\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen}
\author{W. Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf
stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form
an die nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Grundlagen zu Beträgen}
Der Betrag von $a$ -- geschrieben als $|a|$ -- ist stets eine positive Zahl.
Ist $a$ positiv oder gleich 0, dann ist $|a|=a$. Ist $a$ negativ, dann muss
beim Auflösen des Betrages das Vorzeichen umgekehrt werden: $|a|=-a$.
Die korrekte Definition lautet:
\[\textnormal{\underline{\textbf{Def.:}} }\qquad |a|=\left\{\begin{array}{rl}
a & \textnormal{ für } a \geq 0 \\
-a & \textnormal{ für } a < 0
\end{array}\right\}\]
Was hat das für eine praktische Bedeutung?
\subsection{Gleichungen mit Beträgen}
Als Beispiel wollen wir eine Gleichung mit einem Betrag lösen.
\[|x-2|=3\]
Zunächst muss -- wie bei allen Gleichungen immer -- der Definitionsbereich
bestimmt werden. Da es hier keine Einschränkungen durch Brüche, Wurzeln oder
ähnliches gibt, gilt einfach nur: \qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\\

Um weiterrechnen zu können, muss der Betrag aufgelöst werden. Da ja für $x$
jede Zahl aus $\mathbb{R}$ in Frage kommt, kann man nicht sagen, ob der Inhalt
des Betrages positiv oder negativ ist. Daher muss man sich einer Methode
bedienen, die wir schon bei Ungleichungen\footnote{Einzelheiten siehe hier:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}\fi}
kennen gelernt haben. Wir
machen eine \emph{\textbf{Fallunterscheidung}}. Die beiden Fälle unterscheiden
sich dadurch, dass der \emph{Betragsinhalt} positiv oder negativ ist. Um zu
sehen, was in welchem Bereich vorliegt, berechne ich in einer Nebenrechnung, wo
der Inhalt größer oder gleich 0 ist.
\begin{eqnarray*}
x-2&\geq&0 \quad| +2\\
x&\geq&2
\end{eqnarray*}
Im Bereich mit $x \geq 2$ ist demnach der Inhalt des Betrages positiv oder
gleich 0, die Betragsstriche können dann einfach weggelassen werden. Dieser
Bereich stellt in unserer Rechnung den \textbf{ersten} Fall dar. Der
\textbf{zweite} Fall beinhaltet dann alle anderen Reellen Zahlen, also $x<2$.
Mit diesen beiden Fällen führen wir die weitere Rechnung durch.
\[|x-2|=3\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq2:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcl}
x-2&=&3 \quad |+2 \\
x&=&5 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
-(x-2)&=&3 \\
-x+2&=&3 \quad | -2 \\
-x&=&1 \quad | :(-1) \\
x&=&-1
\end{array}\end{array}\]
\newpage
Natürlich muss man vor Bestimmung der Lösungsmenge prüfen, ob die gefundenen
Werte innerhalb der jeweils untersuchten Bereiche liegen. Da $5 \geq 2$ und
$-1<2$ ist, ist das in diesem Beispiel gegeben. Die Lösungsmenge der Gleichung
lautet also:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{5;-1\}$}
\end{center}
Mit Hilfe einer Probe kann man schnell prüfen, dass diese beiden Lösungen
tatsächlich die Gleichung erfüllen.

\[|5-2|=|3|=3\]
\[|-1-2|=|-3|=3\]


\newpage %-------------------------------------------------
\subsection{Ungleichungen mit Beträgen}
Wie bei Gleichungen kann man natürlich auch bei Ungleichungen mit Beträgen
rechnen. Die Verfahren sind entsprechend. Ein Beispiel:
\[|2x-6| \leq x\]
Als erstes bestimmt man immer die Definitionsmenge. Hier gibt es jedoch
keinerlei Einschränkungen für $x$, es gilt also: \qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\\

In diesem Beispiel ist der Betragsinhalt positiv oder Null für $x \geq 3$, wie
man leicht mit Hilfe des Ansatzes $2x-6 \geq 0$ bestimmen kann. Negativ ist
dann der Betragsinhalt für $x<3$. Das sind demnach die beiden Fälle für unsere
Fallunterscheidung.
\[|2x-6| \leq x\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq3:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
2x-6&\leq&x &| +6 \\
2x &\leq&x+6 &| -x \\
x &\leq&6 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(2x-6)&\leq&x \\
-2x+6&\leq&x &| -6 \\
-2x &\leq&x-6 &| -x \\
-3x &\leq&-6  &|:(-3) \\
x &\geq& 2
\end{array}\end{array}\]
Wie von Ungleichungen\footnote{Einzelheiten siehe hier:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf} \fi}
gewohnt, möchte ich auch hier die Lösungsmengenbestimmung mit graphischer
Unterstützung am Zahlenstrahl durchführen. Dabei wird die
\textcolor{red}{Bedingung}, unter der gerechnet wurde, mit dem
\textcolor{blue}{Ergebnisterm} übereinandergelegt. Dort, wo sie übereinstimmen,
liegt die zugehörige \textcolor{green}{Teillösungsmenge}.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(7.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(3,1)(7.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(0.5,2)(6,2)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(3,3)(6,3)
    \uput{0.2}[180](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](6,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(7.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(0.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(2,2)(7.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(2,3)(3,3)
    \uput{0.2}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|3 \leq x \leq 6\}$ && $L_2=\{x|2 \leq x<3\}$
\end{tabular}
\end{center}
Die beiden Teillösungsmengen $L_1$ und $L_2$ können aneinander gelegt werden.
Bei der Zahl 3 stoßen sie "`nahtlos"' aneinander an. Die "`3"' gehört zwar
nicht mehr zur Menge $L_2$, aber in $L_1$ ist sie enthalten. Daher können sie
zu einer einzigen Menge zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt:
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(7.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor= blue]{|-|}(3,1)(6,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(2,2)(3,2)
    \uput{0.1}[90](4.5,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](2.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|2 \leq x \leq 6\}$}\end{center}
\newpage  %------------------------------------------------------------
\section{Übungsaufgaben}
Von den nachfolgenden Betragsgleichungen und -ungleichungen soll die
Lösungsmenge bestimmt werden. Vorher muss auch jeweils die Definitionsmenge
bestimmt werden.
