\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Umrechnen von Einheiten}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage


\section{Prinzip der Vorsatzeinheiten}
In der Technik hat es sich als zweckmäßig herausgestellt, nicht immer in
\textbf{Grundeinheiten} zu rechnen, sondern diese mit
\textbf{Vorsatzeinheiten} zu koppeln. Beispielsweise verwendet man bei der
Angabe der Entfernung zwischen zwei Städten nicht die Einheit \emph{Meter},
sondern \emph{Kilometer}. Die Angabe: \mbox{$\unit[25\,000]{m}$} anstelle von
\mbox{$\unit[25]{km}$} für die Entfernung zwischen Lüdenscheid und Plettenberg
wäre sehr unhandlich. Den Durchmesser einer kleinen Schraube dagegen gibt
man in \emph{Millimetern} an, etwa \mbox{$\unit[6]{mm}$} anstatt
\mbox{$\unit[0{,}006]{m}$}.\\

"`Kilo"' und "`Milli"' sind typische Vertreter der Vorsatzeinheiten.
Vorsatzeinheiten bewirken, dass der angegebene Zahlenwert mit einem bestimmten
Faktor multipliziert wird, damit man die Größe in der Grundeinheit erhält.
So sind \mbox{$\unit[5]{kg}=\unit[5\,000]{g}$} und
\mbox{$\unit[5]{km}=\unit[5\,000]{m}$}. Andersherum sind
\mbox{$\unit[5]{mm}=\unit[0{,}005]{m}$} oder
\mbox{$\unit[5]{mg}=\unit[0{,}005]{g}$}.\\

\section{Vorsatzeinheitentabelle}
Nachfolgend ist eine Tabelle mit den gängigsten Vorsatzeinheiten dargestellt.
\footnote{In der Tabelle sind auch Zehnerpotenzen eingetragen. Was das ist, ist
\ifpdf \hyperlink{potenz}{hier}\fi{} nachzulesen.}
Die Vorsatzeinheiten können mit jeder beliebigen Grundeinheit kombiniert
werden. Ein Beispiel:\\
Die Vorsatzeinheit \emph{Kilo} mit dem Zeichen \textbf{k} bedeutet 1\,000.
Entsprechend bedeutet:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{kg}&=&\unit[1\,000]{g}\\
\unit[1]{km}&=&\unit[1\,000]{m}\\
\unit[1]{kN}&=&\unit[1\,000]{N}\\
\unit[1]{k \Omega}&=&\unit[1\,000]{\Omega}\\
\unit[1]{kW}&=&\unit[1\,000]{W}\\
\unit[1]{kV}&=&\unit[1\,000]{V}\\
\unit[1]{kA}&=&\unit[1\,000]{A}\\
\end{array}\]

\underline{Anmerkung:} Im Prinzip ist es möglich, \textbf{jede} Vorsatzeinheit
mit \textbf{jeder} Grundeinheit zu kombinieren. Es gibt jedoch einige
Kombinationen, die \textbf{nicht üblich} sind. Beispielsweise gibt es keine
Kilosekunde und keine Megasekunde, weil für größere Einheiten normalerweise die
Minute, die Stunde usw. verwendet wird. Auch wird die Vorsatzeinheit
\emph{Zenti} mit dem Zeichen \textbf{c} eigentlich nur bei Zentimeter und
Zentiliter verwendet.

\newpage
\begin{center}
\emph{\underline{Tabelle der Vorsatzeinheiten:}} \\
\vspace{3mm}
\begin{tabular}{|c|c|r|l|}
\hline
\begin{sideways}Name der Vorsatzeiheit \end{sideways} &
\begin{sideways}Vorsatzeiheit \end{sideways} &
\begin{sideways}Faktor \end{sideways} &
\begin{sideways}Zehnerpotenz \end{sideways}\\
\hline
Peta & P & 1\,000\,000\,000\,000\,000 & $10^{15}$ \\
Tera & T & 1\,000\,000\,000\,000 & $10^{12}$ \\
Giga & G & 1\,000\,000\,000 & $10^9$ \\
Mega & M & 1\,000\,000 & $10^6$ \\
Kilo & k & 1\,000 & $10^3$ \\
Hekto& h & 100    & $10^2$ \\
Deka & da & 10    & $10^1$ \\
-    & - & 1      & $10^0$ \\
Dezi & d & 0{,}1    & $10^{-1}$\\
Zenti & c & 0{,}01  & $10^{-2}$\\
Milli & m & 0{,}001 & $10^{-3}$\\
Mikro &$µ$& 0{,}000\,001 & $10^{-6}$\\
Nano  & n & 0{,}000\,000\,001 & $10^{-9}$\\
Pico  & p & 0{,}000\,000\,000\,001 & $10^{-12}$\\
Femto & f & 0{,}000\,000\,000\,000\,001 & $10^{-15}$\\
Atto  & a & 0{,}000\,000\,000\,000\,000\,001 & $10^{-18}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Umwandlung linearer Maße}
Unter \emph{linearen Maßen} versteht man Maße, die ohne Quadrate oder dritte
Potenz gebildet werden. \textbf{Meter} ist beispielsweise ein lineares Maß,
nicht aber Quadratmeter oder Kubikmeter.

\subsection{Umwandlung Grundeinheit in zusammengesetzte Einheit}
Grundsätzlich besteht kein Unterschied, um welche Einheiten es sich handelt, es
kommt nur auf die \textbf{Vorsatzeinheit} an. Wenn also \emph{Meter in
Kilometer} umgewandelt werden sollen, ist die Vorgehensweise exakt genauso, wie
wenn \emph{Gramm in Kilogramm}, \emph{Ohm in Kiloohm} oder \emph{Newton in
Kilonewton} umgewandelt werden soll. Jedes Mal wird die Grundeinheit in
Kilo-Grundeinheit umgewandelt. Als Grundeinheit möchte ich für das
Einführungsbeispiel \textbf{Meter} verwenden.\\

\emph{Wie rechnet man \textbf{Meter} in \textbf{Kilometer}, \textbf{Millimeter}
oder \textbf{Mikrometer} um?}
\subsubsection{Umrechnen in eine größere Einheit}

Bekannt ist:
\[\unit[1\,000]{m}=\unit[1]{km}\]
Rechne ich von \textbf{Meter} in \textbf{Kilometer} um, muss ich also durch
1\,000 dividieren. Hier ein paar Beispiele dazu:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[8\,345{,}7]{m}&=&\unit[8{,}345\,7]{km}\\
\unit[500\,000]{m}&=&\unit[500]{km}\\
\unit[375{,}5]{m}&=&\unit[0{,}375\,5]{km}\\
\unit[100]{m}&=&\unit[0{,}1]{km}\\
\end{array}\]
Schaut man sich diese Beispiele genauer an, dann erkennt man, dass die Division
durch 1\,000 am einfachsten durch eine Kommaverschiebung nach links realisiert
werden kann -- jedenfalls dann, wenn ein Komma vorhanden ist. Ist keins
vorhanden, dann steht es sozusagen "`unsichtbar"' \textbf{hinter} der letzten
Ziffer der Zahl und kann bei Bedarf provisorisch ergänzt werden. Im
Eingangsbeispiel sieht das dann so aus:
\[\unit[1\,000]{m}=\unit[1\,000\textcolor{red}{,}]{m}
  =\unit[1\textcolor{red}{{,}000}]{km}=\unit[1]{km}\]
Das Beispiel zeigt, dass Nullen, die nach der Umrechnung noch am Zahlenende
hinter dem Komma stehen, auch weggelassen werden können.\\

