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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Das Logarithmische Maß Dezibel}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Definitionen}
\subsection{Leistungs- und Spannungsverhältnisse}

\begin{wrapfigure}{r}{3.2cm}
\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0.1)(5,1.9)
  \pnode(1,0.5){A}
  \pnode(1,1.5){B}
  \pnode(4,1.5){C}
  \pnode(4,0.5){D}
  \pnode(0,1){E}
  \pnode(1,1){F}
  \pnode(4,1){G}
  \pnode(5,1){H}
  \psline(A)(B)(C)(D)(A)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(E)(F)
  \uput{0.2}[90](0.5,1){$P_1$}
  \uput{0.2}[-90](0.5,1){$U_1$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(G)(H)
  \uput{0.2}[90](4.5,1){$P_2$}
  \uput{0.2}[-90](4.5,1){$U_2$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Einheit \emph{Dezibel}\footnote{Eigentlich ist die Grundeinheit das
"`Bel"' (zu Ehren von Graham Bel, dem Erfinder des Telefons). Ein Dezibel ist
demnach ein Zehntel Bel. Man verwendet üblicherweise aber nicht das Bel,
sondern praktisch immer das Dezibel.} ist ein
logarithisches\footnote{Einzelheiten zum Logarithmus siehe hier:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/logarit.pdf}\fi}
Maß für Leistungs- oder Spannungsverhältnisse an einem Vierpol,
wie einem Verstärker oder einer dämpfungsbehafteten Leitung, wie nebenstehend
dargestellt. Dabei wird die abgegebene Leistung (bzw. Spannung) ins Verhältnis
zur zugeführten gesetzt. Die Einheit Dezibel eigent sich besonders gut für
Probleme, die ein sehr großes oder sehr kleines Verhältnis beinhalten, sowie
die Verkettung verschiedener Verstärkungen und/oder Dämpfungen.\\

Hier eine kurze Auflistung der Definitionen:\\
\textbf{Leistungsverstärkung}: \fcolorbox{red}{yellow}{$V_P=\cfrac{P_2}{P_1}$}\\
\textbf{Spannungsverstärkung}: \fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=\cfrac{U_2}{U_1}$}\\
\textbf{Logarithmisches Maß}: \fcolorbox{red}{yellow}
{$a=\unit[10]{dB} \cdot \lg V_P$}
oder  \fcolorbox{red}{yellow}{$a=\unit[20]{dB} \cdot \lg V_U$}\\
\textbf{\emph{a}} positiv $\Leftrightarrow$ Verstärkung \\
\textbf{\emph{a}} negativ $\Leftrightarrow$ Dämpfung \\

Die \textbf{10} mit der Einheit \textbf{dB} in der ersten Formel für $a$ kommt
daher, dass eigentlich das \textbf{Bel} die Grundeinheit ist und eben mit der
Vorsatzeinheit "`Dezi"' gilt:
\mbox{$\unit[1]{B}=\unit[10]{dB}$}.\\

Aus der Definition ist erkennbar, dass \textbf{\emph{a}} durch $V_U$
ausgedrückt doppelt so groß ist, wie wenn \textbf{\emph{a}} durch $V_P$
bestimmt wird. Warum ist das so? Ist das eine willkürliche Festlegung?\\

Wir gehen davon aus, dass der Eingangswiderstand des Vierpols genau so groß
ist, wie sein Ausgangswiderstand. Wenn wir am gleichen Widerstand die
\textbf{Spannung verdoppeln}, dann entspricht das einer \textbf{Vervierfachung}
der \textbf{Leistung}, weil sich ja auch der Strom verdoppelt. Allgemein durch
eine Formel ausgedrückt bedeutet das:
\[V_P=V_U^2\]
Ersetzt man in der Formel zur Bestimmung von \textbf{\emph{a}} das $V_P$ durch
$V_U^2$, dann ergibt sich daraus nach dem Logarithmengesetz für Potenzen:
\[\lg V_P= \lg V_U^2=2 \cdot \lg V_U\]
Aus dieser Formel ergibt sich sofort einsichtig der oben angegebene
Zusammenhang.\\

