
\begin{eqnarray*}
2 \cdot (-2)+b&=&0 \\
-4 \textcolor{green}{+}b&=&0 \quad|+4 \\
b&=&4 \\
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A28}{hier}\fi.
\newpage %---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L28}{}\fi
\subsection{Aufgabe 28}
\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{3} \cdot (-5)+b&=&2 \quad|+\frac{1}{3} \cdot (-5) \\
b&=&\textcolor{red}{2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-5)} \\
b&=&2 \cdot \frac{-5}{\textcolor{red}{15}}\\
b&=&\textcolor{red}{\frac{30}{15}}+\frac{-10}{15}\\
b&=&\frac{20}{15}
\end{eqnarray*}
Hier ist wieder schrecklich viel falsch, so dass ich keine einfachen
Korrekturen eintragen kann. Der erste Fehler liegt in Zeile 2. Hier wurde
Addition mit Multiplikation verwechselt. Richtig wäre dieser Schritt so:
\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{3} \cdot (-5)+b&=&2 \quad|+\frac{1}{3} \cdot (-5) \\
b&=&\textcolor{green}{2+\frac{1}{3} \cdot (-5)} \\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Unter der Annahme, Zeile 2 wäre richtig, ist der nächste schwere Fehler in
Zeile 3 gemacht worden. Beim Ausmultiplizieren des Bruches mit $-5$ wurde
offenbar der Nenner mit 5 multipliziert. Richtig wäre es so:
\begin{eqnarray*}
&\vdots \\
b&=&2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-5) \\
b&=&2 \cdot \frac{-5}{\textcolor{green}{3}}\\
&\vdots
\end{eqnarray*}
Auch in der vorletzten Zeile ist ein sonderbarer Fehler. Woher plötzlich der
Bruch \mbox{$\frac{30}{15}$} kommt, ist unklar. Er ist schlichtweg
zuviel und muss ersatzlos gestrichen werden.
\begin{eqnarray*}
&\vdots \\
b&=&2 \cdot \frac{-5}{15}\\
b&=&\frac{-10}{15}\\
b&=&-\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A29}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L29}{}\fi
\subsection{Aufgabe 29}
In der Aufgabe sind gleich zwei derbe Fehler eingebaut.
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Re}\b z&=&-3 \\
\textnormal{Im}\b z&=&4 \\
|\b z|^2&=&(\textnormal{Re}\b z)^2+(\textnormal{Im}\b z)^2 \\
|\b z|^2&=&\textcolor{red}{-}3^2+4^2 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\end{eqnarray*}
Das Minus-Zeichen hat an dieser Stelle nichts zu suchen. Gemeint ist offenbar
folgendes:
\begin{eqnarray*}
|\b z|^2&=&\textcolor{green}{(}-3\textcolor{green}{)}^2+4^2
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}
Wer die Klammern weglassen will, kann das tun. Dann muss man aber beachten,
dass beim Quadrieren einer \textbf{negativen} Zahl das Ergebnis
\textbf{positiv} ist, also so:
\begin{eqnarray*}
|\b z|^2&=&\textcolor{green}{+}3^2+4^2 \\
\end{eqnarray*}
In der nächsten Zeile passiert dann der nächste Fehler, der allerdings den
ersten Fehler wieder aufhebt.
\begin{eqnarray*}
|\b z|^2&=&-3^2+4^2 \\
|\b z|&=&\sqrt{\textcolor{red}{9}+16} \quad \textnormal{(falsch)}\\
|\b z|&=&\sqrt{\textcolor{green}{-9}+16}\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{eqnarray*}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A30}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L30}{}\fi
\subsection{Aufgabe 30}
\[\begin{array}{rclll}
15(4 \b x+j)&=&0 &|\textcolor{red}{-15} &(\textnormal{falsch}) \\
15(4 \b x+j)&=&0 &|\textcolor{green}{:15} &(\textnormal{korrigiert}) \\
4 \b x+j&=&0 &|-j \\
4 \b x&=&-j &|:4 \\
\b x&=&-\cfrac{j}{4} \\
\end{array}\]
Das Gegenteil vom Multiplizieren ist nicht das Subtrahieren, sondern das
Dividieren!\\
Es folgt der nächste Fehler:
\[\begin{array}{rcll}
4 \b x+j&=&-15 &|-j \\
4 \b x&=&\textcolor{red}{-j15} &(\textnormal{falsch}) \\
4 \b x&=&\textcolor{green}{-15-j} &(\textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Subtrahieren und Multiplizieren sind \textbf{verschiedene} Rechenoperationen!\\
Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A31}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L31}{}\fi
\subsection{Aufgabe 31}
\[\begin{array}{rclll}
15(4 \b x+j)&=&0 &|:15 \\
4 \b x+j&=&0 &|-4\b x \\
j&=&-4 \b x &|\textcolor{red}{\cdot (-4)}&(\textnormal{falsch}) \\
j&=&-4 \b x &|\textcolor{green}{:(-4)}&(\textnormal{korrigiert}) \\
\textcolor{red}{-j4}&=&\b x&&(\textnormal{falsch}) \\
\textcolor{green}{-\cfrac{j}{4}}&=&\b x&&(\textnormal{korrigiert}) \\
\end{array}\]
Das Gegenteil vom Multiplizieren ist nicht das Multiplizieren, sondern das
Dividieren.\\
Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A32}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L32}{}\fi
\subsection{Aufgabe 32}
\[\begin{array}{rclll}
10(3 \b x-j)&=&0 &|:10 \\
3 \b x-j&=&0 &|\textcolor{red}{3}&(\textnormal{falsch}) \\
3 \b x-j&=&0 &|\textcolor{green}{:3}&(\textnormal{korrigiert}) \\
\b x-\textcolor{red}{j}&=&0 &|+j&(\textnormal{falsch}) \\
\b x-\textcolor{green}{\cfrac{j}{3}}&=&0
   &|+\cfrac{j}{3}&(\textnormal{korrigiert}) \\
\b x&=&\cfrac{j}{3}\\
\end{array}\]
Soll eine Gleichung durch 3 dividiert werden, dann muss man \textbf{jeden} Term
durch 3 dividieren.\\
Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A33}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L33}{}\fi
\subsection{Aufgabe 33}
\[\begin{array}{rcll}
-16x^2&=&-42x+207 &|+42x \\
\textcolor{red}{26x^2}&=&207 &|:26 \\
x^2&\textcolor{red}{=}&7,96 &|\sqrt{\ }\\
x&=&\textcolor{red}{+}\sqrt{7,96}\\
x&\textcolor{red}{=}&2,82 \\
\end{array}\]
Hier sind gleich 4 Fehler zu finden! Bei der Auflösung wollen wir an jeder
Stelle so tun, als ob die vorangehende Zeile richtig wäre. Fangen wir vorn
an.\\

Der erste Fehler ist gleich der heftigste:
\[\begin{array}{rclll}
-16x^2&=&-42x+207 &|+42x \\
\textcolor{red}{26x^2}&=&207 &&\textnormal{(falsch)} \\
\textcolor{green}{42x-16x^2}&=&207 &&\textnormal{(korrigiert)} \\
\end{array}\]
Auch wenn es nicht gefällt: $x$ lässt sich mit $x^2$ nicht zusammenfassen!\\

Der Fehler in Zeile 3 ist das Gleich\-heits\-zei\-chen. Da $207:26$ nur
\textbf{ungefähr} 2{,}82 ist, muss auch das Ungefährzeichen anstelle des
Gleich\-heits\-zei\-chens verwendet werden.\\
\[\begin{array}{rclll}
26x^2&=&207 &|:26 \\
x^2&\textcolor{red}{=}&7{,}96 &&\textnormal{(falsch)}\\
x^2&\textcolor{green}{\approx}&7{,}96&&\textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Der nächste Fehler:
\[\begin{array}{rclll}
x^2&=&7{,}96 &|\sqrt{\ }\\
x&=&\textcolor{red}{+}\sqrt{7{,}96}&&\textnormal{(falsch)}\\
x&=&\textcolor{green}{\pm} \sqrt{7{,}96}&&\textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Beim Wurzelziehen kommt immer die positive \textbf{und} die negative Wurzel in
Betracht.\\