Ein weiteres Problem tritt auf, wenn weniger Stellen vorhanden sind als die, um
die das Komma verschoben werden soll. Auch dazu ein Beispiel.
\[\unit[25{,}5]{m}=\unit[?]{km}\]
In diesem Fall ergänzt man zunächst einige Nullen \textbf{vor} der ersten
Ziffer der Zahl. Es schadet dabei nichts, wenn man zunächst zu viele Nullen
ergänzt hat. Nach der Verschiebung des Komma streicht man dann die überzähligen
Nullen einfach wirder weg. Im Beispiel sieht das dann so aus:
\[\unit[25{,}5]{m}=\unit[\textcolor{red}{000}25{,}5]{m}
 =\unit[\textcolor{red}{0}0{,}0255]{km}=\unit[0{,}0255]{km}\]

\emph{Wie geht man bei anderen Vorsatzeinheiten vor?}\\

Das Grundprinzip ist das gleiche wie bei der Vorsatzeinheit \emph{Kilo}, jedoch
muss das Komma um eine andere Zahl als 3 verschoben werden. Man schaut einfach
in der Vorzeichentabelle nach dem Exponenten der zugehörigen Zehnerpotenz. (Für
die Beispiele verwende ich hier nicht das Meter als Grundeinheit, da Einheiten
wie \textbf{Megameter} oder \textbf{Gigameter} absolut unüblich sind.) Sehen
wir uns dazu ein paar Beispiele an.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[3\,500\,000]{Hz}&=&\unit[?]{MHz}\\ \\
\unit[3\,500\,000]{Hz}&=&\unit[3\,500\,000\textcolor{red}{,}]{Hz}\\
&=&\unit[3{,}5\textcolor{red}{00\,000}]{MHz}\\
&=&\unit[3{,}5]{MHz}\\
\end{array}\]
Hier lautet die Vorsatzeinheit \emph{Mega}, was laut Vorzeichentabelle $10^6$
bedeutet. Daher wurde hier das Komma um \textbf{6} Stellen nach links
verschoben.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[500]{l}&=&\unit[?]{hl}\\ \\
\unit[500]{l}&=&\unit[500\textcolor{red}{,}]{l}\\
&=&\unit[5\textcolor{red}{{,}00}]{hl}\\
&=&\unit[5]{hl}\\
\end{array}\]
Hier steht $h$ für \emph{hekto}, was \mbox{$100=10^2$} bedeutet. Das Komma
wanderte demnach um \textbf{2} Stellen nach links.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[36\,500]{W}&=&\unit[?]{GW}\\ \\
\unit[36\,500]{W}&=&\unit[36\,500\textcolor{red}{,}]{W}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,000\,0}36\,500\textcolor{red}{,}]{W}\\
&=&\unit[0{,}000\,036\,5\textcolor{red}{00}]{GW}\\
&=&\unit[0{,}000\,036\,5]{GW}\\
\end{array}\]
Ein Gigawatt ist eine sehr große Einheit, nämlich $10^9$ Watt. Das Komma musste
daher um \textbf{9} Stellen nach links verschoben werden.

\subsubsection{Umrechnen in eine kleinere Einheit}
Wandelt man eine Grundeinheit in eine kleinere Einheit um, dann ist die
Vorgehensweise genau so, wie beim Umwandeln in eine große Einheit. Hierbei wird
das Komma jedoch nicht nach links, sondern nach \textbf{rechts} geschoben. Es
folgen ein paar Beispiele.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[2{,}5]{m}&=&\unit[?]{cm}\\ \\
\unit[2{,}5]{m}&=&\unit[2{,}5\textcolor{red}{00}]{m}\\
&=&\unit[250\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
&=&\unit[250]{cm}\\
\end{array}\]
Das $c$ steht für \emph{Zenti}, laut Tabelle $10^{-2}$. Auch hier gibt der
Exponent -- also die \textbf{2} -- an, um wieviele Stellen das Komma verschoben
werden muss. Das Minuszeichen sagt uns, dass hier nicht nach links, sondern
nach \textbf{rechts} verschoben wird. Da in unserem Beispiel nicht ausreichend
viele Stellen hinter dem Komma vorhanden waren, haben wir zuvor ein paar Nullen
hinten angehängt. Nachdem die Verschiebung durchgeführt worden ist, können die
überzähligen Nullen am Ende sowie ein eventuelles abschließendes Komma wieder
weggelassen werden.\\

Es folgt das nächste Beispiel.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}5]{m}&=&\unit[?]{mm}\\ \\
\unit[0{,}5]{m}&=&\unit[0{,}5\textcolor{red}{00\,00}]{m}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}\,500\textcolor{red}{{,}00}]{mm}\\
&=&\unit[500]{mm}\\
\end{array}\]
Die Vorsatzeinheit $m$ für \emph{Milli} bedeutet $10^{-3}$. Das Komma muss also
um \textbf{3} Einheiten nach \textbf{rechts} verschoben werden. Da so viele
Stellen nicht vorhanden sind, wurden zunächst einige Nullen angehängt und
danach das Komma beim Umwandeln nach rechts verschoben. Wie viele Nullen man
anhängt, ist eigentlich gleichgültig, Hauptsache, es sind ausreichend viele.
Zum Schluss können überzählige Nullen sowie das nun überflüssige Komma genau
so, wie auch die führenden Nullen vorn wieder entfernt werden.\\

Hier kommen noch zwei weitere Beispiele.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}000\,357\,9]{m}&=&\unit[?]{µm}\\ \\
\unit[0{,}000\,357\,9]{m}&=&\unit[\textcolor{red}{0\,000}\,357{,}9]{µm}\\
&=&\unit[357{,}9]{µm}\\
\end{array}\]
Das $µ$ steht für \emph{Mikro}, also $10^{-6}$. Das Komma muss \textbf{6}
Stellen nach rechts.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}025]{s}&=&\unit[?]{ns}\\ \\
\unit[0{,}025]{s}&=&\unit[0{,}025\textcolor{red}{\,000\,000}]{s}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}25\,000\,000\textcolor{red}{,}]{ns}\\
&=&\unit[25\,000\,000]{ns}\\
\end{array}\]
Eine Nanosekunde sind $10^{-9}$ Sekunden. Das Komma muss demnach um \textbf{9}
Stellen nach rechts.