\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0.1)(9,1.9)
  \pnode(1,0.5){A}
  \pnode(1,1.5){B}
  \pnode(4,1.5){C}
  \pnode(4,0.5){D}
  \pnode(5,0.5){A1}
  \pnode(5,1.5){B1}
  \pnode(8,1.5){C1}
  \pnode(8,0.5){D1}
  \pnode(0,1){E}
  \pnode(1,1){F}
  \pnode(4,1){G}
  \pnode(5,1){H}
  \pnode(8,1){I}
  \pnode(9,1){J}
  \psline(A)(B)(C)(D)(A)
  \psline(A1)(B1)(C1)(D1)(A1)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(E)(F)
  \uput{0.2}[90](0.5,1){$P_1$}
  \uput{0.2}[-90](0.5,1){$U_1$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(G)(H)
  \uput{0.2}[90](4.5,1){$P_2$}
  \uput{0.2}[-90](4.5,1){$U_2$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(I)(J)
  \uput{0.2}[90](8.5,1){$P_3$}
  \uput{0.2}[-90](8.5,1){$U_3$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Schaltet man zwei (oder mehr) Vierpole hintereinander, dann müssen die
jeweiligen Werte für $V_P$ bzw. $V_U$ miteinander \textbf{multipliziert} werden:
\[V_{Pges}=\cfrac{P_2}{P_1} \cdot \cfrac{P_3}{P_2}=V_{P1} \cdot V_{P2}\]
\[V_{Uges}=\cfrac{U_2}{U_1} \cdot \cfrac{U_3}{U_2}=V_{U1} \cdot V_{U2}\]
Rechnet man dagegen mit dem logarithmischen Maß \textbf{\emph{a}}, dann
\textbf{addiert} man die Werte einfach. Das Logarithmengesetz für die
Multiplikation sorgt dafür:
\[a_{ges}=a_{1}+a_{2}\]

Stellen wir nun einmal ein paar gängige Werte für $V_P$, $V_U$, und $a$ in
einer Tabelle gegenüber.
\begin{center}\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
$V_P$\textcolor{white}{...} & $V_U$\textcolor{white}{.} & a \textcolor{white}{...} \\
\hline
0,000\,1&0,01& $-\unit[40]{dB}$\\
0,01  & 0,1& $-\unit[20]{dB}$\\
0,25  & 0,5& $-\unit[6]{dB}$\\
0,5& 0,707 & $-\unit[3]{dB}$\\
1  &  1    & $\unit[0]{dB}$\\
2  &  1,41 & $\unit[3]{dB}$\\
4  &  2    & $\unit[6]{dB}$\\
10 &  3,16 & $\unit[10]{dB}$\\
100&  10   & $\unit[20]{dB}$\\
1\,000 & 31,6&$\unit[30]{dB}$\\
10\,000 & 100&$\unit[40]{dB}$\\
1\,000\,000&1\,000 &$\unit[60]{dB}$\\
\hline
\end{tabular}\end{center}

Da es ganz praktisch sein kann, wenn man bestimmte Umrechnungen auch schnell im
Kopf durchführen kann, schaun wir uns die Werte einmal genau an. Wenn man sich
\textbf{genau zwei} Dezibelwerte merkt, dann kann man in der Praxis daraus
alles zusammensetzen. Es ist $\lg 10=1$ und $\lg 2 \approx 0,3$. Für
Leistungsverhältnisse ist also eine \textbf{Verdopplung} eine Erhöhung um
$\unit[3]{dB}$ und eine \textbf{Verzehnfachung} eine Erhöhung um
$\unit[10]{dB}$. Wie man hieraus Werte zusammensetzen kann, möchte ich an ein
paar Beispielen zeigen.
\[\begin{array}{rclcrcl}
V_P&=&20=2 \cdot 10 &\Leftrightarrow&
 a&=&\unit[3]{dB}+\unit[10]{dB}=\unit[13]{dB}\\
V_P&=&800=2^3 \cdot 10^2 &\Leftrightarrow&
 a&=&3 \cdot \unit[3]{dB}+2 \cdot \unit[10]{dB}=\unit[29]{dB}\\
V_P&=&5\,000=\cfrac{10^4}{2}&\Leftrightarrow&
 a&=&4 \cdot \unit[10]{dB}-\unit[3]{dB}=\unit[37]{dB}\\
V_P&=&0,4=\cfrac{2^2}{10}&\Leftrightarrow&
 a&=&2 \cdot \unit[3]{dB}-\unit[10]{dB}=-\unit[4]{dB}\\
\end{array}\]
Für Spannungsverhältnisse geht das sinngemaß genauso, wobei die Dezibelwerte
doppelt so groß sind, wie bei Leistungsverhältnissen.\\ \\