\subsection{Gleichungen mit Beträgen}
\subsubsection{Aufgabe 1} \[|2x+5|=7\]
\subsubsection{Aufgabe 2} \[x+|x-1|=3\]
\subsubsection{Aufgabe 3} \[|3x-5|+2x=10\]
\subsubsection{Aufgabe 4} \[2x-|3-x|=18\]
\subsubsection{Aufgabe 5} \[2x+|2x+4|=-4\]
\subsubsection{Aufgabe 6} \[|3x+6|-2x=-5\]
\subsubsection{Aufgabe 7} \[|2x-6|+2=x+5\]
\subsubsection{Aufgabe 8} \[5 \cdot |x-3|+3x=-1\]
\subsubsection{Aufgabe 9} \[3x+5-|2x+4|=x+1\]
\subsubsection{Aufgabe 10} \[\frac{|3x-3|}{x+1}=1\]
\subsubsection{Aufgabe 11} \[\frac{3x-3}{|x+1|}+10=1\]
\subsubsection{Aufgabe 12} \[\frac{2x-1}{|x-2|+1}=-1\]
\subsubsection{Aufgabe 13} \[\frac{|x-3|}{5}=x-7\]
\subsubsection{Aufgabe 14} \[\frac{5x+5}{|3x+1|}=2\]
\subsubsection{Aufgabe 15} \[\frac{8x+12}{|2x+10|}=2\]
\subsubsection{Aufgabe 16} \[\frac{|x-4|}{x+2}=\frac{x-1}{x+7}\]
\subsubsection{Aufgabe 17} \[\frac{x-1}{x-4}=\frac{|x-5|}{x-8}\]
\subsubsection{Aufgabe 18} \[\frac{x+5}{x+1}=\frac{|x-5|}{x-2}\]
\subsubsection{Aufgabe 19} \[|x+1|+5=|2x-4|\]
\subsubsection{Aufgabe 20} \[4-|4x+6|+|2x-2|=0\]
\subsubsection{Aufgabe 21} \[|2x+8|+6=|2x-6|\]
\subsubsection{Aufgabe 22} \[|x-3|-|x-5|=2\]
\subsubsection{Aufgabe 23} \[|2x+3|-20=|3x-12|\]
\subsubsection{Aufgabe 24} \[|x-1|+|x+5|=6\]
\subsubsection{Aufgabe 25} \[\Bigl| |x-2|-2 \Bigr|=1\]
\subsubsection{Aufgabe 26} \[\Bigl| |x-1|-4 \Bigr|=4\]
\subsubsection{Aufgabe 27} \[\Bigl| |x+3|-1 \Bigr|=2\]
\subsubsection{Aufgabe 28} \[\Bigl| |2x-8|-3x \Bigr|=4\]
%\subsubsection{Aufgabe 29} \[\Bigl| |3x-2|-2x-4 \Bigr|=2\]
%\subsubsection{Aufgabe 30} \[\Bigl| |2x+6|+3x+4 \Bigr|=5\]
%\subsubsection{Aufgabe 31} \[\frac{|x-8|}{x-1}+\frac{|x+4|}{x-3}=0\]
%\subsubsection{Aufgabe 32} \[\frac{|x+5|}{x-4}=\frac{|x-5|}{x-3}\]
%\subsubsection{Aufgabe 33} \[\frac{|x-10|}{|x-1|}=\frac{x-2}{x-3}\]
%\subsubsection{Aufgabe 34} \[\frac{|x+8|}{x-4}=\frac{|x-13|}{x-5}\]
%\subsubsection{Aufgabe 35} \[\frac{|2x+5|-x+2}{x-4}-1=0\]
%\subsubsection{Aufgabe 36} \[\frac{|3x-6|-|x+3|}{x-2}=1\]
%\subsubsection{Aufgabe 37} \[\frac{\Bigl| |x+3|-2x-8 \Bigr|}{x-4}=-2\]
%\subsubsection{Aufgabe 38} \[\frac{|2x+4|}{3x+|6x-6|}=2\]
%\subsubsection{Aufgabe 39} \[\frac{|4x+4|}{x+|2x-6|-1}=2\]


\newpage
\subsection{Ungleichungen mit Beträgen}
\subsubsection{Aufgabe 1} \[2+|x+3|<3\]
\subsubsection{Aufgabe 2} \[x-|2x-12| \geq 0\]
\subsubsection{Aufgabe 3} \[5-3 \cdot |x-6| \leq 3x-7\]
\subsubsection{Aufgabe 4} \[2 \cdot|x-1|>8\]
\subsubsection{Aufgabe 5} \[|x+1|-|2x-6|\leq 10\]
\subsubsection{Aufgabe 6} \[||x-5|-3| \leq 4\]
\subsubsection{Aufgabe 7} \[x-|2x+4|>1-|x-2|\]
\newpage  %------------------------------------------------------------
\section{Lösungen der Aufgaben}
\subsection{Gleichungen mit Beträgen}
\subsubsection{Aufgabe 1} \[|2x+5|=7 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq-2,5:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<-2,5:} \\
\begin{array}{rcll}
2x+5&=&7 &|-5 \\
2x&=&2 &|:2 \\
x&=&1 \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-(2x+5)&=&7 \\
-2x-5&=&7 &|+5 \\
-2x&=&12 &|:(-2) \\
x&=&-6
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnisse liegen jeweils \textbf{innerhalb} des untersuchten Bereiches,
es gibt 2 Zahlen in der Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{1;-6\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 2} \[x+|x-1|=3 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq1:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<1:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
x+x-1&=&3 \\
2x-1&=&3&|+1 \\
2x&=&4&|:2 \\
x&=&2
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
x-(x-1)&=&3 \\
x-x+1&=&3 \\
1&=&3& \textnormal{ (Falsche Aussage)}\\ \\
\end{array}
\end{array}\]
Der rechte Fall hat keine Lösung, da er auf eine \textbf{falsche Aussage}
führt. Das Ergebnis des linken Falles liegt \textbf{innerhalb} des untersuchten
Bereiches, es gibt also insgesamt nur eine Zahl in der Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 3} \[|3x-5|+2x=10 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq \frac{5}{3}:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<\frac{5}{3}:} \\
\begin{array}{rcll}
3x-5+2x&=&10 \\
5x-5&=&10 &|+5 \\
5x&=&15&|:5 \\
x&=&3
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-3x+5+2x&=&10 \\
-x+5&=&10&|-5 \\
-x&=&5 &| \cdot (-1) \\
x&=&-5
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnisse liegen jeweils \textbf{innerhalb} des untersuchten Bereiches,
es gibt 2 Zahlen in der Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{3;-5\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 4} \[2x-|3-x|=18 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\leq 3:} & &
 \underline{\textnormal{für }x>3:} \\
\begin{array}{rcll}
2x-(3-x)&=&18 \\
2x-3+x&=&18&|+3 \\
3x&=&21&|:3 \\
x&=&7
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
2x-\Bigl(-(3-x)\Bigr)&=&18 \\
2x+3-x&=&18 \\
x+3&=&18&|-3 \\
x&=&15
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{rechten} Falles liegt \textbf{innerhalb} des
untersuchten Bereiches, daher gibt es nur eine Zahl in der Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{15\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 5} \[2x+|2x+4|=-4 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -2:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<-2:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
2x+2x+4&=&-4 \\
4x+4&=&-4&|-4 \\
4x&=&-8 &|:4 \\
x&=&-2
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
2x-(2x+4)&=&-4 \\
2x-2x-4&=&-4 \\
-4&=&-4 & \textnormal{ wahre Aussage}\\ \\
\end{array}
\end{array}\]
Das Ergebnis des \textbf{linken} Falles liegt gerade eben noch
\textbf{innerhalb} des untersuchten Bereiches, im \textbf{rechten} Fall gehören
\textbf{alle} Ergebnisse zur Lösungsmenge. Das kann in beschreibender Form
zusammengefasst werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \leq -2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 6} \[|3x+6|-2x=-5 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -2:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<-2:} \\
\begin{array}{rcll}
3x+6-2x&=&-5 \\
x+6&=&-5 &|-6 \\
x&=&-11 \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-3x-6-2x&=&-5 \\
-5x-6&=&-5&|+6 \\
-5x&=&1&|:(-5) \\
x&=&-0,2
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnisse liegen \textbf{außerhalb} des jeweiligen
untersuchten Bereiches, daher ist die Lösungsmenge \textbf{leer}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 7} \[|2x-6|+2=x+5 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 3:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
2x-6+2&=&x+5 \\
2x-4&=&x+5 &|+4-x \\
x&=&9 \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-2x+6+2&=&x+5 \\
-2x+8&=&x+5 &|-8-x \\
-3x&=&-3 &|:(-3) \\
x&=&1