\subsection{Umwandlung zusammengesetzte Einheit in Grundeinheit}
Das Umwandeln einer beliebigen Größe mit Vorsatzeinheit in die Grundeinheit ist
nicht schwieriger, als das eben Gezeigte. Einziger Unterschied: Das Komma
wandert in die andere Richtung. Ein paar Beispiele sollen zur Verdeutlichung
genügen.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[135]{mm}&=&\unit[?]{m}\\ \\
\unit[135]{mm}&=&\unit[\textcolor{red}{000}\,135\textcolor{red}{,}]{mm}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{00}0{,}135]{m}\\
&=&\unit[0{,}135]{m}\\
\end{array}\]
Das $m$ für \emph{Milli} steht für $10^{-3}$. Das Komma muss also um \textbf{3}
Stellen wandern, und zwar nach \textbf{links}. Dazu setzen wir es zunächst
hinter die Zahl, weil ja noch kein Komma da ist. Außerdem schreiben wir
vorsorglich noch ein paar Nullen \textbf{vor} die Zahl. Danach kann das Komma
um drei Stellen nach links rücken. Anschließend können die überzähligen Nullen
vor der Zahl wieder entfernt werden.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[2{,}4]{km}&=&\unit[?]{m}\\ \\
\unit[2{,}4]{km}&=&\unit[2{,}4\textcolor{red}{00\,0}]{km}\\
&=&\unit[2\,400\textcolor{red}{{,}0}]{m}\\
&=&\unit[2\,400]{m}\\
\end{array}\]
Zunächst kommen ein paar "`Reservenullen"' hintendran, dann wird das Komma
um \textbf{3} Stellen nach \textbf{rechts} verschoben (wegen $k$ für $10^3$)
und zum Schluss wird alles Überflüssige am Ende wieder entfernt.

\[\begin{array}{rcll}
\unit[30\,000]{µs}&=&\unit[?]{s}\\ \\
\unit[30\,000]{µs}
&=&\unit[\textcolor{red}{00\,0}30\,000\textcolor{red}{,}]{µs}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}0{,}03\textcolor{red}{0\,000}]{s}\\
&=&\unit[0{,}03]{s}\\
\end{array}\]
Auch hier kommen ein paar "`Reservenullen"' dazu (lieber eine zu viel als eine
zu wenig), hier jedoch an den Anfang, denn das (virtuelle) Komma wird von ganz
hinten um \textbf{6} Stellen nach \textbf{links} verschoben (wegen $µ$ für
$10^{-6}$). Überzählige Nullen vorn und hinten werden am Schluss wieder
entfernt.

\subsection{Beliebige Umwandlungen}
Nachdem bisher immer eine Grundeinheit dabei war möchte ich jetzt darstellen,
wie man auch von einer Vorsatzeinheit in eine ander Vorsatzeinheit umwandeln
kann. Dazu geht man sinnvollerweise in zwei Schritten vor:
\begin{enumerate}
\item Man bildet die \textbf{Differenz der beteiligten Exponenten}. Das ergibt
  (als Betrag) die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben werden muss.
\item Die Verschieberichtung bestimmt man über den Merksatz:
\begin{quote}
  \textbf{Wird die Einheit größer, dann muss die Zahl kleiner werden.}
\end{quote}
\end{enumerate}
\paragraph{Beispiel 1:}
\[\unit[25]{mm}=\unit[?]{cm}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{mm}&=&\unit[10^{-3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-3 \\
\unit[1]{cm}&=&\unit[10^{-2}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-2 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } -3-(-2)=-1\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{eine} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{cm}$ ist \textbf{mehr} als $\unit[1]{mm}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{kleiner} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{links} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[25]{mm}&=&\unit[25\textcolor{red}{,}]{mm}\\
&=&\unit[2{,}5]{cm}\\
\end{array}\]

Durch das Beispiel sollte die Vorgehensweise deutlich geworden sein.

\paragraph{Beispiel 2:}
\[ \unit[25\,000]{cm}=\unit[?]{km}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{cm}&=&\unit[10^{-2}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-2 \\
\unit[1]{km}&=&\unit[10^{3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 3-(-2)=5\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{5} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{km}$ ist \textbf{mehr} als $\unit[1]{cm}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{kleiner} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{links} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[25\,000]{cm}&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}25\,000\textcolor{red}{,}]{cm}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0}0{,}25\textcolor{red}{0\,00}]{km}\\
&=&\unit[0{,}25]{km}\\
\end{array}\]

\paragraph{Beispiel 3:}
\[ \unit[0{,}054]{kV}=\unit[?]{mV}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{kV}&=&\unit[10^{3}]{V}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\unit[1]{mV}&=&\unit[10^{-3}]{m}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }-3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 3-(-3)=6\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{6} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{mV}$ ist \textbf{weniger} als $\unit[1]{kV}$. Darum muss die Zahl zum
Ausgleich \textbf{größer} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{rechts} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[0{,}054]{kV}&=&\unit[0{,}054\textcolor{red}{\,000}]{kV}\\
&=&\unit[\textcolor{red}{0\,0}54\textcolor{red}{\,000,}]{mV}\\
&=&\unit[54\,000]{mV}\\
\end{array}\]

\paragraph{Beispiel 4:}
\[ \unit[14{,}2]{MHz}=\unit[?]{kHz}\]

\underline{\textbf{Schritt 1:}}
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{MHz}&=&\unit[10^{6}]{Hz}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }6 \\
\unit[1]{kHz}&=&\unit[10^{3}]{Hz}& \Rightarrow &\textnormal{Exponent: }3 \\
\end{array}\]
\[ \textnormal{Differenz: } 6-3=3\]
\[ \Rightarrow \textnormal{ Das Komma muss um \textbf{3} Stelle wandern.}\]

\underline{\textbf{Schritt 2:}}\\
$\unit[1]{kHz}$ ist \textbf{weniger} als $\unit[1]{MHz}$. Darum muss die Zahl
zum Ausgleich \textbf{größer} werden. Das wird sie, wenn das Komma nach
\textbf{rechts} geht.\\

\[\begin{array}{rcll}
\unit[14{,}1]{MHz}&=&\unit[14{,}1\textcolor{red}{00\,0}]{MHz}\\
&=&\unit[14\,100\textcolor{red}{{,}0}]{kHz}\\
&=&\unit[14\,100]{kHz}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
Wandeln Sie die Größen in die vorgegebenen Einheiten um! Die Lösungen finden
Sie auf den nächsten Seiten. \enlargethispage{15mm}

\[\begin{array}{p{10mm}rcp{28mm}l}
(1) & \unit[5{,}5]{cm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(2) & \unit[3{,}25]{mm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(3) & \unit[8\,450]{µm}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(4) & \unit[345{,}5]{km}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(5) & \unit[50]{ml}&=&&\textnormal{l}\\ \\
(6) & \unit[50]{hl}&=&&\textnormal{l}\\ \\
(7) & \unit[0{,}03]{MW}&=&&\textnormal{W}\\ \\
(8) & \unit[11]{GHz}&=&&\textnormal{Hz}\\ \\
(9) & \unit[270]{pF}&=&&\textnormal{F}\\ \\
(10)& \unit[4]{m}&=&&\textnormal{dm}\\ \\
(11)& \unit[60]{g}&=&&\textnormal{mg}\\ \\
(12)& \unit[0{,}034\,45]{s}&=&&µ\textnormal{s}\\ \\
(13)& \unit[120]{m}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
(14)& \unit[45]{cm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(15)& \unit[7{,}2]{cm}&=&&µ\textnormal{m}\\ \\
(16)& \unit[380]{mm}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(17)& \unit[77]{µm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(18)& \unit[0{,}08]{km}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
(19)& \unit[240]{mg}&=&&\textnormal{kg}\\ \\
(20)& \unit[0{,}95]{GW}&=&&\textnormal{kW}\\ \\
\end{array}\]