\subsection{Pegelwerte mit bezogenen Dezibel}
Es ist praktisch, wenn man auch für sogenannte \textbf{\emph{Pegelwerte}} das
Maß Dezibel verwendet. Dazu wird einfach in der oben angegebenen Formel für
$V_P$ oder $V_U$ der Wert für $P_1$ bzw. für $U_1$ ein \textbf{Bezugswert}
eingesetzt. Gebräuchlich sind folgende Bezeichnungsweisen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{\textbf{dBm}: Bezug $P_1=\unit[1]{mW}$}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{\textbf{dB}$\mathbf{µ}$\textbf{V}: Bezug $U_1=\unit[1]{µV}$}
\end{center}
Bei der Verwendung ist zu beachten, dass die Einheit dBm eine \textbf{Leistung}
angibt und die Einheit dB$µ$V eine \textbf{Spannung}. Entsprechend wird hier
nicht das Formelzeichen $a$, sondern $P$ bzw. $U$ verwendet!\\

Zwei Beispiele dazu:\\
Ein Pegelwert von \mbox{$P=\unit[20]{dBm}$} bedeutet $\unit[20]{dB}$ über einem
Milliwatt, also \mbox{$P=\unit[100]{mW}$},\\
\mbox{$U=\unit[26]{dBµV}$} bedeutet $\unit[26]{dB}$ über einem Mikrovolt, also
\mbox{$U=\unit[20]{µV}$}.\\ \\

\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1:}
Ein Verstärker mit einer Ausgangsleistung von $\unit[200]{W}$ benötigt eine
Steuerleistung von $\unit[50]{mW}$. Wie groß ist seine Verstärkung
\begin{enumerate}
\item als Verstärkungsfaktor $V_P$?
\item in Dezibel?
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 2:}
Am Anfang einer Übertragungsleitung liegt eine Spannung von $\unit[80]{mV}$ an,
am Ende sind es noch $\unit[500]{µV}$. Wie groß ist die Dämpfung der Leitung
(in dB)?

\subsection{Aufgabe 3:}
In eine lange Übertragungsleitung sind insgesamt 5 Verstärker mit jeweils
$\unit[23]{dB}$ Verstärkung eingebaut. Trotzdem kommen von den eingespeisten
$\unit[5]{W}$ nur $\unit[250]{mW}$ am anderen Ende an.
\begin{enumerate}
\item Wie groß ist die Dämpfung der kompletten Übertragungsstrecke?
\item Wie groß wäre die Dämpfung der Strecke \textbf{ohne} die eingebauten
  Verstärker?
\item Wie groß wäre ohne die eingebauten Verstärker die Leistung, die zum
  Empfänger gelangte?
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 4:}
Die Dämpfung einer Leitung beträgt $-\unit[56]{dB}$. Welche Leistung muss
eingespeist werden, damit am anderen Leitungsende eine Spannung von
$\unit[1]{mV}$ den Empfänger mit $\unit[50]{\Omega}$ Eingangswiderstand
erreicht?