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnissse liegen \textbf{innerhalb} des jeweiligen untersuchten
Bereiches, zur Lösungsmenge gehören demnach beide Zahlen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{9;1\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 8} \[5 \cdot |x-3|+3x=-1 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 3:} & &
 \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
5 \cdot (x-3)+3x&=&-1 \\
5x-15+3x&=&-1 \\
8x-15&=&-1&|+15 \\
8x&=&14&|:8 \\
x&=&1,75
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
5 \cdot \Bigl( -(x-3)\Bigr)+3x&=&-1 \\
-5x+15+3x&=&-1 \\
-2x+15&=&-1 &|-15 \\
-2x&=&-16&|:(-2) \\
x&=&8
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnissse liegen \textbf{nicht innerhalb} des jeweiligen untersuchten
Bereiches, die Lösungsmenge ist demnach leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 9} \[3x+5-|2x+4|=x+1 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -2:} &
 \underline{\textnormal{für }x<-2:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
3x+5-(2x+4)&=&x+1 \\
3x+5-2x-4&=&x+1 \\
x+1&=&x+1&|-x \\
1&=&1&\textnormal{wahre Ausage} \\ \\
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
3x+5-\Bigl(-(2x+4) \Bigr)&=&x+1 \\
3x+5+2x+4&=&x+1 \\
5x+9&=&x+1 &|-9-x \\
4x&=&-8&|:4 \\
x&=&-2
\end{array}
\end{array}\]
Im \textbf{linken} Fall gehören \textbf{alle} untersuchten Zahlen zur
Lösungsmenge. Das Ergebnis des \textbf{rechten} Falles liegt gerade eben nicht
mehr innerhalb des untersuchten Bereiches und entfällt daher.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \geq -2 \}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 10} \[\frac{|3x-3|}{x+1}=1 \qquad D= \mathbb{R}\setminus\{-1\}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 1:} &
 \underline{\textnormal{für }x<1:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{3x-3}{x+1}&=&1&| \cdot (x+1) \\
3x-3&=&x+1 &|+3-x \\
2x&=&4 &|:2 \\
x&=&2
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
-\frac{3x-3}{x+1}&=&1&| \cdot (x+1) \\
-3x+3&=&x+1 &|-3-x \\
-4x&=&-2 &|:(-4) \\
x&=&\frac{1}{2}
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnissse liegen \textbf{innerhalb} des jeweiligen untersuchten
Bereiches, zur Lösungsmenge gehören demnach beide Zahlen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{2;\frac{1}{2} \}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 11} \[\frac{3x-3}{|x+1|}+10=1 \qquad D= \mathbb{R}\setminus\{-1\}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -1:} &
 \underline{\textnormal{für }x<-1:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{3x-3}{x+1}+10&=&1&|-10 \\
\frac{3x-3}{x+1}&=&-9&| \cdot (x+1) \\
3x-3&=&-9x-9 &|+3+9x \\
12x&=&-6 &|:12 \\
x&=&-\frac{1}{2}
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
\frac{3x-3}{-(x+1)}+10&=&1&| -10 \\
\frac{3x-3}{-x-1}&=&-9&| \cdot (-x-1) \\
3x-3&=&9x+9 &|+3-9x \\
-6x&=&12 &|:(-6) \\
x&=&-2
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnissse liegen \textbf{innerhalb} des jeweiligen untersuchten
Bereiches, zur Lösungsmenge gehören demnach beide Zahlen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-\frac{1}{2};-2 \}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 12} \[\frac{2x-1}{|x-2|+1}=-1\]
Der Nenner ist stets mindestens 1, da der Betrag nicht negativ werden kann.
Daher gibt es keine Einschränkungen im Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 2:} &
 \underline{\textnormal{für }x<2:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{2x-1}{x-2+1}&=&-1 \\
\frac{2x-1}{x-1}&=&-1&| \cdot (x-1) \\
2x-1&=&-x+1&|+1+x \\
3x&=&2 &|:3 \\
x&=&\frac{2}{3}
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
\frac{2x-1}{-x+2+1}&=&-1 \\
\frac{2x-1}{-x+3}&=&-1&| \cdot (-x+3) \\
2x-1&=&x-3 &|+1-x \\
x&=&-2 \\ \\
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{rechten} Falles liegt \textbf{innerhalb} des
untersuchten Bereiches, im \textbf{linken} Fall gehört das Ergebnis
\textbf{nicht }zur Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 13} \[\frac{|x-3|}{5}=x-7 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 3:} &
 \underline{\textnormal{für }x<3:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{x-3}{5}&=&x-7&| \cdot 5 \\
x-3&=&5x-35 &|+3-5x \\
-4x&=&-32&|:(-4) \\
x&=&8 \\ \\
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
\frac{-x+3}{5}&=&x-7&| \cdot 5 \\
-x+3&=&5x-35&|-3-5x \\
-6x&=&-38&|:(-6) \\
x&=&\frac{19}{3} \\
x&\approx&6,33
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{linken} Falles liegt \textbf{innerhalb} des
untersuchten Bereiches, im \textbf{rechten} Fall gehört das Ergebnis
\textbf{nicht }zur Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{8\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 14} \[\frac{5x+5}{|3x+1|}=2
 \qquad D= \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq-\frac{1}{3}:} &
 \underline{\textnormal{für }x<-\frac{1}{3}:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{5x+5}{3x+1}&=&2&| \cdot (3x+1) \\
5x+5&=&2 \cdot (3x+1) \\
5x+5&=&6x+2&|-5-6x \\
-x&=&-3 &| \cdot (-1) \\
x&=&3
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
-\frac{5x+5}{3x+1}&=&2&| \cdot (3x+1) \\
-(5x+5)&=&2 \cdot (3x+1) \\
-5x-5&=&6x+2&|+5-6x \\
-11x&=&7 &|:(-11) \\
x&=&-\frac{7}{11}
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnissse liegen \textbf{innerhalb} des jeweiligen untersuchten
Bereiches, zur Lösungsmenge gehören demnach beide Zahlen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{3;-\frac{7}{11}\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 15} \[\frac{8x+12}{|2x+10|}=2
 \qquad D= \mathbb{R}\setminus\{-5\}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq-5:} &
 \underline{\textnormal{für }x<-5:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
\frac{8x+12}{2x+10}&=&2 &| \cdot (2x+10) \\
8x+12&=&4x+20 &|-12-4x \\
4x&=&8 &|:4 \\
x&=&2
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
\frac{8x+12}{-2x-10}&=&2 &| \cdot (-2x-10) \\
8x+12&=&-4x-20 &|-12+4x \\
12x&=&-32 &|:12 \\
x&=&-\frac{8}{3}\approx -2,7
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{linken} Falles liegt \textbf{innerhalb} des
untersuchten Bereiches, im \textbf{rechten} Fall gehört das Ergebnis
\textbf{nicht }zur Lösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 16} \[\frac{|x-4|}{x+2}=\frac{x-1}{x+7}
 \qquad D= \mathbb{R} \setminus \{-2;-7\}\]
Aus Platzgründen behandele ich die beiden Fälle nicht nebeneinander, sondern
untereinander.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq4:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{x-4}{x+2}&=&\frac{x-1}{x+7} \quad| \cdot (x+2)(x+7) \\
(x-4)(x+7)&=&(x-1)(x+2) \\
x^2+7x-4x-28&=&x^2+2x-x-2 \quad|-x^2 \\
3x-28&=&x-2 \quad|+28-x \\
2x&=&26 \quad|:2 \\
x&=&13
\end{eqnarray*}
Diese Lösung liegt im untersuchten Bereich, ist also gültig.