Der letzte Fehler entspricht dem zweiten:
\[\begin{array}{rclll}
x&=&\sqrt{7{,}96}\\
x&\textcolor{red}{=}&2{,}82 &\textnormal{(falsch)}\\
x&\textcolor{green}{\approx}&2{,}82  &\textnormal{(korrigiert)}
\end{array}\]
Die Wurzel ist nur näherungsweise 2{,}82, daher darf hier kein Gleich\-heits\-zei\-chen
verwendet werden.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A34}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L34}{}\fi
\subsection{Aufgabe 34}
\[\begin{array}{rcll}
(3x-14) \cdot (2)&=&(2x-9 \cdot (3)&\textnormal{(falsch)}\\
(3x-14) \cdot (2)&=&(2x-9\textcolor{green}{)} \cdot (3) &\textnormal{(korrigiert)}\\
6x-28-2x-18&=&\textcolor{red}{6x}-27 &\textnormal{(falsch)}\\
6x-28-2x-18&=&\textcolor{green}{2x}-27 &\textnormal{(korrigiert)}\\
4x-48&=&6x-27 \\
&\vdots \\
\end{array}\]
Hier wurde gleich in der ersten Zeile offenbar eine Klammer vergessen.
Anschließend wurde aber so gerechnet, als ob die nicht vorhandene Klammer doch
gesetzt worden wäre. Das ist ein weiterer Fehler.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A35}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L35}{}\fi
\subsection{Aufgabe 35}
\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{(3x-14) \cdot (2x+12)}{6 \cdot (x^2-36)}-\cfrac{2x-18}{6x^2-108}
  &=&\cfrac{(2x-9) \cdot (3x+18)}{6x^2-108}&| \cdot (6x^2-108) \\
6x^2+18x-28x-168-2x\textcolor{red}{-}18
  &=&6x^2+36x-27x-162&&\textnormal{(falsch)}\\
6x^2+18x-28x-168-2x\textcolor{green}{+}18
  &=&6x^2+36x-27x-162&&\textnormal{(korrigiert)}\\
  &\vdots \\
-24&=&3x &|:3 \\
x&=&8 &&\textnormal{(falsch)}\\
x&=&\textcolor{green}{-}8 &&\textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
\begin{description}
\item[Fehler 1:] Der erste Nenner ist nicht identisch mit den beiden anderen
  Nennern. Daher können so nicht alle Brüche aufgelöst werden. \textbf{Eine
  Korrektur dazu habe ich \emph{nicht} angegeben.}
\item[Fehler 2:] Zur Erinnerung: Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer (hier: um
  den zweiten Zähler). Fällt er weg, so muss gerechnet werden, wie wenn eine
  Klammer aufgelöst wird.
\item[Fehler 3:] Beim Umdrehen der Gleichung bei gleichzeitiger Division durch
  3 wurde das Mi\-nus\-zei\-chen "`geschlabbert"'.
\end{description}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A36}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L36}{}\fi
\subsection{Aufgabe 36}
Hier sind eine ganze Menge Fehler gemacht worden.
\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{3x-14}{36x-216}-\cfrac{x-9}{36x-216}&=&\cfrac{2x-9}{36x-216}
  &| \cdot \textcolor{red}{36x-216} &\textnormal{(falsch)}\\
\cfrac{3x-14}{36x-216}-\cfrac{x-9}{36x-216}&=&\cfrac{2x-9}{36x-216}
  &| \cdot \textcolor{green}{(}36x-216\textcolor{green}{)}&\textnormal{(korrigiert)}\\
3x-14-x\textcolor{red}{-}9&=&2x-9 &|+9&\textnormal{(falsch)} \\
3x-14-x\textcolor{green}{+}9&=&2x-9 &|+9 &\textnormal{(korrigiert)}\\
3x-\textcolor{red}{5}-x&=&2x &&\textnormal{(falsch)} \\
3x-\textcolor{green}{14}-x&=&2x &&\textnormal{(korrigiert)}\\
3x-\textcolor{red}{14}-x&=&2x &&\textnormal{(falsch)}\\
3x-\textcolor{green}{5}-x&=&2x &&\textnormal{(korrigiert)}\\
2x-14&=&2x &|-2x \\
\textcolor{red}{14}&=&0 &&\textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{-}14&=&0 &&\textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
\begin{description}
\item[Fehler 1:] Auch im Kommentar geht Punktrechnung vor Strichrechnung. Soll
das aufgehoben werden (wie hier), dann muss eine Klammer gesetzt werden. Hier
soll ja nicht die Gleichung zunächst mit $36x$ multipliziert werden, um
anschließend auf beiden Seiten 216 zu subtrahieren, sondern es soll mit dem
Term \mbox{$(36x-216)$} multipliziert werden.
\item[Fehler 2:] Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Fällt er weg, so muss
gerechnet werden, wie wenn eine Klammer aufgelöst wird. Da vor dem Bruchstrich
ein Mi\-nus\-zei\-chen steht, kehren sich also alle Vor\-zei\-chen um.
\item[Fehler 3:] Hier wurde offenbar die $-9$ hinter dem $x$ auf der linken
Glei\-chungs\-sei\-te beim Zusammenfassen übersehen.
\item[Fehler 4:] Der vierte Fehler hebt den dritten wieder auf. Wieso dem
Schüler jetzt plötzlich auffällt, dass die $-9$ übersehen wurde, ist mir nicht
ganz klar. Vielleicht stand es so beim Nachbarn\ldots
\item[Fehler 5:] Auch hier ist vermutlich Schlamperei die Ursache für den
Fehler. Das Mi\-nus\-zei\-chen vor der 14 wurde wohl einfach vergessen.
\end{description}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A37}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L37}{}\fi
\subsection{Aufgabe 37}
\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{6x-34-6x+33}{6x-42}&=&\cfrac{x-11}{3x^2-49}
   &| \cdot (6x-42) \cdot (3x^2-49) \\
\textcolor{red}{6x-34-6x+3}(3x^2-49)&=&\textcolor{red}{x-11}(6x-42)
  &\qquad \textnormal{(falsch)} \\
\textcolor{green}{(6x-34-6x+33)}(3x^2-49)&=&\textcolor{green}{(x-11)}(6x-42)
  &\qquad \textnormal{(korrigiert)} \\
6x-34-6x+\textcolor{red}{3+3x^2+49}&=&x-\textcolor{red}{11+6x+42}
  &\qquad \textnormal{(falsch)} \\
6x-34-6x+\textcolor{green}{9x^2-147}&=&x-\textcolor{green}{66x+462}
  &\qquad \textnormal{(korrigiert)} \\
18+3x^2&=&7x+31 \\
&\vdots
\end{array}\]
Ohne zunächst auf die Fehler einzugehen, möchte ich sagen, dass es --
vorsichtig formuliert -- taktisch unklug ist, nicht vor dem ersten
Rechenschritt den Zähler des ersten Bruches zusammenzufassen.
\begin{description}
\item[Fehler 1:] Die Klammern um den jeweiligen ehemaligen Zähler wurden
vergessen. Zudem mutierte die 33 im ersten Zähler zu einer einfachen 3.
\item[Fehler 2:] Jetzt hätte das Produkt \mbox{$3 \cdot (3x^2-49)$}
ausgerechnet werden müssen. Offenbar wurde das Multiplizieren in ein Addieren
umgewandelt. Außerdem veränderte sich $-49$ in $+49$. Sinngemäß wurden die
gleichen Fehler auch auf der anderen Glei\-chungs\-sei\-te gemacht. Immerhin stimmt
hier wenigstens das Vor\-zei\-chen vor dem absoluten Glied.
\end{description}


Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A38}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L38}{}\fi
\subsection{Aufgabe 38}
\[\begin{array}{rcll}
(3x-17) \cdot (x-7) \cdot (x+7)-(x-11) \cdot 3&=&(2x-11) \cdot 3 \cdot (x+7) \\
(3x-17) \cdot (x^2-49)-3x\textcolor{red}{-}33&=&(6x-33) \cdot (x+7)
  &\qquad \textnormal{(falsch)}\\
(3x-17) \cdot (x^2-49)-3x\textcolor{green}{+}33&=&(6x-33) \cdot (x+7)
  &\qquad \textnormal{(korrigiert)}\\
3x^{\textcolor{red}{2}}-147x-17x^2+833-3x-33
  &=&\textcolor{red}{(}6x^2+42x-33x-231 &\qquad \textnormal{(falsch)}\\
3x^{\textcolor{green}{3}}-147x-17x^2+833-3x-33&=&6x^2+42x-33x-231
  &\qquad \textnormal{(korrigiert)}\\
-14x^2+800\textcolor{red}{-144x}&=&6x^2+9x-231 &|+14x^2
  \quad \textnormal{(falsch)}\\
-14x^2+800\textcolor{green}{-150x}&=&6x^2+9x-231 &|+14x^2
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
-14x^2+800-144x&=&6x^2+9x-231 &|+14x^2 \\
800-144x&=&20x^2+9x-231 &|+144x+231 \\
1031&=&20x^2+153x &|\sqrt{\ }\\
33{,}11&\textcolor{red}{=}&\textcolor{red}{4{,}47x+12{,}37x}
  &\qquad \textnormal{(falsch)}\\
33{,}11&\textcolor{green}{\approx}&\textcolor{green}{\sqrt{20x^2+153x}}
  &\qquad \textnormal{(korrigiert)}\\
33{,}11&=&16{,}84x &|:16{,}84 \\
1{,}97&\textcolor{red}{=}&x & \qquad \textnormal{(falsch)}\\
1{,}97&\textcolor{green}{\approx}&x & \qquad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier sind insgesamt 7 Fehler eingebaut.
\begin{description}
\item[Fehler 1:] Beim Ausmultiplizieren von \mbox{$-(x-11) \cdot 3$} wurde das
Mi\-nus\-zei\-chen vor der Klammer zwar für $3x$, nicht aber für $-11$
berücksichtigt. Minus mal Minus ergibt Plus.
\item[Fehler 2:] \mbox{$3x \cdot x^2$} ergibt \mbox{$3x^3$} und nicht
\mbox{$3x^2$}.
\item[Fehler 3:] Auf der rechten Glei\-chungs\-sei\-te wurde eine Klammer geöffnet
ohne sie zu schließen. Die Klammer kann aber ganz entfallen. Anderenfalls
müsste noch eine schließende Klammer gesetzt werden.
\item[Fehler 4:] \mbox{$-147x-3x$} ergibt \mbox{$-150x$} und nicht
\mbox{$-144x$}.
\item[Fehler 5:] \mbox{$\sqrt{1031}$} ergibt nur näherungsweise \mbox{$33{,}11$}.
Deshalb darf nicht das Gleich\-heits\-zei\-chen sondern nur das Ungefährzeichen
gesetzt werden.
\item[Fehler 6:] Die Wurzel \mbox{$\sqrt{20x^2+153x}$} kann nicht aufgelöst
werden, schon garnicht als \mbox{$4{,}47x+12{,}37x$}.
\item[Fehler 7:] \mbox{$\frac{33{,}11}{16{,}84}$} ergibt nur ungefähr 1{,}97.
Deshalb darf nicht das Gleich\-heits\-zei\-chen sondern nur das Ungefährzeichen
gesetzt werden.
\end{description}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A39}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L39}{}\fi
\subsection{Aufgabe 39}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot (2x-4)^5 \\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot \textcolor{red}{(32x^5-1024)}& \textnormal{(falsch)}\\
f'(x)&=&2 \cdot 6 \cdot \textcolor{green}
{(32x^5-320x^4+1280x^3-2560x^2+2560x-1024)}& \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier wurde eine Potenzregel unterstellt, die es nicht gibt. Weil ja schon gilt:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
und nicht:
\[(a+b)^2\not=a^2+b^2\]
gilt Entsprechendes erst recht allgemein:
\[(a+b)^n\not=a^n+b^n\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A40}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L40}{}\fi
\subsection{Aufgabe 40}
\[\begin{array}{rcll}
f'(x)&=&6 \cdot (2x-4)^5 \cdot 2x^0 \\
&=&6 \cdot \textcolor{red}{(10x^5-20)} \cdot 2\textcolor{red}{x}&\quad \textnormal{(falsch)}\\
&=&6 \cdot \textcolor{green}{(32x^5-320x^4+1280x^3-2560x^2+2560x-1024)}
 \cdot 2&\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Die fünfte Potenz des Summenterms wurde falsch umgeformt. Es ist fast der
gleiche Fehler wie bei Aufgabe 40, jedoch wurde hier zusätzlich noch
Potenzieren mit Multiplizieren verwechselt. Besser wäre es, man multipliziert
die Klammer nicht aus. Außerdem ist \mbox{$x^0=1$} und nicht $x$.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A41}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L41}{}\fi
\subsection{Aufgabe 41}
\[\begin{array}{rrrcll}
(1)& 5x&-12y&=&-9 \\
(2)&-7x&+4y&=&-13 &| \cdot 3 \\
\hline
(1)& 5x&-12y&=&-9   &|\\
(2)&-21x&+12y&=&-39 &|+ \\
\hline
(3)&-16x&&=&-48 &|:(-16) \\
&\textcolor{red}{y}&&=&3&\quad \textnormal{(falsch)}\\
&\textcolor{green}{x}&&=&3&\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]

Das war ein sehr ungewöhnlicher Fehler. Ich habe selbst länger gebraucht, bis
ich ihn fand.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A42}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L42}{}\fi
\subsection{Aufgabe 42}
\[\begin{array}{rclll}
2n-9&\geq&-21+4n &|-2n+21 \\
\textcolor{red}{30}&\geq&2n &|:2&\textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{12}&\geq&2n &|:2&\textnormal{(korrigiert)}\\
6&\geq&n \\
\end{array}\]
Die $-9$ wurde fälschlicherweise als $+9$ gerechnet.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A43}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L43}{}\fi
\subsection{Aufgabe 43}
\[\begin{array}{rcll}
a_{n+1}&\geq&a_n \\
4(n+1)^2-12(n+1)-3&\geq&4n^2-12n-3 \\
4(n^2+2n+1)-12n\textcolor{red}{+}12-3&\geq&4n^2-12n-3
 &\quad \textnormal{(falsch)}\\
4(n^2+2n+1)-12n\textcolor{green}{-}12-3&\geq&4n^2-12n-3
 &\quad \textnormal{(korrigiert)}\\
4n^2+8n+4-12n+12-3&\geq&4n^2-12n-3 \\
4n^2-4n+13&\geq&4n^2-12n-3 &|-4n^2 \\
4n+13&\geq&-12n-3 &|+12n-13 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\textcolor{green}{-}4n+13&\geq&-12n-3 &|+12n-13
  \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
16n&\geq&-16 &|:16 \\
n&\geq&-1 \\
\end{array}\]
In der Lösung sind zwei Fehler enthalten.

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A44}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L44}{}\fi
\subsection{Aufgabe 44}
\[\begin{array}{rcll}
-4-\cfrac{8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
-\cfrac{4}{1}-\cfrac{8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon \\
-\cfrac{4(9-2n)\textcolor{red}{-}8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon
 \quad \textnormal{(falsch)}\\
-\cfrac{4(9-2n)\textcolor{green}{+}8n-9}{9-2n}&<&\varepsilon
 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\cfrac{-36+8n\textcolor{red}{-}8n\textcolor{red}{-}9}{9-2n}&<&\varepsilon
 \quad \textnormal{(falsch)}\\
\cfrac{-36+8n\textcolor{green}{+}8n\textcolor{green}{+}9}{9-2n}&<&\varepsilon
 \quad \textnormal{(korrigiert)}\\
\cfrac{-45}{9-2n}&<&\varepsilon
\end{array}\]

In der Lösung sind zwei Fehler enthalten. Bei der Darstellung des zweiten wurde
davon ausgegangen, dass die Vorzeile (mit dem ersten Fehler) richtig wäre.
\begin{description}
\item[Fehler 1:] Beide Brüche wurden auf den gemeinsamen Nenner
  zusammengefasst. Dabei wurde das Mi\-nus\-zei\-chen ausgeklammert. Dadurch wird der
  zweite Zähler positiv. Taktisch klüger wäre es gewesen, man hätte dieses
  Mi\-nus\-zei\-chen mit in den ersten Zähler genommen. Allerdings wäre dann die $-9$
  am Ende des zweiten Zählers eine $+9$ geworden.
\item[Fehler 2:] Das Mi\-nus\-zei\-chen vor dem Bruch wurde nun in den Bruch
  hineinmultipliziert. Dadurch ändern sich \textbf{alle} Vor\-zei\-chen, nicht nur
  die beiden ersten.
\end{description}
Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A45}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L45}{}\fi
\subsection{Aufgabe 45}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&x^2-11x+34 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{11}{2}\pm \sqrt{\textcolor{red}{\cfrac{-11^2}{2}}-34}
 &\textnormal{(fehlerhaft)}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{11}{2}\pm \sqrt{\textcolor{green}{
  \left( \cfrac{-11}{2}\right)^2}-34}
 &\textnormal{(korrigiert)}\\
&\vdots \\
x_{1/2}&=&\cfrac{11}{2}\pm \sqrt{\cfrac{-11^2}{2}-34}\\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm \sqrt{\textcolor{red}{30{,}25}-34}
 &\textnormal{(fehlerhaft)}\\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm \sqrt{\textcolor{green}{-60{,}5}-34}
 &\textnormal{(korrigiert)}\\
 & \vdots  \\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm \sqrt{30{,}25-34}\\
x_{1/2}&=&5{,}5 \pm \textcolor{red}{-3{,}75} \\
\end{array}\]
Aus einer negativen Zahl kann keine (reelle) Wurzel gezogen werden!\\

In der Lösung waren mindestens drei Fehler enthalten.
\begin{enumerate}
\item In Zeile 2 muss das Mi\-nus\-zei\-chen vor der 11 mit\-qua\-driert werden, die
  $(-11)$ muss also eingeklammert sein. Auch die 2 im Nenner muss mit\-qua\-driert
  werden.
\item In der nächsten Zeile wurde so gerechnet, als ob die Klammern
  $\left( \frac{-11}{2}\right)$ gesetzt worden wären.
\item In der darauffolgenden Zeile fehlt die Wurzel, so, als ob die Wurzel
  gezogen worden wäre. Tatsächlich steht nur der Radikand noch da, es existiert
  auch kein (reelles) Ergebnis für eine Wurzel aus einer negativen Zahl.
  Darüber hinaus ist ein Mi\-nus\-zei\-chen unmittelbar nach dem $\pm$ nicht
  zulässig.
\end{enumerate}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A46}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L46}{}\fi
\subsection{Aufgabe 46}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{1}{\b Z_1}&=&\cfrac{1}{\b R_2}+\cfrac{1}{\b X_C}
  &|\cdot \b Z_1 \cdot \b R_2 \cdot \b X_C \\
\b R_2 \cdot \b X_C&=&\b Z_1 \cdot \b X_C+\b Z_1 \textcolor{red}{+}\b R_2
  & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\b R_2 \cdot \b X_C&=&\b Z_1 \cdot \b X_C+\b Z_1 \textcolor{green}{\cdot}\b R_2
  & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\b R_2 \cdot \b X_C&=&\b Z_1 \cdot (\b X_C+\b R_2) \\
\end{array}\]
In der Lösung sind zwei Fehler enthalten. Der zweite hebt den ersten wieder
auf.
\begin{enumerate}
\item Beim Ausmultipilzieren im Zähler des dritten Bruches wurde aus dem
  Mal-Zeichen ein Plus-Zeichen.
\item Das Ausklammern im nächsten Schritt ist mit dem Pluszeichen anstelle des
  Mal-Zeichens nicht möglich. Eine Korrektur kann daher nicht angegeben werden.
  Es wurde so getan, als ob tatsächlich das Mal-Zeichen anstelle des
  Plus-Zeichens dort gestanden hätte.
\end{enumerate}

