\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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%\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\ifpdf                %
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Bestimmung von Ableitungen}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage
\section{Einleitung}
Eine \textbf{Ableitung} ist das Ergebnis der \textbf{Differezialrechnung}. Die
Grundlagen dazu findet man hier:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf} \fi
\end{center}

Um Ableitungen einfach bestimmen zu können, sind genau \textbf{zwei} Dinge
erforderlich:
\begin{enumerate}
\item Eine Sammlung grundlegender Funktionen und deren Ableitungen
\item Ableitungsregeln
\end{enumerate}

\section{Ableitungen von grundlegenden Funktionen}
Genau fünf Funktionen reichen für (fast) alle Fuktionen als Grundlage aus. Hier
sind sie zusammen mit ihren Ableitungen:
\[\begin{array}{|rclcrcl|}
\hline
f(x)&=&x^n    &\Rightarrow& f'(x)&=&n \cdot x^{n-1}\\
f(x)&=&\sin x &\Rightarrow& f'(x)&=&\cos x \\
f(x)&=&\cos x &\Rightarrow& f'(x)&=&-\sin x \\
f(x)&=&e^x    &\Rightarrow& f'(x)&=&e^x \\
f(x)&=&\ln x  &\Rightarrow& f'(x)&=&\cfrac{1}{x}\\
\hline
\end{array}\]
Als Spezialfall der ersten Funktion können noch folgende Funktionen angesehen
werden:
\[\begin{array}{|rclcrcl|}
\hline
f(x)&=&x  &\Rightarrow& f'(x)&=&1 \\
f(x)&=&k  &\Rightarrow& f'(x)&=&0 \\
\hline
\end{array}\]
Auf diese grundlegenden Funktonen können fast alle praktisch vorkommenden
Funktionen zurückgeführt werden, wenn man die nachfolgenden Regeln kennt und
anwenden kann.

\section{Ableitungsregeln}
Wenn man beliebige Funktionen ableiten möchte, dann benötigt man neben den
Ableitungen von Grundfunktionen auch \textbf{Ableitungsregeln}. Diese werden im
folgenden hier dargestellt.

\subsection{Konstantenregel}
Die Konstantenregel wird immer dann angewendet, wenn die abzuleitende Funktion
dargestellt werden kann als das \textbf{Produkt aus einer Konstanten und einer
bekannten Funktion}. Diese Regel wird von Schülern in der Regel intuitiv
richtig angewendet. Sie besagt, dass man die Ableitung erhält, indem man die
Ableitung der bekannten Funktion mit der Konstanten multipliziert.
Die Konstantenregel stellt sich dann wie folgt dar:
\begin{center}\textbf{Konstantenregel:} \fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=k \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=k \cdot g'(x)$}
\end{center}
\underline{Beispiele:}
\begin{eqnarray*}
f_1(x)=3 \cdot x^5 &\Rightarrow& f_1'(x)=3 \cdot 5 \cdot x^4=15x^4 \\
f_2(x)=5 \cdot \sin x &\Rightarrow& f_2'(x)=5 \cdot \cos x \\
f_3(x)= \pi \cdot e^x &\Rightarrow& f_3'(x)= \pi \cdot e^x
\end{eqnarray*}

\subsection{Summenregel}
Immer dann wenn sich die Funktion darstellen lässt als \textbf{Summe zweier
(oder mehrerer) bekannter Funktionen}, dann kann man die Summenregel anwenden.
Auch diese Regel wird von Schülern in der Regel intuitiv richtig angewendet.
Sie besagt, dass man jede Funktion einzeln ableiten kann und die
Teilableitungen einfach hinterher addiert.
Hier folgt die Summenregel als Formel:
\begin{center}\textbf{Summenregel:} \fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=u(x) \pm v(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(x) \pm v'(x)$}
\end{center}

\underline{Beispiele:}
\begin{eqnarray*}
f_1(x)=x^4+x^3 &\Rightarrow& f_1'(x)=4x^3+3x^2 \\
f_2(x)= \sin x+ \cos x &\Rightarrow& f_2'(x)= \cos x -\sin x \\
f_3(x)=x+2 &\Rightarrow& f_3'(x)=1+0=1
\end{eqnarray*}