Es folgt der andere Fall:
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<4:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{-x+4}{x+2}&=&\frac{x-1}{x+7} \quad| \cdot (x+2)(x+7) \\
(-x+4)(x+7)&=&(x-1)(x+2) \\
-x^2-7x+4x+28&=&x^2+2x-x-2 \quad|-x^2 \\
-2x^2-3x+28&=&x-2 \quad|-x+2 \\
-2x^2-4x+30&=&0 \quad|:(-2) \\
x^2+2x-15&=&0 \\
x_{1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1+15}\\
x_{1/2}&=&-1 \pm 4 \\
x_1&=&3 \\
x_2&=&-5
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse liegen im untersuchten Bereich.
Dazu kommt noch die Lösung aus dem ersten Fall.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-5;3;13\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 17} \[\frac{x-1}{x-4}=\frac{|x-5|}{x-8}
 \qquad D= \mathbb{R} \setminus \{4;8\}\]
Aus Platzgründen behandele ich die beiden Fälle nicht nebeneinander, sondern
untereinander.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq5:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{x-1}{x-4}&=&\frac{x-5}{x-8}\quad| \cdot (x-4)(x-8) \\
(x-1) \cdot (x-8)&=&(x-5) \cdot (x-4) \\
x^2-8x-x+8&=&x^2-4x-5x+20 \quad|-x^2 \\
-9x+8&=&-9x+20 \quad|+9x \\
8&=&20 \quad \textnormal{(Falsche Aussage)}
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis ist eine \textbf{falsche Aussage}, es gibt also \textbf{keine}
Lösung in diesem Bereich.
Es folgt der andere Fall:
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<5:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{x-1}{x-4}&=&\frac{-x+5}{x-8}\quad| \cdot (x-4)(x-8) \\
(x-1) \cdot (x-8)&=&(-x+5) \cdot (x-4) \\
x^2-8x-x+8&=&-x^2+4x+5x-20 \\
x^2-9x+8&=&-x^2+9x-20 \quad|+x^2-9x+20 \\
2x^2-18x+28&=&0 \quad|:2 \\
x^2-9x+14&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4}-\frac{56}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{9}{2}\pm \frac{5}{2}\\
x_1&=&7 \\
x_2&=&2
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis $x_1=7$ liegt \textbf{nicht} im untersuchten Bereich, nur $x_2=2$
liegt innerhalb. Damit ist diese Zahl die einzige gültige Lösung.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 18} \[\frac{x+5}{x+1}=\frac{|x-5|}{x-2}
 \qquad D= \mathbb{R} \setminus \{-1;2\}\]
Aus Platzgründen behandele ich die beiden Fälle nicht nebeneinander, sondern
untereinander.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq4:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{x+5}{x+1}&=&\frac{x-5}{x-2} \quad| \cdot (x+1)(x-2) \\
(x+5)(x-2)&=&(x-5)(x+1) \\
x^2-2x+5x-10&=&x^2+x-5x-5 \quad|-x^2 \\
3x-10&=&-4x-5 \quad|+10+4x \\
7x&=&5 \quad|:7 \\
x&=&\frac{5}{7}
\end{eqnarray*}
Diese Lösung liegt \textbf{nicht} im untersuchten Bereich, ist also ungültig.
Es folgt der andere Fall:
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<4:}\]
\begin{eqnarray*}
\frac{x+5}{x+1}&=&\frac{-x+5}{x-2} \quad| \cdot (x+1)(x-2) \\
(x+5)(x-2)&=&(-x+5)(x+1) \\
x^2-2x+5x-10&=&-x^2-x+5x+5 \\
x^2+3x-10&=&-x^2+4x+5 \quad|+x^2-4x-5 \\
2x^2-x-15&=&0 \quad|:2 \\
x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{120}{16}}\\
x_{1/2}&=&\frac{1}{4}\pm \frac{11}{4}\\
x_1&=&3 \\
x_2&=&-2,5
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse liegen im untersuchten Bereich.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-2,5;3\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 19} \[|x+1|+5=|2x-4| \qquad D= \mathbb{R}\]
Hier müssen die beiden Beträge einzeln aufgelöst werden. Das führt zu mehr als
zwei Fällen. Daher führe ich das aus Platzgründen \textbf{nacheinander} durch.
Der linke Betrag wird zuerst aufgelöst.
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x \geq-1$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
x+1+5=|2x-4| \\
x+6=|2x-4|
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich wieder zwei Fälle:
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 2:} &
 \underline{\textnormal{für }x<2:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
x+6&=&2x-4&|-6-2x \\
-x&=&-10 &| \cdot (-1) \\
x&=&10
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
x+6&=&-2x+4&|-6+2x \\
3x&=&-2&|:3 \\
x&=&-\frac{2}{3}
\end{array}
\end{array}\]
Beide Ergebnisse liegen in den untersuchten Bereichen, beide sind also gültig.
Es folgt der andere Fall aus der ersten Fallunterscheidung:
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x<-1$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
-x-1+5&=&|2x-4| \\
-x+4&=&|2x-4|
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich eigentlich wieder zwei Fälle,
nämlich $x \geq 2$ und $x<2$. Da der erste aber komplett \textbf{außerhalb} des
hier untersuchten Bereiches $x<1$ liegt, erübrigt sich eine weitere
Fallunterscheidung, der Betragsinhalt ist auf jeden Fall negativ.
\begin{eqnarray*}
-x+4&=&|2x-4| \\
-x+4&=&-2x+4 \quad|+2x-4 \\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Dieses Ergebnis liegt \textbf{nicht} im untersuchten Bereich. Es bleibt also
bei den beiden Lösungen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{10;-\frac{2}{3}\right\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 20} \[4-|4x+6|+|2x-2|=0 \qquad D= \mathbb{R}\]
Hier müssen die beiden Beträge einzeln aufgelöst werden. Das führt zu mehr als
zwei Fällen. Daher führe ich das aus Platzgründen \textbf{nacheinander} durch.
Der linke Betrag wird zuerst aufgelöst.
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x \geq-1,5$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
4-(4x+6)+|2x-2|&=&0 \\
4-4x-6+|2x-2|&=&0 \\
-4x-2+|2x-2|&=&0
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich wieder zwei Fälle:
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 2:} &
 \underline{\textnormal{für }x<2:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
-4x-2+2x-2&=&0 \\
-2x-4&=&0 &|+4 \\
-2x&=&4&|:(-2) \\
x&=&-2
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
-4x-2-(2x-2)&=&0 \\
-4x-2-2x+2&=&0 \\
-6x&=&0&|:(-6) \\
x&=&0
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{rechten} Falls liegt im untersuchten Bereich, für
den linken gilt das nicht.