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A47}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L47}{}\fi
\subsection{Aufgabe 47}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&3x^2-18x+24 \\  \color{red}
x_{1/2}&\color{red}=&\color{red}9 \pm \sqrt{(-9)^2-24}
  &\color{black} \textnormal{fehlerhaft}\\
\end{array}\]
Bevor man die $p$-$q$-Formel anwenden kann, muss die Gleichung in
\textbf{Normalform} gebracht werden, die 3 vor $x^2$ muss also verschwinden.
\[\begin{array}{rcll}
0&=&3x^2-18x+24 &|:3 \\
0&=&x^2-6x+8 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{(-3)^2-8}\\
& \vdots \\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A48}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L48}{}\fi
\subsection{Aufgabe 48}

\[\begin{array}{rclll}
6a+2 \cdot 9&=&0 &|-6a \\
18&=&6a &|:6 &\textnormal{(fehlerhaft)}\\
18&=& \textcolor{green}{-}6a &|:(-6) &\textnormal{(korrigiert)}\\
a&=&-3 \\
\end{array}\]

Das war einfach. Nur das Mi\-nus\-zei\-chen wurde vergessen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A49}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L49}{}\fi
\subsection{Aufgabe 49}
\[\begin{array}{llrrrrclll}
(1) && 3a \cdot 0^2 &+2b \cdot 0 &+c        &   &=&0 \\
(2) && 6a \cdot 1   &+2b         &          &   &=&0 \\
(3) && a \cdot 0^3  &+b \cdot 0^2&+c \cdot 0&+d &=&-4 \\
(4) && a \cdot 1^3  &+b \cdot 1^1&+c \cdot 1&+d &=&2 \\
\hline
(1) && \textcolor{red}{3a}&\textcolor{red}{+2b}&+c&&=&0
  &\textnormal{(fehlerhaft)} \\
(1) && &&c&&=&0 &\textnormal{(korrigiert)}\\
(2) && 6a           &+2b         &          &   &=&0 \\
(3) &&\textcolor{red}{a}&\textcolor{red}{+b}&\textcolor{red}{+c}&+d &=&-4
  &\textnormal{(fehlerhaft)} \\
(3) &&&&& d &=&-4 &\textnormal{(korrigiert)}\\
(4) && a            &+b          &+c        &+d &=&2 \\
\hline
\end{array}\]
Hier trat der gleiche Fehler gleich mehrfach auf.
Der Schüler hatte vergessen, dass \textbf{jede} Zahl, die mit \emph{Null}
multipliziert wird, auch \emph{Null} ergibt.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A50}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L50}{}\fi
\subsection{Aufgabe 50}
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{-2}^0 x^3+6x^2+12x+8 \ dx \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4+\cfrac{6}{3}x^3+\cfrac{12}{2}x^2+8x \right]_{-2}^0 \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4+2x^3+\textcolor{red}{2}x^2+8x \right]_{-2}^0
  \quad \textnormal{(fehlerhaft)} \\
&=&\left[ \cfrac{1}{4}x^4+2x^3+\textcolor{green}{6}x^2+8x \right]_{-2}^0
  \quad \textnormal{(korrigiert)} \\
\end{eqnarray*}
(Die nachfolgenden Zeilen habe ich jetzt weggelassen.)

Auch das war wieder einfach. Es ist: \mbox{$\frac{12}{2}=6$} und nicht:
\mbox{$\frac{12}{2}=2$}. So etwas passiert schon mal.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A51}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L51}{}\fi
\subsection{Aufgabe 51}
\[\begin{array}{rcll}
0&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t^{-2}) \\
&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot \cfrac{-2}
 {\textcolor{red}{2t}}& \qquad \textnormal{(fehlerhaft)}\\
&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot \cfrac{-2}
 {\textcolor{green}{t^2}}& \qquad \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Angenommen, der Schritt wäre richtig, folgt der nächste Fehler sofort:

\[\begin{array}{rcll}
0&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot \cfrac{-2}{2t}&| \cdot 2t \\
\textcolor{red}{2t}&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t) &|:2
\quad \textnormal{(fehlerhaft)} \\
\textcolor{green}{0}&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t) &|:2
\quad \textnormal{(korrigiert)} \\
\end{array}\]
Vermutlich weil die Null auf der linken Seite des Gleich\-heits\-zei\-chens nicht
hingeschrieben worden war, hat der Schüler nicht bemerkt, dass der Term
\mbox{$(-2t)$} links mit Null multipliziert werden musste.\\

Der nächste Fehler folgt schnell. Wir nehmen wieder an, der vorangegangene
Schritt sei richtig gewesen.
\[\begin{array}{rcll}
2t&=&\unit[40]{cm}+\unit[32]{dm^3} \cdot (-2t) &|:2 \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[\textcolor{red}{16}]{dm^3} \cdot
  (-\textcolor{red}{1}) &\quad \textnormal{(fehlerhaft)} \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[\textcolor{green}{32}]{dm^3} \cdot
  (-\textcolor{green}{t}) &\quad \textnormal{(korrigiert)} \\
\end{array}\]
Hier wurden gleich zwei Fehler gleichzeitig gemacht:
\begin{itemize}
\item Im rechten Produkt wurden \textbf{beide Faktoren} halbiert.
\item Im rechten Produkt wurde auch durch $t$ dividiert.
\end{itemize}
Schaun wir uns den nächsten Schritt an:

\[\begin{array}{rcll}
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[16]{dm^3} \cdot (-1) \\
t&=&\unit[20]{cm}+\unit[16\,000]{cm^3} \cdot (-1) \\
t&=&\unit[20]{cm}+\textcolor{red}{\unit[25{,}5]{cm}} \cdot (-1)
& \textnormal{(fehlerhaft, nicht korrigierbar!)}\\
% t&=&-\unit[45{,}2]{cm}\\
\end{array}\]
Da die Einheiten aufgrund einiger Fehler zuvor nicht mehr zusammenpassen,
wurden hier kurzerhand Kubikzentimeter durch Ziehen der dritten Wurzel in
Zentimeter "`umgerechnet"', also ein Volumen in eine Länge verwandelt!! \\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A52}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L52}{}\fi
\subsection{Aufgabe 52}
\[\begin{array}{rcll}
V&=&(\unit[30]{cm}-2h) \cdot (\unit[60]{cm}-4h) \cdot (h) \\
V&=&\textcolor{red}{\unit[1\,800]{cm}-120h+30h-120h+8h^2-2h^2+60h-4h^2}
& \textnormal{(fehlerhaft)}\\
V&=&\textcolor{green}{\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[240]{cm} \cdot h^2
 +8h^3} & \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
\underline{Anmerkung:} Die Klammern um das einzelne $(h)$ am Zeilenende waren
eine Idee des Schülers. Sie sind natürlich überflüssig, wenn auch nicht
falsch.\\

Hier war der Schüler beim Auflösen des Produktes mit \textbf{drei Faktoren}
offenbar hoffnungslos überfordert. Es ist kaum nachvollziehbar, wie er zu
diesen Termen gekommen ist.\\

Besser (oder einfacher) ist es immer, schrittweise vorzugehen. Man kann
beispielsweise zuerst die ersten beiden Faktoren miteinander multiplizieren und
erst danach das Ergebnis im nächsten Schritt mit den dritten Faktor
multiplizieren. Das sähe dann etwa so aus:
\[\begin{array}{rcll}
V&=&(\unit[30]{cm}-2h) \cdot (\unit[60]{cm}-4h) \cdot (h) \\
 &=&\left(\unit[1\,800]{cm^2}-\unit[120]{cm} \cdot h
 -\unit[120]{cm} \cdot h+8h^2 \right) \cdot h \\
 &=&(\unit[1\,800]{cm^2}-\unit[240]{cm} \cdot h+8h^2) \cdot h \\
V&=&\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[240]{cm} \cdot h^2+8h^3 \\
\end{array}\]
Alternativ hätte man auch zuerst die zweite und dritte Klammer zusammenfassen
können. Das sähe dann etwa so aus:
\[\begin{array}{rcll}
V&=&(\unit[30]{cm}-2h) \cdot (\unit[60]{cm}-4h) \cdot (h) \\
&=&(\unit[30]{cm}-2h) \cdot (\unit[60]{cm} \cdot h-4h^2) \\
&=&\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[120]{cm} \cdot h^2
 -\unit[120]{cm} \cdot h^2+8h^3 \\
V&=&\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[240]{cm} \cdot h^2+8h^3 \\
\end{array}\]