\subsection{Aufgabe 5:}
Am Anschlusspunkt einer Antenne wird ein Empfangssignal von $\unit[62]{dBµV}$
gemessen. Auf dem Weg zum Empfänger werden durchlaufen:
\begin{itemize}
\item ein Stammleitungsverteiler mit $-\unit[9]{dB}$ Dämpfung
\item $\unit[15]{m}$ Koaxkabel mit  $-\unit[6]{dB}$ Dämpfung
\item eine Antennensteckdose mit  $-\unit[14]{dB}$ Dämpfung
\end{itemize}
Wieviel Dezibel muss ein vorgeschalteter Verstärker an Verstärkung haben, damit
ein Mindestpegel von $\unit[57]{dBµV}$ am Empfänger anliegt?

\subsection{Aufgabe 6:}
Welche Sendeleistung (in Watt) ist nötig, um bei einer Streckendämpfung von
$-\unit[127]{dB}$ beim Empfänger eine eine Empfangsleistung von
$-\unit[60]{dBm}$ zu erzeugen?

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1:}
Ein Verstärker mit einer Ausgangsleistung von $\unit[200]{W}$ benötigt eine
Steuerleistung von $\unit[50]{mW}$. Wie groß ist seine Verstärkung
\begin{enumerate}
\item als Verstärkungsfaktor $V_P$?
\item in Dezibel?
\end{enumerate}

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcl}
P_1&=&\unit[50]{mW}\\
P_2&=&\unit[200]{W}\\
\end{array}\]
\[V_P=\cfrac{P_2}{P_1}=\cfrac{\unit[200]{W}}{\unit[50]{mW}}=4\,000\]
\[a=\unit[10]{dB} \cdot \lg V_P=\unit[10]{dB} \cdot \lg 4\,000
    =\unit[10]{dB} \cdot 3,6=\unit[36]{dB}\]

\subsection{Aufgabe 2:}
Am Anfang einer Übertragungsleitung liegt eine Spannung vo $\unit[80]{mV}$ an,
am Ende sind es noch $\unit[500]{µV}$. Wie groß ist die Dämpfung der Leitung
(in dB)?

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcl}
U_1&=&\unit[80]{mV}\\
U_2&=&\unit[500]{µV}\\
\end{array}\]
\[a=\unit[20]{dB} \cdot \lg V_U=\unit[20]{dB} \cdot \cfrac{U_2}{U_1}
  =\unit[20]{dB} \cdot \lg \cfrac{\unit[500]{µW}}{\unit[80]{mW}}
  =\unit[20]{dB} \cdot \lg 0,006\,25=-\unit[44]{dB}\]

\subsection{Aufgabe 3:}
In eine lange Übertragungsleitung sind insgesamt 5 Verstärker mit jeweils
$\unit[23]{dB}$ Verstärkung eingebaut. Trotzdem kommen von den eingespeisten
$\unit[5]{W}$ nur $\unit[250]{mW}$ am anderen Ende an.
\begin{enumerate}
\item Wie groß ist die Dämpfung der kompletten Übertragungsstrecke?
\item Wie groß wäre die Dämpfung der Strecke \textbf{ohne} die eingebauten
  Verstärker?
\item Wie groß wäre ohne die eingebauten Verstärker die Leistung, die zum
  Empfänger gelangte?
\end{enumerate}

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcl}
P_1&=&\unit[5]{W}\\
P_2&=&\unit[250]{mW}\\
\end{array}\]
\[a_{ges}=\unit[10]{dB} \cdot \lg V_P
  =\unit[10]{dB} \cdot \lg \cfrac{P_2}{P_1}
  =\unit[10]{dB} \cdot \lg \cfrac{\unit[250]{mW}}{\unit[5]{W}}
  =\unit[10]{dB} \cdot \lg 0,05=-\unit[13]{dB}\]
\[a_{ohne}=a_{ges}-5 \cdot \unit[23]{dB}
  =-\unit[13]{dB}-5 \cdot \unit[23]{dB}=-\unit[128]{dB}\]
\[\begin{array}{rcll}
a_{ohne}&=&\unit[10]{dB} \cdot \lg \cfrac{P_2}{P_1} &|:\unit[10]{dB}\\
\cfrac{a_{ohne}}{\unit[10]{dB}}&=&\lg \cfrac{P_2}{P_1} &|10^{\ldots} \\
10^{\frac{a_{ohne}}{\unit[10]{dB}}}&=&\cfrac{P_2}{P_1} &| \cdot P_1 \\
P_1 \cdot 10^{\frac{a_{ohne}}{\unit[10]{dB}}}&=&P_2 \\
P_2&=&\unit[5]{W} \cdot 10^{\frac{-\unit[128]{dB}}{\unit[10]{dB}}}\\
&=&\unit[5]{W} \cdot 10^{-12,8}\\
P_2&=&\unit[0,8]{pW}\\
\end{array}\]