Natürlich können die Regeln auch kombiniert werden. Hier ein paar Beispiele
dazu:
\begin{eqnarray*}
f_4(x)=3x^2+5x &\Rightarrow& f_4'(x)=3 \cdot 2x+5=6x+5 \\
f_5(x)=3x^5-4x^3+10x&\Rightarrow&3 \cdot 5x^4-4 \cdot 3x^2+10=15x^4-12x^2+10 \\
f_6(x)=10e^x-5 \sin x&\Rightarrow&f_6'(x)=10e^x-5 \cos x
\end{eqnarray*}

\subsection{Produktregel}
Wie der Name schon sagt, wird die Produktregel angewendet, wenn die gesuchte
Funktion darstellbar ist als \textbf{Produkt zweier bekannter} Funktionen.\\

\textbf{Aufgepasst: Da diese Regel nicht so simpel ist, wird sie gern falsch
angewendet!}\\

Hier ist die Regel:
\begin{center}\textbf{Produktregel:} \fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=u(x) \cdot v(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)
=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$}
\end{center}
Da die Regel nicht so einfach ist, schreibe ich bei den Beispielen jedes mal
$u(x)$ und $v(x)$ sowie $u'(x)$ und $v'(x)$ auf, bevor die Lösung angegeben
wird.

\underline{Beispiel 1:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&(x^2+3x) \cdot (2x-1) \\
\hline
u(x)=x^2+3x&\Rightarrow&u'(x)=2x+3 \\
v(x)=2x-1&\Rightarrow&v'(x)=2 \\
\hline
f'(x)&=&(2x+3) \cdot (2x-1)+(x^2+3x) \cdot 2 \\
\end{array}\]

\underline{Beispiel 2:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&x \cdot \sin x \\
\hline
u(x)=x&\Rightarrow&u'(x)=1 \\
v(x)= \sin x&\Rightarrow&v'(x)= \cos x \\
\hline
f'(x)&=&1 \cdot \sin x+x \cdot \cos x
\end{array}\]

\underline{Beispiel 3:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&(x^2+1) \cdot \cos x\\
\hline
u(x)=x^2+1&\Rightarrow&u'(x)=2x \\
v(x)= \cos x&\Rightarrow&v'(x)=-\sin x \\
\hline
f'(x)&=&2x \cos x-(x^2+1) \cdot \sin x
\end{array}\]

\subsection{Quotientenregel}
Natürlich kommt die Quotientenregel zum Einsatz, wenn die Funktion sich als
\textbf{Quotient zweier bekannter Funktionen} (also als Bruch) schreiben lässt.
Die Regel ist noch etwas "`sperriger"' als die Produktregel, daher wieder die
Warnung: \\

\textbf{Die Quotientenregel wird noch häufiger, als die Produktregel falsch
angewendet!}\\

Die Regel lautet:
\begin{center}\textbf{Quotientenregel:} \fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=\cfrac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x)
= \cfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}$}
\end{center}
Da diese Regel ebenfalls nicht einfach ist, schreibe ich auch hier bei den
Beispielen jedes mal $u(x)$ und $v(x)$ sowie $u'(x)$ und $v'(x)$ auf, bevor die
Lösung angegeben wird.

\underline{Beispiel 1:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\cfrac{2x+1}{3x-2}\\
\hline
u(x)=2x+1&\Rightarrow& u'(x)=2 \\
v(x)=3x-2&\Rightarrow& v'(x)=3 \\
\hline
f'(x)&=&\cfrac{2 \cdot (3x-2)-(2x+1) \cdot 3}{(3x-2)^2}
\end{array}\]

\underline{Beispiel 2:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\cfrac{\sin x}{x}\\
\hline
u(x)=\sin x&\Rightarrow& u'(x)= \cos x \\
v(x)=x&\Rightarrow& v'(x)=1 \\
\hline
f'(x)&=&\cfrac{x \cos x-\sin x}{x^2}
\end{array}\]

\underline{Beispiel 3:}
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\tan x= \cfrac{\sin x}{\cos x}\\
\hline
u(x)= \sin x&\Rightarrow& u'(x)= \cos x \\
v(x)= \cos x&\Rightarrow& v'(x)=-\sin x \\
\hline
f'(x)&=&\cfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}
\end{array}\]
\underline{Anmerkung:}
Der Zähler lässt sich mit der Formel des sogenannten "`Trigonometrischen
Pythagoras"' noch vereinfachen. Dieser Satz besagt:
\[\sin^2 x+\cos^2 x=1\]
Damit lautet die vereinfachte Ableitung aus Beispiel 3:
\[f'(x)=\cfrac{1}{\cos^2 x}\]