Kümmern wir uns nun aber wieder um die ursprüngliche Lösung. Nehmen wir an, der
erste Schritt sei richtig gewesen. Ein weiterer Fehler folgt:
\[\begin{array}{rcll}
V&=&\unit[1\,800]{cm}-120h+30h-120h+8h^2-2h^2+60h-4h^2 \\
V&=&\unit[1\,800]{cm}-150h+\textcolor{red}{8}h^2 & \textnormal{(fehlerhaft)}\\
V&=&\unit[1\,800]{cm}-150h+\textcolor{green}{2}h^2 & \textnormal{(korrigiert)}\\
\end{array}\]
Ein einfacher Fehler, hier wurde nur falsch addiert.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A53}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L53}{}\fi
\subsection{Aufgabe 53}
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^4+0{,}4x^3&=&0 \\
x^2(-0{,}1x^2+0{,}4x)&=&0 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x&=&0  \\
\end{array}\]
Hier wurde offensichtlich durch $x^2$ dividiert, auch wenn dazu kein Kommentar
vermerkt ist. Man muss jedoch beim Dividieren \textbf{grundsätzlich immer}
darauf achten, dass man \textbf{niemals} durch Null dividieren darf. Daher die
Frage: Sind wir sicher, dass ganz bestimmt \mbox{$x^2 \not=0$} ist?\\

Nein, das sind wir nicht, denn für \mbox{$x=0$} ist auch \mbox{$x^2=0$}!
Solange nicht \mbox{$x=0$} im Definitionsbereich aus irgendwelchen Gründen
ausgeschlossen ist, kann dieser Fall durchaus eintreten und wir dividieren
durch Null, ohne es so recht zu bemerken. Was also tun?\\

Es gibt zwei Möglichkeiten der Abhilfe:
\begin{enumerate}
\item Man führt eine \textbf{Fallunterscheidung} durch.
\item Man wendet diesen Lehrsatz an:\\
  \emph{\textbf{Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.}}
\end{enumerate}

Gehen wir das der Reihe nach durch. Bei einer \textbf{Fallunterscheidung} prüft
man zunächst, ob \mbox{$x=0$} als Lösung in Frage kommt. Durch Einsetzen stellt
man schnell fest: \mbox{$x=0$} \textbf{ist eine Lösung} der Gleichung. Nachdem
dieser Wert als erste Lösung \mbox{$x_1=0$} notiert ist, geht man für die Suche
nach \textbf{weiteren} Lösungen vom Fall \mbox{$x \not=0$} aus. Hier darf dann
auch durch $x$ oder $x^2$ dividiert werden.\\

Möglichkeit 2 -- die Anwendung des Lehrsatzes -- ist meines Erachtens etwas
einfacher. Man betrachtet zunächst den ersten Faktor $x^2$. Der wird Null für
\mbox{$x=0$}. Wir notieren \mbox{$x_1=0$} als \textbf{erste Lösung} und machen
mit dem zweiten Faktor \mbox{$(-0{,}1x^2+0{,}4x)$} weiter, um die
\textbf{weiteren} Lösungen zu bestimmen.\\

\underline{Anmerkung:} Besser wäre es gewesen, im ersten Schritt gleich die
größtmögliche Potenz (in diesem Fall $x^3$) auszuklammern. Dann wäre die
restliche Lösung etwas einfacher. Damit sähe der Lösungsweg etwa so aus:
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^4+0{,}4x^3&=&0 \\
x^3 \cdot (-0{,}1x+0{,}4)&=&0 &| \textnormal{ (Faktoren einzeln betrachten)}\\
x_1&=&0 \\
-0{,}1x+0{,}4&=&0 &|-0{,}4 \\
-0{,}1x&=&-0{,}4 &|:(-0{,}1) \\
x_2&=&4 \\
\end{array}\]

In dem zu untersuchenden Lösungsversuch gibt es aber noch einen weiteren
Fehler. Schauen wir uns also den weiteren Lösungsweg an:
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^2+0{,}4x&=&0 &|:(-0{,}1) \\
x^2-\textcolor{red}{0{,}4}x&=&0 & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
x^2-\textcolor{green}{4}x&=&0  & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]

Der Rest ist im Prinzip richtig, wurde jedoch recht umständlich mit der
$p$-$q$-Formel durchgeführt:
\[\begin{array}{rcll}
x^2-0{,}4x&=&0 \\
x_{1/2}&=&0{,}2 \pm \sqrt{0{,}04}\\
&=&0{,}2 \pm 0{,}2 \\
x_1=0 && x_2=0{,}4 \\
\end{array}\]

Günstiger wäre es, $x$ auszuklammern und mit dem oben erwähnten Lehrsatz zu
arbeiten:
\[\begin{array}{rcll}
x^2-0{,}4x&=&0 \\
x \cdot (x-0{,}4)&=&0 &| \textnormal{ (Faktoren einzeln betrachten)}\\
x_1&=&0 \\
x-0{,}4&=&0 &|+0{,}4 \\
x_2&=&0{,}4 \\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A54}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L54}{}\fi
\subsection{Aufgabe 54}
\[\begin{array}{rclcl}
0&=&4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^3&=&108a+27b \\
108a&=&27b && \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\textcolor{green}{-}108a&=&27b && \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Etwas unglücklich ist es, die Zusammenfassung der Terme mit einem weiteren
Gleich\-heits\-zei\-chen hinten anzuhängen, wenn auch nicht grundsätzlich falsch.
Mög\-li\-cher\-wei\-se dadurch bedingt hat der Schüler übersehen, dass er die $108a$
\textbf{subtrahieren} muss, damit sie auf die andere Seite kommen. Der übliche
Kommentar hinter dem Kommentarstrich fehlt. Weitere Fehler sind nicht
vorhanden.\\

Übersichtlicher wäre die Lösung in der üblichen Form:
\[\begin{array}{rcll}
0&=&4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^3 \\
0&=&108a+27b &|-108a \\
-108a&=&27b &|:27 \\
-4a&=&b \\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A55}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L55}{}\fi
\subsection{Aufgabe 55}
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot 3^4+b \cdot 3^3&=&2{,}7 \\
a \cdot3^4&=&2{,}7-b \cdot 3^3 &|:3^3 \\
a \cdot 3&=&\cfrac{2{,}7}{\textcolor{red}{3}}-b & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
a \cdot 3&=&\cfrac{2{,}7}{\textcolor{green}{3^3}}-b
  & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Vielleicht wäre es besser gewesen, die Dreierpotenzen vorher auszurechnen.\\

Tun wir so, als wäre die Lösung bis hierher richtig, dann finden wir im letzten
Schritt noch einen Fehler.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot 3&=&\cfrac{2{,}7}{3}-b &|:3 \\
a&=&0{,}3 \textcolor{red}{\cdot b} & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
a&=&0{,}3\textcolor{green}{-\cfrac{b}{3}} & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Leider geht in dieser digitalen Aufbereitung die Unleserlichkeit mancher
Handschrift verloren. Im Original war das Mi\-nus\-zei\-chen so kurz, dass der
Schüler es im nächsten Schritt für ein Malzeichen gehalten hat. Auch so etwas
passiert nicht ganz selten.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A56}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L56}{}\fi
\subsection{Aufgabe 56}
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^4+0{,}4x^3&=&-10x-2 &|+10x+2 \\
-0{,}1x^4+0{,}4x^3+10x+2&=&0 &|:x^2 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x+\textcolor{red}{10+2}&=&0 & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-0{,}1x^2+0{,}4x+\textcolor{green}{\cfrac{10}{x}+\cfrac{2}{x^2}}&=&0
 & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier haben ein Beispiel aus dem Gruselkabinett "`Wie macht man aus einem
Polynom 4. Grades ein Polynom 2. Grades?"' Damit das klappt, müssen leider
grundlegende Regeln der Algebra ignoriert werden. Hier: \emph{Wenn ein Term
nicht durch \mbox{$x^2$} teilbar ist, dann lasse ich das Dividieren an der
Stelle eben weg.}\\

In der Tat hilft die Division durch \mbox{$x^2$} nicht weiter.\footnote{Wie man
die Nullstellen eines Polynomes bestimmen kann, kann man beispielsweise hier
nachlesen:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi}\\