Es folgt der andere Fall aus der ersten Fallunterscheidung:
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x<-1,5$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
4+(4x+6)+|2x-2|&=&0 \\
4+4x+6+|2x-2|&=&0 \\
4x+10+|2x-2|&=&0
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich eigentlich wieder zwei Fälle,
nämlich $x \geq 1$ und $x<1$. Da der erste aber komplett \textbf{außerhalb} des
hier untersuchten Bereiches $x<-1,5$ liegt, erübrigt sich eine weitere
Fallunterscheidung, der Betragsinhalt ist auf jeden Fall negativ.
\begin{eqnarray*}
4x+10-(2x-2)&=&0 \\
4x+10-2x+2&=&0 \\
2x+12&=&0 \quad|-12 \\
2x&=&-12 \quad|:2 \\
x&=&-6
\end{eqnarray*}
Dieses Ergebnis liegt im untersuchten Bereich. Es gibt also zwei Lösungen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-6;0\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 21} \[|2x+8|+6=|2x-6| \qquad D= \mathbb{R}\]
Hier müssen die beiden Beträge einzeln aufgelöst werden. Das führt zu mehr als
zwei Fällen. Daher führe ich das aus Platzgründen \textbf{nacheinander} durch.
Der linke Betrag wird zuerst aufgelöst.
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x \geq-4$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
2x+8+6&=&|2x-6| \\
2x+14&=&|2x-6|
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich wieder zwei Fälle:
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 3:} &
 \underline{\textnormal{für }x<3:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
2x+14&=&2x-6 &|-2x \\
14&=&-6 & \textnormal{(falsche Aussage)}\\ \\
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
2x+14&=&-2x+6 &|-14+2x \\
4x&=&-8 &|:4 \\
x&=&-2
\end{array}
\end{array}\]
Nur das Ergebnis des \textbf{rechten} Falls liegt im untersuchten Bereich, für
den linken ergibt sich eine \textbf{falsche Aussage}, hier gibt es keine
Lösung.
Es folgt der andere Fall aus der ersten Fallunterscheidung:
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x<-4$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
-2x-8+6&=&|2x-6| \\
-2x-2&=&|2x-6|
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich eigentlich wieder zwei Fälle,
nämlich $x \geq 3$ und $x<3$. Da der erste aber komplett \textbf{außerhalb} des
hier untersuchten Bereiches $x<-4$ liegt, erübrigt sich eine weitere
Fallunterscheidung, der Betragsinhalt ist auf jeden Fall negativ.
\begin{eqnarray*}
-2x-2&=&-2x+6 \quad|+2x \\
-2&=&6 \quad \textnormal{(falsche Aussage)}
\end{eqnarray*}
Da sich eine \textbf{falsche Aussage} ergeben hat, gibt es auch in diesem
Bereich keine Lösung. Es bleibt also bei der einzigen Lösung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-2\}$}\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsubsection{Aufgabe 22} \[|x-3|-|x-5|=2\]
Auch hier müssen die beiden Beträge einzeln aufgelöst werden. Das führt zu mehr
als zwei Fällen. Daher führe ich das aus Platzgründen \textbf{nacheinander}
durch. Der linke Betrag wird zuerst aufgelöst.
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x \geq3$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
x-3-|x-5|&=&2
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich wieder zwei Fälle:
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 5:} &
 \underline{\textnormal{für }x<5:}\qquad \qquad \\
\begin{array}{rcll}
x-3-(x-5)&=&2 \\
x-3-x+5&=&2 \\
2&=&2 &\textnormal{(wahre Aussage)}\\ \\ \\
\end{array}&
\begin{array}{rcll}
x-3+(x-5)&=&2 \\
x-3+x-5&=&2 \\
2x-8&=&2 &|+8 \\
2x&=&10 &|:2 \\
x&=&5
\end{array}
\end{array}\]
\textbf{Alle} $x$ aus dem linken Fall gehören zur Lösungsmenge, da sich eine
\textbf{wahre Aussage} ergibt. Die "`5"' aus dem rechten Fall gehört gerade
eben \textbf{nicht} mehr zum untersuchten Bereich. Die Bedingungen für den
\textbf{linken} Fall können wie folgt zusammengefasst werden:
\[L_1=\{x|x \geq 3 \wedge x \geq 5\}=\{x|x \geq 5\}\]
Es folgt der andere Fall aus der ersten Fallunterscheidung:
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x<3$:}\end{center}
\begin{eqnarray*}
-x+3-|x-5|&=&2
\end{eqnarray*}
Beim Auflösen des zweiten Betrages ergeben sich eigentlich wieder zwei Fälle,
nämlich $x \geq 5$ und $x<5$. Da der erste aber komplett \textbf{außerhalb} des
hier untersuchten Bereiches $x<3$ liegt, erübrigt sich eine weitere
Fallunterscheidung, der Betragsinhalt ist auf jeden Fall negativ.
\begin{eqnarray*}
-x+3+x-5&=&2 \\
-2&=&2 \quad \textnormal{(falsche Aussage)}
\end{eqnarray*}
Da sich eine \textbf{falsche Aussage} ergeben hat, gibt es auch in diesem
Bereich keine Lösung. Es bleibt also bei der Lösung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \geq 5\}$}\end{center}

\newpage  %---------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 23} \[|2x+3|-20=|3x-12|\]
Hier haben wir \emph{zwei verschiedene} Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des linken Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq -1,5:}\]
\[\begin{array}{rcll}
2x+3-20&=&|3x-12| \\
2x-17&=&|3x-12| \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 4:} && \underline{\textnormal{für }x<4:} \\
\begin{array}{rcll}
2x-17&=&3x-12 &|-3x+17 \\
-x&=&5 &|:(-1) \\
x&=&-5 &(\textnormal{entfällt}) \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
2x-17&=&-3x+12 &|+3x+17 \\
5x&=&29 &|:5 \\
x&=&5,8 &(\textnormal{entfällt}) \\
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-1,5:}\]
\[\begin{array}{rcll}
-2x-3-20&=&|3x-12| \\
-2x-23&=&|3x-12| \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 4:} && \underline{\textnormal{für }x<4:} \\
(\textnormal{entfällt})
&&\begin{array}{rcll}
-2x-23&=&-3x+12 &|+3x+23 \\
x&=&35 &(\textnormal{entfällt}) \\
\end{array}
\end{array}\]
Keine der drei Teillösungen liegt innerhalb der jeweiligen untersuchten
Bereiche. Daher ist die Lösungsmenge leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 24} \[|x-1|+|x+5|=6\]
Hier haben wir \emph{zwei verschiedene} Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des linken Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 1:}\]
\[\begin{array}{rcll}
x-1+|x+5|&=&6 &|+1 \\
x+|x+5|&=&7 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -5:} && \underline{\textnormal{für }x<-5:}\\
\begin{array}{rcll}
x+x+5&=&7 \\
2x+5&=&7 &|-5 \\
2x&=&2 &|:2 \\
x&=&1 \\
L_1&=&\{1\}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
(\textnormal{entfällt})
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<1:}\]
\[\begin{array}{rcll}
-(x-1)+|x+5|&=&6 \\
-x+1+|x+5|&=&6 &|-1 \\
-x+|x+5|&=&5 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -5:} && \underline{\textnormal{für }x<-5:}\\
\begin{array}{rcll}
-x+x+5&=&5 \\
5&=&5 &(\textnormal{wahre Aussage}) \\ \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-x-(x+5)&=&5 \\
-x-x-5&=&5 \\
-2x-5&=&5 &|+5 \\
-2x&=&10 &|:(-2) \\
x&=&-5 &(\textnormal{entfällt)}\\
\end{array}
\end{array}\]
Der zweite untersuchte Bereich entfällt, da $x \geq 1$ und $x<-5$ nie
gleichzeitig möglich ist. Bleibt noch der dritte Bereich. Hier haben wir eine
wahre Aussage erhalten, alle $x$ im untersuchten Bereich gehören also zur
Lösungsmenge. Wir legen die beiden Bedingungen übereinander, um die erste
Lösungsmenge $L_1$ zu bestimmen.