\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[5{,}5]{cm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{00}5{,}5]{cm}\\
  &&=& \unit[0{,}055]{m}\\ \\
(2) & \unit[3{,}25]{mm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,00}3{,}25]{mm}\\
  &&=& \unit[0{,}003\,25]{m}\\ \\
(3) & \unit[8\,450]{µm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,00}8\,450 \textcolor{red}{,}]{µm}\\
  &&=& \unit[0{,}008\,45\textcolor{red}{0}]{m}\\
  &&=& \unit[0{,}008\,45]{m}\\ \\
(4) & \unit[345{,}5]{km}
  &=& \unit[345{,}5\textcolor{red}{00\,0}]{km}\\
  &&=& \unit[345\,500\textcolor{red}{{,}0}]{m}\\
  &&=& \unit[345\,500]{m}\\ \\
(5) & \unit[50]{ml}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}50 \textcolor{red}{,}]{ml}\\
  &&=& \unit[0{,}05\textcolor{red}{0}]{l}\\
  &&=& \unit[0{,}05]{l}\\ \\
(6) & \unit[50]{hl}
  &=& \unit[50 \textcolor{red}{{,}000}]{hl}\\
  &&=& \unit[5\,000\textcolor{red}{{,}0}]{l}\\
  &&=& \unit[5\,000]{l}\\ \\
(7) & \unit[0{,}03]{MW}
  &=& \unit[0{,}03\textcolor{red}{0\,000}]{MW}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}30\,000\textcolor{red}{,}]{W}\\
  &&=& \unit[30\,000]{W}\\ \\
(8) & \unit[11]{GHz}
  &=& \unit[11\textcolor{red}{{,}000\,000\,000}]{GHz}\\
  &&=& \unit[11\,000\,000\,000\textcolor{red}{,}]{Hz}\\
  &&=& \unit[11\,000\,000\,000]{Hz}\\ \\
(9) & \unit[270]{pF}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,000\,000\,}270 \textcolor{red}{{,}}]{pF}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,000\,000\,27\textcolor{red}{0}]{F}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,000\,000\,27]{F}\\ \\
(10)& \unit[4]{m}
  &=& \unit[4\textcolor{red}{{,}00}]{m}\\
  &&=& \unit[40\textcolor{red}{{,}0}]{dm}\\
  &&=& \unit[40]{dm}\\ \\
(11)& \unit[60]{g}
  &=& \unit[60\textcolor{red}{{,}000}]{g}\\
  &&=& \unit[60\,000\textcolor{red}{{,}}]{mg}\\
  &&=& \unit[60\,000]{mg}\\ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(12)& \unit[0{,}034\,45]{s}
  &=& \unit[0{,}034\,45\textcolor{red}{0\,0}]{s}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}34\,450\textcolor{red}{{,}0}]{µs}\\
  &&=& \unit[34\,450]{µs}\\ \\
(13)& \unit[120]{m}
  &=& \unit[120\textcolor{red}{{,}000}]{m}\\
  &&=& \unit[12\,000\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
  &&=& \unit[12\,000]{cm}\\ \\
(14)& \unit[45]{cm}
  &=& \unit[45\textcolor{red}{{,}00}]{cm}\\
  &&=& \unit[450\textcolor{red}{{,}0}]{mm}\\
  &&=& \unit[450]{mm}\\ \\
(15)& \unit[7{,}2]{cm}
  &=& \unit[7{,}2\textcolor{red}{00\,00}]{cm}\\
  &&=& \unit[72\,000\textcolor{red}{{,}0}]{µm}\\
  &&=& \unit[72\,000]{µm}\\ \\
(16)& \unit[380]{mm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,}380\textcolor{red}{,}]{mm}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,38\textcolor{red}{0}]{km}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,38]{km}\\ \\
(17)& \unit[77]{µm}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,0}77 \textcolor{red}{,}]{µm}\\
  &&=& \unit[0{,}077]{mm}\\ \\
(18)& \unit[0{,}08]{km}
  &=& \unit[0{,}08\textcolor{red}{0\,000}]{km}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{00}8\,000\textcolor{red}{{,}0}]{cm}\\
  &&=& \unit[8\,000]{cm}\\ \\
(19)& \unit[240]{mg}
  &=& \unit[\textcolor{red}{0\,000\,}240 \textcolor{red}{{,}}]{mg}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,24\textcolor{red}{0}]{kg}\\
  &&=& \unit[0{,}000\,24]{kg}\\ \\
(20)& \unit[0{,}95]{GW}
  &=& \unit[0{,}95\textcolor{red}{0\,000}]{GW}\\
  &&=& \unit[\textcolor{red}{0\,}950\,000\textcolor{red}{,}]{kW}\\
  &&=& \unit[950\,000]{kW}\\ \\
\end{array}\]

\newpage
\section{Umrechnen mit Zehnerpotenzen}
\subsection{Allgemeine Grundlagen}
\ifpdf \hypertarget{potenz}{\emph{Was ist eine \textbf{Potenz}?}\\}\fi
Eine Potenz ist eine vereinfachte Schreibweise für eine mehrfache
Multiplikation.\footnote{Weitergehende Informationen dazu kann man hier
nachlesen:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/potenz.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/potenz.pdf}\fi
} Die Definition hierfür lautet:
\[a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \textnormal{ Faktoren}}\]
Hierfür gilt (zunächst):
\mbox{$a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}^* \setminus
\{1\}$}.\footnote{Einzelheiten zu dieser Schreibweise siehe
hier:\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/mengen.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/mengen.pdf}\fi
}\\
Der Parameter $a$ heißt \textbf{Basis} und der Parameter $n$
\textbf{Exponent} der Potenz.\\
Der Definitionsbereich für $n$ wird durch nachfolgende Definitionen auf
$\mathbb{Z}$ erweitert:
\[a^1=a\]
\[a^0=1\]
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