Tun wir nun so, als wäre die Lösung bis hierher richtig. Weitere Fehler warten
noch auf Entdeckung.
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^2+0{,}4x+10+2&=&0 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x+12&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{ \left( \cfrac{p}{2}\right)^2-q}
 & \textnormal{ (hier nicht anwendbar)}\\
x_{1/2}&=&-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}2^2-12}
 & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\end{array}\]
Der Fehler ist ein Klassiker. Die $p$-$q$-Formel wurde angewendet, obwohl die
Be\-zugs\-glei\-chung \textbf{nicht in Normalform} vorliegt. Ein Zwischenschritt ist
erforderlich. Damit sieht es dann etwa so aus:
\[\begin{array}{rcll}
-0{,}1x^2+0{,}4x+10+2&=&0 \\
-0{,}1x^2+0{,}4x+12&=&0 &|:(-0{,}1) \\
x^2-4x-120&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{ \left( \cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{2^2+120}\\
\end{array}\]

Tun wir nun so, als ob der erste Ansatz mit der $p$-$q$-Formel richtig gewesen
sei. Wo liegt der nächste Fehler? Einen haben wir noch\ldots
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}2^2-12}\\
x_{1/2}&=&-0{,}2 \pm \sqrt{-11{,}96}\\
x&=&-0{,}2 & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\end{array}\]
Die Wurzel aus der negativen Zahl $-11{,}96$ \textbf{existiert nicht}. Man kann
sie dann aber nicht einfach weglassen, so als ob die Wurzel Null ergäbe. Es
gibt schlichtweg \textbf{keine Lösung}!\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A57}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L57}{}\fi
\subsection{Aufgabe 57}
\[\begin{array}{lrrcll}
(1) & 10a &+2b &=& -8 &| \\
(2) & 18a &+2b &=& 0   &|- \\
\hline
    & -8a &    &=&-8  &|:(-8) \\
    &   a &&=&\textcolor{red}{-1} & \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
    &   a &&=&\textcolor{green}{+1} & \textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A58}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L58}{}\fi
\subsection{Aufgabe 58}
\[\begin{array}{rcll}
-3+18+c&=&9 &|-15 \\
c&=&\textcolor{red}{6}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
c&=&\textcolor{green}{-6}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A59}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L59}{}\fi
\subsection{Aufgabe 59}
\[\begin{array}{rclll}
18a+6(9-7a)&=&0 \\
18a+54-42a&=&0 \\
-24a+54&=&0 &|:\textcolor{red}{-24}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-24a+54&=&0 &|:\textcolor{green}{(-24)}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
a \textcolor{red}{+54}&=&0 &&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
a \textcolor{green}{-2{,}25}&=&0 &&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
\underline{Erster Fehler:} Auch im Kommentar dürfen keine zwei Rechenzeichen
ohne Klammern aufeinandertreffen.\\
\underline{Zweiter Fehler:} Die vorgesehene Division muss auf \textbf{jeden}
Summanden angewendet werden.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A60}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{L60}{}\fi
\subsection{Aufgabe 60}
\[\begin{array}{rcll}
-4 \cdot (-84{,}9)-2z&=&342 \\
339{,}6-2z&=&342 \\
-2z&=&2{,}4 \\
z&=&\textcolor{red}{0{,}4}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
z&=&\textcolor{green}{-1{,}2}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Vielleicht hätte sich der Schüler nicht verrechnet, wenn er \mbox{$|:(-2)$}
als Kommentar dazugeschrieben hätte. Er hat nämlich rechts einfach
nur 2 subtrahiert.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A61}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L61}{}\fi
\subsection{Aufgabe 61}
\[\begin{array}{rcll}
6 \cdot \left( \cfrac{2z+246}{228}\right)+12z+12&=&0 \\
\cfrac{12z+1\,476}{\textcolor{red}{1\,368}}+12z+12&=&0
 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\cfrac{12z+1\,476}{\textcolor{green}{228}}+12z+12&=&0
 &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier hat wieder ein Schüler neue Bruchrechenregeln erfunden.\footnote{Infos und
Übungen zu den Bruchrechenregeln siehe auch hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruch.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruch.pdf}\fi} Er multipliziert nicht nur den
Zähler mit der Zahl 6, sondern auch den Nenner!\\

Tun wir so, als wäre es richtig, denn der nächste Fehler wartet schon auf uns.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{12z+1\,476}{1\,368}+12z+12&=&0 \\
12z+1\,476+\textcolor{red}{12z+12}&=&0 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
12z+1\,476+\textcolor{green}{16\,416z+16\,416}&=&0&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]

Was genau hier falsch ist, ist nicht eindeutig, da ein Kommentar fehlt.
Mög\-li\-cher\-wei\-se hat der Schüler nur vergessen, den Nenner mit hinzuschreiben.
Wahrscheinlicher ist jedoch, dass er die Gleichung mit dem Nenner 1\,368
multiplizieren wollte und nicht daran gedacht hat, \textbf{jeden} Term damit zu
multiplizieren.\\

Der Rest der Lösung war in sich richtig.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A62}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L62}{}\fi
\subsection{Aufgabe 62}
\[\begin{array}{rclll}
(-8) \cdot (-4)+(-57) \cdot 6+(-2) \cdot z&=&0 \\
32+(-342)-2z&=&0 &|-32 \textcolor{red}{+(-342)}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
32+(-342)-2z&=&0 &|-32 \textcolor{green}{+342}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
-2z&=&\textcolor{red}{-374}&&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-2z&=&\textcolor{green}{310}&&\textnormal{ (korrigiert)}\\
%z&=&187 \\
\end{array}\]
Hier hat sich der Schüler selbst ein Bein gestellt. Das doppelte Vor\-zei\-chen
(Plus vor der Klammer und Minus in der Klammer bei der Zahl 342) hat alles sehr
unübersichtlich gemacht. Sofort \textbf{alle} Klammern auflösen hätte mehr
Klarheit und weniger Feh\-ler\-an\-fäl\-lig\-keit gebracht. Damit sähe die Lösung so aus:

\[\begin{array}{rcll}
(-8) \cdot (-4)+(-57) \cdot 6+(-2) \cdot z&=&0 \\
32-342-2z&=&0 &|-32+342 \\
-2z&=&310&|:(-2) \\
z&=&-105 \\
\end{array}\]

Aus meiner Sicht \textbf{noch übersichtlicher} wäre es allerdings, vor dem
zweiten Schritt noch eine Zusammenfassung der Zahlen 32 und 342 zu machen.
Damit sieht die Lösung so aus:
\[\begin{array}{rcll}
(-8) \cdot (-4)+(-57) \cdot 6+(-2) \cdot z&=&0 \\
32-342-2z&=&0 \\
-310-2z&=&0 &|-310 \\
-2z&=&310&|:(-2) \\
z&=&-105 \\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A63}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L63}{}\fi
\subsection{Aufgabe 63}
\[\begin{array}{rclll}
-1\cfrac{7}{8}+6\cfrac{1}{2}+c&=&-2 &| \textcolor{red}{+4\cfrac{5}{8}}
 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-1\cfrac{7}{8}+6\cfrac{1}{2}+c&=&-2 &| \textcolor{green}{-4\cfrac{5}{8}}
 &\textnormal{ (korrigiert)}\\
c&=&\textcolor{red}{2\cfrac{5}{8}}&&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
c&=&\textcolor{green}{-6\cfrac{5}{8}}&&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Auch hier hat der Schüler sich das Leben selbst erschwert. Im Grunde hat er
lediglich das Addieren mit dem Subtrahieren verwechselt. Weil hier einerseits
mit gemischten Zahlen gerechnt wird, andererseits noch keine Zusammenfassung
erfolgt war, wird die Sache unübersichtlich. (Zudem scheint der Schüler einen
Taschenrechner zu besitzen, der das Verständnis für Brüche verhindert, indem er
klaglos gemischte Zahlen verarbeitet.) \\

Wie lässt sich ein solcher Fehler verhindern? Durch Beachtung dieser Grundregel
zum Auflösen von Gleichungen:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Immer zuerst gleichartige Terme zusammenfassen, dann erst
  die Gleichung umstellen.}}
\end{quote}
Mit Beachtung dieser Regel sähe die Lösung etwa wie folgt aus:
\[\begin{array}{rcll}
-1\cfrac{7}{8}+6\cfrac{1}{2}+c&=&-2 \\
4\cfrac{5}{8}+c&=&-2 &|-4\cfrac{5}{8}\\
c&=&-6\cfrac{5}{8}\\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A64}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{L64}{}\fi
\subsection{Aufgabe 64}
\[\begin{array}{rclll}
-\cfrac{5}{8}+3\cfrac{1}{4}+2\cfrac{5}{8}+d&=&-2
  &| \textcolor{red}{+5\cfrac{1}{4}}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-\cfrac{5}{8}+3\cfrac{1}{4}+2\cfrac{5}{8}+d&=&-2
  &| \textcolor{green}{-5\cfrac{1}{4}}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
d&=& \textcolor{red}{3\cfrac{1}{4}}&&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
d&=& \textcolor{green}{-7\cfrac{1}{4}}&&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Zu dieser Aufgabe gilt exakt das gleiche, wie zur vorangegangenen Aufgabe. Eine
zweckmäßigere weniger fehleranfällige Lösung sähe so aus:
\[\begin{array}{rcll}
-\cfrac{5}{8}+3\cfrac{1}{4}+2\cfrac{5}{8}+d&=&-2\\
5\cfrac{1}{4}+d&=&-2 &|-5\cfrac{1}{4}\\
d&=&-7\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A65}{hier}\fi.
%---------------------------------------
\newpage
\ifpdf \hypertarget{L65}{}\fi
\subsection{Aufgabe 65}
\[\begin{array}{rcll}
3x^2-12x+9&=&0 &|:3 \\
x^2-4x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{1/2}&=&-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\textcolor{red}{-2}^2-3} &\textnormal{(fehlerhaft)}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\textcolor{green}{(-2)}^2-3}&\textnormal{( korrigiert)}\\
\end{array}\]
Der Umgang mit Klammern macht immer wieder Schwierigkeiten.\\