\begin{center}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-6.5,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-5,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-5,3)(1,3)
    \uput{0.2}[0](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
  \end{pspicture}
\end{center}
Hinzu kommt die erste Lösung $L_1=\{1\}$. Sie passt genau oben an $L_2$. Wir
erhalten:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-5 \leq x \leq 1\}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 25} \[\Bigl| |x-2|-2 \Bigr|=1\]
Hier haben wir verschachtelte Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des \textbf{inneren} Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 2:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|x-2-2|&=&1 \\
|x-4|&=&1
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 4:} && \underline{\textnormal{für }x<4:}\\
\begin{array}{rcll}
x-4&=&1 &|+4 \\
x&=&5 \\
L_1&=&\{5\}\\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-4)&=&1 \\
-x+4&=&1 &|-4 \\
-x&=&-3  &|:(-1) \\
x&=&3 \\
L_2&=&\{3\}
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<2:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|-(x-2)-2|&=&1 \\
|-x+2-2|&=&1 \\
|-x|&=&1 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq 0:} && \underline{\textnormal{für }x>0:}\\
\begin{array}{rcll}
-x&=&1 &|:(-1) \\
x&=&-1 \\
L_3&=&\{-1\}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-x)&=&1 \\
x&=&1 \\
L_4&=&\{1\}\\
\end{array}
\end{array}\]
Wir fassen die Lösungsmengen zusamen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-1;1;3;5\}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 26} \[\Bigl| |x-1|-4 \Bigr|=4\]
Hier haben wir verschachtelte Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des \textbf{inneren} Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 1:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|x-1-4|&=&4 \\
|x-5|&=&4 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 5:} && \underline{\textnormal{für }x<5:}\\
\begin{array}{rcll}
x-5&=&4 &|+5 \\
x&=&9 \\
L_1&=&\{9\}\\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-5)&=&4 \\
-x+5&=&4 &|-5 \\
-x&=&-1 &|:(-1) \\
x&=&1 \\
L_2&=&\{1\}
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<1:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|-(x-1)-4|&=&4 \\
|-x+1-4|&=&4 \\
|-x-3|&=&4 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq -3:} && \underline{\textnormal{für }x>-3:}\\
\begin{array}{rcll}
-x-3&=&4 &|+3 \\
-x&=&7 &|:(-1) \\
x&=&-7 \\
L_3&=&\{-7\}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-x-3)&=&4 \\
x+3&=&4 &|-3 \\
x&=&1 \\
L_4&=&\{\ \}\\
\end{array}
\end{array}\]
Die Lösungsmenge $L_4$ ist leer, da das Ergebniss (zwar nur knapp, aber eben
doch) außerhalb des untersuchten Bereiches liegt.
Wir fassen die Lösungsmengen zusamen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-7;1;9\}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 27} \[\Bigl| |x+3|-1 \Bigr|=2\]
Hier haben wir verschachtelte Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des \textbf{inneren} Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq -3:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|x+3-1|&=&2 \\
|x+2|&=&2 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq -2:} && \underline{\textnormal{für }x<-2:}\\
\begin{array}{rcll}
x+2&=&2 &|-2 \\
x&=&0 \\
L_1&=&\{0\}\\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x+2)&=&2 \\
-x-2&=&2 &|+2 \\
-x&=&4   &|:(-1) \\
x&=&-4 \\
L_2&=&\{\ \}\\
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-3:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|-(x+3)-1|&=&2 \\
|-x-3-1|&=&2 \\
|-x-4|&=&2 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq -4:} && \underline{\textnormal{für }x>-4:}\\
\begin{array}{rcll}
-x-4&=&2 &|+4 \\
-x&=&6 &|:(-1) \\
x&=&-6 \\
L_3&=&\{-6\}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-x-4)&=&2 \\
x+4&=&2 &|-4 \\
x&=&-2 \\
L_4&=&\{\ \}\\
\end{array}
\end{array}\]
Die Lösungsmengen $L_2$ und $L_4$ sind leer, da die Ergebnisse jeweils
außerhalb des untersuchten Bereiches liegen.
Wir fassen die Lösungsmengen zusamen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-6;0\}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 28} \[\Bigl| |2x-8|-3x \Bigr|=4\]
Hier haben wir verschachtelte Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des \textbf{inneren} Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 4:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|2x-8-3x|&=&4 \\
|-x-8|&=&4 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq -8:} && \underline{\textnormal{für }x>-8:}\\
\begin{array}{rcll}
-x-8&=&4 &|+8 \\
-x&=&12 &|:(-1) \\
x&=&-12 \\
L_1&=&\{\ \}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-x-8)&=&4 \\
x+8&=&4 &|-8 \\
x&=&-4 \\
L_2&=&\{\ \}\\
\end{array}
\end{array}\]

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<4:}\]
\[\begin{array}{rcll}
|-(2x-8)-3x|&=&4 \\
|-2x+8-3x|&=&4 \\
|-5x+8|&=&4 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq 1,6:}&&\underline{\textnormal{für }x>1,6:}\\
\begin{array}{rcll}
-5x+8&=&4 &|-8 \\
-5x&=&-4 &|:(-5) \\
x&=&0,8 \\
L_3&=&\{0,8\}\\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-5x+8)&=&4 \\
5x-8&=&4 &|+8 \\
5x&=&12 &:5 \\
x&=&2,4 \\
L_4&=&\{2,4\}\\
\end{array}
\end{array}\]
Die Lösungsmengen $L_1$ und $L_2$ sind leer, da die Ergebnisse jeweils
außerhalb des untersuchten Bereiches liegen.