\emph{Was ist eine \textbf{Zehnerpotenz}?}\\
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Aufgrund des von uns
verwendeten Dezimalsystems sind Zehnerpotenzen ganz einfach in Dezimalzahlen
umzurechnen. Hier ein paar Beispiele:
\[\begin{array}{rcll}
10^5&=&100\,000 \\
10^4&=&10\,000 \\
10^3&=&1\,000 \\
10^2&=&100 \\
10^1&=&10 \\
10^0&=&1 \\
10^{-1}&=&0{,}1 \\
10^{-2}&=&0{,}01 \\
10^{-3}&=&0{,}001 \\
10^{-4}&=&0{,}000\,1 \\
10^{-5}&=&0{,}000\,01 \\
\end{array}\]
Man erkennt sofort:
\begin{itemize}
\item Eine Zehnerpotenz mit einem \textbf{positiven} Exponenten ist eine 1 mit
  genau so vielen Nullen \textbf{dahinter}, wie der Exponent angibt.
\item Eine Zehnerpotenz mit einem \textbf{negativen} Exponenten ist eine 1 mit
  genau so vielen Nullen \textbf{davor}, wie der Exponent angibt. Hierbei muss
  hinter die erste Null ein Komma gesetzt werden.
\end{itemize}

\subsection{Umrechnung aus Grundeinheit}
Manchmal sind Größenangaben mit Zehnerpotenzen verbunden. Dies tritt vor allem
beim Umgang mit dem Taschenrechner auf. Soll dieser eine sehr große oder eine
sehr kleine Zahl ausgeben, dann tut er das im "`Exponentenmodus"', wenn
ansonsten seine Anzeigekapazität nicht ausreicht.\\

Ein Beispiel dazu: Ausgegeben werde soll die Zahl:
\[13\,530\,000\,000\]
Die Anzeige des Rechners sieht dann so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{1{,}353 10}\end{center}
Diese Anzeige bedeutet eigentlich:\footnote{Diese Darstellungsform
wird häufig verwendet, weil das auf dem Display eines Taschenrechners besser
darzustellen ist. Manche moderne Taschenrechner können allerdings schon die
ausführliche Form anzeigen.}
\[1{,}353 \cdot 10^{10}\]

Nehmen wir an, diese Zahl ist das Rechenergebnis einer Frequenz in der Einheit
Hertz. Dann sollte man die Frequenz unter Verwendung einer geeigneten
Vorsatzeinheit angeben, also z.B. in Gigahertz. Das führt uns zu folgender
Aufgabenstellung zum Umwandeln:
\[\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[\ldots]{GHz}\]

Wir erinnern uns an die Vorzeichentabelle:
\[\unit[1]{GHz}=\unit[10^9]{Hz}\]
Jetzt können wir wieder -- wie zuvor -- die Differenz der Zehnerpotenzen
bilden. Das wären hier \mbox{$10-9=1$}. Das Komma muss also um \textbf{eine}
Stelle verschoben werden. Bleibt wieder die Frage, in welche Richtung das
Komma verschoben werden muss. Erinnern wir uns an den Merksatz:
\begin{quote}
  \textbf{Wird die Einheit größer, dann muss die Zahl kleiner werden.}
\end{quote}
Da \mbox{$\unit[1]{GHz}(=\unit[1 \cdot 10^9]{Hz})$} \textbf{weniger} ist, als
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{10}]{Hz}$} muss demnach zum Ausgleich die Zahl
\textbf{größer} werden, das Komma wandert daher nach \textbf{rechts}. Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[13{,}53]{GHz}$}\end{center}

Man könnte diese Größe auch in Terahertz angeben. Dann sähe die Fragestellung
so aus:
\[\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[\ldots]{THz}\]
Wir erinnern uns an die Vorzeichentabelle:
\[\unit[1]{THz}=\unit[10^{12}]{Hz}\]
Jetzt können wir wieder die Differenz der Zehnerpotenzen
bilden. Das wären für diese Umrechnung \mbox{$12-10=2$}. Das Komma muss also um \textbf{zwei}
Stelle verschoben werden. Bleibt wieder die Frage, in welche Richtung das
Komma verschoben werden muss. Wir erinnern uns: \emph{Wird die Einheit größer,
dann muss die Zahl kleiner werden.} Genau das ist hier der Fall,
\mbox{$\unit[1]{THz}(=\unit[1 \cdot 10^{12}]{Hz})$} ist \textbf{mehr} ist, als
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{10}]{Hz}$}, also muss demnach zum Ausgleich die Zahl
\textbf{kleiner} werden, das Komma wandert daher nach \textbf{links}. Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\unit[1{,}353 \cdot 10^{10}]{Hz}=\unit[0{,}013\,53]{THz}$}\end{center}

Hier folgt noch ein weiteres Beispiel. Eine Kapazität wurde berechnet mit:
\[C=3{,}3 \cdot \unit[10^{-10}]{F}\]
Die Kapazität soll mit einer sinnvollen gängigen Vorsatzeinheit angegeben
werden. Ein Blick in die Vorzeichentabelle zeigt, dass \emph{Picofarad}
\mbox{$(\unit[1]{pF}=\unit[10^{-12}]{F})$} oder \emph{Nanofarad}
\mbox{$(\unit[1]{nF}=\unit[10^{-9}]{F})$} zur Lösung in Frage kommen.\\

Wandeln wir zunächst in \textbf{Picofarad} um.
Der Unterschied im Exponenten von Pico \mbox{$(=10^{-12})$} auf die vorgegebene
Zehnerpotenz \mbox{$(10^{-10})$} beträgt 2. Da die Zehnerpotenz beim Umwandeln
\textbf{kleiner} wird, muss die Zahl zum Ausgleich \textbf{größer} werden. Das
Komma wandert daher um \textbf{2} Stellen nach \textbf{rechts}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$C=\unit[3{,}3 \cdot 10^{-10}]{F}=\unit[330]{pF}$}\end{center}

Es folgt die Umwandlung in \textbf{Nanofarad}. Hier beträgt die Differenz der
Exponenten der Zehlerpotenzen \textbf{1}. Die Einheit wird beim Umwandeln
\textbf{größer}, darum muss die Zahl \textbf{kleiner} werden. Also wird das
Komma um \textbf{1} Stelle nach \textbf{links} verschoben.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$C=\unit[3{,}3 \cdot 10^{-10}]{F}=\unit[0{,}33]{nF}$}\end{center}

\subsection{Umrechnung aus zusammengesetzen Einheiten}
Es kann auch vorkommen, dass eine Zehnerpotenz zusammen mit einer
Vorsatzeinheit auftritt. Ein Beispiel:
\[P=\unit[225 \cdot 10^{-2}]{kW}= \ldots \textnormal{MW}\]