Der nächste Fehler hebt den ersten wieder auf:
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{-2^2-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}-3} &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{\textcolor{green}{-4}-3} &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Es wurde so gerechnet, als ob eine Klammer um die $-2$ gestanden hätte. Die
gibt es aber nicht, auch wenn sie dort hätte stehen müssen.\\

Der Rest der Lösung ist korrekt.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{AB01}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{LB01}{}\fi
\section{Auflösung Fehler in kompletter Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{lrcll}
\textnormal{HB:}& V&=&a \cdot b \cdot h \\
\hline
\textnormal{NB1:}&a+4h&=&\unit[60]{cm}\\
\textnormal{NB2:}&b+8h&=&\unit[30]{cm}\\
\hline
&a&=&\textcolor{red}{\cfrac{\unit[60]{cm}}{4h}} &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
&a&=&\textcolor{green}{\unit[60]{cm}-4h} &\textnormal{ (korrigiert)}\\
&b&=&\textcolor{red}{\cfrac{\unit[30]{cm}}{8h}} &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
&b&=&\textcolor{green}{\unit[30]{cm}-8h} &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Das Gegenteil vom Addieren ist eben nicht das Dividieren. Warscheinlich wären
diese beiden Fehler nicht passiert, wenn in der jeweiligen Vorzeile die
geplante Rechnung hinter einem Kommentarstrich angegeben worden wäre.\\

Nehmen wir nun an, die Rechnung sei bis hierher richtig, treten jetzt weitere
Fehler auf. Die beiden umgestellten Nebenbedingungen werden in die
Hauptbedingung eingesetzt.

\[\begin{array}{lrcll}
&V(h)&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{4h} \cdot \cfrac{\unit[30]{cm}}{8h}\cdot h \\
&V(h)&=&\unit[60]{cm} \cdot \textcolor{red}{4}h^{-1}\cdot \unit[30]{cm}
  \cdot \textcolor{red}{8}h^{-1} \cdot h &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
&V(h)&=&\unit[60]{cm} \cdot \textcolor{green}{\cfrac{1}{4}}h^{-1}\cdot
  \unit[30]{cm}\cdot \textcolor{green}{\cfrac{1}{8}}h^{-1} \cdot h
  &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier hat der Schüler die Brüche als Potenz umschreiben wollen. Im Prinzip ist
das machbar. Er hätte dann aber die Zahlen 4 bzw. 8 \textbf{unter} dem
Bruchstrich lassen müssen. Alternativ hätte er auch Klammern setzen können,
also beispielsweise $(4h)^{-1}$ statt $4h^{-1}$.\\

Viel zweckmäßiger wäre es jedoch gewesen, die 4 bzw. die 8 sofort mit dem Wert
im Zähler zu kürzen, etwa so:
\[\cfrac{\unit[60]{cm}}{4h}=\cfrac{\unit[15]{cm}}{h}
  =\unit[15]{cm} \cdot h^{-1}\]
Es ist nebenbei bemerkt auch nicht zweckmäßig, das $h$ im Nenner sofort als
Potenz zu schreiben. Sinnvollerweise hätte man zunächst alle $h$ in der
Gleichung zusammengefasst. Ein $h$ in einem Nenner hätte man gegen das $h$
hinter den Brüchen kürzen können.\\

Tun wir jetzt wieder so, als ob die letzte Zeile richtig gewesen wäre. So geht
es weiter:
\[\begin{array}{rcll}
V(h)&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-1} \cdot \unit[30]{cm}\cdot 8h^{-1} \cdot h \\
V'(h)&=&-\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h^{-2}
 &\textnormal{ (völlig falsch)}\\
\end{array}\]
Das ging grandios daneben! Will man ein \textbf{Produkt} ableiten, dann muss
man die \textbf{Produktregel} anwenden. Das wird hier besonders umständlich,
weil gleich drei Faktoren als Teilfunktionen vorhanden sind.\\

Sinnvoll wäre es gewesen, zunächst die Produkte zusammenzufassen. Das sähe dann
so aus:
\[\begin{array}{rcll}
V(h)&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-1} \cdot \unit[30]{cm}\cdot 8h^{-1} \cdot h \\
V(h)&=&\unit[57\,600]{cm^2} \cdot h^{-1} \\
\end{array}\]

In dieser Form wäre eine Ableitung wesentlich einfacher zu bilden.\\

Widmen wir uns jetzt wieder dem Lösungsversuch des Schülers. Weitere Fehler
warten auf Entdeckung.\\

Durch Nullsetzen der Ableitung wird ein Extremwert gesucht.
\[\begin{array}{rcll}
V'(h)&=&-\unit[60]{cm} \cdot 4h^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h^{-2}\\
V'(h_E)&=&0 \\
-\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h_E^{-2}&=&0 \\
-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2}
 &\textnormal{ (völlig falsch)}\\
\end{array}\]
Offenbar wollte der Schüler den Term \mbox{$-\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2}$}
auf die andere Seite der Gleichung bringen (auch wenn das nicht zweckmäßig
ist). Hierbei hat er warscheinlich das \textbf{Vor\-zei\-chen vor dem Faktor} für
das \textbf{Rechenzeichen zwischen den Faktoren} gehalten. Addieren ist ja
nicht die gegenteilige Rechenoperation zum Multiplizieren. Eventuell hätte es
hier auch geholfen, in der Vorzeile einen entsprechenden Kommentar hinter einen
Kommentarstrich zu setzen.\\

An dieser Stelle wäre es viel sinnvoller gewesen, das Produkt jetzt endlich
einmal auszumultiplizieren und zusammenzufassen, bevor andere Schritte gemacht
werden. (Das Zusammenfassen wird nebenbei bemerkt ziemlich oft übersehen.) Die
Zusammenfassung hätte dann so ausgesehen:
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2} \cdot (-\unit[30]{cm}) \cdot 8h_E^{-2}&=&0 \\
\unit[57\,600]{cm^2} \cdot h^{-4}&=&0 \\
\end{array}\]

Widmen wir uns nun wieder der weiteren Lösung.
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2}\\
\cfrac{-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}}{4h_E^{-2}}&=&\unit[60]{cm}\\
\cfrac{-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}{4h_E}&=&\unit[60]{cm}\\
\end{array}\]
Was hier passiert ist, ist wohl eher zufällig richtig. Über das, was sich der
Schüler dabei gedacht hat, kann man nur spekulieren. Der Reihe nach:\\

Im ersten Schritt wurde durch \mbox{$4h_E^{-2}$} dividiert. Das kann man
machen. Sinnvollerweise hätte man dabei gleich auf der linken Seiten diesen
Term \mbox{$4h_E^{-2}$} gekürzt. Das hätte dann so ausgesehen:\\
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E^{-2}&=&\unit[60]{cm} \cdot 4h_E^{-2} &|:(4h_E^{-2})\\
-\unit[60]{cm}&=&\unit[60]{cm}\\
\end{array}\]
Das ist zwar eine falsche Aussage, aber das ergäbe sich so aus der Vorzeile.\\

Ok, der Schüler hat nun nicht gekürzt. Was aber macht er im nächsten Schritt?
Kürzt er mit $h_E^{-2}$ und erweitert sofort wieder mit $h_E$? Das, was er
gemacht hat, läuft darauf hinaus. Was sich hier stellt, ist die Sinnfrage nach
dieser Operation. Sie ist -- wie schon gesagt -- tatsächlich richtig, nur
absolut sinnlos.\\

Schaun wir mal, was weiter passiert.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}{4h_E}&=&\unit[60]{cm}\\
\textcolor{red}{h_E}&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}
 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
\textcolor{green}{\cfrac{1}{4h_E}}&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}
  {\textcolor{green}{-}\unit[30]{cm} \cdot 8h_E} &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier wurde -- wenn auch nicht zielführend -- durch
$(-\unit[30]{cm} \cdot 8h_E)$ dividiert. Dabei ging rechts das Mi\-nus\-zei\-chen
verloren. Gravierender ist der Fehler auf der linken Seite. Dividiert man einen
Bruch durch seinen \textbf{Zähler}, dann bleibt nicht einfach nur der Nenner
übrig. Nein, der Zähler wird zu 1 und der Nenner bleibt \textbf{unter dem
Bruchstrich}! Auch dies ist ein Fehler, der recht häufig gemacht wird.\\