Wir fassen die Lösungsmengen zusamen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{0,8;2,4\}$}\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------------------
\subsection{Ungleichungen mit Beträgen}
\subsubsection{Aufgabe 1} \[2+|x+3|<3 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq-3:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-3:} \\
\begin{array}{rcll}
2+x+3&<&3 \quad&|-5 \\
x &<&-2 \\ \\ \\
\end{array}&& \begin{array}{rcll}
2-(x+3)&<&3 \\
2-x-3&<&3 \quad&|+1 \\
-x&<&4   &|:(-1) \\
x&>&-4
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-3,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-5.5,2)(-2,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-3,3)(-2,3)
    \uput{0.2}[180](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-4,2)(-0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-4,3)(-3,3)
    \uput{0.2}[0](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](-4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|-3 \leq x<-2\}$ && $L_2=\{x|-4<x<-3\}$
\end{tabular}\\
\end{center}
Zusammengefasst werden die Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge
$L=L_1 \cup L_2$.
\begin{center}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-3,1)(-2,1)
    \psline[linecolor= green]{o-o}(-4,2)(-3,2)
    \uput{0.1}[90](-2.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-3.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Bei $x=-3$ stoßen die beiden Bereiche "`nahtlos"' aneinander. Die Zahlen knapp
unter $-3$ gehören zu $L_2$, ab $-3$ dann zu $L_1$. Daher kann
man die Lösungsmenge zusammenfassen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-4<x<-2\}$} \end{center}
\newpage  %------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 2} \[x-|2x-12| \geq 0 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq6:} && \underline{\textnormal{für }x<6:} \\
\begin{array}{rcll}
x-(2x-12)&\geq&0 \\
x-2x+12&\geq&0  &|-12 \\
-x&\geq&-12     &|:(-1) \\
x&\leq&12
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
x+(2x-12)&\geq&0 \\
x+2x-12&\geq&0 \quad&|+12 \\
3x&\geq&12   &|:3 \\
x&\geq&4
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(13.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(6,1)(13.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(2.5,2)(12,2)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(6,3)(12,3)
    \uput{0.2}[180](6,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](12,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](6,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(13.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(2.5,1)(6,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,2)(13.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(4,3)(6,3)
    \uput{0.2}[0](6,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](6,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|6 \leq x \leq 12\}$ && $L_2=\{x|4 \leq x<6\}$
\end{tabular}\\
\emph{\textcolor{red}{Rot: Bedingung}, \quad
 \textcolor{blue}{Blau: Ergebnisterm}, \quad
 \textcolor{green}{Grün: Teil-Lösungsmenge}}\\
\end{center}
Zusammengefasst werden die Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge
$L=L_1 \cup L_2$.
\begin{center}
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(13.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor= green]{|-|}(6,1)(12,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(4,2)(6,2)
    \uput{0.1}[90](9,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Bei $x=6$ stoßen die beiden Bereiche "`nahtlos"' aneinander. Die Zahlen knapp
unter 6 gehören zu $L_2$, ab 6 dann zu $L_1$. Daher kann
man die Lösungsmenge zusammenfassen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|4 \leq x \leq 12\}$}\end{center}
\newpage  %------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 3} \[5-3 \cdot |x-6| \leq 3x-7 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 6:} && \underline{\textnormal{für }x<6:} \\
\begin{array}{rcll}
5-3 \cdot (x-6)&\leq&3x-7 \\
5-3x+18&\leq&3x-7 \quad&|-3x \\
23-6x &\leq&-7        &|-23 \\
-6x &\leq&-30        &|:(-6) \\
x &\geq&5
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
5+3 \cdot (x-6)&\leq&3x-7 \\
5+3x-18&\leq&3x-7 \quad|-3x \\
-13&\leq&-7 \\ \\ \\
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(6,1)(8.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(5,2)(8.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(6,3)(8.5,3)
    \uput{0.2}[180](6,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](6,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(2.5,1)(6,1)
    \psline[linecolor=blue]{-}(2.5,2)(8.5,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(2.5,3)(6,3)
    \uput{0.2}[0](6,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[90](7.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](6,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x \geq 6\}$ && $L_2=\{x|x<6\}$
\end{tabular}\\
\end{center}
Die Untersuchung des rechten Falles hat eine \emph{wahre Aussage} ergeben. Die
ist natürlich im gesamten rechts untersuchten Bereich wahr, also ist die
Bedingung für den rechten Bereich auch schon die entsprechende
Teillösungsmenge.
Zusammengefasst werden die Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge
$L=L_1 \cup L_2$.
\begin{center}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor= green]{|-}(6,1)(8.5,1)
    \psline[linecolor= green]{-o}(2.5,2)(6,2)
    \uput{0.1}[90](7.2,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](4.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Schaut man sich die beiden Teillösungsmengen genau an, wird man feststellen,
dass sie zusammengenommen die Menge \emph{aller} Reellen Zahlen ist. Die
Betragsungleichung ist also immer erfüllt.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L= \mathbb{R}$}\end{center}
\newpage  %---------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 4} \[2 \cdot|x-1|>8 \qquad D= \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 1:} && \underline{\textnormal{für }x<1:} \\
\begin{array}{rcll}
2 \cdot (x-1)&>&8 \\
2x-2&>&8 &|+2 \\
2x &>&10 &|:2 \\
x &>&5
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-2 \cdot (x-1)&>&8 \\
-2x+2&>&8 &|-2 \\
-2x&>&6   &|:(-2) \\
x&<&-3
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(1,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(5,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(5,3)(6.5,3)
    \uput{0.2}[180](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-4.5,2)(-3,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-3,3)
    \uput{0.2}[0](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-3,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x>5\}$ && $L_2=\{x|x<-3\}$
\end{tabular}
\end{center}
Zusammengefasst werden die Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge
$L=L_1 \cup L_2$.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor= green]{o-}(5,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor= green]{-o}(-4.5,1)(-3,1)
    \uput{0.1}[90](5.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-3.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Diese beiden Bereiche stoßen \emph{nicht} aneinander, sie können also nur in
aufzählender Form in die Lösungsmenge aufgenommen werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<-3 \vee x>5\}$} \end{center}
\newpage  %------------------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 5} \[|x+1|-|2x-6|\leq 10 \qquad D= \mathbb{R}\]
Hier haben wir \emph{zwei verschiedene} Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des linken Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq -1:}\]
\[x+1-|2x-6|\leq 10\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 3:} && \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
x+1-(2x-6)&\leq&10 \\
x+1-2x+6&\leq&10 \\
-x+7&\leq&10 &|-7 \\
-x&\leq&3   &|:(-1) \\
x&\geq&-3
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
x+1+2x-6&\leq&10 \\
3x-5&\leq&10 \quad &|+5 \\
3x &\leq&15      &|:3 \\
x&\leq&5 \\ \\
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(6.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-1,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{|-}(3,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-3,3)(6.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-}(3,4)(6.5,4)
    \uput{0.2}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](3,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-3,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](3,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(6.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-1,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{-o}(-4.5,2)(3,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,3)(5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-1,4)(3,4)
    \uput{0.2}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](3,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](5,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-1,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x \geq 3\}$ && $L_2=\{x|-1 \leq x<3\}$
\end{tabular}
\end{center}

Der andere Fall war $x<-1$. In diesem Bereich ist der Inhalt des rechten
Betrages \emph{stets negativ}. Eine weitere Fallunterscheidung ist hier also
nicht notwendig.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-1:}\]
\begin{eqnarray*}
-(x+1)-|2x-6|&\leq&10 \\
-(x+1)+(2x-6)&\leq&10 \\
-x-1+2x-6&\leq&10 \\
x-7&\leq&10 \quad|+7 \\
x&\leq&17