Man kann hier im Prinzip genau so vorgehen, wie eben gezeigt, man muss nur
vorher die Exponenten aus der angegebenen Zehnerpotenz und der Vorsatzeinheit
addieren. Hier ist es die $-2$ aus der Zehnerpotenz und die 3 aus der
Vorsatzeinheit für \emph{Kilo}. Addiert ergibt das \mbox{$-2+3=1$}. Diese 1
wird jetzt verglichen mit der 6 (für \emph{Mega}) aus der Ziel-Vorsatzeinheit.
Die Differenz ist 5. Weil die Ziel-Einheit \textbf{größer} ist, muss die Zahl
\textbf{kleiner} werden, das Komma wandert demnach um \textbf{5} Stellen nach
\textbf{links}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$P=\unit[225 \cdot 10^{-2}]{kW}= \unit[0{,}002\,25]{MW}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcp{20mm}l}
(1) & \unit[5{,}6 \cdot 10^{-2}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(2) & \unit[6{,}8 \cdot 10^{2}]{m}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(3) & \unit[4{,}7 \cdot 10^{-5}]{g}&=&&µ\textnormal{g}\\ \\
(4) & \unit[2{,}12 \cdot 10^{7}]{Hz}&=&&\textnormal{MHz}\\ \\
(5) & \unit[0{,}15 \cdot 10^{-9}]{F}&=&&\textnormal{pF}\\ \\
(6) & \unit[22{,}5 \cdot 10^{6}]{W}&=&&\textnormal{MW}\\ \\
(7) & \unit[3{,}8 \cdot 10^{2}]{N}&=&&\textnormal{kN}\\ \\
(8) & \unit[2{,}5 \cdot 10^{-6}]{s}&=&&µ\textnormal{s}\\ \\
(9) & \unit[0{,}3 \cdot 10^{-6}]{m}&=&&\textnormal{nm}\\ \\
(10) & \unit[0{,}5 \cdot 10^{1}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(11) & \unit[12{,}8 \cdot 10^{-1}]{m}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(12) & \unit[11{,}7 \cdot 10^{4}]{m}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(13) & \unit[25 \cdot 10^{5}]{m}&=&&\textnormal{m}\\ \\
(14) & \unit[15 \cdot 10^{4}]{mm}&=&&\textnormal{km}\\ \\
(15) & \unit[3{,}3 \cdot 10^{2}]{µA}&=&&\textnormal{mA}\\ \\
(16) & \unit[390 \cdot 10^{-2}]{µA}&=&&\textnormal{mA}\\ \\
(17) & \unit[18 \cdot 10^{-3}]{cm}&=&&\textnormal{mm}\\ \\
(18) & \unit[1{,}42 \cdot 10^{4}]{kHz}&=&&\textnormal{MHz}\\ \\
(19) & \unit[45\,000 \cdot 10^{5}]{pF}&=&&µ\textnormal{F}\\ \\
(20) & \unit[6{,}5 \cdot 10^{-7}]{km}&=&&\textnormal{cm}\\ \\
\end{array}\]


\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[5{,}6 \cdot 10^{-2}]{m}&=&\unit[56]{mm}\\
(2) & \unit[6{,}8 \cdot 10^{2}]{m}&=&\unit[0{,}68]{km}\\
(3) & \unit[4{,}7 \cdot 10^{-5}]{g}&=&\unit[47]{µg}\\
(4) & \unit[2{,}12 \cdot 10^{7}]{Hz}&=&\unit[21{,}2]{MHz}\\
(5) & \unit[0{,}15 \cdot 10^{-9}]{F}&=&\unit[150]{pF}\\
(6) & \unit[22{,}5 \cdot 10^{6}]{W}&=&\unit[22{,}5]{MW}\\
(7) & \unit[3{,}8 \cdot 10^{2}]{N}&=&\unit[0{,}38]{kN}\\
(8) & \unit[2{,}5 \cdot 10^{-6}]{s}&=&\unit[2{,}5]{µs}\\
(9) & \unit[0{,}3 \cdot 10^{-6}]{m}&=&\unit[300]{nm}\\
(10) & \unit[0{,}5 \cdot 10^{1}]{m}&=&\unit[5\,000]{mm}\\
(11) & \unit[12{,}8 \cdot 10^{-1}]{m}&=&\unit[1\,280]{mm}\\
(12) & \unit[11{,}7 \cdot 10^{4}]{m}&=&\unit[117]{km}\\
(13) & \unit[25 \cdot 10^{5}]{m}&=&\unit[2\,500\,000]{m}\\
(14) & \unit[15 \cdot 10^{4}]{mm}&=&\unit[0{,}15]{km}\\
(15) & \unit[3{,}3 \cdot 10^{2}]{µA}&=&\unit[0{,}33]{mA}\\
(16) & \unit[390 \cdot 10^{-2}]{µA}&=&\unit[0{,}003\,9]{mA}\\
(17) & \unit[18 \cdot 10^{-3}]{cm}&=&\unit[0{,}18]{mm}\\
(18) & \unit[1{,}42 \cdot 10^{4}]{kHz}&=&\unit[14{,}2]{MHz}\\
(19) & \unit[45\,000 \cdot 10^{5}]{pF}&=&\unit[4\,500]{µF}\\
(20) & \unit[6{,}5 \cdot 10^{-7}]{km}&=&\unit[0{,}065]{cm}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Umwandlung Quadratischer und Kubischer Maße}
\subsection{Quadratische Maße}
Eine Fläche wird bekanntlich nicht in m (Meter) gemessen, sondern in m$^2$
(Quadratmeter). Hierbei handelt es sich um ein Quadratisches Maß, weil das
Meter in der Einheit quadriert wird. Ähnlich ist es bei einem Volumen. Hier
wird in m$^3$ gemessen, also in Kubikmeter. Dies ist ein Kubisches Maß.\\

Bei diesem Maßen gibt es eine Besonderheit bei der Verwendung von
Vorsatzeinheiten. Dazu muss ich etwas ausholen. Schreibt man in der Mathematik
\mbox{$ab^2$}, dann bedeutet das \textbf{nicht} \mbox{$(a \cdot b)^2$} sondern
\mbox{$a \cdot (b)^2$}. Das \textbf{Potenzieren} wird also \textbf{vorrangig}
vor dem \textbf{Multiplizieren} abgearbeitet. Verwendet man Vorsatzeinheiten,
dann wird diese Regel leider \textbf{nicht} angewendet, was daher oft zur
Vewirrung führt. Schreibt man:
\[A=\unit[1]{cm^2}\]
dann bedeutet das ausführlich:
\[A=\unit[1]{cm} \cdot \unit[1]{cm}=\unit[1]{(cm)^2}\]
Die Vorsatzeinheit wird also \textbf{mit quadriert}.
Oft wird vermutet, dass \mbox{$\unit[1]{cm^2}$} einfach nur
\mbox{$\unit[1 \cdot 10^{-2}]{m^2}$} bedeutet, weil die Vorsatzeinheit
\emph{Zenti} ja für $10^{-2}$ steht. Tatsächlich ist aber
\mbox{$\unit[1]{cm^2}=\unit[1 \cdot 10^{-4}]{m^2}$}. Verwirrend? Das denke ich
auch.\\