Sehen wir nun, wie der Lösungsversuch weitergeht.
\[\begin{array}{rcll}
h_E&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{\unit[30]{cm} \cdot 8h_E}\\
4h_E \cdot 8h_E&=&\cfrac{\unit[60]{cm}}{\unit[30]{cm}}\\
32\textcolor{red}{h_E}&=&\textcolor{red}{\unit[2]{cm}}
 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
32\textcolor{green}{h_E^{2}}&=&\textcolor{green}{2}
 &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier wurden gleich zwei Fehler gemacht. Links wurde nicht beachtet:
\mbox{$h_E \cdot h_E=h_E^2$}! Auf der rechten Seite wurde übersehen, dass sich
Zentimeter im Zähler gegen Zentimeter im Nenner wegkürzt.\\

Auch wenn wir schon fast am Ende sind -- ein weiterer Fehler kommt noch.
\[\begin{array}{rcll}
32h_E&=&\unit[2]{cm}\\
h_E&=&\textcolor{red}{0{,}0625} &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
h_E&=&\textcolor{green}{\unit[0{,}0625]{cm}} &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]

Hier wurde beim Dividieren durch 32 die Einheit vergessen.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{AB02}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{LB02}{}\fi
\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2x+3}{x-4}-2&=&\cfrac{3c-4}{x-4} &| \cdot (x-4) \\
(2x+3)-(2) \cdot (x-4)&=&(3x-4) \\
2x+3-(2x-8)&=&3x-4 \\
2x+3-2x+8&=&3x-4 \\
\textcolor{red}{x+}11&=&3x-4&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
11&=&3x-4&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
In der zweiten Zeile sind einige überflüssige Klammern -- aber hier liegt nicht
das Pro\-blem. Vermutet wird: \mbox{$2x-2x=x$}! Ein solcher Fehler passiert immer
mal wieder. Vermutlich spielt sich im Kopf des Schülers folgendes ab:\\

Er rechnet: \mbox{$2-2=0$} (was ja richtig ist). Dann sind für ihn die Zahlen
weg und übrig bleibt das $x$ ohne Zahl. Dass das ja eigentlich $1x$ bedeutet,
ist ihm nicht klar.\\

Die restliche Lösung ist richtig.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{A67}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\newpage
\ifpdf \hypertarget{LB03}{}\fi
\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{3x-7}{2x-8}-\cfrac{8-x}{3x-12}+\cfrac{3x-23}{16-4x}
  =\cfrac{5x-7}{6x-24}\]

\underline{Nenneranalyse:}
\[\begin{array}{rcl|l}
2x-8&=&2 \cdot (x-2^2)   & \textnormal{EF}=3 \cdot (-4) \cdot 6
  =\textcolor{red}{-76} \quad \textnormal{ (fehlerhaft)}\\
3x-12&=&3 \cdot (x-2^2)  & \textnormal{EF}=2 \cdot (-4)  \cdot 6=-48 \\
-4x+16&=&(-4) \cdot (+x-2^2)& \textnormal{EF}=2 \cdot 3 \cdot 6=36 \\
6x-24&=&6 \cdot (x-2^2)  & \textnormal{EF}=2 \cdot 3 \cdot (-4)=-24 \\
\hline
\textnormal{HN}&=&2 \cdot 3 \cdot (-4) \cdot 6 \cdot (x-2^2) &
D= \mathbb{R}\setminus \{4 \}
\end{array}\]

Die Nenneranalyse ist im Prinzip richtig durchgeführt worden, jedoch wurde der
erste Erweiterungsfaktor falsch ausmultipliziert. Er muss heißen:
\[\textnormal{EF}=3 \cdot (-4) \cdot 6=\textcolor{green}{-72}\]

\underline{Anmerkung:} Die Primfaktorzerlegung ist noch unvollständig. Man
könnte die $(-4)$ noch in $(-2^2)$ und die 6 in $2 \cdot 3$ zerlegen. Der
Hauptnenner und die Zahlen in den Erweiterungsfaktoren wären dann nicht so groß
geworden. Andererseits war die Zerlegung der 4 in $2^2$ im Term
\mbox{$(x-2^2)$} nicht sinnvoll. Im Prinzip ist das aber auch in dieser Form
richtig.\\

Es gibt noch weitere Fehler:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{3x-7}{2x-8}-\cfrac{8-x}{3x-12}+\cfrac{3x-23}{16-4x}
  &=&\cfrac{5x-7}{6x-24} &| \cdot \textnormal{HN}\\
(3x-7) \cdot (-76)-(8-x)(-48)+(3x-23) \cdot 36&=&(5x-7) \cdot (-24) \\
-228x+532+384-48x+108x-828&=&-120x+168 \\
-168x+88&=&\textcolor{red}{-120}+168 &\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-168x+88&=&\textcolor{green}{-120x}+168 &\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Alle Klippen bei den Klammern hat der Schüler gemeistert, dann macht er einen
Flüch\-tig\-keits\-feh\-ler und vergisst ein $x$. Ärgerlich.\\

Es kommen jetzt aber noch mehr Fehler.
\[\begin{array}{rcll}
-168x+88&=&-120+168 &|+120x-88 \\
-48x&=&\textcolor{red}{80}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
-48x&=&\textcolor{green}{120x-40}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Hier hat der Schüler das $x$ hinter der 120 noch gesehen, obwohl es nicht mehr
da war! Sein Kommentar legt das nahe. Ansonsten wäre es nicht sinnvoll, $120x$
zu addieren. Dieser Fehler hebt somit den letzten Fehler wieder auf.\\

Einen weiteren Fehler gibt es aber noch zu entdecken:
\[\begin{array}{rcll}
-48x&=&80 &|:(-48) \\
x&=&\textcolor{red}{\cfrac{48}{80}}&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
x&=&\textcolor{green}{-\cfrac{80}{48}}&\textnormal{ (korrigiert)}\\
\end{array}\]
Der Kehrwert und das vergessene Mi\-nus\-zei\-chen sind vermutlich
Flüch\-tig\-keits\-feh\-ler.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{AB04}{hier}\fi.
%---------------------------------------

\ifpdf \hypertarget{LB04}{}\fi
\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
(2\b x+j3) \cdot (3\b x-4)-9-j11&=&(3\b x+j2) \cdot (2\b x-5)+2+j16 \\
(2\b x+j3) \cdot (3\b x-4)-11&=&(3\b x+j2) \cdot (2\b x-5)+j27 \\
(6\b x^2-8\b x \textcolor{red}{+j8\b x}-j12)-11&=&(6\b x^2-15\b x
  \textcolor{red}{+j10}+j4\b x)+j27&\textnormal{ (fehlerhaft)}\\
(6\b x^2-8\b x\textcolor{green}{+j9\b x}-j12)-11&=&(6\b x^2-15\b x
  \textcolor{green}{-j10}+j4\b x)+j27&\textnormal{ (korrigirt)}\\
\end{array}\]
Das waren einfache Rechenfehler bzw. Vor\-zei\-chen\-feh\-ler.\\

Der nächste Fehler ist eine ganz andere Kategorie:
\[\begin{array}{rcll}
(6\b x^2-8\b x+j8\b x-j12)-11&=&(6\b x^2-15\b x+j10+j4\b x)+j27 \\
\textcolor{red}{(-66\b x^2+88\b x-j\b x99+j152)}
  &=&\textcolor{red}{(162j\b x^2-405j\b x+j270+j^2 108\b x)}
  &\textnormal{ (völlig falsch)} \\
\textcolor{green}{6\b x^2-8\b x+j8\b x-j12-11}
  &=&\textcolor{green}{6\b x^2-15\b x+j10+j4\b x+j27}
  &\textnormal{ (korrigiert)} \\
\end{array}\]
Hier wurde offenbar multipliziert, anstatt zu addieren oder zu subtrahieren.
Mög\-li\-cher\-wei\-se haben die Klammern, die man ja einfach weglassen kann, den
Schüler zu dieser Idee verleitet.\\

Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{AB05}{hier}\fi.
%---------------------------------------

%\newpage
\ifpdf \hypertarget{LB05}{}\fi
\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4\b x-17-j6}{6\b x-12}&=&\cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5}
  &|-\left( \cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5} \right) \\
\textcolor{red}{\cfrac{4\b x-17-j6-2\b x+2+j3}{6\b x-12-3\b x+j5}}&=&0 \\
\textcolor{green}{\cfrac{4\b x-17-j6}{6\b x-12}-\cfrac{2\b x-2-j3}{3\b x-j5}}
  &=&0 \\
\end{array}\]
Hier hat wieder ein Schüler neue Bruchrechenregeln erfunden.\footnote{Infos und
Übungen zu den Bruchrechenregeln siehe auch hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruch.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruch.pdf}\fi} Er addiert bei
ungleichnamigen Brüchen Zähler zu Zähler und Nenner zu Nenner.\\

%Zur nächsten Aufgabe geht es \ifpdf \hyperlink{AB06}{hier}\fi.
%---------------------------------------
\newpage

\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\hyperlink{label}{Text}
%\hypertarget{label}{Text}