\end{eqnarray*}
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(18.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(18.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,2)(17,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-1,3)
    \uput{0.2}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](17,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
  $L_3=\{x|x < -1\}$\\
\end{center}
Wir erhalten insgesamt 3 Teillösungsmengen. Zusammengefasst werden die
Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge $L=L_1 \cup L_2 \cup L_3$.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(18.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(18.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(3,1)(18.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-o}(-1,2)(3,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-1,3)
    \uput{0.1}[90](5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[90](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Die drei Teillösungsmengen stoßen "`nahtlos"' aneinander. Zusammen decken sie
die Menge aller Reellen Zahlen ab.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L= \mathbb{R}$}\end{center}
\newpage  %---------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 6} \[||x-5|-3| \leq 4 \qquad D= \mathbb{R}\]
In dieser Aufgabe haben wir zwei ineinander verschachtelte Beträge. Das bedingt
entsprechend eine doppelte Fallunterscheidung. Wir beginnen damit, den
\emph{inneren} Betrag aufzulösen, weil das einfacher ist. Aus Platzgründen
werden die beiden sich ergebende Fälle untereinander bearbeitet.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 5:}\]
\begin{eqnarray*}
|x-5-3|&\leq&4 \\
|x-8|&\leq&4
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 8:} && \underline{\textnormal{für }x<8:} \\
\begin{array}{rcll}
x-8&\leq&4 \quad&|+8 \\
x&\leq&12 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-8)&\leq&4 \\
-x+8&\leq&4 \quad&|-8 \\
-x&\leq&-4 &|:(-1) \\
x&\geq&4
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(13.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(5,1)(13.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{|-}(8,2)(13.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(2.5,3)(12,3)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(8,4)(12,4)
    \uput{0.2}[180](5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](8,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](12,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](8,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(2.5,-2)(13.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(2.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(5,1)(13.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{-o}(2.5,2)(8,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,3)(13.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(5,4)(8,4)
    \uput{0.2}[180](5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](8,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](4,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](8,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|8 \leq x \leq 12\}$ && $L_2=\{x|5 \leq x<8\}$
\end{tabular}
\end{center}

Es folgt der zweite Fall aus der ersten Fallunterscheidung. Beide Fälle
existieren, die Fallunterscheidung muss also durchgeführt werden.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<5:}\]
\begin{eqnarray*}
|-(x-5)-3|&\leq&4 \\
|-x+5-3|&\leq&4 \\
|-x+2|&\leq&4
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \leq 2:} && \underline{\textnormal{für }x>2:} \\
\begin{array}{rcll}
-x+2&\leq&4 \quad&|-2 \\
-x&\leq&2  &|:(-1) \\
x&\geq&-2
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(-x+2)&\leq&4 \\
x-2&\leq&4 \quad&|+2 \\
x&\leq&6
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{3mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(7.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(5,1)
    \psline[linecolor=orange]{-|}(-3.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-2,3)(7.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(-2,4)(2,4)
    \uput{0.2}[0](5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](2,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-2,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](2,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(7.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(5,1)
    \psline[linecolor=orange]{o-}(2,2)(7.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-3.5,3)(6,3)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(2,4)(5,4)
    \uput{0.2}[0](5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](2,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](6,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](2,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_3=\{x|-2 \leq x \leq 2\}$ && $L_4=\{x|2<x<5\}$
\end{tabular}
\end{center}

Wir erhalten also 4 Teillösungsmengen. Zusammengefasst werden die
Lösungsmengen in der Vereinigungsmenge $L=L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L_4$.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(13.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(13.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-|}(8,1)(12,1)
    \psline[linecolor=orange]{|-o}(5,2)(8,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-|}(-2,3)(2,3)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(2,4)(5,4)
    \uput{0.1}[90](10,1){\textcolor{red}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](6.5,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[-90](0,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_3$}}}
    \uput{0.1}[-90](3.5,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
Die Teillösungsmengen passen lückenlos aneinander, wenn man sie in der
Reihenfolge \\ $L_3$ -- $L_4$ -- $L_2$ -- $L_1$ aneinanderlegt. Die
Gesamtlösungsmenge ergibt sich als:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-2 \leq x \leq 12\}$}\end{center}
\newpage  %---------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 7} \[x-|2x+4|>1-|x-2| \qquad D= \mathbb{R}\]
Hier haben wir \emph{zwei verschiedene} Beträge. Um sie aufzulösen, müssen wir
eine \emph{doppelte} Fallunterscheidung machen. Zweckmäßigerweise führen wir
diese nacheinander durch. Aus Platzgründen beginnen wir mit dem ersten Fall, in
dem der Inhalt des linken Betrages größer oder gleich Null ist.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq -2:}\]
\begin{eqnarray*}
x-(2x+4)&>&1-|x-2| \\
x-2x-4&>&1-|x-2| \\
-x-4&>&1-|x-2|
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x \geq 2:} && \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcll}
-x-4&>&1-(x-2) \\
-x-4&>&1-x+2 \\
-x-4&>&3-x \quad&|+x \\
-4&>&3 \\ \\
\end{array}
&&\begin{array}{rcll}
-x-4&>&1+(x-2) \\
-x-4&>&1+x-2 \\
-x-4&>&-1+x \quad&|-x+4 \\
-2x&>&3 &|:(-2) \\
x&<&-1,5
\end{array}\\
\textnormal{(falsche Aussage)}\qquad \qquad \end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-2,1)(3.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{|-}(2,2)(3.5,2)
    \uput{0.2}[180](-2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](2,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-2,1)(3.5,1)
    \psline[linecolor=orange]{-o}(-4.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-4.5,3)(-1.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-2,4)(-1.5,4)
    \uput{0.2}[180](-2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](2,2){\textcolor{orange}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](-1.5,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-2,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{\ \}$ && $L_2=\{x|-2 \leq x<-1,5\}$
\end{tabular}
\end{center}
Eine Besonderheit liegt bei der ersten Teillö\-sungs\-menge $L_1$ vor. Der
Ergebnisterm \linebreak[3] $-4> \nolinebreak[4]3$ ist \emph{stets falsch}, ist also eine
\emph{\textbf{falsche Aussage}}. Daher ist $L_1$ eine leere Menge.
\newpage
Der andere Fall war $x<-2$. In diesem Bereich ist der Inhalt des rechten
Betrages \emph{stets negativ}. Eine weitere Fallunterscheidung ist hier also
nicht notwendig.
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-2:}\]
\[\begin{array}{rcll}
x+(2x+4)&>&1-|x-2| \\
x+2x+4&>&1+(x-2) \\
3x+4&>&1+x-2 \\
3x+4&>&x-1 \quad&|-x-4 \\
2x&>&-5     &|:2 \\
x&>&-2,5
\end{array}\]
\begin{center}
  \psset{xunit=10mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-2.5,2)(3.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-2.5,3)(-2,3)
    \uput{0.2}[0](-2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](-2.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
  $L_3=\{x|-2,5<x<-2\}$
\end{center}

Wir haben insgesamt 3 Teillösungsmengen erhalten. Sie ergeben sich jeweils aus
der UND-Ver\-knüpfung der Bedingung(en) und des Lösungsterms.
Da $L_1$ leer ist, ergibt sich $L$ nur aus der Vereinigung von $L_2$ und $L_3$.
\begin{center}
  \psset{xunit=10mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-2,1)(-1.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-2.5,2)(-2,2)
    \uput{0.2}[0](-1.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.2}[180](-2.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Die beiden Bereiche stoßen "`bündig"' aneinander, die Gesamt-Lösungsmenge lässt
sich also wie folgt zusammenfassen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-2,5<x<-1,5 \}$}\end{center}



\end{document}

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