Wenn wir beachten, dass bei Quadratischen Maßen wie m$^2$ die Vorsatzeinheit
mit quadriert wird, dann müssen wir bei Anwendung der Vorsatzeinheitentabelle
einfach nur die \textbf{Exponenten verdoppeln}. Das bedeutet, dass die Anzahl
der Stellen, um die das Komma verschoben wird, ebenfalls \textbf{verdoppelt}
wird. Hier folgen ein paar Beispiele dazu im Vergleich mit den entsprechnden
Linearen Maßen:
\[\begin{array}{rcl}
\unit[5]{dm}&=&\unit[0{,}5]{m}\\
\unit[5]{dm^2}&=&\unit[0{,}05]{m^2}\\
\unit[23]{mm}&=&\unit[2{,}3]{cm}\\
\unit[23]{mm^2}&=&\unit[0{,}23]{cm^2}\\
\unit[150]{cm}&=&\unit[1{,}5]{m}\\
\unit[150]{cm^2}&=&\unit[0{,}015]{m^2}\\
\unit[7]{km}&=&\unit[7\,000]{m}\\
\unit[7]{km^2}&=&\unit[7\,000\,000]{m^2}\\
\end{array}\]

\subsection{Kubische Maße}
Bei Kubischen Maßen verhält es sich sehr ähnlich wie bei den Quadratischen
Maßen, jedoch ist der Exponent hier die \textbf{3} anstelle der \textbf{2}.
Volumen werden beispielsweise in m$^3$ angegeben, was ein Kubisches Maß
darstellt. Auch hier wird bei der Verwendung von Vorsatzeinheiten -- ähnlich
wie bei Quadratischen Maßen -- die Vorsatzeinheit (hier mit 3) mitpotenziert.
Es ist also: \[\unit[1]{dm^3}=\unit[1]{dm} \cdot \unit[1]{dm} \cdot
\unit[1]{dm} =\unit[0{,}1]{m} \cdot \unit[0{,}1]{m} \cdot \unit[0{,}1]{m}
=\unit[0{,}001]{m^3} \]

Daraus ergibt sich, dass bei der Verwendung der Vorsatzeinheitentabelle der
Exponent der Zehnerpotenz \textbf{mit 3 multipliziert} werden muss. Anders
ausgedrückt: Das Komma muss um \textbf{drei mal so viele} Stellen verschoben
werden, wie sich aus der Anwendung der Vorsatzeinheitentabelle ergibt. Hier
folgen ein paar Beispiele dazu im Vergleich mit den entsprechnden Linearen
Maßen:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[9]{dm}&=&\unit[0{,}9]{m}\\
\unit[9]{dm^3}&=&\unit[0{,}009]{m^3}\\
\unit[150]{cm}&=&\unit[15]{dm}\\
\unit[150]{cm^3}&=&\unit[0{,}15]{dm^3}\\
\unit[5\,400]{mm}&=&\unit[5{,}4]{m}\\
\unit[5\,400]{mm^3}&=&\unit[0{,}000\,005\,4]{m^3}\\
\unit[33]{dm}&=&\unit[330]{cm}\\
\unit[33]{dm^3}&=&\unit[33\,000]{cm^3}\\
\unit[10]{dm}&=&\unit[1\,000]{mm}\\
\unit[10]{dm^3}&=&\unit[10\,000\,000]{mm^3}\\
\end{array}\]

\subsection{Sonderfälle}
Gemeinerweise gibt es auch Lineare Flächen- und Raummaße. Dadurch wird es jetzt
ziemlich unübersichtlich. Beispielsweise ist
ein \textbf{Ar} (Einheitenzeichen: \textbf{a}) eine Fläche von
$\unit[100]{m^2}$. Dem entspricht eine Fläche von $\unit[10]{m}$ Länge und
$\unit[10]{m}$ Breite. Man könnte diese Fläche auch mit $\unit[1]{dam^2}$
(ein Quadratdekameter) bezeichnen, auch wenn das eher unüblich ist.
Gebräuchlich ist aber ein Maß für eine Fläche, die $\unit[100]{a}$ groß ist,
nämlich \emph{ein Hektar}.
\[\unit[100]{a}=\unit[1]{ha}\]
Nach Anwendung der Vorzeichentabelle könnte man auch sagen:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{a}&=&\unit[1]{dam^2}\\
\unit[1]{ha}&=&\unit[1]{hm^2}\\
\end{array}\]
Zugegeben, die Einheit Quadrathektometer ist alles andere als gebräuchlich,
aber sachlogisch richtig wäre das.\\

Um es noch deutlicher zu machen, sollte man sich zwei quadratische Flächen: Die
eine hat eine Kantenlänge von 10 Metern und stellt ein Ar dar, die andere mit
einem Hektar Flächeninhalt hat eine Kantenlänge von 100 Metern. Die Kantenlänge
der großen Fläche ist 10 mal so groß, wie die der kleinen Fläche, aber der
Flächeninhalt ist 100 mal so groß. Anders ausgedrückt: Rechnet man mit einem
Quadratischen Längenmaß (Meter), dann wird die Vorsatzeinheit mitquadriert,
rechnet man mit einem Flächenmaß (Ar), dann werden die Vorsatzeinheiten ganz
normal einfach verwendet.\\

Ähnliches gibt es auch bei Volumenmaßen. Einen Kubikdezimeter nennt mal auch
\emph{Liter}.
\[\unit[1]{dm^3}=\unit[1]{l}\]

Gebräuchlich sind auch zusammengesetzte Einheiten wie Milliliter, Mikroliter,
Zentiliter oder Hektoliter. Auch hier wird die Volumeneinheit \emph{Liter}
\textbf{einfach} mit der entsprechenden Vorsatzeinheit verbunden, also
\textbf{nicht in der 3. Potenz}. Sofern der Exponent der Vorsatzeinheit durch 3
teilbar ist -- das ist bei sehr großen und sehr kleinen Einheiten immer der
Fall -- gibt es eine Entsprechung im m$^3$-System. Hier ein paar Beispiele:
\[\begin{array}{rcll}
\unit[1]{l}&=&\unit[1]{dm^3}\\
\unit[1]{ml}&=&\unit[1]{cm^3}\\
\unit[1]{µl}&=&\unit[1]{mm^3}\\
\end{array}\]

Bei den anderen passt das dann nicht so ganz, wie nachfolgende Beispiele
zeigen:
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[1]{hl}&=&\unit[100]{dm^3}&=&\unit[0{,}1]{m^3}\\
\unit[1]{cl}&=&\unit[10]{cm^3}&=&\unit[0{,}01]{dm^3}\\
\end{array}\]

Merkwürdigerweise sind große Vorsatzeinheiten bei Liter wie Kiloliter oder
Megaliter nicht üblich, auch wenn sie sachlogisch verwendet werden dürften.
Daher verkneife ich mir Beispiele damit.\\