\subsection{Aufgabe 4:}
Die Dämpfung einer Leitung beträgt $-\unit[56]{dB}$. Welche Leistung muss
eingespeist werden, damit am anderen Leitungsende eine Spannung von
$\unit[1]{mV}$ den Empfänger mit $\unit[50]{\Omega}$ Eingangswiderstand
erreicht?

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcl}
a&=&-\unit[56]{dB}\\
U_2&=&\unit[1]{mV}\\
\end{array}\]
\[P_2=\cfrac{U_2^2}{R}=\cfrac{(\unit[1]{mV})^2}{\unit[50]{\Omega}}
  =\unit[20]{nW}\]
\[\begin{array}{rcll}
a&=&\unit[10]{dB} \cdot \lg \cfrac{P_2}{P_1} &|:\unit[10]{dB}\\
\cfrac{a}{\unit[10]{dB}}&=&\lg \cfrac{P_2}{P_1}&|10^{\ldots}\\
10^{\frac{a}{\unit[10]{dB}}}&=&\cfrac{P_2}{P_1}
  &| \cdot \cfrac{P_1}{10^{\frac{a}{\unit[10]{dB}}}}\\
P_1&=&\cfrac{P_2}{10^{\frac{a}{\unit[10]{dB}}}}\\
&=&\cfrac{\unit[20]{nW}}{10^{\frac{-\unit[56]{dB}}{\unit[10]{dB}}}}\\
P_1&=&\unit[8]{mW}\\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 5:}
Am Anschlusspunkt einer Antenne wird ein Empfangssignal von $\unit[62]{dBµV}$
gemessen. Auf dem Weg zum Empfänger werden durchlaufen:
\begin{itemize}
\item ein Stammleitungsverteiler mit $-\unit[9]{dB}$ Dämpfung
\item $\unit[15]{m}$ Koaxkabel mit  $-\unit[6]{dB}$ Dämpfung
\item eine Antennensteckdose mit  $-\unit[14]{dB}$ Dämpfung
\end{itemize}
Wieviel Dezibel muss ein vorgeschalteter Verstärker an Verstärkung haben, damit
ein Mindestpegel von $\unit[57]{dBµV}$ am Empfänger anliegt?

\paragraph{Lösung:}
\[a_{ges}=-\unit[9]{dB}-\unit[6]{dB}-\unit[14]{dB}=-\unit[29]{dB}\]
Ohne Verstärker ergäbe sich dieser Pegel:
\[U_2=\unit[62]{dBµV}-\unit[29]{dB}=\unit[33]{dBµV}\]
Die nötige Verstärkung beträgt dann:
\[a=\unit[57]{dBµV}-\unit[33]{dBµV}=\unit[24]{dB}\]

\subsection{Aufgabe 6:}
Welche Sendeleistung ist nötig, um bei einer Streckendämpfung von
$-\unit[127]{dB}$ beim Empfänger eine eine Empfangsleistung von
$-\unit[60]{dBm}$ zu erzeugen?

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcl}
a&=&-\unit[127]{dB}\\
P_2&=&-\unit[60]{dBm}\\
\end{array}\]
\[P_1=P_2-a=-\unit[60]{dBm}+\unit[127]{dB}=\unit[67]{dBm}\]
Diese Leistung kann nun in Watt umgerechnet werden:
\[P_1=\unit[67]{dBm}=\unit[10^{6,7}]{mW}=\unit[5]{kW}\]


\end{document}
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