\newpage
\subsection{Kettenregel}
Die letzte der 5 Regeln ist die Kettenregel. Diese Regel ist sehr mächtig, man
muss aber erst lernen, damit umzugehen. Sie wird eingesetzt, wenn sich eine
Funktion als \textbf{Funktion von einer Funktion} schreiben lässt. Verständlich
wird das leider erst in Beispielen, aber hier kommt erst mal die Formel:

\begin{center}\textbf{Kettenregel:} \fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=f(g(x)) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=f'(g) \cdot g'(x)$}
\end{center}

An Beispielen möchte ich erklären, wie das zu verstehen ist.\\
\underline{Beispiel 1:}
\[f(x)=\left( 3x^2-2x \right)^3\]
Den Klammerausdruck $(3x^2-2x)$ kann ich als eigenständigen Term auffassen. Ich
nenne ihn $g$. Da $g$ von $x$ abhängt, kann ich ihn auch als Funktion von $x$
bezeichnen, also: $g(x)=3x^2-2x$.\\

Andererseits hängt $f$ von $g$ ab. Ich könnte auch den kompletten
Klammerausdruck -- also $g$ -- als Variable betrachten. Dann ist $f$ eine
Funktion dieser Variablen $g$, also: $f(g)=g^3$. Da $g$ selbst aber eine
Funktion von $x$ ist, ist damit $f$ eine Funktion von einer Funktion von $x$.
Verständlich? Nein? Schade.\\

Dann versuchen wir es anders herum. Mit den oben eingeführten Bezeichnungen
haben wir zwei Funktionen:
\[\begin{array}{rcll}
g(x)&=&3x^2-2x \\
f(g)&=&g^3 \\
\end{array}\]
Im ersten Fall heißt die Variable (ganz normal) $x$, im zweiten Fall heißt sie
$g$. Wenn ich $f(g)$ ableiten will, dann muss ich dabei die Variable $g$
verwenden. Man sagt, man leitet \textbf{nach \emph{g}} ab. Bildet man nun diese
Teilableitungen, dann kann man sie für die Kettenregel verwenden.

\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&3x^2-2x&\Rightarrow& g'(x)&=&6x-2 \\
f(g)&=&g^3&\Rightarrow&    f'(g)&=&3g^2 \\
\end{array}\]

Diese Ergebnisse setze ich in die Kettenregel ein und erhalte:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\left( 3x^2-2x \right)^3 \\
f'(x)&=&f'(g) \cdot g'(x) \\
f'(x)&=&3g^2 \cdot (6x-2) &|\ g \textnormal{ zurückersetzen}\\
f'(x)&=&3 \cdot \left( 3x^2-2x \right)^2 \cdot (6x-2) \\
f'(x)&=&\left( 3x^2-2x \right)^2 \cdot (18x-6) \\
\end{array}\]

Wir wollen das Verfahren an einem weiteren Beispiel anwenden.\\
\underline{Beispiel 2:}
\[f(x)=e^{3x}\]
Die \textbf{innere Funktion}, die wir mit $g$ benennen wollen, ist hier der
Term $3x$. Damit stelle ich die Teilfunktionen und die Teilableitungen auf:
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&3x&\Rightarrow& g'(x)&=&3 \\
f(g)&=&e^g&\Rightarrow&f'(g)&=&e^g
\end{array}\]

Die Ergebnisse setzen wir in die Kettenregel ein und erhalten:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&e^{3x}\\
f'(x)&=&f'(g) \cdot g'(x) \\
f'(x)&=&e^g \cdot 3 &|\ g \textnormal{ zurückersetzen}\\
f'(x)&=&3 \cdot e^{3x}
\end{array}\]

Noch ein Beispiel:\\
\underline{Beispiel 3:}
\[f(x)= \cos (2x+5)\]
Die \textbf{innere Funktion}, die wir mit $g$ benennen wollen, ist hier der
Term $(2x+5)$. Damit stelle ich die Teilfunktionen und die Teilableitungen auf:
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(x)&=&2x+5&\Rightarrow& g'(x)&=&2 \\
f(g)&=&\cos g&\Rightarrow&f'(g)&=&-\sin g
\end{array}\]

Die Ergebnisse setzen wir in die Kettenregel ein und erhalten:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&\cos (2x+5) \\
f'(x)&=&f'(g) \cdot g'(x) \\
f'(x)&=&2 \cdot (-\sin g) \\
f'(x)&=&-2 \cdot \sin (2x+5)
\end{array}\]

Übungsaufgaben dazu sind hier zu finden:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ableit.pdf} \fi
\end{center}

\end{document}
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