Anhand folgenden Beispieles möchte ich die Umrechnung als Rezept zur
Vorgehensweise darstellen.
\[\unit[23]{hl}= \ldots \textnormal{cm}^3\]

Am einfachsten ist es vermutlich, wenn man in mehreren Schritten vorgeht.
\begin{enumerate}
\item Zunächst wandelt man die gegebene Einheit in die zugehörige Einheit
  um, die zur Umrechnungsformel passt. Das wären hier \emph{Liter}.
\item Dann wendet man die Definition für die Umrechnung an, hier also
  \mbox{$\unit[1]{l}=\unit[1]{dm^3}$}. Der Zahlenwert ändert sich dabei
  \textbf{nicht}.
\item Zum Schluss erfolgt die Umwandlung in die gesuchte Einheit, also hier in
  cm$^3$.
\end{enumerate}
In unserem Beispiel sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rrcll}
1.&\unit[23]{hl}&=&\unit[2\,300]{l}\\
2.&  &=&\unit[2\,300]{dm^3}\\
3.&  &=&\unit[2\,300\,000]{cm^3}\\
\end{array}\]

Dieses Lösungsrezept funktioniert entsprechend auch in der anderen Richtung.
Dazu ebenfalls ein Beispiel:
\[\unit[450]{cm^3}=\unit[\ldots]{cl}\]
Zunächst wandelt man in dm$^3$ um, weil dies in der Definition des Liters
verwendet wird. Dann schreibt man \emph{Liter} statt \emph{Kubikdezimeter},
wobei der Zahlenwert unverändert bleibt. Zum Schluss erfolgt die Umwandlung in
Zentiliter.
\[\begin{array}{rrcl}
1.&\unit[450]{cm^3}&=&\unit[0{,}45]{dm^3}\\
2.& &=&\unit[0{,}45]{l}\\
3.& &=&\unit[45]{cl}\\
\end{array}\]

Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise folgen hier noch ein paar Beispiele.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{1. Beispiel:}&\unit[120]{ha}&=&\unit[\ldots]{km^2}\\ \\
1. & \unit[120]{ha}&=&\unit[12\,000]{a}\\
2. &&=& \unit[12\,000]{dam^2}\\
3. &&=& \unit[1{,}2]{km^2}\\ \\ \\
\textnormal{2. Beispiel:}&\unit[5]{ml}&=&\unit[\ldots]{mm^3}\\ \\
1. &\unit[5]{ml}&=&\unit[0{,}005]{l}\\
2. &&=&\unit[0{,}005]{dm^3}\\
3. &&=&\unit[5\,000]{mm^3}\\ \\ \\
\textnormal{3. Beispiel:}& \unit[14]{m^3}&=&\unit[\ldots]{hl}\\ \\
1. &\unit[14]{m^3}&=&\unit[14\,000]{dm^3}\\
2. &&=&\unit[14\,000]{l}\\
3. &&=&\unit[140]{hl}\\ \\ \\
\textnormal{4. Beispiel:}&\unit[220]{m^2}&=&\unit[\ldots]{ha}\\ \\
1. &\unit[220]{m^2}&=&\unit[2{,}2]{dam^2}\\
2. &&=&\unit[2{,}2]{a}\\
3. &&=&\unit[0{,}022]{ha}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Übungsaufgaben}
Wandeln Sie die Größen in die vorgegebenen Einheiten um! Die Lösungen finden
Sie auf der nächsten Seite.

\[\begin{array}{p{10mm}rcp{28mm}l}
(1) & \unit[8{,}5]{cm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(2) & \unit[55{,}5]{mm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(3) & \unit[6\,000]{dm^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(4) & \unit[0{,}03]{km^2}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(5) & \unit[0{,}005]{cm^2}&=&&\textnormal{mm}^2\\ \\
(6) & \unit[0{,}8]{mm^2}&=&&µ\textnormal{m}^2\\ \\
(7) & \unit[21]{ha}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(8) & \unit[0{,}7]{a}&=&&\textnormal{m}^2\\ \\
(9) & \unit[0{,}000\,004]{km^2}&=&&\textnormal{cm}^2\\ \\
(10) & \unit[0{,}009]{ha}&=&&\textnormal{mm}^2\\ \\
(11) & \unit[1\,500]{cm^3}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(12) & \unit[800]{dm^3}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(13) & \unit[35\,000]{mm^3}&=&&\textnormal{cm}^3\\ \\
(14) & \unit[0{,}000\,004]{m^3}&=&&\textnormal{mm}^3\\ \\
(15) & \unit[45]{l}&=&&\textnormal{dm}^3\\ \\
(16) & \unit[0{,}2]{l}&=&&\textnormal{cm}^3\\ \\
(17) & \unit[30]{hl}&=&&\textnormal{m}^3\\ \\
(18) & \unit[0{,}000\,021]{hl}&=&&\textnormal{mm}^3\\ \\
\end{array}\]

\subsection{Lösungen}
\[\begin{array}{p{10mm}rcl}
(1) & \unit[8{,}5]{cm^2}&=&\unit[0{,}000\,85]{m^2}\\ \\
(2) & \unit[55{,}5]{mm^2}&=&\unit[0{,}000\,055\,5]{m^2}\\ \\
(3) & \unit[6\,000]{dm^2}&=&\unit[60]{m^2}\\ \\
(4) & \unit[0{,}03]{km^2}&=&\unit[30\,000]{m^2}\\ \\
(5) & \unit[0{,}005]{cm^2}&=&\unit[0{,}5]{mm^2}\\ \\
(6) & \unit[0{,}8]{mm^2}&=&\unit[800\,000]{µm^2}\\ \\
(7) & \unit[21]{ha}&=&\unit[210\,000]{m^2}\\ \\
(8) & \unit[0{,}7]{a}&=&\unit[70]{m^2}\\ \\
(9) & \unit[0{,}000\,004]{km^2}&=&\unit[40\,000]{cm^2}\\ \\
(10) & \unit[0{,}009]{ha}&=&\unit[90\,000\,000]{mm^2}\\ \\
(11) & \unit[1\,500]{cm^3}&=&\unit[0{,}15]{m^3}\\ \\
(12) & \unit[800]{dm^3}&=&\unit[0{,}8]{m^3}\\ \\
(13) & \unit[35\,000]{mm^3}&=&\unit[35]{cm^3}\\ \\
(14) & \unit[0{,}000\,004]{m^3}&=&\unit[4]{mm^3}\\ \\
(15) & \unit[45]{l}&=&\unit[45]{dm^3}\\ \\
(16) & \unit[0{,}2]{l}&=&\unit[200]{cm^3}\\ \\
(17) & \unit[30]{hl}&=&\unit[3]{m^3}\\ \\
(18) & \unit[0{,}000\,021]{hl}&=&\unit[2\,100]{mm^3}\\ \\
\end{array}\]


\end{document}
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%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
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%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle


